Öğrencilerin genelleme eylemleri sonucunda ortaya koydukları ürünler, yansıma genellemeleri olarak kategorize edilmiştir. Buna göre öğrenciler, oluşturdukları genellemelerini belirleme/açıklama, tanım olarak ifade etmekte ve bazı ifadelerini de önceden sahip oldukları deneyimlere göre belirlemektedirler. Aşağıdaki şekil Ellis’in (2004) çalışmasında belirlenen ve bu çalışmada da öğrencilerin genelleme süreci sonucunda ortaya koydukları anlama yollarını göstermektedir.
Şekil 41. Öğrencilerin genelleme süreci sonucunda ortaya koydukları anlama yolları
Öğrenciler, genelleme süreci sonunda devam eden bir fenomen açıklayabilirler, durumların benzerliklerini açıklayabilirler ya da genel bir prensip ortaya koyabilirler. İki ya da daha çok durum arasında benzer bir özellik ifade edebilirler, obje ya da gösterimlerin, durumların benzerliğini ifade edebilirler. Uygulanan öğretim deneyinde hemen hemen her görev genellenen ürünün sözel, cebirsel, tablo ya da grafikten en az birinin gösterimini içerdiğinden, bu durum benzer obje ya da gösterimin ifadesi olarak değerlendirilmiştir. Çünkü aynı durumun farklı yollarla temsili söz konusudur. Öğrenciler, genelleme ürünü
olarak ilişkiler arasında genel bir kural ifade edebilirler, ilişkiler arasındaki örüntüyü fark ederek genel örüntü ifadesi ortaya koyabilirler, çözüme dair genel strateji/prosedür ortaya koyabilirler. Genel prensip olarak matematiksel bir kural da belirleyebilir ve ifade edebilirler. Genelleme ürünü olarak öğrenciler, objeler sınıfı da tanımlayabilirler. Bunlar matematiksel olarak tam ve doğru global kurallar ya da tanımlar olmayabilirler. Tanımlanan, öğrencinin gözünden objeler sınıfıdır. Öğrenci, daha önceki deneyimlerinin etkisiyle bir genelleme ürünü de ortaya koymuş olabilir. Eğer bu yanlışsa, önsel fikirlerin etkisiyle ortaya konulan ürün değiştirilir ve düzeltilerek modifiye edilir. Bunun sonucunda elde edilen ürün modifiye edilmiş önsel fikirdir.
Grafikler, değişkenler arasındaki ilişkileri açıklamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Soyut ve karmaşık bilgileri görselleştirerek daha basit bir şekilde sunduğu için cebirde, geometride, istatistik gibi alanlarda sıklıkla kullanılmaktadır. Grafiklerin etkin kullanımının öğrencilerin kavramsal öğrenmelerini artırdığı, uzamsal düşünebilme ve problem çözme yeteneklerinin gelişimine katkı sağladığı da bilinmektedir (Bayazıt, 2011). Hughes Hallett (1991) matematiksel kavramları öğretirken analitik, sayısal, görsel gösterimlerin birlikte kullanılması gerektiğini belirtmiş ve bunu “3 kuralı” olarak ifade etmiştir. Buna göre konular, birbiriyle ilişkili olarak grafiksel, numerik ve analitik olarak desteklenerek öğretilmelidir (Hughes Hallett’den aktaran Tall, 1997). Alan yazındaki birçok çalışma, kavramların öğretiminde çoklu temsillerin önemine ve birbirleriyle ilişkilendirilerek öğretiminin gerektiğine vurgu yapmaktadır (Akkoç, 2006; Akkoç & Tall, 2002; Gagatsis, Christou & Elia, 2004; Mousolides & Gagatsis, 2004; Tall, 1997; Yamada, 2000). Matematiksel kavramların içselleştirilip yorumlanmasında, kavramların farklı temsillerle gösterilmesi ve bu temsiller arasındaki ilişkinin anlaşılması oldukça önemli kazanmaktadır (NCTM, 2000).
Öğrencilerin grafikler konusunda yaşadıkları zorluklar, grafik okuma ve yorumlama, grafik çizme, grafiklerle diğer gösterimler arasında ilişki kuramama ve geçişleri yapamama olarak kategorize edilebilir (Bayazıt, 2011; Knuth, 2000). Bu çalışmada öğrencilerin, grafikler ile diğer gösterimler arasında ilişki kuramadıkları ve özellikle grafiği verilen bir doğrunun cebirsel forma dönüştürülmesinde sorunlar yaşadıkları gözlemlenmiştir. Benzer şekilde alan yazında öğrencilerin, tablo ile verilen ya da cebirsel olarak verilen fonksiyon grafiklerini çizmede değil de grafiği verilen fonksiyonun cebirsel olarak elde etmede sıkıntı yaşadıkları belirlenmiştir (Even, 1998; Kieran, 1992; Markovits, Eylon & Bruckleimer, 1986; Miller, 2000). Matematiksel kavramların, ‘3 kuralına’ uygun şekilde
gösterimler arasında ilişkilendirmelerin yapılarak öğretilmesi, grafik çizme ve yorumlamada yaşanan öğrenci zorluklarını büyük oranda gidereceği düşünülmektedir. Eğim konusunun öğretilmesi, cebir konuları içinde önemli konulardan biridir (Cheng, 2010). Çünkü iki değişkenin birbirlerine göre değişimi arasındaki ilişkinin incelenmesi, cebirsel düşünmenin gelişimi için önemli olmakla birlikte, fonksiyonel düşünmenin gelişimi için de temel oluşturmaktadır. Öğrencilerin eğimi anlamaları, lokal anlama ve global anlama olarak sınıflandırılmaktadır. Buna göre lokal seviyede eğim bilgisi, bir doğru üzerindeki herhangi bir parçanın eğimi üzerinde çalışmayı gerektirirken; global seviyede eğim bilgisi, iki değişken arasındaki değişimin oranını fonksiyonel bir ilişki olarak görmeyi gerektirmektedir (Walter & Gerson, 2007). Dolayısıyla lokal seviyede bir anlama, işlemsel bir anlamayı işaret ederken; global seviyede bir anlama ise kavramsal bir anlamayı işaret etmektedir.
