Gözlem ve Öğretim Deneyinin Oluşturulması

Araştırmacı, öncelikle alan yazını inceleyerek öğrencilerin cebirde yaşadıkları zorlukları belirlemiştir. Teorik olarak bu bilgileri edindikten sonra sınıflarda durumun ne olduğu yakından görebilmek için uygulamanın yapıldığı okuldaki matematik sınıfında 2014-2015 öğretim yılı ile 2015-2016 öğretim yılının ilk döneminde toplam 3 dönem boyunca 7. ve 8. sınıfların cebir derslerini takip etmiş, gözlemler ve çeşitli uygulamalar yapmıştır. Öğretim deneyinin oluşturulması süreci Reeves’den (2006, s. 59) uyarlanarak şu şekilde modellenebilir;

Şekil 6. Öğretim deneyinin oluşturulma süreci (Reeves’den (2006) uyarlanmıştır)

Tasarı deneylerinin oluşturulması; uygulamaların tasarlanması, yeniden tasarlanması, öğretim uygulamalarının test edilmesi süreçlerinin birbiri ardına gerçekleştirildiği döngü olarak düşünülebilir (Gravemeijer & Cobb, 2006, s. 24). Öğretim tasarısının oluşturulması düşünsel deneylerden oluşmaktadır. Düşünsel deney, öğretim uygulamaları sınıfta uygulanmadan önce araştırmacının, öğretme-öğrenme sürecini planladığı aşamadır (Gravemeijer, 1994, s. 448). Tasarı ve analiz süreçlerinin mikro döngüsü, hipotezin test edildiği deneysel bir döngü olarak değerlendirilebilir. Tasarının geliştirilmesi yani düşünsel deney süreci, öğrencinin zihinsel eylemleri hakkında ve öğretim sürecinin nasıl ilerleyeceği hakkında tahminlerde bulunmayı gerektirmektedir (Gravemeijer & Cobb, 2006, s. 25). Öğretim süreci ise tahmin edilen öğrenme amaçlarına ne ölçüde ulaşıldığının test edildiği, eksik noktaların belirlenip uygulamaların yeniden düzenlendiği aşamadır. Her tasarı araştırması mikro düzeyde düşünsel deneylerin ve öğretim deneylerinin birbirini izlediği döngüsel bir süreçten oluşur. Tasarlanan öğretim deneylerinin makro düzeyde

döngülerle, öğretim deneylerini oluşturan uygulamaların ise mikro düzeyde döngülerle oluşturulduğu belirtilmektedir (Bakker, Doorman & Drijvers, 2003, s. 2). Tasarı araştırmalarındaki düşünsel deney ve öğretim deneyinin mikro düzeydeki döngüsel ilişkisi Gravemeijer ve Cobb’da (2006, s. 28) aşağıdaki şekildeki gibi gösterilmiştir.

Şekil 7. Düşünsel deney ve öğretim deneyi arasındaki döngüsel ilişki (Gravemeijer ve Cobb’dan (2006) alınmıştır)

Bu sürecin ilk aşamasında ilgili alan yazın taranarak öğrencilerin cebirde yaşadıkları zorluklar belirlenmiştir. Teorik olarak bu bilgiler edinildikten sonra, sınıfta durumun ne olduğunu belirlemek için araştırmacı matematik derslerini gözlemlemiş, her ders sonunda öğretmenle fikir alışverişinde bulunarak öğretmenin deneyimlerinden yararlanılmıştır. Bu şekilde bir işbirliği ile öğrencilerin cebirsel zorlukları ve öğretim deneyinde üzerinde durulması gereken kritik noktalar belirlenmiştir. Bu süreç 1 dönem boyunca devam etmiştir.

