Gizem’in öğretim sürecinde gösterdiği gelişimler

Gül ile aynı kavram yanılgılarına sahip olan Gizem’in tasarlanan yeni öğretim modeli ile yapılan öğretim sonunda gösterdiği gelişimler aşağıda ayrıntılı olarak sunulmuştur.

4.3.2.1 Y1’in giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y1: Reel sayıları radyan olarak görememe.

Gizem bu yanılgıya sahip bir öğrencidir. Test 1’de sorulan sin30 ifadesinin değerini ½ olarak hesaplamıştır. Tasarlanan yeni öğretim yöntemi ile yapılan öğretim sonucunda bu yanılgının giderilmesi bağlamında Gizem iki yönde gelişim göstermiştir. Bu gelişimler Y1G1 ve Y1G2 olarak kısaltılmıştır.

Y1G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken verilen reel sayıları radyan olarak görebilme.

84 Y1G2: Trigonometrik fonksiyonlarda verilen reel sayıları radyan olarak görebilme

Gizem, Ayşe kavramsal testlerde verilen reel sayıların ölçü biriminin radyan olduğunu söyleyerek, bir açının ölçüsüne radyan diyebilmek için içinde mutlaka π olması gerekmediğini vurgulamıştır.

Ancak trigonometrik fonksiyonlardaki reel sayıların birimini tanımada zorluk çekmiştir. ’li bir ifade verildiğinde bunun biriminin radyan olduğunu hemen söyleyebilen Gizem, reel sayı olduğunda birim olarak öncelikle dereceyi söylemektedir.

Gizem, Test 1’de sin 30’u ½ olarak hesaplamıştır. Test 2’de ise 30’u derece olarak kabul etmiş ve radyan cinsinden karşılığı olan

6



’ya eşitlemiştir. Görüşmede ise yine 30’u derece olarak alıp sin30 değerini ½ olarak hesaplamıştır. 30’un derece olarak verilmediği hatırlatıldığında ise “30 radyanı dereceye çevirmesi” gerektiğini söylemiştir. Bu sorudan sonra öğrenci trigonometrik fonksiyonlardaki reel sayıları radyan olarak görmeye başlamıştır. Ancak biriminin radyan olduğunu söylemesine rağmen dereceye çevirerek hesap yapmaya çalışmıştır. Gizem trigonometrik fonksiyonlarda ya da açı ölçü birimlerinde karşısına çıkan reel sayılara radyan diyebilmesine rağmen trigonometrik fonksiyonların tanım kümesinin elemanlarını doğru cevaplandıramamıştır. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesinin elemanlarının reel sayılar olduğunu ve bunların açı ölçü birimlerinden hem dereceye hem de radyana karşılık geldiğini söylemiştir. Ayrıca

2



’yi 90^o olarak düşünüp 30 ile aynı koordinat düzleminde göstermiştir.

“Reel sayıları radyan olarak görememe” yanılgısına sahip Gizem’in bu yanılgısı tasarlanan yeni öğretim yöntemi ile işlenen dersler sonunda giderilmiştir. Açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken reel sayıları radyan olarak değerlendirebilen Gizem, trigonometrik fonksiyonlarda biraz zorlanmaktadır. Bu zorlanma Gizem’de derece imajının baskın olmasından kaynaklanmaktadır. 30, 60 gibi derece cinsinden

85 trigonometrik oranlarını hesaplamaya aşina olduğu sayılar verildiğinde açıların birimine derece demektedir. Araştırmacının hatırlatması üzerine ikinci seçenek olarak radyan yanıtını vermektedir. 9,85 gibi derece cinsinden herhangi bir trigonometrik oranı hesaplamayı bilmediği sayılar verildiğinde ise bunların birimine radyan diyebilmektedir.

4.3.2.2 Y2’nin giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y2: Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe.

