Tanım

Öğrenciler, genelleme eylemlerinin ürünü olarak üzerinde çalıştıkları örüntü, objeler sınıfı ya da ilişkiye ait temel özellikleri ifade ederek tanımlama yoluna gidebilirler. İlkokul ve ortaokul öğrencilerinin objeler sınıfı üzerinde düşünerek bir tanıma ulaşmaları zor görünse de burada bahsedilen tanım, matematiksel olarak tam ve doğru bir şekilde tanım ifadesi değildir. Üzerinde çalışılan örüntü, sınıf ve ilişkilerin öğrencinin fark ettiği kadarıyla temel özelliklerinin ifade edilmesi, bu kategoride incelenmektedir.

Tabloda verilen sayılar arasındaki ilişkinin araştırıldığı soruda öğrenciler, ilk tabloda verilen sayıların arasında belirli bir fark olduğunu ifade etmişler ve bunun aritmetik dizi olduğunu belirtmişlerdir. Sonrasında verilen tablodaki sayılar arasında da ortak fark belirlemeye çalışmışlar; ancak düzensiz artıştan dolayı ortak fark yerine, ortak orandan

bahsedilebileceğini ifade etmişlerdir. Dolayısıyla son örüntünün terimleri arasında ortak oran olduğundan, bunun geometrik bir dizi olduğunu söylemişlerdir. Ali, ulaşılan bu tanımı “terimler arasındaki fark sabitse aritmetik, oran sabitse geometrik olur” şeklinde ifade etmiştir.

Tablo halinde çokgenlerin kenar, köşegen sayıları arasındaki ilişkinin araştırıldığı soruda Melike, köşegenin ne olduğunu arkadaşlarına sormuştur. Bunun üzerine Bartu “bir köşeden diğer köşeye giden” şeklinde tanımlamış, Ali ise “bir köşeden bağlı olmadığı köşeye giden doğru parçası” şeklinde daha doğru bir tanım vermiştir.

Öğrenciler, Feyza’nın eve olan uzaklığının zamana göre değişiminin verildiği tabloda uzaklık değişimi ile zamanın değişimini inceleyerek bu farkların oranının sabit olduğunu ifade etmişlerdir. Farkların oranı ifadesiyle eğim arasında benzerlik kuran öğrenciler, birim zamanda alınan yoldan kastedilenin, bir saniyede alınan yol olduğunu fark etmişlerdir. Her saniyede aynı miktarda yol alınırsa sabit hızla yürüneceğini ifade eden öğrenciler, hem eğim ile hız arasındaki ilişkiyi fark etmişler hem de hızın tanımına ulaşmışlardır; “ hız, birim zamanda alınan yoldur.’

4.2.3. Etki

Öğrenciler, genelleme eylemi sonucunda daha önceden edindiği bir genellemeyi, karşılaştığı yeni problem durumunda kullanabilmektedirler. Bu durum, iki şekilde karşımıza çıkabilmektedir; ya öğrenci önceden edindiği genellemeyi kullanarak yeni genelleme elde etmektedir ya da önceden edindiği genellemeyi yeni duruma uydurarak yeni bir genelleme elde etmektedir.

4.2.3.1. Önsel fikirlerin etkisi

Öğrencinin daha önceden oluşturduğu bilgisinin yeni problem durumunda kullanılarak bir genelleme oluşturulmasını ifade etmektedir. Araştırmacı, öğrencinin matematik geçmişi hakkında çok fikir sahibi değilse, önsel fikirlerin teşhisi zor olabilmektedir.

Eğimin ne olduğunun tartışıldığı derste öğrenciler, eğimin çeşitli anlamlarından bahsetmişlerdir. Oğuz ise eğimi “tanjant 30 veya 60” olduğunu ifade etmiştir. Neden böyle söylediği sorulduğunda ise sorularda bu şekilde yaptıklarını belirtmiştir. Oğuz, daha

önceden edindiği tanjant 30 ya da tanjant 60 değerinin eğimi verdiği bilgisini, burada kullanmıştır. Dolayısıyla önsel fikirlerin etkisi ile ifade etmiştir.

Yine eğim konusunda çalışırken “doğru sağa yatık olunca mı sola yatık olunca mı eğimi pozitif olur?” konusunda öğrencilerin kafası karışmıştır. Bazı öğrenciler, doğru sola yatık olunca eğiminin pozitif olacağını, bazı öğrenciler ise doğru sağa yatık olunca eğiminin pozitif olacağını belirtmişlerdir. Doğruların eğimi ile ilgili olan ilk soruda bazı öğrenciler, önsel fikirlerinin etkisiyle “doğru sağa yatık olduğundan eğimi negatiftir” cevabını vermişlerdir.