Öğrenci zorluklarının belirlenmesi üzerine öğretim deneyini oluşturan konular örüntü ve ilişkiler, değişimin analizi, denklemler olarak belirlenmiştir. Konular bu şekilde belirlendikten sonra, çalışmanın en kritik ve zor olan aşaması görevlerin/problem durumlarının oluşturulması sürecine geçilmiştir. Görevlerin oluşturulmasında dikkat edilen en önemli husus, öğrencilerin zihinlerinin karışmasını sağlayacak ve çözmek için istek duyacakları nitelikte görevler belirlenmesiydi. Oluşturulan görevler 2 dönem boyunca sınıfta araştırmacı ya da öğretmen tarafından uygulanmış, öğrenci tepkileri değerlendirilmiş, anlaşılmayan yerler düzeltilmiş ve uygulanan öğretim deneyine son hali verilmiştir. Uygulanan öğretim deneyinde görevlerin haftalara göre dağılımı ve görevlerin ilişkili olduğu konular aşağıdaki tabloda gösterilmektedir.

Tablo 1

Görevlerin Konulara, Günlere, Haftalara Göre Dağılımı Konu Görevler Gün Matematiksel Eylemler

1.Hafta Öğrencilerin nasıl çalışacakları hakkında fikir sahibi olmaları için ve kameralara alışmaları için 3 gün öğretim deneyindeki benzer sorular hakkında çalışıldı.

2.Hafta Ör ün tü v e İliş kiler

Görev 1, 2 1.gün Şekil örüntülerinin kurallarını farklı yollardan bulma Görev 3,

4, 5

2.gün Görev 6,

7, 8

3.gün Tablo halinde verilmiş sayı örüntüsünün kuralını belirleme, ilişkileri analiz etme

3.Hafta Görev 9,

10

4.gün Geometrik şekiller hakkında genellemeye ulaşma Sayı tablolarındaki örüntüleri keşfetme

Görev11, 12 5.gün Değ iş im in An alizi Görev 13, 14

6.gün Eğim kavramını değişimlerin analizi boyutunda inceleme 4.Hafta Görev 15,

16

7.gün İlişkileri analiz etme, tablo ve grafikte gösterme

Görev 17 8.gün Tablodaki ilişkileri analiz etme, kural oluşturma, çoklu gösterimler arası geçiş yapma

Mumun yanması sorusuyla hız kavramının fark ettirilmesi, robotun yolculuğu sorusuyla eğim ve hız arasındaki ilişkinin fark edilmesi Görev 18,

19

9.gün 5.Hafta Görev 20,

21, 22, 23

10.gün Hız kavramının değişimlerin analizi boyutunda incelenmesi y=mx ve y=mx+n şeklindeki doğruların çizilmesi

Den k lem ler Görev 24, 25

11.gün Tabloda ve grafikte verilen örüntülerin fark edilmesi Görev 26,

27

12.gün Doğrusal olmayan değişkenler arasındaki ilişkiyi yorumlama Grafiği verilen doğrulara uygun denklem yazma

6.Hafta Görev 28, 29

13.gün İki değişken arasındaki ilişkiyi eğri şeklinde gösterme Sözel olarak verilen bir probleme uygun denklem yazma Görev 30,

31

14.gün Tablodaki doğrusal olan ve olmayan ilişkilerin yorumlanması Farklı şekillerde grafik çizme (sütun grafiği gibi)

Görev 32, 33

15.gün Tablodaki değişkenler arasındaki ilişkiyi denklem ve grafik şeklinde gösterme, yorumlama

Sözel olarak verilen probleme ilişkin çeşitli çözümlerin analiz edilmesi, ilişkilerin grafikte gösterilmesi

7.Hafta Görev 34,

35

16.gün Biri artan diğeri azalan iki doğrunun aynı grafikte çizilmesi ve yorumlanması

Sabit bir sayı verildiğinde iki değişkenin birbirine göre ilişkisini denklem şeklinde yazma, grafikte gösterme

Görev 36, 37

17.gün Sözel olarak verilen bir probleme uygun denklemi yazma, buna ait azalan doğruyu grafikte çizme ve koordinat sisteminde noktasal olarak verilen değişkenler arasındaki ilişkiyi birbirine göre yorumlama