Test 1’in sonuçlarına göre Gizem bu yanılgıya sahiptir. Test 1’de sorulan “açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapınız” sorusuna 1 radyanı tanımlayarak cevap vermiştir. Bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken de derece ve radyanın birbirine dönüştürülmesini sağlayan formülün etkisinde kalmış, radyanın tanımını kullanmamıştır. Tasarlanan yeni öğretim yöntemi ile yapılan öğretim sonucunda bu yanılgının giderilmesi bağlamında Gizem’de üç yönde gelişim olmuştur. Bu gelişimler Y2G1, Y2G2 ve Y2G3 olarak kısaltılmıştır.

Y2G1: Radyanın tanımını yapabilme.

Y2G2: Radyanın tanımını 1 radyanı tanımlarken ve birim çember üzerinde radyanı açıklarken kullanabilme.

Y2G3: Radyanın tanımını problem çözümüne uygulayabilme.

Test 1’de radyan yerine 1 radyanın tanımını yapmaya çalışan Gül, 1 radyanın matematiksel tanımından daha çok tarifini yapabilmiştir. Yapılan öğretimden sonra gerek test 2’de, gerekse görüşmede radyanın tanımını yapmış, görüşme sırasında her sorulduğunda radyanı tanımlayabilmiştir. Bu tanımı, araştırmacının da yardımlarıyla 1 radyanı tanımlarken ve birim çember üzerinde radyanı açıklarken kullanabilmiştir. Aşağıda Gizem’in birim çemberde radyanı tanımlama süreci sunulmuştur.

Araştırmacı: Birim çemberde radyanı nasıl tanımlayabiliriz? Bu radyanın tanımını düşünerek birim çemberde radyanı tanımlayabilir misin?

86 Gizem: Birim çemberde...2 kadar olması gerekir...şu yay uzunluğunun yarıçapa oranı olması gerekir.

Araştırmacı: Çok güzel. Peki bu yay uzunluğunun yarıçapa oranı dedin. Benim birim çemberde yarıçapım kaç Gizem?

Gizem: Yarıçapım r kadar.... 1 birim ....1

Araştırmacı: Tamam o zaman bu yay uzunluğunun yarıçapa oranı bize radyanı veriyor. Benim yarıçapım da 1 olduğuna göre birim çemberde radyan neyi veriyor

Gizem: Birim çemberde radyan direk...yay uzunluğunu

Radyanın tanımını 1 radyanı ve birim çember üzerinde radyanı açıklamak için kullanabilen Gizem, bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken radyanın tanımını kullanamamaktadır. Birim çember çizerek, çemberi 1-1 parçalara bölmüş ve bunları saydığımızda 2 olmaktadır yanıtını vermiştir. Tanımı bilmesine rağmen bunu bir çemberdeki yay uzunluğunu hesaplamada kullanamamıştır. Kullanamamasının bir nedeni de öğrencinin çemberin çevresini bilmemesi gibi ön bilgi eksiklikleridir.

Gizem, birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu söylemesine rağmen, bunu sorulara uygulamada başarısız olmuştur. 1, 3 ve 9,85 radyanı birim çember üzerinde göstermesi istenildiğinde birim çember etrafında tur atmamız gerektiğini söylemektedir. Bir çemberde 6,28 radyan olduğunu bilmesine rağmen “1 radyanda 1 kez, 3 radyanda 3 kez tur atarız” yanıtlarını vermektedir. Aşağıda Gizem’in 3 ve 9,85 radyanı birim çember üzerinde gösterme süreci verilmiştir:

Araştırmacı: 3 radyanı birim çember üzerinde gösterebilir misin? Gizem: Üç kez dönmesi demektir.”

“Araştırmacı: 9,85 radyan? Kaçıncı bölgeye denk gelir? Gizem:1. bölge

Araştırmacı: Neden 1. bölge?

Gizem: 9,85 9 kez dönmek demekti. 85 daha ilerlediğimde 1. bölgeye denk gelir.

1 radyanı ise birim çember üzerinde göstermek için önce dereceye çevirmiştir. Yaklaşık olarak 57,3^o bulmasına rağmen 1 radyanın birim çember üzerinde 1 kez dönmek demek olduğunu vurgulamıştır. Öğrencinin düşünme süreci aşağıda verilmiştir.

