Cebirin Yapısı İle İlgili Öğrenci Zorlukları

Cebir deyince, insanların aklına bir dizi semboller yığını gelmektedir. Bu semboller, aslında tam olarak cebir demek değildir. Zaman içerisinde cebirin ifade ettiği anlam da genişleyerek daha soyut ve sembolik bir hal almıştır (Mason, 1996). Bu da öğrencilerin, cebirin kuralcı ve soyut yapısında zorlanmalarına neden olmaktadır (Booker, 2009). Yapılan çalışmalara göre öğrencilerin cebirde yaşadıkları zorluklardan biri işaretlerin anlamı ve cebirsel dilin sentaksı (söz dizimi kuralları) ile ilgilidir. ‘x’ ve ‘n’ gibi basit işaretlerin ve ‘2+5’ ya da ‘x+17’ gibi bileşik işaretlerin temsil ettikleri objelerin yerine nasıl geçtiğinin anlaşılması ve bu işaretler üzerinden gerçekleştirilen işlemlerin anlaşılması konusunda sorunlar yaşanmaktadır (Radford & Puig, 2007, s. 146). Benzer şekilde Arzarello vd. (1994) çalışmalarında öğrencilerin cebirin semantik yönünde yani cebirsel sembollerin anlamını kavramakta zorluklar yaşadıklarını ifade etmektedirler. Cebirsel gösterimlerin kullanımındaki keskin adım, 1600’lü yıllarda Vieta’nın çalışmalarında belirli olmayan büyüklükler ve cebirsel ifadelerdeki değişkenler için harfleri kullanmasıyla başlamıştır. Harflerin önce keyfi sayılar için, daha sonra fonksiyonlar için kullanıldığı görülmektedir. Günümüzde ise farklı alfabelerden alınan harfler çeşitli matematiksel objeler için- kümeler, ilişkiler, uzaylar vb- kullanılmaktadır (Freudenthal, 2002). Clement (1982) öğrencilerin cebirsel denklemlerin kuralını bulmada yaşadıkları sıkıntıların başlıca sebeplerinin sözdizimsel ve semantik ile ilgili sorunlar olarak belirlemiştir.

Cebirsel bir ifadenin sembolik boyutu semantik, sembollerin diziliş sırası da sentaktik (sözdizimsel) olarak ele alınabildiğine göre, cebirin bir dil olduğu kabul edilmektedir. Günlük hayatta insanlarla ilişki kurabilmek için, anlaşabilmek için dil kullanılmaktadır. Matematikte insanların iletişim aracı ise cebirdir (Freudenthal, 2002). Vygotsky ’ye (1986) göre düşüncenin ve dilin kökenleri farklı olsa da birbirinden bağımsız olarak görülmemelidir. Dolayısıyla cebirsel düşünme ve dil, aynı sürecin birbirini bütünleyen iki boyutudur. Kelimelerin anlamı, dil bilimin ve zihinsel fenomenlerin kelimelere yüklediği anlama göre zaman içinde gelişim göstermiştir (Arzarello, Bazzini & Chiappini, 1995; Vygotsky, 1986). O halde cebirin matematiğin dili olmasından yola çıkarak, cebirin tarih içindeki gelişiminden bahsedildiği görülmektedir. Cebir günümüze gelene kadar retorik, senkoplu, sembolik cebir dönemlerinden geçmiştir. Her dönemde cebirin yapısının farklı olduğu bilinmektedir. Piaget’ ye göre kavramların anlamlandırılması, bireyin muhakemesi sonucunda belirli aşamalarda gerçekleşen gelişimsel bir süreçtir (DeVries, 2000). Bir de zihinsel fenomenlerin, kelimelere yüklediği anlamın zaman içindeki değişiminden

bahsedilmektedir. Bu da bireyin zihinsel hazırbulunuşluğunun, cebiri ve cebirin içerisindeki yapıların anlamlandırılmasında önemli olması şeklinde yorumlanmaktadır. Örneğin; bilinmeyen bir sayıyı bulmak için ilkokulda kutucuk kullanılırken, ortaokula gelindiğinde bilinmeyen yerine harfler kullanılmaktadır. x, y gibi harflerin bilinmeyen değeri göstermesinin anlaşılması, zihinsel bir olgunluk gerektirmektedir. Dolayısıyla ilkokuldaki öğrencinin, harfleri anlamlandırmaları beklenmemelidir.

