Organları ve Görevleri

O trabalho de Nancy Mack deverá fornecer importantes subsídios para a presente pesquisa, na medida em que a autora se preocupa em analisar a influência do conhecimento intuitivo dos alunos na construção significativa dos procedimentos formais referentes às frações (Mack, 1990), bem como a tendência dos alunos em fazer generalizações sobre as frações baseadas nas estruturas simbólicas disponíveis para números inteiros e, reciprocamente, fazer generalizações sobre números inteiros com base nas estruturas simbólicas das frações, (Mack, 1995).

Os dois trabalhos referem-se a atividades intervencionistas aplicadas a pequenos grupos de alunos, em atividades individualizadas, com minuciosa

descrição das respostas e procedimentos apresentados pelos sujeitos. Embora apresentem grandes diferenças do ponto de vista metodológico em relação à presente pesquisa, têm em comum a busca da representação simbólica da fração a partir de situações contextuais que mobilizam, de início, conhecimentos intuitivos. Algumas das questões tratadas pela pesquisadora são reproduzidas no presente instrumento de pesquisa, e as observações do desempenho entre crianças de quinta e sexta séries4 deverão ser úteis na análise de possíveis respostas às mesmas questões por estudantes de nível de escolaridade mais elevado, objeto da presente pesquisa.

Mack (1990) aponta dois pontos importantes a serem levados em conta na construção do conhecimento matemático dos estudantes: a obtenção de situações que promovam a efetiva participação dos alunos e o relacionamento entre o seu conhecimento intuitivo e os procedimentos simbólicos.

A autora define “conhecimento intuitivo” como as respostas dadas pelo estudante a situações extraídas da vida real. Argumenta que esse conhecimento costuma ser pouco relacionado ao conhecimento dos símbolos matemáticos e cita Hiebert, que propõe que esses conhecimentos devam servir de base para a construção do conhecimento formal (Mack 1990 p. 16). Argumenta também que os estudos recentes sobre frações estão mais focados nas falsas concepções dos alunos sobre esse objeto matemático e partem do princípio de que os alunos não têm nenhum conhecimento anterior ao iniciar seu estudo e não costumam considerar esses conhecimentos intuitivos. Têm surgido evidências, porém, de que os alunos trazem para a escola um rico histórico de conhecimentos intuitivos e que, embora haja estudos que demonstrem a existência desses conhecimentos,

não existem estudos sobre os caminhos que os estudantes podem tomar para, a partir deles, dar significado aos símbolos e procedimentos formais referentes às frações.

A autora observa inicialmente que, nos problemas envolvendo partições, os alunos apresentam uma tendência a separar um todo em partes e a representar cada uma das partes como um número inteiro, e não como uma fração do todo. (Mack, 1990 p. 21)

Alguns resultados apresentados mostram que, em geral, os alunos são capazes de resolver um grande número de problemas apresentados sob a forma de situações do dia-a-dia e explicitar corretamente suas soluções, porém não conseguem resolver os mesmos problemas quando apresentados de maneira simbólica. Essa questão é ilustrada pelas respostas dos alunos à seguinte proposta de atividade: “se tivermos duas pizzas de mesmo tamanho e dividirmos a primeira em 6 partes iguais e a segunda em 8 partes iguais, qual pedaço será maior?”. Os alunos não tiveram dificuldade em responder que o pedaço da primeira pizza será maior, porém, quando, num outro momento, foi-lhes

perguntado “qual fração é maior, 6 1

ou 8 1

”, mais da metade dos alunos respondeu

8 1

, porque 8 é maior que 6.

Segundo a autora, o fato de que a maioria dos alunos não foi capaz de responder simbolicamente a uma questão que haviam acabado de responder quando proposta dentro do contexto de uma ação cotidiana, sugere que a capacidade de comparar é inicialmente desconectada do significado que os alunos dão para os símbolos fracionais (Mack, 1990 p. 21).

A questão da identificação da unidade, muito relevante para a presente pesquisa, também foi tratada por Mack (ibid p.22), que mostrou que os alunos são capazes de identificar corretamente a unidade a que se refere uma fração quando trabalhando com situações contextuais, porém têm dificuldades em identificar a unidade quando trabalham com situações simbólicas. Concluiu que os alunos tendem, numa situação simbólica ou concreta, a tratar uma coleção de unidades como se essa coleção fosse sempre a nova unidade. A autora ilustra esse fato comentando os resultados obtidos da seguinte questão proposta a seus sujeitos numa situação em que, mostrando a figura abaixo aos alunos pergunta: “quanto está sombreado?”

