Öğrencilerin Kavramsal test 1’e verdikleri cevaplar analiz edildiğinde matematik öğretim programının takip edilerek ders işlenildiği sınıftaki Ayşe, Burcu ve Gül isimli öğrenciler sırasıyla, yeni öğretim yöntemi ile ders işlenilen sınıftaki Aysel, Banu ve Gizem isimli öğrencilere denk seçilmişlerdir.
Birbirine denk olarak seçilen Ayşe ve Aysel sadece Y1’e sahiptirler. Y1’in tespit edilmesi için kullanılan sorulara Ayşe ve Aysel’in verdiği yanıtlar sırasıyla verilmiştir:
Aysel’in yanıtı incelendiğinde 30’un derece olarak verilmediği uyarısına rağmen 30’u derece olarak kabul ettiği ancak, fonksiyonun sonucunu doğru bulamadığı görülmektedir. Reel sayıyı radyan olarak göremediği için Ayşe Y1’e sahiptir. Aynı şekilde Aysel’in de yanıtı incelendiğinde;
127 reel sayı olarak verilmiş olan 30’u radyan olarak göremediği, derece olarak alıp fonksiyonun değerini doğru hesapladığı görülmektedir. Aysel’de Y1’e sahiptir. Ayşe ve Aysel’in her ikisi de radyanın tanımını yapamama veya yay uzunluğu olarak görememe yanılgısına sahip değillerdir. Bu yanılgının incelendiği sorular 1,2 ve 6. sorulardır. Bu sorulara öğrencilerin verdiği yanıtlar aşağıda incelenmiştir.
Kavramsal test 1 uygulandığında henüz radyan tanımlanmamış, sadece 1 radyanın tanımı yapılmıştı. Bu nedenle öğrenciler radyanın tanımı yerine 1 radyanı tanımlamaktadırlar. Ayşe de 1 radyanı tanımlamaya çalışmış ancak başarılı olamamıştır. 1 radyanın matematiksel tanımından çok 1 radyanı tarif etmeye çalışmıştır. Bir çemberde kaç radyan olduğu sorusunda ise ezberden de olsa derste gösterildiği şekli ile yanıt vermiştir. Farkında olmadan radyanın tanımını kullanmıştır. Ayşe 6. soruya ise yanıt vermemiştir. Nedeni sorulduğunda sorunun içinde geçen merkez açı, gördüğü yay gibi kelimelerin kafasını karıştırdığı, soruyu anlamadığı yanıtını, ama çemberleri hatırladıktan sonra bu soruya yanıt verebileceğini söylemiştir. Aynı soru öğrenciye test 2’de ve görüşmede yönlendirildiğinde de doğru yanıtı vermiştir.
Aysel’de aynı şekilde radyanı değil de 1 radyanı tanımlamıştır. Bir çemberde kaç radyan olduğu sorusuna da radyanın tanımını kullanarak doğru cevap vermiştir. 6. soruya da yanıt verirken radyanın uzunluk olduğunu göz önünde bulundurmuş, çemberin çevresini de kullanarak orantı yardımıyla doğru sonucu bulmuştur. Aşağıda Aysel’in yanıtları verilmiştir.
128 Her iki öğrencinin de Y3’e sahip olup olmadığı tespit edilmemiştir. Bu yanılgının tespiti için sorulan sorulardan sadece birine yanıt vermişler. Trigonometrik fonksiyonlar konusu işlenmediği için diğer soruyu anlayamamışlar ve yanıt vermemişlerdir. Aşağıda önce Ayşe, sonra da Aysel’in 3. soruya yanıtları verilmiştir.
Her iki öğrenci de ’nin değerini 3,14 olarak almış, trigonometrik fonksiyonlarda kullanılması gerektiği soruyu da boş bırakmıştır. Bu iki öğrencinin sahip olduğu yanılgılar ve Kavramsal test 1’deki diğer sorulara da verdikleri yanıtlar incelendiğinde iki öğrencinin birbirine denk olduğu görülmüştür.
129 Kavramsal test 1’e verdikleri cevaplara göre birbirine denk seçilen bir başka öğrenci çifti de Burcu – Banu ikilisidir.
Burcu’nun bu yanıtı incelendiğinde derece olarak verilmemiştir uyarısına rağmen, 30’u derece olarak aldığı ve sin30 değerini ½ olarak hesapladığı görülmektedir. Fonksiyonun değerini doğru hesaplayamamasına rağmen 30’u derece olarak alması öğrencinin reel sayıları radyan olarak göremediğini göstermektedir.
Aynı soruya Banu ise yanıt verememiştir. Sınav sırasında yanıt verememesinin nedenini soruyu anlamaması olduğunu belirtmiştir. Bu öğrencinin sinüs kavramı hakkında bildiklerinizi yazın sorusunda sin30o= ½ cevabını da eklemesi, öğrencide derece imajının baskın olduğunu göstermektedir. Bu nedenle Banu’nun da aynı yanılgıya sahip olduğu söylenebilir.