Araştırmacı: 1 radyan 57,3^o’dir dedik. Bunu birim çember üzerinde gösterebilir misin? 1 radyan...

87 Araştırmacı: 57,3 ^o derece 1 radyana eşit.

Gizem:...

Araştırmacı:Derece olarak gösterebiliyorsun. 1. bölgede. Radyan olarak nerde olur?

Gizem:1 radyan 1 kez dönmek....

Araştırmacı: Bir çemberde toplam kaç radyan vardır? Gizem: 2 kadar

Araştırmacı: 1 kere döndüğümde kaç radyan yol almış olurum? Gizem:1 radyan

Araştırmacı:1 radyan??? Gizem: Evet.1 radyan

Gizem birim çemberde radyanı yay uzunluğu olarak görememektedir. Araştırmacının ipucu sorularıyla radyan yay uzunluğuymuş gibi davransa da, birim çember etrafında tur atarız dese de, soruların sonuçlarına ulaşamamıştır. Bu da öğrencinin birim çemberde radyanı kavramsal olarak anlamadığını göstermektedir. Gizem’in cos60’ı hesaplama süreci aşağıda verilmiştir:

Gizem: Çünkü birim çemberde derece iken 60 1. bölgede yer alır. O yüzden 0,5. Radyanken 1. bölgede yer almaz...cos te....2. veya 3. bölgede yer alması gerekir. – miş.

Araştırmacı: cos60 radyan kaçıncı bölgede yer alır, onu nasıl hesaplayabilirsin? Birim çemberin tamamını düşün. Tamamının ne kadar olduğunu düşün. 60 radyan ne demek onu düşün.

Gizem: Tamamı 2 kadardı. 60 radyan...

Araştırmacı: 2. ya da 3. bölgeye gelir diyorsun. Bunu da kosinüsün işaretine bakarak söylüyorsun. 60 radyanın nasıl 2. ya da 3. bölgede yer alacağına ilişkin yok mu başka açıklaman? 60 radyan....Çemberin tamam ıkaç radyan

Gizem:2

Araştırmacı: ya da Gizem: ....6,28 radyan

Araştırmacı:60 radyan olması ne demek? Gizem: 60 ı 6,28 e böleceğiz...

Araştırmacı:Yap.

Gizem:...(hesaplıyor)...9.55 yani, ...2. bölgede Araştırmacı: Niçin, nedir o 9,55

Gizem:Radyan... cos 60’ ın ’ye bölümünden... kaçıncı radyan

Araştırmacı:Ne buldun şimdi cos 60 9,55 radyana eşittir diye bir şey mi çıktı? Gizem:60 ı Cos60. hani 6,28 e böldük. Hani radya dan bulduk.

Araştırmacı:Böldün de niye böldün, niye yaptın? Gizem:Kaçıncı bölgede olduğunu bulabilmek için. Araştırmacı:Tamam bulduğun 9,55 nedir o zaman? Gizem: ...

88 Radyan cinsinden verilmiş bir değerin kaçıncı bölgeye geldiğini hesaplayamayan Gizem, bazen bu sayıları dereceye çevirip o şekilde hesaplamaktadır. Sin30’u hesaplarken 30 radyanın kaçıncı bölgeye geldiğini, dereceye çevirerek hesaplamıştır. Ayrıca

3 5

radyan gibi içinde  içeren ifadeleri de birim çember üzerinde gösterirken dereceye çevirme ihtiyacı duymuştur.

Birim çemberde radyanın yay uzunluğuna eşit olduğunu görüşme başında söyleyen Gizem, görüşme sırasında bu soru tekrar yöneltildiğinde aynı cevabı verememiştir. Ayrıca yay uzunluğunun birimini de hem derece hem de radyan olarak tanımlamıştır. Birim çemberde 60^o’lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğuna da 60^o cevabını vermiştir.

