2.6. Genelleme
2.6.3. Genellemenin Düşünme Yolları
Genelleme sürecinin düşünme yolları, genelleme yaparken öğrencinin zihninde olup biten bilişsel sürecin karakteristiği olarak tanımlanabilir. Alan yazında yapılan çalışmalar incelendiğinde genelleme stratejilerinin yinelemeli düşünme, belirgin düşünme, görsel düşünme, sayısal düşünme, sayısal ve görsel düşünmenin birlikte kullanıldığı pragmatik düşünme olarak kategorize edilebileceği görülebilir (Lannin, 2004, 2005; Becker & Rivera, 2005).
2.6.3.1.Yinelemeli düşünme
Örüntü genelleme problemlerinde yaygın olarak tercih edilen düşünme yolu yinelemeli düşünmedir. Öğrenciler örüntüyü fark ettiklerinde öncelikle yinelemeli düşünmeye başlamaktadırlar. Bir dizideki önceki terimle sonraki terim arasındaki matematiksel ilişkinin araştırılması yinelemeli düşünme olarak tanımlanmaktadır (Lannin, 2004). Daha genel olarak bir dizinin sıralı terimleri arasındaki ortak farkın, dizinin tüm terimleri için geçerli olup olmadığının araştırıldığı bir düşünme şeklidir. Alan yazın incelendiğinde, yinelemeli düşünme içinde incelenen stratejilerin kullanıldığı çalışmalara rastlanılmaktadır (Barbosa, 2011; Lannin, 2003; Orton & Orton, 1999; Stacey, 1989; Tanışlı & Yavuzsoy Köse, 2011; Zazkis & Lildejahl, 2002;). Sayma ve yinelemeli genelleme stratejileri, yinelemeli düşünme içinde incelenebilir. Stacey (1989) öğrencilere sorduğu bir örüntü sorusunda, öğrenciler kuralı bulurken bir şekilden sonraki şeklin bulunması olan sayma stratejisini kullanmışlar ve bunu “her şekilde ışık sayısı 4 artmış” olarak ifade etmişlerdir. Yine aynı çalışmada öğrenciler, başka bir soruda terimler arası farkı bulmuşlar ve bu ortak farkın, tüm terimler için ortak olmasından yola çıkarak çözüme ulaşmışlardır. Tanışlı ve Özdaş (2009) ise yaptıkları çalışmada öğrencilerin, verilen örüntüyü yakın ve uzak bir adıma devam ettirmede kullandıkları stratejileri bir önceki şekilden bir sonraki şekli elde etme, farklılığı arama, terimler arası bağıntı arama stratejileri olarak belirlemişlerdir.
2.6.3.2.Belirgin düşünme
Yinelemeli düşünme, her ne kadar bir örüntü kuralını bulurken öncelikle kullandığımız düşünme şekli olsa da aynı işlemi devamlı yapmak yetersiz kalmaktadır. Dolayısıyla belirgin düşünmenin yinelemeli düşünmeden daha çok değer gördüğü söylenebilir. Belirgin düşünme, bağımsız değişkenin verilen değerine karşın bağımlı değişkenin değerini hesaplamayı içermektedir. Genel olarak okulda verilen cebir dersleri, formül bulmaya yönelik problemler içermektedir. Ancak öğrenciler, formül bulacak matematik bilgisine sahip olmayabilirler. Dolayısıyla bir kural bulmada belirgin ve yinelemeli düşünme iç içe geçmiş olarak devam etmektedir (Lannin, 2004, 2005). Değişkenler arasındaki ilişkinin araştırıldığı bütüne genişletme, kuralın neden öyle çalıştığı bilgisine sahip olunmadan herhangi bir kuralın tahmin edildiği tahmin ve kontrol, verilen problem durumundan çıkarılan ilişkileri temel alarak bir kuralın oluşturulduğu bağlamsal stratejiler, sabit bir değişim oranının çarpan olarak alınıp terimlere eklenip çıkarılması ile bağımlı değişkenin bulunduğu stratejiler belirgin düşünme içinde incelenmektedir (Barbosa, 2011; Lannin, 2003, 2005). Tanışlı ve Özdaş (2009) da yaptıkları çalışmada örüntüyü yakın adıma devam ettiren öğrencilerin belirgin stratejiler adı altında şeklin yapısına bağlı fonksiyonel bir ilişki kullanma, fonksiyonel bir ilişki kullanma; sonlu adıma devam ettiren öğrencilerin ise modelleme yapma ve fonksiyonel bir ilişki kullanma stratejilerini kullandıklarını belirlemişlerdir.