Cebirle ilgili yapılan ilk çalışmadan soyut cebirin geldiği şu nokta binlerce yılı almıştır. Dolayısıyla öğrencilerin cebirde karşılaştıkları zorluklar bize çok şaşırtıcı gelmemelidir. Öğrenciler okuldaki cebir derslerinde, cebirin tarihi boyunca karşılaşılan problemler ve çözümleri hakkında çalışmaktadırlar. Matematikçilerin, herhangi bir probleme durmadan çalışmalarını sağlayan zihinsel olgunlukları, öğrencilerden beklenmemelidir. Dolayısıyla günümüzde öğrencilerin sembolleri anlamadan ve amacına uygun olmaksızın rastgele kullandıkları söylenebilir (Arcavi, 1995).

2.3.2. Öğrencilerin Zihinsel Gelişimleri ve Hazırbulunuşluk Düzeyleri ile İlgili Öğrenci Zorlukları

Öğrencilerin cebirle tanışmaları, matematiği artık eğlenceli bir ders olarak görmemelerine ve kendilerini matematikte yetersiz hissetmelerine neden olmaktadır. Bunun bir nedeni öğrencilerin sayılar ve sayılarla yapılan işlemlerde yeteri kadar iyi olmamalarıdır (Booker, 2009).

Alan yazın incelendiğinde öğrencilerin değişken, eşitlik ve denklem gibi temel aritmetik kavramlarda eksikliklerinin olduğu görülmektedir (Akkaya, 2006; Akkaya & Durmuş, 2006; Alexandrou-Leonidou & Philippou, 2011; Alibali vd., 2007; Clement, 1982; Dede, Yalın & Argün, 2002; Eisenberg; 1991; Falkner, Levi & Carpenter, 1999; Herscovics & Kieran, 1980; Küchemann, 1981; McNeil & Alibali, 2005; Rosnick, 1981; Stacey & MacGregor, 1997). Çeşitli araştırmacılar değişken kavramı, eşitlik kavramını ve denklem

kavramını anlamayı ve bu kavramların önemini cebirsel düşünmenin merkezine koymaktadırlar (Eisenberg, 1991; Knuth vd., 2006; McNeil & Alibali, 2005; Schoenfeld & Arcavi, 1988). Değişken, eşitlik ve denklem kavramları cebirin temel kavramları olarak

kabul edilmektedir. Dolayısıyla bu kavramların tam öğrenilmesi, öğrencinin sonraki cebir kavramlarını oluşturmalarında ve ilişkilendirmelerinde temel görevi görmektedir. Ancak

bazı araştırmacılar, öğrencilerin bu kavramlarla ilgili yaşadıkları sıkıntılardan yola çıkarak bu kavramları cebirsel engel olarak nitelendirmiştir (Schoenfeld & Conner, 2002).