Gizem trigonometrik fonksiyonları hesaplamada da sorun yaşamaktadır. Sin 2  ’nin değerini hesaplarken 2 

’yi dereceye çevirmiş, bulduğu sonucu Sin 2 

’nin sonucuymuş gibi düşünmüştür. Aynı şekilde test 2’de de sin 30’u hesaplarken 30’u derece olarak kabul edip, radyana çevirmiş ve sin30 =

6 

olarak bulmuştur.

Gizem, radyanın tanımının kullanılması gereken problemlerde tanımı kullanabilmiştir. Yarıçapı 1,8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7,1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?” sorusuna doğru cevap vermiş, çözüm yolu sorulduğunda ise bunun radyanın tanımından geldiğini açıklamıştır. Ancak daha karmaşık bağlamdaki bir soruya yanıt verememiştir.

“Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?” sorusunda ön tekerlek ve arka tekerleğin aldığı yollar arasında ilişki kurumamıştır. Araştırmacının yardımına rağmen doğru yanıta ulaşamamıştır.

“Radyanın tanımını yapamama, radyanı yay uzunluğu olarak görememe” yanılgısına sahip Gizem yapılan öğretim sonucunda radyanın tanımını yapabilme, 1 radyanı tanımlarken ve birim çemberde radyanı açıklarken radyanın tanımını kullanabilme ve

89 bu tanımı problem çözümüne uygulayabilme süreçlerinde gelişim göstermiştir. Birim çemberde radyanın yay uzunluğuna karşılık geldiğini söylemesine rağmen bunu sorulara uygulayamamıştır. Görüşme sırasında birim çemberde radyan yay uzunluğuymuş gibi düşünmüş ancak radyana birim çemberde tur atma olarak yaklaşmıştır. Kaç radyansa o kadar tur atıldığını söylemiştir. Bir çemberde 6,28 radyan olduğunu da bilmesine rağmen tur atma ile bu bilgiyi ilişkilendirememiştir. Tanımın doğrudan uygulanması gerektiği problemlere radyanın tanımını uygulayabilen Gizem, daha karmaşık problemlere tanımı uygulayamamaktadır.

4.3.2.3 Y3’ün giderilmesi bağlamında gösterdiği gelişimler

Y3: ’yi 180^o olarak algılama.

Test 1 uygulandığında trigonometrik fonksiyonlar konusu işlenmediği için Gizem’in bu yanılgıya sahip olup olmadığı tespit edilmemiştir. Ancak tasarlanan yeni öğretim yöntemi ile yapılan öğretim sonucunda öğrencide bu yanılgının oluşmadığı gözlenmiştir. Bu yanılgı bağlamında Gizem iki yönde gelişim göstermiştir. Bu gelişmeler Y3G1 ve Y3G2 olarak kısaltılmıştır.

Y3G1: Açı ölçü birimlerini birbirine çevirmede  yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme

Y3G2: Trigonometrik fonksiyonlarda  yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü koyabilme

Gizem test 1’de 1 radyanı dereceye çevirirken sonucu D 180 

 olarak bulmuştur. Burada öğrenci D’ye de ’ye de bilinmeyen olarak yaklaşmış,  yerine ne koyacağını bilememiştir. Sonucu  180 olarak bulmuştur. 150^o kaç radyandır sorusunun yanıtını da

12 10

bularak ifadedeki ’yi görmezden gelmiştir. Görüşmede de

aynı şeyi yapan Gizem, “



180

kaç derece yapar? ’yi nasıl yok ederiz?” sorusundan sonra  yerine değerini yani 3,14 koymayı düşünmüştür. Aynı şekilde “Birim çemberde uzunluğu yaklaşık olarak 3 radyan olan yayı gören merkez açının ölçüsü

90 kaç dercedir?” sorusunun çözümünde de  yerine değerini koymuştur. 150^o’nin kaç radyan yaptığını hesaplarken de hem görüşmede hem de test 2’de sonucu

6 5

radyan olarak bulmuştur. Bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken de  yerine değerini koyabilmiştir.