2.6.3.3.Görsel düşünme
Görsel düşünme, şekilleri görmese bile diziyi tamamlayacak şekilde kelimelerle ifade etme olarak tanımlanmaktadır. Görsel düşünme, genelde geometrik olarak verilen artan örüntülerle işlem yaparken kullanılmaktadır (Friel, Rachlin & Doyle’den aktaran Friel, Markworth, 2009). Görsel olarak düşünen öğrenciler, şeklin yapısal özelliğine odaklanmaktadırlar. Presmeg’in de (1986) ifade ettiği gibi bu öğrenciler, çözümlerinde görsel imgeler kullanmaktadırlar (Becker & Rivera 2005, 2006; Presmeg’den aktaran Garcia-Cruz & Martinon, 1997). Şeklin yapısal özelliğinin dikkate alınmasını gerektiren tarz sorularda, odak çabucak ‘kaç tane’ sorusuna kayabilir.
Friel ve Markworth (2009) çalışmalarında öğrencilere, aşağıdaki gibi bir örüntü vermişler ve bu örüntünün yakın ve uzak adımını sormuşlardır. Örneğin; 43. adımdaki gülen yüz sayısı istendiğinde, öğrenciler her üç kolda 43 gülen yüz olduğunu ve kolların birleşimi
olan yerde fazladan bir gülen yüz daha olduğunu ifade etmişlerdir. Bu çalışmada olduğu gibi görsel olarak düşünen öğrenciler, verilen şekillerdeki sabit ilişkiden yola çıkarak şekil ile adım sayısı arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalışmışlardır (Becker & Rivera, 2006).
Şekil 3. Friel ve Markworth’ un (2009) çalışmalarında öğrencilere sordukları soru
Genelleme yaparken görsel olarak düşünen öğrencilere göre değişkenler, bir örüntüyü oluşturan terimlerin sırasını ifade etmektedirler (Becker & Rivera, 2005). Rivera ve Becker (2007) görsel düşünme başlığı altında yapılan genelleme stratejilerini, yapıcı genelleme ve yapıyı çözücü genelleme olarak ikiye ayırmışlardır. Yapıcı genelleme, kapalı formülü y=mx+b şeklinde olan, şeklin kenarında ya da köşesinde olanları dikkate almak için çaba harcamaya gerek kalmadan şeklin özelliğinden kolayca çıkarılabilen genellemedir. Yapıyı çözücü genelleme ise daha karmaşık olup geçerliliğini sağlamak için şekilsel ipuçlarının örtüşen özelliklerini tanımayı gerektirmektedir. Yapıcı genellemede kural, verilen şekli oluşturan bileşenlerden kolayca elde edilmektedir. Yapıyı çözücü genellemede ise şekli oluşturan ve örtüşen parçaların belirlenmesi, kural bulunurken her bileşenin sayılıp, örtüşenlerin çıkarılması söz konusudur. Chua ve Hoyles (2009) bu sınıflandırmaya bir kategori daha eklemişler ve bunu “yeniden oluşturma stratejisi (reconstructive)” olarak belirlemişlerdir. Bu stratejide öğrencilerin genelleme yaparken verilen şeklin daha iyi bilinen bileşenlerine ayrıldığı ve bu bileşenlerine ayrılarak yeni oluşan şekilden bir kuralı elde ettiklerini belirlemişlerdir.
2.6.3.4.Sayısal düşünme
Becker ve Rivera (2006) genelleme sürecinde sayısal yaklaşımı tercih edenlerin kural bulurken sayısal işlemleri kullandıklarını belirtmişlerdir. Sayısal yaklaşım, verilen şekil örüntüsünün sayı örüntüsüne dönüştürülerek bu sayı örüntüsünün kural belirlemede kullanılması olarak tanımlanabilir (Becker & Rivera, 2005; Tanışlı & Yavuzsoy Köse,
2011). Bezuszka ve Kenney (2008) sayı örüntülerinin çözümlerini bulmada üç strateji belirlemişlerdir. Bunlar, i) verilen bir sayı dizisindeki terimlerin, kuralı bilinen başka bir diziyle benzer terimlerinin karşılaştırılması; ii) sayı dizisindeki her terimin kendinden önce gelen terimin yerine konması; iii) farklar metodu yardımıyla bir formül bulma şeklindedir (Bezuszka & Kenney’den aktaran Chua & Hoyles, 2011).
