Otorite İle İlişkilendirme ve Aynı Parça Araştırma Kategorilerinin Eklenmesi İle
Yeniden Düzenlenmesi
Uygulanan öğretim deneyi sonucunda öğrencilerin genelleme süreçlerine ilişkin belirlenen düşünme yolları; ilişkilendirme, araştırma, genişletme ve bu kategorilerde belirlenen düşünme yollarından oluşmaktadır.
Genelleme süreci verilen olay, durum, problem arasında bir benzerlik ilişkisinin fark edilmesi ile başlamaktadır. Fark edilen bu benzerliğin, ‘ne’ ile ‘ne’ arasında kurulduğu ilişkilendirme kategorisinde incelenmektedir. Bu benzerlik iki problem ya da durum arasında kurulursa, durumları ilişkilendirme; denklem, grafik, tablo gibi iki matematiksel obje arasında kurulursa, nesneleri ilişkilendirme kategorisinde incelenmektedir. Burada kurulan benzerlik, öğrenci perspektifinden bir benzerlik ilişkisidir. Merkezde öğrenci olduğundan onun odağında ne olduğu, önem kazanmaktadır. Öğretim deneyinin birinci gününde öğrenciler örüntü kuralı bulduklarında araştırmacı neden öyle yaptıklarını sorduğunda, öğretmenleri öyle öğrettiği için kuralı o şekilde bulduklarını ifade etmişlerdir. Burada öğrenciler iki problem durumunu ya da matematiksel objeyi ilişkilendirmekten çok, karşılaştıkları problem durumu ile bir otoritenin öğrettiği kural arasında ilişkilendirme yapmışlardır. Bir otoritenin fikirlerini esas alanlar, otoritenin açıklamalarına, deneyimlerine daha çok güvenmektedirler. Bu yolla edilmiş bilgiler nedeninin, nasılının sorgulanmadan doğru olarak kabul edildiği bilgilerdir (Gambrill, 1999). Burada otorite olarak görülen öğretmen, kitap gibi daha bilgili dışsal bir kaynaktır. Dolayısıyla ‘otorite ile ilişkilendirme’nin, ilişkilendirme kategorisine eklenmesi uygun görülmüştür.
Otoriteye dayandırılarak elde edilen bilgiler, öğretmen öyle olduğunu söylediği için sorgulanmadan doğru olarak kabul edilen bilgilerdir. Öğretim deneyinin ilk günlerinde öğrencilerin örüntü kuralı bulduklarında neden öyle yaptıkları sorulduğunda sadece ‘öğretmen öyle öğrettiği için’ cevabını verebilmişler, mantıklı açıklamasını yapamamışlardır. Dolayısıyla bu bilgiler işlemsel bilgi boyutunda değerlendirilebilir. Zira öğretmenlerinin öğrettiği şekilde örüntü kuralı bulan öğrencilerin, başka bir yoldan kuralı bulmayı denemeleri istendiğinde, ‘başka bir yoldan kural bulmanın’ ne demek olduğunu bile anlamlandıramamışlardır. Öğrencilerin bilgilerini otoriteye dayandırarak savunmaları, öğretim deneyinin ilk iki haftasında gözlemlenmiştir. Sonrasında ise bilgilerini sorgulayarak farklı yollardan düşünme alışkanlığı kazandıklarından, bilgilerinin işlemsel olmaktan kavramsal olmaya doğru değişim gösterdiği söylenebilir.
Benzer durumların ilişkilendirilip ifade edilmesiyle birlikte benzerliğin/değişimin sabit olup olmadığı araştırılmaktadır. Bu durum, genelleme sürecinde araştırma kategorisi olarak değerlendirilmektedir. Örneğin; öğretim deneyinde uygulanan tablodaki sayılar arasındaki ilişkinin araştırıldığı soruda, öğrencilerin bir kısmı adım sayısı ile terimi ilişkilendirerek tablodaki sayılarda benzer ilişkinin varlığı araştırırken, bazı öğrenciler ise sayılar arasındaki ilişkiyi fark etmeden benzer prosedür araştırmışlardır. Yine aynı soruda bazı öğrenciler, adım sayısı arttıkça terimlerin de arttığını ifade etmiş; ancak bunun ötesine geçemeyerek benzer örüntü araştırmışlardır. Bazı öğrencilerin odağı ise benzer sonucu tekrar tekrar elde etmek olduğundan yaptığı işlemlerde benzer çözümünü/sonucu araştırmışlardır. Uygulanan öğretim deneyinde tüm bu kategorilerin örneklerine rastlanmıştır.
Matematiksel görselleştirme; kâğıt-kalem, teknoloji kullanarak ya da zihinsel olarak şekilleri oluşturma, bu şekilleri matematiksel keşif ve anlamları artırmak için kullanma sürecidir (Zimmermann & Cunningham, 1991, s. 3). Arcavi’ye göre (2003, s. 216) görselleştirme öğrencilerin soyut ilişkileri ve kavramları diyagramlar, modeller, grafikler şeklinde somut hale getirdikleri ve zihinsel olarak ‘görünmeyeni görme’ yeteneklerini ifade etmektedir. Basit ve küçük yapıları, onlara ait örneklerini görerek bilebiliriz. Örneğin; daha önce gördüğümüz kelebekler sayesinde, kelebek şeklinin neye benzediği biliriz. Ama genellikle yapılar, görsel olarak bilinemeyecek kadar büyük ve karmaşıktır. Böyle durumlarda, yapılar hakkındaki bilgilerimizi teorik yollardan elde etmekteyiz (Giaquinto, 2007, s. 236).