Tabloda uygulanan öğretim deneyindeki görevlerin konulara, günlere, haftalara göre dağılımı görülmektedir. Öğretim deneyi 1 hafta ön uygulama, 6 hafta asıl uygulama olmak üzere 7 hafta sürmüştür. 6 haftalık asıl uygulamada öğrencilere 37 görev uygulanmıştır. Bu görevlerin oluşturulma amacını kısaca açıklamak gerekirse; 1-5. görevlerde öğrencilere çeşitli şekil örüntüleri verilmiş ve örüntülerle ilgili çeşitli sorular sorulmuştur. Öğrencilerden öncelikle bir sonraki adımın şeklini çizmeleri ve örüntünün kuralını sözel olarak ifade etmeleri istenmiştir. Böylece öğrenciler, eksik oldukları düşünülen örüntü

kuralını sözel olarak ifade etmeye zorlanmışlardır. Örüntünün 10. adımının neye benzeyeceğinin sorulmasıyla da, uzak bir adımın zihinde canlandırılıp ifade edilmesi beklenmektedir. Sonrasında ise öğrenciler buldukları örüntü kuralını farklı yollardan bulmaya çalışmışlardır.

6-7. görevlerde ise aritmetik ve geometrik olarak artan sayı dizisi, tablo halinde verilmiş ve sonrasındaki adım ile uzak bir adımı bulmaları istenmiştir. Böylece öğrencilerin, verilen tablodaki örüntünün kuralını bulmaya çalışmaları da sağlanmıştır. 8. görevde ise verilen şekillerdeki siyah ve beyaz fayans sayılarının kuralını bulup, bu kurallarla ilgili akıl yürütmeleri istenmiştir. Bu görev, TIMMS (2011) sınavından alınmıştır.

9. görevde ise çokgenlerin kenar sayısı, tek köşesinden çizilen köşegen sayısı ve bu köşegenlerin oluşturduğu üçgen sayısından yola çıkarak verilen çokgenlerin iç açılar toplamına ait bir kural bulmaları istenmektedir. Böylece öğrenciler, geometri dersinden bildikleri bu kuralı kendi çabalarıyla oluşturmuşlardır; cebir ve geometri dersleri arasında ilişki kurmuşlardır. Bu görev, TIMMS (2007) sınavından alınmıştır.

Sayı tabloları, örüntülerin keşfi için ideal araçlardır (van De Walle vd., 2003). Bu sebeple 10. ve 11. görevler oluşturulmuştur. Satır ve sütunlarda bulunan sayılar için ayrı kurallar geliştiren öğrencilerin, sayı tablolarında bulunan farklı sayı ilişkilerini de yorumlamaları planlanmıştır. Bu görevler van De Walle vd.’den (2003) uyarlanmıştır. Benzer şekilde 12. görevde de öğrencilerden sayı tablosundaki soruya benzer mantık yürüterek koltukların nerede bulunduklarını göstermeleri istenmiştir. Ayrıca koltuklara ait satır ve sütun numaralarını da nokta grafik olarak göstermeleri istenmiştir. Böylece zihinlerinde 3 boyutlu olarak canlandırdıkları koltukların yerlerini, 2 boyutlu olarak düşünmüşler ve düzlemde göstermişlerdir.

13. ve 14. görevlere gelindiğinde ise eğim kavramı, doğrunun eğiminden yola çıkılarak kaç birim sağa/sola, yukarı/aşağı gidildiği hesaplanarak birbirlerine oranlarının alınmasıyla bulunmaktadır. Doğru sağa yatık olunca eğimi neden pozitif olur, sola yatık olunca eğimi neden negatif olur sorularının cevabı, bu görevle verilmektedir. Ayrıca bu görevle öğrenciler, bir doğru üzerindeki tüm noktaların eğimlerinin aynı olduğunu da

öğrenmektedirler. Bu görevlere, NCTM’nin (t.y.).

https://illuminations.nctm.org/Lesson.aspx?id=2570 adresinden ulaşılmıştır.