Çokgenlerin sayısı ile çevre uzunluğu arasındaki ilişkinin grafik halinde gösterilmesinden sonra öğrenciler, üçgen, dörtgen ve beşgenden hangisine ait doğrunun eğiminin daha büyük olduğunu tartışmışlardır. Melike ve Oğuz, doğruların x ekseniyle yaptıkları açıdan yola çıkarak karar vermişlerdir. Buna göre beşgene ait doğrunun x ekseniyle yaptığı açı daha büyük olduğundan, eğiminin daha küçük olması gerektiğini söylemişlerdir. Devam ettirerek genişletmişler ve üçgene ait doğrunun x ekseniyle yaptığı açı daha küçük olduğundan da eğiminin daha büyük olması gerektiğini belirtmişlerdir. Bunun bir kural olup olmadığı sorulduğunda ise “açısı büyük olanın eğimi küçük olur.” şeklinde ifade etmişlerdir. Önceden edindikleri bu bilginin etkisiyle, bu soruda da yanlış bir genellemeye ulaşmışlardır.

4.2.3.2. Modifiye Edilmiş Fikir ya da Stratejiler

Öğrenciler, bazı genellemelerinin sonucunda daha önceden edindikleri önsel fikirlerini, karşılaşılan problem durumuna uyarlayarak düzenlemektedirler. Böylece, önsel fikirlerini modifiye etmiş olurlar.

Oğuz’un, tanjant 30 ya da tanjant 60 değerinin eğimi verdiği önsel bilgisiyle sorulan soruya cevap verdiğinden az önce bahsedilmişti. Tartışmanın geri kalan kısmında, eğimin çeşitli yorumlarından bahsedilmiş ve açıklamalar yapılmıştır. Analitik geometri boyutunda ele alındığında tahtaya bir doğru çizilmiş ve doğrunun eğiminin neresi olduğu sorulmuştur. Öğrenciler eğimi, bilgilerini kullanarak “karşı bölü komşu” olarak ifade etmişlerdir. Bunun üzerine doğrunun, x ekseniyle yaptığı açı işaret edilerek “karşı bölü komşu” bilgisinin bu açı ile ilişkilendirilerek düşünmeleri istenmiş ve sonunda açının tanjant değerinin, doğrunun eğimini verdiği bilgisine ulaşmışlardır. Dolayısıyla önsel fikirlerinin etkisiyle ifade ettikleri eğim bilgisini düzenleyerek yeni bilgilerini oluşturmuşlardır.

Yukarıda bahsedildiği gibi bazı öğrenciler, doğru sağa yatık olduğunda eğiminin negatif olduğunu belirtmişlerdir. Bunun üzerine eğimin, değişimlerin oranı olduğundan yola çıkarak değişimin pozitif yönde mi negatif yönde mi olduğunun incelenmesi istenmiştir. Öğrenciler, doğrunun x ve y ekseni üzerindeki hareketinin pozitif yönlü olduğunu ifade etmişlerdir. Dolayısıyla değişimin de pozitif yönlü olmasından dolayı doğru sağa yatıksa eğiminin pozitif olacağını belirtmişlerdir. Böylece, önsel fikirlerinin etkisiyle yanlış cevaplarını düzenleyerek doğrunun eğiminin pozitif olduğunu belirtmişlerdir.

Çokgenlerin sayısı ile çevre uzunluğu arasındaki ilişkinin grafik halinde gösterilmesi sorusunda öğrenciler, önsel fikirlerin etkisiyle “x ekseniyle yaptığı açı büyük olanın eğimi küçük olur.” bilgisiyle ilişkilendirerek beşgene ait doğrunun yaptığı açı büyük olduğundan eğiminin küçük olacağını belirtmişlerdir. Eğimin “y eksenindeki değişimin x eksenindeki değişime oranı” olması bilgisinden yola çıkarak üç şeklin çevre uzunlukları ele alınmıştır. Böylece paydalar sabit alındığından, payı daha çok olan beşgenin eğiminin de daha çok olduğu bilgisine ulaşılmıştır. Bunun durumu Elif “…hepsinde bölü 3’ler aynı oluyor. O zaman y’si daha çok olanın eğimi daha fazladır…” şeklinde genellemiştir. Böylece ‘yaptığı açı büyükse, eğimi küçük olur’ bilgisi modifiye edilmiştir.