Bu çalışmada öğrencilerin eğim konusundaki kavrayışları, eğimin cebirsel, geometrik, fiziksel, trigonometrik, oransal boyutları üzerinde yoğunlaşmaktadır. Benzer şekilde alan yazında da öğrencilerin eğim konusundaki kavrayışları, eğimin geometrik oran boyutu (doğru üzerinde (x1,y1) ve (x2,y2) noktaları verildiğinde eğiminin (
şeklinde gösterilmesi), cebirsel oran boyutu (örneğin y=mx+n şeklindeki bir eşitliğindeki m parametresi), fiziksel özellik (örneğin kayak pistlerinin dikliği), fonksiyonel özellik (örneğin iki değişkenin birbirine göre değişimi), parametrik katsayı, trigonometrik kavram (örneğin bir doğrunun x ekseniyle yaptığı açının tanjantının eğimi vermesi), gerçek yaşam gösterimi (merdivenin eğimi gibi), eğimin düzlüğü boyutları hakkında olduğu rapor edilmektedir (Stanton & Moore-Russo, 2012; Stump, 1999, 2001).
Öğrencilerin, eğimin “dikey bölü yatay” olarak verilen tanımının (
formülü ile gösterilmesine alışık olduklarından, orijinden geçmeyen herhangi bir doğrunun eğiminin, doğrunun üzerinde verilen bir A(x,y) noktasının eğimine eşit olarak düşünüp eğimi y olarak ifade ettikleri görülmüştür. Buradaki iki zorluktan bahsedilebilir. İlki, öğrencilerin eğimi ‘dikey bölü yatay’ olarak kısıtlı bir anlama geliştirmeleridir. İkincisi ise eğimin kavramsal boyutunu bilmediklerinden ya da dikkate almadıklarından, bir noktanın da eğiminin olabileceğini kabul ederek y oranının, noktanın eğimine eşit olduğunu kabul etmeleridir. Oysa öğrencilerin, eğimin iki değişken arasındaki değişime yönelik kavramsal bir anlayış geliştirmeleri gerekmektedir. Böyle yapıldığı takdirde öğrenci, eğimin kavramsal boyutu hakkında muhakeme edilebilir ve birbirleriyle ilişkili olarak değişen iki değişken arasındaki ilişki üzerine bir anlayış geliştirebilir.
Matematik, kendine özgü kuralları olan bir dildir. Dolayısıyla bir dil gibi öğretilmesi gerekmektedir (Aiken, 1972). Hickerson (1959, s. 243-244) aritmetik ve dil arasındaki benzerliklerden yola çıkarak, matematik dilinin öğretilmesi için bazı aşamaların öğretilmesi gerektiğini önermiştir; i) problem durumunu çoklu algılama, ii)problem durumundaki nicel ilişkileri ifade etmek için sözel dilin kazanılması, iii) sözel olarak ifade edilenlerin aritmetik sembollerle ifade edilmesi, iv)yazılı ve sözel olarak yapılan ifadelerin anlamlandırılması, v) bunları öğrendikten sonra sayıların, sayı kombinasyonlarının, algoritmaların yazımı, vi) hatırlayarak kuralları uygulama yoluyla değil de işlemlerin çıkarımlarla yürütülmesi, vii) kuralların, özelliklerin, genellemelerin matematiksel akıl yürütme yollarıyla öğretilmesi, viii) gerçek yaşam uygulamaları, sözel ve yazılı olarak ifade edilen sembollerin ve aritmetiğin doğasına yönelik bilgilerin birbirleriyle ilişkilendirilmesi. Günlük konuşmalarımızda bile aynı sözcüğe farklı anlamlar yüklememiz, bizim konuşurken anlatmaya çalıştığımız ile karşı tarafın çıkardığı anlamın farklı olması, çok sık rastlanan bir durumdur. Hal böyleyken kendi kelime haznesi, sembolleri, söz dizimi, kuralları olan matematiğin bir de soyut olan boyutunu düşündüğümüzde, bu dilin anlaşılmasında çeşitli iletişim sorunları olması kaçınılmazdır. Matematikte kullanılan en basit kavramlar ya da terimler bile öğrenciye yabancı olabilir, söylemek istediğimizle anlaşılan çok farklı olabilir. Öğrencinin karşılaştığı pek çok durum yeterince açık olmadığından öğrenciye ‘uzaylı’ gibi gelmektedir (Harel, 2007, s. 12). Burada bahsedilen; öğrencinin karşılaştığı problem durumu, sınıfta kullanılan dil, terimler, kavramlar olabilir. Öğretmen ve öğrenci arasında iletişim tam olarak gerçekleşemediğinden öğrenci, söyleneni anlamaz ve anlatılanı öğrenmeye istekli olmaz. Öğretmenler ve kitaplar tarafından kullanılan “doğru sağa yatıksa eğimi pozitiftir, sola yatıksa eğimi negatiftir” kuralında, matematiksel bile olmayan günlük kullanım diline ait ‘sağa yatık, sola yatık’ ifadelerinde, öğretmenin söylemek istediği ile Ezgi’nin anladığının farklı olduğu görülmüştür. Dolayısıyla öğretmenlerin matematiksel olan ve matematiksel olmayan sözcükleri doğru şekilde kullanmaları, matematiksel iletişim çatışmalarının önlenmesi açısından oldukça önemlidir.