Y2’in belirlendiği sorular ise Kavramsal test 1’in 1, 2 ve 6. sorularıdır. Burcu ve Banu’nun bu sorulara verdiği yanıtlar aşağıda açıklanmıştır.
130 Burcu henüz sadece 1 radyanın tanımını bildiği için “radyanı tanımlayın” sorusunda da radyanın değil de 1 radyanın tanımını yapmıştır. 1 radyanın da matematiksel tanımını yapamamıştır. 1 radyanlık bir açının nasıl oluşturulduğunu tarif etmiştir. Ayrıca bir çemberde kaç radyan olduğu sorusuna doğru yanıt vermiştir. Ancak bu yanıtın nerden geldiğini bilmemektedir. Aynı şekilde yay uzunluğunu hesaplarken de formülü kullanmayı amaçlamıştır. Ama formülü de doğru kullanmamıştır. Burcu yay uzunluğunun birim çemberde radyana karşılık geldiğini ve radyanın tanımını bilmemektedir. Burcu Y2’ye sahiptir.
131 Banu’da radyanın tanımını değil de 1 radyanın tanımını yapmıştır. Bir çemberde kaç radyan olduğu sorusuna da derece ile radyanı karıştırarak 360 yanıtını vermiştir. Burcu’da olduğu gibi birim çemberde yay uzunluğunun radyana eşit olduğunu Banu’da bilmemektedir. Formülü kullanmaya çalışmış ama yerine birim çemberin yarıçapı olan 1’i koymuştur.
Sonuç olarak her iki öğrenci de radyanı tanımlayamama ve birim çemberde yay uzunluğunu radyan olarak görememe yanılgısına sahiptir.
Y3 ise 3. soru ve 7. sorunun b şıkkı ile tespit edilmiştir. Her iki öğrencinin de yanıtları incelendiğinde trigonometrik fonksiyonlarda yerine 3,14 koydukları ancak trigonometrik fonksiyonu hesaplamadıkları, sadece ile işlem yaptıkları görülmüştür. =180o yanılgısının oluşmasında önemli etkisi bulunan trigonometrik fonksiyonlar konusunun henüz işlenmemiş olması öğrencilerin bu yanılgıya sahip olup olmadıkları hakkında kesin yargıya varmaya engel olmaktadır. Ancak her ikisinin de yerine 3,14 koyup, trigonometrik fonksiyonu yok saymaları denklik seçiminde önemli bir ayrıntı olmuştur
Burcu trigonometrik fonksiyonlarda yerine değerini koymakta ancak trigonometrik fonksiyonu görmezden gelmektedir. Sadece ile işlem yapmaktadır.
132 Banu’nun yanıtlarının da Burcu ile benzerlik gösterdiği görülmektedir. Trigonometrik fonksiyonlarda da yerine değerini koymuş, ancak trigonometrik fonksiyonu görmezden gelerek sadece ile işlem yapmıştır. ’nin yarım çember yayı olduğunu söylemiştir. Birim çember için öğrencinin yorumu doğrudur. Ancak buradan öğrencide bu yanılgının olup olmadığı konusunda kesin bir yargıya varılamamaktadır.
Bir başka denk öğrenci çifti de Gül – Gizem ikilisidir.
Her iki öğrenci de Y1 ve Y2’nin ikisine de sahiptirler. Y3’e ise sahip olup olmadıkları belirlenmemiştir.
133 Gül’ün yanıtı incelendiğinde 30’un derece olarak verilmediği uyarısına rağmen sin30’u hesaplarken 30’u derece olarak almış ve sonucu ½ olarak bulduğu görülmektedir. Reel sayıları radyan olarak göremeyen Gül Y1’e sahiptir. Gizem’de 30 u derce olarak kabul etmiş ve sin30 değerini ½ olarak bulmuştur. Aşağıda Gizem’in 7. sorunun a şıkkına verdiği cevap verilmiştir.
Her iki öğrenci de 30’u derece olarak kabul edip sin30 değerini ½ olarak hesaplamışlardır. Y1’e sahiptirler.
Y2’nin belirlendiği sorular ise Kavramsal test 1’in 1, 2 ve 6. sorularıdır. Aşağıda Gül’ün bu sorulara verdiği yanıtlar verilmiştir.
