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Segundo LeSage (1999) a forma de quantificar a localização em uma matriz de pesos costuma ocorrer através de duas características da representação geográfica das unidades: a contiguidade e a distância. As matrizes de contiguidade partem do pressuposto que a posição relativa de duas localidades serve de critério para as relações como ter ou não fronteiras em comum. Já as matrizes de distância estabelecem que a relação entre duas regiões diminui com o aumento da distância.

Em vários casos, a matriz de pesos espaciais define apenas a conectividade entre as regiões, sendo elas conectadas ( = 1) ou não conectadas ( = 0). Em outros casos, esse peso é graduado por alguma grandeza associada à relação entre as regiões.

Dentre as matrizes de pesos espaciais, Chagas (2004) recorda que podem ser usados diferentes critérios e em alguns casos, essas matrizes recebem nomes específicos, especialmente as utilizadas com mais frequência como matrizes do tipo Rainha, Torre, inverso da distância e vizinhos mais próximos (com = 5, 10, etc.). Entre elas, as mais utilizadas, segundo Getis e Aldstadt (2010), são as matrizes de peso de contiguidade (Rainha ou Torre), de inverso da distância, por comprimento de fronteiras

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compartilhadas, de k vizinhos mais próximos (ou k-nearest) e o de área de influência. As principais delas são apresentadas de modo sintético seguindo a categorização de LeSage (1999) em dois grandes grupos: as baseadas em contiguidade e as baseadas em distância.

a) Matrizes de peso baseadas em contiguidade

A vantagem das matrizes de peso baseadas em contiguidade, ou fronteiras, são bastante simples em termos de formulação. Elas são oportunas quando as fronteiras comuns são uma boa medida de vizinhança e tem a vantagem de serem mais facilmente computadas que as matrizes por distância.

Contiguidade espacial

Definem como vizinhos regiões que possuem fronteiras comuns e não-vizinhos todos os demais. Quando se define vizinhos os que compartilham pelo menos um único ponto, recebem o nome de matriz de tipo Rainha (Queen) e quando são vizinhos os que possuem um segmento o nome de Torre (Rook).

Dada uma função que define aos pontos limites da unidade , a matriz tipo Rainha pode ser definida da seguinte maneira.

_(4.1) Se denota os pontos em comum das fronteiras de e , logo sempre que duas regiões possuem pelo menos mais de um ponto, ou seja, um segmento de reta em comum, ela retornará um valor positivo. Assim, define-se a matriz de peso tipo Torre como:

81 Peso de fronteiras comuns

Como visto, nas matrizes Rainha e Torre, não há diferenças de importância entre vizinhos que compartilham fronteiras maiores ou menores. No entanto, em alguns casos, pode ser relevante modelar um peso maior ou menor de acordo com o tamanho das fronteiras em comum. Esse é o intuito da matriz de pesos por fronteiras comuns. Seja o total de fronteiras com outras áreas então os pesos da matriz se definem por:

_(4.3)

b) Matrizes de peso baseadas em distância

As matrizes baseadas em distância utilizam a medida da distância entre duas localidades para definir se as mesmas são ou não vizinhas e, em alguns casos, qual é o peso dessa proximidade. Suas matrizes mais comuns são as de k mais próximos, distância radial, inverso da distância ou exponencial.

Matrizes de k mais próximos (k-nearest)

Seja a distância entre os pares de unidades espaciais e . Num grupo de localidades, dada a unidade , as demais unidades (sendo , são ordenadas de modo que . Para cada , define-se um conjunto que que contém os vizinhos mais próximos. Para cada , a matriz pode ser representada da seguinte forma:

_(4.4) Assim, a vizinhança é definida por zeros e uns. O termo assume valor 1 quando a região é um dos k vizinhos mais próximos e zero quando não.

Peso por distância radial, zona de influência ou banda

Muitas vezes a própria distância é um critério importante na influência espacial. Então é possível definir uma distância radial do centro de a partir do qual se define a quais são as regiões vizinhas. As localidades com distância inferior a são vizinhos e os

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superiores não. Dessa forma, todas unidades com distância inferior ao limite possuem vizinhança com a unidade . E a matriz tem a forma:

(4.5)

Inverso da distância ou exponencial

Nos dois casos anteriores, a distância é apenas critério para definir se uma localidade pertence ou não ao grupo de vizinhos. Em alguns casos, a distância menor pode indicar uma maior proximidade. Para estes casos, costuma-se utilizar o inverso da distância como peso da vizinhança quantificando a relação como mais forte entre regiões próximas. Os dois casos mais tradicionais são inverso da distância e inverso da distância ao quadrado ( ). Além disso, em análises com grande número de unidades espaciais pode-se definir uma distância limite , a partir do qual não se consideram mais vizinhas para evitar o grande peso computacional desta matriz.