2.6.3.5.Pragmatik düşünme
Pragmatik düşünme görsel ve sayısal düşünmenin birlikte kullanılmasıdır; sayısal ve görsel yaklaşımın ‘hibritlenmiş’ halidir (Kirwan, 2015, s. 29). Pragmatik olarak düşünen öğrenciler hem görsel hem sayısal düşünebilen öğrencilerdir (Becker & Rivera 2006; Tanışlı & Özdaş, 2009). Dolayısıyla verilen bir örüntünün kuralını bulurken hem görsel stratejilerden hem de sayısal stratejilerden yararlanmaktadırlar.
İlgili alan yazın incelendiğinde, öğrencilerin genelleme yaparken örneğin; sayarak örüntü adımını bulma, örüntüyü yakın adıma devam ettirme, fonksiyonel bir ilişki kullanma gibi eylemleri, öğrencilerin genelleme yaparken kullandıkları stratejiler olarak ele alınmaktadır. Bu stratejileri, bu çalışmanın doğasına uygun hale getirme gereğinden dolayı genelleme eyleminin düşünme yolları olarak sınıflama ihtiyacı doğmuştur. Dolayısıyla alan yazında ortaya konan genelleme stratejileri yinelemeli düşünme, belirgin düşünme, görsel düşünme, sayısal düşünme ve pragmatik düşünme altında ele alınmıştır. Aslında strateji dediğimiz şey de zihinsel eylemlerimizin bilişsel özelliğidir. Ellis (2004) çalışmasında genellemeyi, süreç (genelleme eylemleri) ve ürün (yansıma genellemeleri) olarak ele almış ve genelleme taksonomisini ortaya koymuştur. Genelleme taksonomisi oluşturulurken, Lobato’nun (2003) öğrenen odaklı transfer (actor-oriented transfer) yaklaşımı temele alınmıştır. Lobato (2003) öğrencinin karşılaştığı problemler arasında kurduğu kendi benzerliklerini oluşturma sürecini, öğrenen perspektifinden incelemiştir. Böylece alan yazında geçen transfer çalışmalarını, araştırmacı perspektifinden öğrenen perspektifine yükselterek, transfer çalışmalarına yeni bir boyut eklemiştir. Öğrenen odaklı transfer, bireyin karşılaştığı yeni durumu, daha önceden zihninde olan hangi yapılarıyla nasıl ilişkilendirdiğine dair önemli ipuçları vermektedir (Lobato, 2003). Alan yazın incelendiğinde, genelleme süreci ile transfer sürecinin birbirine benzediği görülebilir. Genelleme tanımları incelendiğinde öne çıkan özellikler olan kişinin muhakemesini genişletmesi ve kural geliştirmesi süreçleri ile öğrenen odaklı transferde genellemenin ve öğrenmenin oluşma süreçleri birbirine benzemektedir. Ayrıca genellemede yapılan
durumlar arasındaki benzerliği ifade etme ile öğrenen odaklı transferde kişinin öğrenmeyi gerçekleştirirken mevcut olan hangi bilgisiyle benzerlik ilişkisi kurduğunun araştırılması, birbirine benzeyen eylemlerdir (Ellis, 2007). Bununla birlikte yukarıda açıklanan genelleme stratejileri daha çok araştırmacı odaklı transfer yaklaşımı ile açıklanabilir. Çünkü bahsi geçen bu stratejiler ile öğrencinin daha önce karşılaştığı hangi durumla, problemle benzerlik ilişkisi kurduğu bilgisi elde edilemez. Örneğin; Stacey (1989) öğrencilere sorduğu bir örüntü sorusunda öğrenciler kuralı bulurken bir şekilden sonraki şeklin bulunması olan sayma stratejisini kullanmışlar ve bunu “her şekilde ışık sayısı 4 artmış” olarak ifade etmişlerdir. Ancak sayma stratejisi, öğrencinin zihnindeki hangi bilgisiyle benzerlik kurduğu hakkında bilgi vermemektedir. Öğrenen odaklı transfer yaklaşımını bu şekilde açıkladıktan sonra, bu yaklaşım temele alınarak geliştirilen genelleme taksonomisi, süreç olarak genelleme eylemleri ve ürün olarak yansıma genellemeleri ile ilgili açıklamalara geçilebilir.