Gül henüz sadece 1 radyanın tanımını bildiği için radyanı değil de 1 radyanı tanımlamaya çalışmıştır. 1 radyanın tanımından çok 1 radyanın nasıl elde edildiğini
134 tarif etmeye çalışmıştır. Ayrıca bir çemberde kaç radyan olduğunu hesaplarken de açı ölçü birimlerini birbirine dönüştürürken kullanılan formülün etkisinde kalmıştır. Radyanın tanımını kullanmamıştır. Birim çemberde 60o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğunu hesaplarken de formül kullanmaya çalışmış, ancak yerine yanlış değer verdiği için sonuca ulaşamamıştır. Gül radyanın tanımını yapamama ve radyanı yay uzunluğu olarak görememe yanılgısına sahiptir. Verdiği cevaplarla Gül’e denk olarak seçilen Gizem’in yanıtları da aşağıda verilmiştir:
Verdiği yanıtlar incelendiğinde Gizem’in de radyanı değil de 1 radyanı tanımladığı görülmüştür. O da 1 radyanı tarif etmeye çalışmıştır. Gül’ün yaptığı gibi bir çemberdeki radyan sayısını hesaplarken açı ölçü birimlerini birbirine dönüştürürken kullanılan formülü kullandığını belirtmiştir. 60o’lik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğunubulurken de hiç açıklama yapmadan 1 olduğu cevabını vermiş, ancak 1’i açı ölçüsü bölümüne yazmıştır. Burada da öğrencinin 1 radyanın tanımının etkisi altında kaldığı görülmektedir. Sonuç olarak her iki öğrenci de radyanın tanımın yapamam ve radyanı yay uzunluğu olarak göremem yanılgılarına sahiptirler.
Y3 ise 3. soru ve 7. sorunun b şıkkı ile tespit edilmiştir. Her iki öğrenci de sadece 3. soruya yanıt verdiği için bu yanılgıya sahip olup olmadıkları konusunda kesin bir
135 yargıya varılamamıştır. Aşağıda Gül ve Gizem’in 3. soruya verdikleri yanıtlar sırasıyla verilmiştir:
Her iki öğrenci de sayısının değerini söyleyebilmişlerdir. Ancak trigonometrik fonksiyonlar konusu henüz işlenmediği için 7. sorunun b şıkkına cevap verememişlerdir. Bu nedenle öğrencilerin bu yanılgıya sahip olup olmadıkları tespit edilememiştir.
136
Ek 5: Kavramsal Test 1
1. Açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapın.
2. Bir çemberde yaklaşık kaç radyan vardır? Bunu nasıl hesaplarsınız?
3. hakkında bildiklerinizi yazın.
4. Aşağıda ölçüleri verilmiş olan açıların ölçülerini derece cinsinden ifade edin.
a. 1 radyan b)
3 5
radyan
5. 150o kaç radyandır?
6. Birim çemberde 60 derecelik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir?
7. f :RR ve f(x) xsin x fonksiyonu veriliyor. Aşağıda verilen noktaları hesaplayınız ve koordinat düzleminde gösteriniz.
a) (30,f(30))? (Burada 30 derece olarak verilmemiştir.)
b) )) ? 2 ( , 2 ( f
8. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramı hakkında bildiklerinizi yazın.
9. cotx.tanx ifadesinin eşiti nedir?
10. 0<s(B)<90o olmak üzere ABC dik üçgeninde cos B= 13
5
ise sin B ve tan B’nin değerlerini hesaplayın.
11. Güneş ışınlarının yer ile yaptığı açı 30o iken bir ağacın gölgesinin uzunluğu 9 3 metredir. Ağacın boyu kaç metredir?
137
13. Şekilde verilmeyen açı ve kenarları bulunuz.
138
Ek 6: Kavramsal Test 2
1. Açı ölçü birimlerinden radyanın tanımını yapın.
2. Bir çemberde yaklaşık kaç radyan vardır? Bunu nasıl hesaplarsınız? 3. hakkında bildiklerinizi yazın.
4. Aşağıda ölçüleri verilmiş olan açıların ölçülerini derece cinsinden ifade edin.
a) 1 radyan b) 3 5
radyan
5. 150o kaç radyandır?
6. Birim çemberde 60 derecelik merkez açıya denk gelen yayın uzunluğu nedir? 7. f :RR ve f(x) xsinx fonksiyonu veriliyor. Aşağıda verilen noktaları hesaplayınız ve koordinat düzleminde gösteriniz.
a) (30,f(30))? (Burada 30 derece olarak verilmemiştir.)
b) )) ? 2 ( , 2 ( f
8. Yarıçapı 1.8 birim olan bir çemberde ABC yayının uzunluğu 7.1’dir. ABC yayını gören merkez açının ölçüsü kaç radyandır?
9. Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50cm, arka tekerleğinin yarıçapı 100cm’dir. Traktörün ön tekerleği tam bir dönüş yaptığında arka tekerleği kaç radyan dönmüş olur?
10. Birim çember üzerinde, uzunluğu yaklaşık olarak üç birim olan yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir?
11. cos( ) ifadesinin yaklaşık olarak değeri kaçtır? 2
139
13. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım ve değer kümelerini yazın. Fonksiyonların tanım kümesindeki elemanlar hangi açı ölçü birimindendir? Açıklayınız.
14. Hesap makinesinde derece seçiliyken cos60 0.5’e, radyan seçildiğinde cos60 yaklaşık olarak 0,952’ye eşit olmaktadır. Radyan seçili olduğunda cos60’ın -0,952’ye eşit olmasının sebebini yorumlayın.
140