15. görevde ise verilen çokgenlerin kenar sayıları ile çevre uzunlukları arasında bir ilişki bulan öğrencilerden, bu ilişkiyi grafik üzerinde göstermeleri istenmektedir. Böylece

üçgene, dörtgene ve beşgene ait bu noktaların bir doğru ile birleştirilip birleştirilmeyeceğini, hangi doğrunun neden daha dik olduğunu da muhakeme etmeleri istenmektedir. Bu görev van De Walle vd.’den (2003) alınmıştır. Benzer şekilde 16. görevde de öğrencilerden çevre uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kısa ve uzun kenar uzunluklarının alabileceği değerler üzerinde düşünmeleri istenmektedir. Biri artan diğer azalan değerler alan bu uzunlukların grafiğe dökülmesiyle de öğrenciler azalan doğru hakkında muhakeme etmiş olacaklardır.

17. görevde öğrencilerden tablodaki ilişkileri analiz ederek mumun erimesi ile ilgili çeşitli sorular hakkında muhakeme etmeleri istenmektedir. Ayrıca bu soruda öğrencilerin mumun birim zamanda yanma miktarı ile herhangi bir arabanın birim zamanda aldığı yol arasında bir benzerlik kurmaları da beklenmektedir.

18. göreve gelindiğinde ise tablodaki ilişkilerden yola çıkan öğrencilerin birim zamanda alınan yol hakkında yorum yapmaları beklenmektedir. Bunun için öğrenciler, x ve y sütununun ayrı ayrı ve birbirlerine göre değişimini incelemeleri beklenmektedir. Böylece “birim zamanda alınan yol” ifadesinin hızı verdiği bilgisini oluşturacaklardır.

19. ve 20. görevlerde öğrencilerin birim zamanda alınan yolun, hızı vermesi bilgisini kullanarak benzer şekilde muhakeme etmeleri beklenmektedir. Tablodaki değerlerin grafiğe dökülmesiyle de benzer bağlam üzerinden verilen iki durum hakkında biri artan diğeri azalan iki doğru çizmeleri beklenmektedir.

21. ve 22. görevlere gelindiğinde öğrencilerin önceki yıllarda öğrendikleri ancak sıkıntı yaşadıkları doğru denklemi çizme ile ilgili sorulara yer verilmiştir. Araştırmacının gözlemlediği ve alan yazında işaret edilen öğrenci zorluklarını gidermek amacıyla çeşitli denklemler verilmiş, bu denklemlerde x ve y değerlerinin alacağı değerlere ilişkin oluşturulan tablonun öğrenciler tarafından doldurulması istenmektedir. Tabloların oluşturulmasıyla verilen denklemlerdeki x ve y değerlerinin değişiminin net bir şekilde görülmesi sağlanmıştır. Daha sonra bu denklemlere ait doğruların çizilmesi istenmiştir. Burada amaçlanan öğrencinin denklem, tablo, grafik gösterimlerini aynı anda görerek bunların aynı şeyi ifade ettiklerini anlamalarıdır. 23. görevde ise verilen bir doğru üzerindeki iki noktanın bulunması; x=a doğrusu, y=b doğrusu, y=mx+n doğrusu ve bu doğruların eksenleri kestikleri noktalar; bir noktanın doğru üzerinde bulunma şartı; iki doğrunun kesişme şartı hakkında alıştırmalar yapılmıştır.

24. görevde öğrencilerden birbirine göre değişen değerlerin tablo ve grafik gösterimleri üzerinden yorum yapmaları beklenmektedir. Tablo ve grafikteki örüntülerden yola çıkan öğrencilerden, yarışmacıların uzaklık ve zaman değerlerine ait denklemleri oluşturmaları da istenmektedir. Böylece öğrenciler, tablo ve grafikte gördükleri ilişkileri cebirsel olarak da ifade etmiş olacaklardır.

