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De fato, a Aritmética de Diofanto (200-2284 a.C) é outro trabalho que merece ser lembrado. É um tratado, originalmente escrito em treze livros, dos quais só foram preservados os seis primeiros. Essa obra não é uma exposição sobre as operações algébricas ou as funções algébricas, mas uma coleção de 130 problemas, dos quais não se sabe os que eram originais e os que eram emprestados de outras coleções (HEALTH, 1910). Diofanto é o pioneiro na solução das equações justamente chamadas de diofantinas. Esse tipo de equação, ao ser

aplicada pelos matemáticos modernos à análise dos números inteiros, produziu um grande desenvolvimento da teoria dos números. Em particular, Pierre de Fermat (1601-1665) foi levado a um teorema célebre quando procurou generalizar um problema que tinha lido na Arithmetica de Diofanto: dividir um quadrado dado em dois outros quadrados (SINGH, 2008).

Em função da conexão com as reflexões aqui trazidas, retoma-se, neste ponto, a obra de Euclides. A partir de uma perspectiva histórico-crítica, de acordo com Roque (2012), o tipo de organização dos Elementos de Euclides é objeto de extensas pesquisas, pois os resultados dos primeiros livros não são necessariamente os mais antigos, ou seja, a obra não é organizada de modo cronológico. Segundo a autora, acredita-se que os livros VII a IX – os livros aritméticos dos Elementos, atribuídos aos pitagóricos – sejam os mais antigos. Nesses livros, os números são tratados como segmentos de reta: uma linguagem ingênua de razões e proporções é empregada e estaria presente desde épocas muito remotas, antes da descoberta dos incomensuráveis (ROQUE, 2012). Assim, os livros VII a IX seriam os primeiros tratados organizados sobre Teoria dos Números.

É importante também destacar, como a autora indica, que, nos Elementos, o tratamento dos números (arithmos) é separado do tratamento das grandezas (mégéthos). Observa-se que tanto as grandezas quanto os números são simbolizados por segmentos de reta. Apesar disso, os números são agrupamentos de unidades que não são divisíveis; já as grandezas geométricas são divisíveis em partes da mesma natureza (uma linha é dividida em linhas; uma superfície, em superfícies, etc.). Em qualquer dos casos, a medida está presente, porém as proposições sobre medidas são demonstradas de modo diferente mesmo quando possuem enunciados semelhantes para números.

Roque (2012) continua descrevendo sobre o fato de um número menor ser uma parte de outro número maior quando pode medi-lo, ou seja, os números são considerados segmentos de reta com medida inteira. Isso significa dizer que um segmento de tamanho 2 não seria parte de um segmento de tamanho 3, mas sim de um segmento de tamanho 6. Apesar da função dos números ser relacionada à contagem, antes que sejam usados para tal, é preciso saber qual a unidade a ser considerada. No caso das grandezas, a unidade de medida deve ser também uma grandeza. Para os números, entretanto, a unidade não é número nem grandeza. Euclides define a “unidade” como aquilo que possibilita a medida, mas não é um

número. Então, segundo o exposto nos Elementos, é inconcebível que a unidade possa ser subdividida.

Aristóteles já havia exposto a mesma questão quando escreveu: “O Uno não tem outro caráter do que servir de medida a alguma multiplicidade, e o número não tem outro caráter do que o de ser uma multiplicidade medida e uma multiplicidade de medidas. É também com razão que o Uno não é considerado um número, pois a unidade de medida não é uma pluralidade de medidas” (ROQUE, 2012). Desta forma,

Vemos, assim, que o Um não é um número, pois o número pressupõe uma multiplicidade, ou seja, uma diversidade que o Um não possui, uma vez que é caracterizado por sua identidade em relação a si mesmo. As técnicas de medida que ocupam um lugar preponderante nas práticas euclidianas sobre os números eram realizadas pelo método da antifairese, razão pela qual esse procedimento, no caso dos números, é conhecido hoje como “algoritmo de Euclides” (ROQUE, 2012)

Por sua vez, Diofanto de Alexandria é considerado (não sem contestações), o pai da álgebra. Sem que se possa assegurar, ele pode ter trabalhado no Egito sob o império Romano, no terceiro século de nossa era. Também, não se pode garantir que ele fosse grego, pois muito pouco se sabe sobre sua vida. Alguns historiadores como H. Hankel conjecturam que ele fosse árabe (Roque, 2012). Sua coleção de livros chamada Aritmética é um trabalho marcante na história da Álgebra e da Teoria dos Números com a introdução das chamadas equações diofantinas. Struik (1997) afirma que a obra de Diofanto resgatou e melhorou as contribuições dadas na Babilônia e na Índia nas soluções de determinadas equações. Na obra de Diofanto se encontra pela primeira vez o uso sistemático de símbolos algébricos. Na realidade, os sinais são mais abreviações do que de fato símbolos algébricos como se considera hoje (STRUIK, 1997).