A resposta mais comum é 5/8. Diante da afirmação “suponha que estejamos falando de pizzas”, os alunos tendem a mudar sua resposta para 1 ¼. A autora transcreve de um de seus protocolos a seguinte afirmação de um sujeito: “Frações são partes de um todo... Elas são sempre menores que um todo.” (Mack, 1990 p.22).

Essa questão também é tratada por Escolano e Gairín (2005), que atribuem a ênfase exagerada no modelo parte-todo no início dos trabalhos escolares com frações como uma das possíveis causas dessa falsa concepção.

Uma outra questão discutida por Mack (1990) é a influência dos procedimentos padronizados, muitas vezes incorretos, na tentativa de resolver as questões simbólicas, que muitas vezes se sobrepõem aos procedimentos intuitivos e se constituem num fator dificultador da construção do conceito (p.29).

Mack sugere que seja pesquisada a viabilidade de se abordar o estudo das frações inicialmente a partir da noção de partição, estendendo-se essa concepção para outros significados antes que os alunos possam relacionar os símbolos matemáticos ao seu conhecimento intuitivo de fração(p.30).

Segundo a autora, quando esse caminho é seguido, surge nos alunos uma tendência a construírem algoritmos alternativos, porém corretos, para a solução dos problemas. Esses algoritmos muitas vezes são mais trabalhosos que os tradicionais, e os alunos tendem a substituí-los por outros mais práticos na medida em que amadurecem em seu estudo (p. 25).

A pesquisadora também analisa a influência dos procedimentos formais já disponíveis pelo aluno, relativos ao número inteiro, na construção dos procedimentos simbólicos envolvendo frações. Respostas do tipo “um pedaço dos três em que a pizza foi dividida”, em vez de “um terço da pizza”, sugerem que o aluno está utilizando suas estruturas relativas a números inteiros para resolver problemas de frações. A autora argumenta que esses conhecimentos anteriores influenciam fortemente os significados a serem construídos para as

representações simbólicas da fração (p. 431). Respostas do tipo “ 8 3

significam

três tortas inteiras repartidas em 8 partes cada uma” e “ 8 1

representa uma torta

inteira dividida em 8 partes”, reforçam a afirmação dessa influência.

Uma outra demonstração da predominância da influência das estruturas do número inteiro na construção das representações simbólicas da fração é apontada pela autora ao descrever o fato de que, quando os alunos resolvem o mesmo problema utilizando inicialmente seus conhecimentos intuitivos e depois as representações simbólicas de que dispõem, a tendência é desprezar a solução

intuitiva, geralmente correta, em favor da simbólica, geralmente incorreta (Mack, 1995 p. 432)

A título de exemplo, é descrito um protocolo em que o sujeito responde corretamente à questão colocada verbalmente de que se uma pizza for dividida em 8 partes e ele receber uma dessas partes, e uma nova pizza de mesmo tamanho também for dividida em 8 partes, e ele receber outro pedaço, ele terá

8 2

de pizza. Diante da questão simbólica 8 1 8 1₊

, porém, a resposta obtida foi 16

2 .

Ao pedir ao sujeito que comparasse as duas situações, obteve a seguinte resposta: “a primeira (contextual) está errada. Deve ser 2 dezesseis-avos, pois você tem uma pizza inteira em 8 pedaços e depois outra pizza também em 8 pedaços, então são duas pizzas e 16 pedaços ao todo”.

Como conclusões de seu trabalho, Mack propõe que, embora muitos autores reconheçam que o modelo parte-todo imponha limites à compreensão do número racional e traga dificuldades futuras ao estudo, suas observações mostram que é possível utilizar a idéia de partição para resolver muitos problemas de maneira significativa. Afirma também que suas observações reforçam as conclusões de Hiebert de que o conhecimento intuitivo pode proporcionar a base para a construção de conhecimentos matemáticos mais complexos (Mack, 1990 p.29).

Outra conclusão importante de suas pesquisas é que a abordagem do estudo das frações a partir da noção de partição e do conhecimento intuitivo permite resolver, mais cedo que na proposta curricular tradicional, problemas como a subtração com reagrupamentos (como 3 – 1/5) ou a conversão de números mistos em frações impróprias. (Mack, 1990 p. 30).