(4.6) Outra maneira é utilizar a distância, em uma forma exponencial, como na matriz abaixo:

(4.7)

Pelas suas diferenças de formalização, as diferentes matrizes de peso espacial podem ser mais apropriadas para diferentes cenários. Para comparar as propriedades e aplicabilidade dos diferentes tipos de matrizes, pode ser útil verificar o que aponta a documentação de referência de uma empresa fornecedora de softwares do setor22. A Esri (2013) desenvolveu um material de referência que apresenta uma série de diretrizes referentes sobre a formalização e adoção de diferentes tipos de matrizes de peso espacial.

22 _{A Esri é uma empresa líder de softwares para Sistemas Geográficos de Informações (SIG) e produz o}

ArcGIS, um pacote de software que é referência no setor. O seu material de referência que inclui uma seção especial chamada “Modeling spatial relationships” que apresenta os principais conceitos de matrizes de peso e as vantagens e desvantagens da adoção de cada tipo.

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Essa documentação aponta que as matrizes de contiguidade de polígonos, como as do tipo Rainha ou Torre, costumam ser mais adequadas quando os polígonos que descrevem as áreas têm tamanhos e distribuição similares.

Já com relação as matrizes de inverso da distância, a Esri (2013) aponta essas matrizes são especialmente boas na modelagem de fenômenos com interações mais intensas em regiões próximas, mas sua formulação computacional exige significativo poder de processamento para grandes volumes de dados. Portanto, para utilizar matrizes de pesos de distância invertida para analisar regiões com grandes números de unidades espaciais é importante definir um limite (cut-off) pois esse tipo de matriz exige grande capacidade computacional23.

Por fim, a Esri (2013) sugere que utilizar matrizes de tipo k-nearest em modelo é uma boa opção quando há interesse de que haja um mínimo de vizinhos na análise, porém deve-se tomar cuidado na escolha do valor de , que não pode ser muito reduzido ou elevado e dependerá do número médio de vizinhos.

Como é possível verificar, há uma ampla gama de formas possíveis de modelar a proximidade por matrizes de peso espacial com diferentes formulações. Com as singularidades dessas matrizes em vista, diversos trabalhos buscaram avaliar o quanto um mesmo resultado empírico variava apenas pela mudança da matriz adotada. Ou seja, em que medida as inferências eram sensíveis a especificação dessas matrizes de peso espacial.

Baumont, Ertur e Le Gallo (2004) sugerem testar diferentes matrizes de peso como forma de garantir que há uma boa especificação do modelo e a robustez dos resultados. Porém, alguns trabalhos elevaram essa discussão metodológica ao seu ponto central e passaram a apontá-la como tema especialmente relevante na pesquisa espacial, como o trabalho de Kostov (2010).

Contudo, LeSage e Pace (2010) verificaram um excesso no movimento de tentar definir com exagerada precisão a matriz de pesos mais apropriada para cada modelo estimado. Segundo os autores, a proliferação de trabalhos nesse sentido ocorreu porque alguns pesquisadores partiram do pressuposto errôneo de que as inferências são especialmente

23 _{A título de ilustração da diferença de custos computacional é interessante comparar o tempo de}

processamento de dois modelos utilizados neste trabalho. O modelo original de contiguidade tipo k- nearest (k = 15) levou 2537,69 segundos. Enquanto, o mesmo modelo com matriz de distância (inverso de distâncias) levou 9075,02 segundos. A matriz de distância multiplicou em 3,5 o tempo de processamento.

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sensíveis à matriz de peso espacial escolhida. Isto é, para LeSage e Pace (2010) os resultados das estimações não mudariam apenas pela adoção de uma matriz um pouco diferente. Os autores consideram que afirmar que há uma grande sensibilidade dos modelos à matriz de peso escolhida é “um dos maiores mitos sobre os modelos de

regressão espacial”.

LeSage e Pace (2010) não sugerem que não se realizem testes entre diferentes tipos de matrizes para verificar a sua adequação, mas indicam que o esforço excessivo por fazer

um “ajuste fino” na escolha entre diferentes matrizes é uma estratégia equivocada.

Para fundamentar essa argumentação, os autores verificam dois modelos espaciais autorregressivos para um amplo conjunto de dados. Testam diferentes matrizes de pesos do tipo k-nearest e seus resultados indicaram que o modelo estimado com a matriz de pesos de 15 vizinhos mais próximos possuía os melhores resultados. Partindo desse ponto, para verificar a sensibilidade dos resultados, os autores compararam os resultados desse modelo estimando-o com onze matrizes diferentes de tipo k-nearest, a de 10 até a de 20 vizinhos mais próximos. Nesse teste, os autores mostram resultados similares para todos os modelos tanto para os efeitos diretos como para os indiretos ilustrando assim a tese dos autores que se ganha pouco em qualidade do modelo com excessivos ajustes na matriz de peso.

Dessa maneira, os autores sugerem que uma matriz de pesos espaciais que tenha a devida capacidade de modelar a proximidade geográfica é suficiente para inserir de modo satisfatório essa relação no modelo, atendendo o intuito de tratar a autocorrelação espacial.

Uma vez discutida as especificidades das matrizes de peso proximidade para as análises espaciais, o próximo tópico aprofunda nas ferramentas de análise estatísticas espaciais e nos modelos de Econometria Espacial.