A contribuição mais conhecida de Diofanto é ter introduzido uma forma de representar o valor desconhecido em um problema, designando-o como arithmos, de onde vem o nome “aritmética”. Ele introduz símbolos, aos quais chama “designações abreviadas”, para representar os diversos tipos de quantidade que aparecem nos problemas. O método de abreviação representava a palavra usada para designar essas quantidades por sua primeira ou última letra de acordo com o alfabeto grego (ROQUE, 2012). Sob este ponto de vista, Roque (2012) considera Diofanto como um importante personagem do relato tradicional, ocupando um lugar intermediário entre Euclides e os renascentistas europeus.

Considere-se, então, a partir daqui, duas equações diofantinas em particular, a equação y2 _{+ 2 = x}3_{, conhecida como equação de Bachet-Mordel, e a equação x}n_+yn _{= z}n_{, que ficou} associada ao famoso problema conhecido como último teorema de Fermat, para discorrermos sobre alguns personagens que fazem parte da história da Teoria dos Números (SINGH, 2008). Ainda se permanece, neste aspecto, no intuito de mostrar um recorte de como se deu o desenvolvimento da teoria dos números ao longo dos séculos e como o conceito de número primo sempre foi fundamental nesse percurso.

Há um problema em particular na Arithmetica de Diofanto (HEALTH, 1910, p. 241) que produziu grandes avanços na aritmética ao longo dos séculos. O interesse de Fermat por esse problema indiretamente levou a Teoria dos Números até um dos seus momentos mais sublimes que viria a ocorrer no ano de 1995 com a demonstração do chamado último teorema de Fermat, por Andrew Wiles.

O problema ao qual se refere neste ponto tem o seguinte enunciado, adaptado para a linguagem atual: Determine um triângulo retângulo cuja área adicionada à hipotenusa seja um quadrado e o perímetro seja igual a um cubo (BROWN, 1995).

Diofanto considerou o triângulo retângulo mostrado na figura 3: Figura 3: Triângulo retângulo

Fonte: Brown, 1995 (adaptado)

Sendo a área desse triângulo a, então adicionada à hipotenusa, tem-se y2_{, satisfazendo}

a primeira condição. Para satisfazer a segunda condição, o perímetro y2 _{+ 2 dever ser igual a} um cubo, isto é, y2 _{+ 2 = x}3_.

Para resolver a equação, Diofanto usa um artifício não explicado no seu texto – e não há como saber as razões que o levaram a isso.

m

2m  1 2

m

3m

3m 1

m

4m

  m

4 0

Sem nenhuma justificava, ele afirmou que m = 4. Desse modo, tem-se a solução inteira de Diofanto para o problema com y = 5, x = 3. Apenas no século XVII, Leonhard Euler (1707-1783) provaria definitivamente, usando números complexos, que esse par de números primos é a única solução inteira positiva da equação (HEATH, 1910).

Por outro lado, Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638) foi um escritor de livros sobre enigmas e truques que formaram a base para quase todos os livros posteriores sobre recreações matemáticas. Bachet também trabalhou em teoria dos números. Ele é mais famoso por sua tradução em 1621 para o latim do livro Arithmetica de Diofanto (BROWN, 1995).

Bachet se interessou pelo problema de Diofanto supramencionado. Por esse motivo, a equação passou a ser chamada de equação de Bachet. Uma vez que 52 _{+ 2 = 3}3_{, ele pensou em} conseguir outras soluções a partir dessa. Considerou o caso mais geral y2 _{= x}3 _{+ k, onde k≠0 é} um inteiro, e apresentou uma propriedade surpreendente desta equação que ficou conhecida como Fórmula da Duplicação de Bachet.

Se (x, y) é uma solução racional para a equação y2 = x3 + k, então

4 6 3 2 2 3 8 20 8 , 4 8 x kx x kx k y y          

é uma outra solução (SOYDAN, DEMIRCI, IKIKARDES E CANGÜL, 2007).

Novamente, tem-se um fato não explicado relacionado a essa equação. Como Bachet descobriu essa fórmula? Em Randrianarisoa (2011), pode-se ver uma demonstração da fórmula da duplicação de Bachet.

Mencionou-se o trabalho de Bachet para falar de outro matemático célebre. Kleiner (2005) considera Pierre de Fermat o fundador da moderna Teoria dos Números. Fermat foi advogado, juiz e oficial do governo em Toulouse, França. Jurista e magistrado por profissão, dedicava à Matemática apenas as suas horas de lazer e, mesmo assim, foi considerado por Blaise Pascal (1623-1662) o maior matemático de seu tempo. A influência de Fermat foi limitada pela falta de interesse na publicação das suas descobertas, conhecidas principalmente pelas cartas a amigos e anotações na sua cópia da Arithmetica de Diophanto. Fermat gostava

de trocar e resolver desafios. Dedicou grande parte de seus esforços matemáticos em analisar os problemas contidos na tradução latina, feita por Bachet, da Arithmética de Diofanto (SINGH,2008).

A aritmética exerceu um grande fascínio em Fermat. Na sua edição de Diofanto, escreveu notas e comentários sobre numerosos teoremas de elegância considerável. A maioria das suas provas não foram encontradas, e é possível que algumas delas não existissem. Quem sabe algum tipo de indução por analogia e sua intuição foram o bastante para levá-lo a resultados corretos (SINGH, 2008).