Aritmetik problemlerinde harfler bilinen değerleri simgelemektedir. Bilinmeyenle karşılaşılması, problem çözme sürecinin bittiğini göstermektedir. Ancak cebir problemlerinde bilinmeyen olarak harf bir şekilde bulunduğundan, bu cebirsel sürecin başlangıç noktası olarak karşımıza çıkmaktadır (Radford & Puig, 2007). Değişken kavramının anlaşılması, aritmetikten cebire geçişte ve daha ileri seviyede matematiğin öğrenilmesinde temel teşkil etmektedir (Schoenfeld & Arcavi, 1988). Matematikte yapılan soyutlamaların temeli olmasına rağmen, öğrenciler değişkenlerin önemini tam olarak kavrayamamaktadırlar (Eisenberg, 1991). Oysa temel kavramları, sembolleri, ifadeleri doğru anlamlandırmaları ve kullanmaları cebirde başarılı olmaları için oldukça önemlidir (Kieran, 1992). Öğrenci eğer cebirsel dil yani sembolik dil kullanıyorsa, bu dilin temel bileşeni olan harflerin anlamını da bilmelidir (Pytlak, 2011). Ancak öğrencilerin değişken, parametre, bilinmeyen yerine kullanılan harfleri anlamada zorluk yaşadıkları bilinmektedir. Bununla birlikte herhangi bir değeri veya nesneyi temsil eden sembol anlamına gelen değişken kavramının bilinmeyen, parametre, sabit gibi terimlerle ilişkisi çok da açık değildir. Bu durum öğrencilerin anlamlandırması açısından engel oluşturmaktadır. Verilen bir denklemi çözmeden, o denklemdeki bilinmeyenin değerinin ne olduğundan emin olamayız. Örneğin x, herhangi bir sayı kümesinin elemanı olmak üzere x+2=10 denkleminde x bir değişkendir. Denklemi çözüp x’ in değerini 8 bulunca, x’ in tek sayı değeri aldığını gördüğümüzde onun bilinmeyen olduğunu düşünebiliriz. Ya da |x+2|=10 denkleminde x’ in reel sayı değerleri 8 ve -12’dir. Dolayısıyla x, bir değişkendir (Boz, 2013).

Cebirsel denklemler, eşitlik işaretinin ve yürütülen işlemin birlikte kullanıldığı yapısal gösterimlerdir (Kieran, 1992). Öğrencilerin denklemleri çözerken yaşadıkları zorluklar aritmetik bilgilerinin eksikliklerinden, aritmetikten cebire geçişte ve cebirin kendine has kavramları ile ilgili edindikleri yanlış ya da eksik anlamalardan kaynaklanabilir (Oktaç, 2010). Öğrencilerin aritmetik bilgilerinin eksikliğinden kaynaklı zorluklar da vardır.

şeklindeki bir denklemi doğru anlayabilmek için öğrencilerin eşit işaretini, eşitliğin iki yanındaki ifadeler arasındaki eşitlik ilişkisi olması şeklinde düşünmelidirler. Eğer bu düşünce gelişirse, eşitliğin her iki tarafındaki sayısal ifadelerin birbirine eş olması ilişkisi kavranabilmektedir. Ayrıca bu eşitlik ilişkisinin kavranamaması durumunda, öğrencilerin aritmetikten cebire geçişte sorunlar yaşamaları olasıdır. Dolayısıyla

öğrencilerin eşitlik işaretini ‘işlem yap’ komutundan ya da işlemlerin soldan sağa bir sırada yapılıp ‘bize…değerini verir’ komutundan ziyade eşitlik ilişkisi şeklinde anlayıp yorumlamaları gerekmektedir (Falkner, Levi & Carpenter, 1999; Kieran, 1992; McNeil & Alibali, 2005). Öğrenciler, herhangi bir problemin çözümü olarak sayısal bir değer görmeyi beklemektedirler. Onlara göre cebirsel bir ifade, sorunun çözümü olamaz. Bu da öğrencilerin eşitlik işaretini, iki tarafın birbirine eşit olmasından çok bir işlem yapıp sayısal bir değer elde edecekleri bir sembol olarak görmelerinden kaynaklanmaktadır (Kieran, 1992; Sfard, 1991).

Cebirin yabancı bir dil olduğu söylenebilir. Her sembolün bir anlamı vardır ve bu anlam çoğunlukla öğrenciye yabancıdır. Cebirin de polinom, fonksiyon gibi kelime haznesi, işlem sırası, özdeşlikler gibi ifade, cümle ve dilbilgisi kuralları olan bir dil olarak düşünülebilir. Dolayısıyla kişi cebir çalışırken ana dilini cebire, cebiri de ana diline çevirmelidir. Cebiri bir dil olarak kabul ettiğimize göre dil kazanımının yani cebir öğreniminin olabildiği kadar erken başlaması, öğrenciler için bir avantaj olacaktır (Usiskin, 1987).