Bu görevlerle birlikte öğrencilerin bir tabloda aranacak ilişkilerin neler olduğunu öğrenmiş olmaları beklenmektedir. 25. göreve gelindiğinde aynı x değerine ait farklı y değerleri ile karşılaşan öğrencilerin, bu değerleri grafikte göstermekte zorlanacakları düşünülmektedir. Daha önce sınıfta öğrenmedikleri “uyum doğrusunu” da bu şekilde öğreneceklerdir. 26. görevde, doğrusal olmayan değerlerin oluşturduğu tablo ve grafik üzerindeki ilişkileri yorumlayan öğrencilerden hangi firmayı seçmeleri gerektiği konusunda bir strateji geliştirmeleri beklenmektedir. Bu soru van De Walle vd.’den (2003) uyarlanmıştır. 27. görevde ise öğrencilerden verilen grafiğe uygun problem yazmaları ve bu problemi çözmeleri istenmektedir. Bu görevin, biri artan diğeri azalan doğrulara ait olan ve bir noktada kesişen bağlamı düşünerek tersten düşünmeye zorlanmaları sebebiyle öğrencilerde zihinsel karışıklık oluşturacağı düşünülmektedir.

28. görevde ise öğrencilerden verilen probleme uygun denklemlerin yazılması istenmektedir. Bağlama uygun şekilde y=mx ya da y=mx+n şeklindeki denklemlerden hangisinin yazılacağına karar veren öğrencilerden bu denklemlere ait doğruları çizerek muhakeme etmeleri de istenmektedir. 29. görevde ise geometrik artan bir örüntüye ait kural bulmaları beklenmektedir. Değişkenler arasındaki ilişkiyi grafikle göstermeleri istenen öğrencilerin, ilişkinin eğri olarak gösterilebileceğini de görmeleri sağlanmıştır. 30. görevde verilen tablodaki ilişkilerin gösterilmesinde farklı grafikler (sütun grafiği gibi) kullanılabileceğinin de gösterilmesi amaçlanmaktadır. 31. görevde birim zamanda alınan yola ait değişen değerlerden oluşan bir tablonun yorumlanması ve bu ilişkilerin denklemle gösterilmesi beklenmektedir. Sonrasında ise sorulan sorularla oluşturulan bu denklemlerin muhakeme edilmesi beklenmektedir.

32. görevde öğrencilerden tablolarda verilen ilişkilerin analiz edilerek bu ilişkilere ait denklemlerin yazılması ve grafikle gösterilmesi istenmektedir. Aynı ilişkinin tablo, denklem, grafik şeklinde görüldüğü bu soruda öğrencilerden, başka bir yarışmacının uzaklığının zamana göre değişiminin y=3x olarak verildiği denklemle de muhakeme etmeyi sürdürmeleri beklenmektedir. 33. görevde ise bir problem verilmiş ve bu probleme

ait çeşitli çözümler sunulmuştur. Öğrencilerden, bu çözümleri analiz ederek verilen ilişkilerin grafik üzerinde gösterilmesi istenmektedir.

34. görevde birbirine doğru hareket eden araçlar bağlamında bu araçların yol-zaman denklemlerinin yazılması ve grafik üzerinde gösterilmesi istenmektedir. 35. görevde ise öğrencilerden ax+by=c şeklindeki denklemler üzerinden muhakeme ederek bu denklemlere ait doğruyu çizmeleri beklenmektedir.

36. görevde öğrencilerden verilen probleme uygun denklemi yazarak bu denklemi grafik üzerinde göstermeleri istenmektedir. 37. görevde ise öğrencilerden başlangıçtaki ve 1 saniye sonrasındaki konumları verilen yarışmacıların konumlarının grafik üzerinde gösterilerek muhakeme etmeleri beklenmektedir.