Tek bir  sayısı olduğunu vurgulayan Gizem, gerek 3 5

radyan derken, gerekse cos’yi hesaplarken  yerine değerini verebilmektedir. Aşağıda Gizem’in trigonometrideki  ile  sayısının aynı olduğu yönündeki düşünme süreci sunulmuştur.

Gizem:  yaklaşık olarak 3,14 olarak alırız...başka.... Araştırmacı: bu kadar mı?

Gizem: evet.

Araştırmacı: ’ yi 3,14 olarak kullanıyoruz. Trigonometride  var. mesela 2 /3 radyan derken  var. Bir de cos  var. Burdaki bütün ’ler 3,14 mü?

Gizem:....cos....evet. cos’ yi de mesela cos3,14^o olarak alabiliriz. Araştırmacı: 3,14 ^o’ mi alabiliriz?

Gizem: Yok radyan da alabiliriz.

Araştırmacı: Hepsi 3,14 tür diyorsun. 2 /3 te mesela  yerine 3,14 koyabilir miyiz?

Gizem:Yok. Aaa. Şey. 2 ile çarparsak 6,28 alabiliriz. Evet, Koyabiliriz. Araştırmacı: Cos de  yerine değerini koyabilir misin?

Gizem: Cos’ de...koyabiliriz.

Araştırmacı: Nasıl hesaplarsın peki cos’yi?

Gizem: Cos’ yi, cos 3,14 olarak alırız. (birim çemberi çizerek 3,14 radyanın geldiği noktayı gösteriyor. Ve cos’yi –1 olarak hesaplıyor.)

Gizem trigonometride kullanılan  ile  sayısının aynı olduğunu vurgulamıştır. Herhangi bir radyanı birim çember üzerinde göstermede zorluk yaşayan Gizem, cos’yi göstermede hiç sorun yaşamamıştır. Ayrıca cos ve cos^o’yi ayrı ayrı birim çember üzerinde gösterebilmiştir.

Aynı şekilde trigonometrik fonksiyonlarda da Gizem  yerine değerini koymada hiç zorluk yaşamamaktadır. Gerek cos()²’yi hesaplarken ve sin^o’yi bulurken hep 

yerine değerini koymuştur. Ancak sin^o ve sin radyanın farklı şeyler olduğunu vurgulamasına ve birim çemberde yerlerini doğru olarak göstermesine karşın her

91 ikisinin de sonucunun aynı olduğunu söylemektedir. Bu da bize öğrencinin trigonometrik fonksiyonlar konusunda sıkıntı yaşadığını göstermektedir. Trigonometrik fonksiyonlarda  verildiğinde yerine değerini koyup hesaplayabilmesine rağmen /2’yi 90^o olarak almaktadır. Bunun nedeni ise  yerine değerini koyduğunda birim çember üzerinde nereye geldiğini ve o noktanın koordinatlarını biliyor, ama /2 yerine 3,14 koyduğunda birim çembere üzerinde tam olarak nereye geldiğini bilmiyor olmasıdır. Derste birim çemberin 1’er birimlik parçalara ayrıldığı için yaklaşık 1,07 gibi bir değerin birim çember üzerinde geldiği noktanın koordinatlarını bilmiyor olması öğrenciyi yanıltmıştır.

’yi 180^o olarak görme yanılgısına sahip olmayan Gizem’de yapılan öğretim sonucunda da bu yanılgı oluşmamıştır. Hatta açı ölçü birimlerini birbirine çevirirken ’yi bilinmeyen gibi algılayıp yerine değerini veremeyen Gizem, öğretimden sonra açı ölçülerini birbirine çevirirken ve bir çemberde kaç radyan olduğunu söylerken  yerine değerini koyabilmiştir. Ayrıca  sayısı ile trigonometrideki ’nin aynı olduğunu söylemiş ve trigonometrik fonksiyonlarda da  yerine değerini koyabilmiştir.