Örüntü oluşturma, kişisel ve yapıcı bir eylem olduğundan öğrenciler, örüntünün bilinen ve bilinmeyen adımları hakkında çıkarımlarda bulunmak için kavrayışlarını ve sembolik bilgilerini iyi koordine etmelidirler (Rivera, 2010, s. 298). Öğretim deneyinin ikinci gününde basamak örüntüsüyle ilgili olarak Ali, terimleri parçalayarak bir kural elde etmeye çalışmıştır; “Birinci adımda 1 satır, 1 sütun; ikinci adımda 2 satır ve 2 sütun. Her satır ve her sütunda 3 nokta olduğundan toplam 6 nokta eder. Adım sayısını 6 ile çarptım. Sonra bunu (satır ve sütunun kesişimindeki nokta) iki kez saydığım için çıkardım. İki kez saydığım noktaların kuralını da buldum. 2n-1 yapıyor. 6n’den 2n-1’i çıkardım. 4n+1’i buldum” (şekil 12). Eğer Ali, adımlar arasındaki bir ilişkinin sabit olup olmadığı araştırsaydı (örneğin; birinci adıma 4 eklenmiş ve ikinci adım elde edilmiş, ikinci adıma da 4 eklenmiş ve üçüncü adım elde edilmiş gibi), o zaman bu eylem, benzer ilişki araştırma kategorisinde değerlendirilebilirdi. Ancak Ali, öncelikle birinci adımı oluşturan ve üst üste gelen
parçaları belirlemiş ve sonra ikinci, üçüncü adımın da bu parçalardan oluşup oluşmadığını incelemiştir. Dolayısıyla adımları parçalayıp bu parçaların diğer adımlar için de sabit olup olmadığı araştırıldığından, yani odak adımı oluşturan parçalar olduğundan, bu parçaların sabit olup olmaması diğer aşamada araştırıldığından, genelleme taksonomisine yeni bir kategori olarak eklenmesi gerekmektedir. Ali’nin örüntü kuralı bulurken kullandığı bu stratejiyi, Rivera (2010) “yapıyı çözücü genelleme” olarak adlandırmıştır. Bu çalışmada öğrencilerin genelleme süreçleri genelleme taksonomisi temel alınarak incelendiğinden, bu stratejiyi çalışmanın doğasına uygun hale getirmek gereği doğmaktadır. Dolayısıyla Ali’nin örneğinde olduğu ve diğer öğrencilerin de zaman zaman gerçekleştirdikleri bu eylemin, araştırma kategorisi altında “benzer parça araştırma” olarak eklenmesi uygun görülmektedir.
Araştırılan ilişkinin sabit olup olmadığının belirlenmesinden sonra, bu ilişkiyi matematiksel olarak uygun ve doğru bir şekilde genişletme süreci gelmektedir. Belirlenen ilişkinin verilen durumun ötesinde genel bir yapıda ifade edilmesi, genişletme kategorisi altında değerlendirilmiştir. Uygulanan öğretim deneyinde öğrencilerin bu ilişkiyi daha geniş durumlara uygulanır hale getirdiği uygulanabilirlik alanını genişletme, daha global bir durum oluşturmak için bağlamsal ayrıntıları uzaklaştırarak genişletme, bir ilişki üzerinde işlem yaparak ilişkiyi bir fenomenin yeni örneklerine uygulayarak işlem ile genişletme, bir örüntüyü tekrar tekrar uygulayarak örüntüyü ya da fikri devam ettirerek genişletme yapmış oldukları belirlenmiştir. Yapılan bu genişletmelerin tablo, grafik, cebirsel olarak ifade edildiği belirlenmiştir.
Uygulanan öğretim deneyinin sonucunda elde edilen verilerin analizi ile öğrencilerin genelleme süreçlerine ilişkin düşünme yolları, Ellis’in (2004) çalışmasından uyarlanarak ve bu çalışmanın sonucunda yeni kategorilerin eklenmesiyle şu şekilde düzenlenebilir;
Şekil 40. Öğrencilerin genelleme süreçlerine ilişkin düşünme yolları (Ellis’den (2004) uyarlandı)
Şekilde de görüldüğü gibi genelleme sürecinde öğrencilerin düşünme yolları durumları, objeleri ilişkilendirme ve otoriteyle ilişkilendirme; benzer parça, ilişki, örüntü, prosedür, çözüm/ sonuç araştırma; uygulanabilirlik alanını genişletme, ayrıntıları uzaklaştırarak, işlem yaparak ve devam ettirerek genişletme kategorileriyle belirlenmektedir.