DNR’ nin Temel Öğretim İlkeleri

DNR’ nin matematik öğretimine ilişkin ilkeleri üç kısımda incelenebilir. Bunlar; etkileşim, gereklilik, muhakemedir. Etkileşim, matematiksel bilginin gelişiminin, karşılıklı olarak anlama ve düşünme yollarının birbirini etkilemesi sonucu oluşması; gereklilik, anlama ve düşünme yollarının geliştirilmesinde, öğrencinin zihinsel ihtiyacına cevap verilmesi; muhakeme ise geliştirilen anlama ve düşünme yolarının içselleştirilmesi ve organize edilmesi süreci olarak ifade edilmektedir.

2.7.2.1.Etkileşim

Araştırmacılar, bir taraftan matematiksel kavramları bilme ve anlama üzerinde çalışırken diğer taraftan matematiksel işlemler bilgisine ve anlama üzerine çalışmaktadırlar (Nesher, 1986). Hiebert ve Lefevre’ye (1986) göre kavramsal bilgi, birbiriyle bağlantısı olan bilgi ağı olarak düşünülebilir. Zihindeki birçok bilgiyle ilişkilendirilmiş olan kavramsal bilgi, bilgiyi oluşturan parçaların arasında ilişki kurulması ile oluşturulmaktadır. Bu ilişkilendirme süreci, yeni öğrenilen bilgi ile daha önceden öğrenilmiş bilgi arasında gerçekleşmektedir. Yeni bilgi, uygun olan bir şemanın içine asimile edildiğinden, yeni bilgi mevcut bilgiyle bütünleşmektedir. İşlemsel bilgi ise matematik sorularını çözmekte kullanılan kurallardan, algoritmalardan, işlemlerden ve matematiği oluşturan sembollerden oluşmaktadır. İşlemsel bilgi, problemleri çözmek için gerekli olan stratejileri de içermektedir. İki tür bilgi de farklı işlevlere sahiptir ve biri eksik olduğunda diğeri anlamsız olur. Matematiksel bilginin oluşturulması için bu iki bilginin birbirini tamamlayacak şekilde verilmesi gerekmektedir.

Kavramsal ve işlemsel bilginin nasıl oluştuğuna ilişkin çeşitli görüşler vardır: Kavramsal bilginin önce oluştuğu, daha sonra işlemsel bilginin kavramsal bilgiden elde edildiği; işlemsel bilginin önce oluştuğu, daha sonra kavramsal bilginin işlemsel bilgiden elde edildiği; işlemsel ve kavramsal bilginin birbirine bağlı olarak oluştuğu gibi görüşlerdir. En çok kabul gören görüş ise işlemsel bilgideki artışın kavramsal bilgideki artışa sebep olduğu ve kavramsal bilgideki artışın işlemsel bilgideki artışa sebep olduğu yönündedir (Rittle- Johnson & Schneider, 2014). DNR de benzer şekilde düşünme yollarının anlama yollarını etkilediğini ve anlama yollarının da düşünme yollarını etkilediğini ifade etmektedir.

DNR’ de kavramsal ve işlemsel bilgi, düşünme yolları ve anlama yolları olarak ifade edilmektedir. Anlama yolları, tanımlar, teoremler, ispatlar, problemler ve çözümler gibi ürünleri işaret ederken; düşünme yolları, bu ürünleri oluşturmak için gerçekleştirilen sürecin özelliklerini işaret etmektedir. Matematik, bu iki bilgi türünün tamamından oluşmaktadır. Anlama yolları düşünme yollarından, düşünme yolları da anlama yollarından etkilenmektedir. DNR’ ye göre etkileşim, anlama yollarının üretilmesi ile düşünme yollarının gelişmesi ve tersi olarak üretilen anlama yollarının, düşünme yollarından etkilenmesi demektir (Harel, 2013). Bu bilgilerden birinde meydana gelen değişimin diğerini etkilediği, diğer çalışmalarla da desteklenmektedir (Rittle-Johnson & Schneider, 2014; Rittle-Johnson, Siegler & Alibali, 2001).

2.7.2.2.Gereklilik

Harel’ a (1998, 2008b) göre öğrenciler öğrenecekleri şeye karşı zihinsel ihtiyaç duyarlarsa, öğrenmeye daha yatkın olmaktadırlar. Zihinsel ihtiyaç, öğrencinin herhangi bir matematiksel kavramı öğrenmeye karşı istek duyması demektir. Peki, bu neden gereklidir? DNR’ ye göre öğrenmenin oluşabilmesi için zihinde dengesizlik meydana gelmelidir. Bu sayede öğrenci, var olan yapısının ötesine geçerek yeni bir yapı oluşturabilir (Piaget, 1978). Zihinde dengesizliğin meydana gelebilmesi için zihinsel karışıklık yaratmak gerekmektedir. Öğrenci, var olan bilgisiyle çözemeyeceği bir problem durumu ile karşılaştığında o problemi çözmek için istek duyacak ve zihninde olan bilgide değişiklik yapıp yeni bir bilgi oluşturacaktır. DNR’ ye göre zihinsel karışıklık bireyin zihinsel ihtiyacı ve psikolojik ihtiyaçlarının karşılanması ile oluşmaktadır. Birey, bir problem durumu ile karşılaştığında var olan bilgisini kullanarak yeni bir bilgi elde ederse, zihinsel ihtiyacını gidermiş olmaktadır. Öte yandan kişi, bir problem durumu ile karşılaştığında, o problem kişi için ilgi çekici olmalıdır, kişi problemi çözmek için istek duymalı ve sebat etmelidir. İşte bunlar da psikolojik ihtiyaç boyutunu oluşturmaktadır (Harel, 2008b). Öğrencilere sunulan problemler, onların ilgisini çekecek şekilde düzenlenmeli ve zihinlerinde karışıklık meydana getirmelidir. Örneğin; çarpanlara ayırma konusunda genel eğilim, çarpan ağacı oluşturarak konuyu öğretmek şeklindedir (Lim, 2009). Çarpan ağacı yoluyla herhangi bir sayı çarpanlarına ayrıldıktan sonra, öğrencilere aynı metodun başka sayılara uygulanmasını içeren sorular sorulması, genel eğilimdir. Yani öğrenciler, öğrendikleri kuralı defalarca farklı problemlerde uygulayarak o konuyu öğrenmektedirler. Bu konuda öğrencilerin ilgilerini daha çok çekecek ve onlarda soruyu çözmeye istek uyandıracak problem durumları oluşturularak, konu daha ilginç hale getirilebilir. Örneğin; çarpanlara ayırma konusunda, öğrencilere “1750 = 2.5.5.5.7 olarak verildiğine göre, 1750 sayısının bütün çarpanlarını bulunuz” sorusu sorulursa, öğrenciler soruyu çözmek için daha istekli olacaklardır (Lim, 2009).

Bu konu ile ilgili ders kitaplarındaki sorular, genellikle herhangi bir sayının çarpanlarına ayrılması üzerinedir. Bu tarz sorularda öğrenciler öğrendikleri kuralı defalarca benzer sorulara uygulayarak çözümü bulmaktadırlar. Öğrenci, benzer soruları tekrar tekrar çözdüğünde çarpanlara ayırma konusu ile ilgili yeni bir bilgi öğrenmeyip zaten bildiği bir kuralı –örneğin çarpan ağacı oluşturarak çarpanlarına ayırma- benzer sorulara uygulayarak, kuralı pratik etmiş olacaktır. Ancak amaçlanan, öğrencinin o konu hakkında farklı düşünme yolları geliştirmesidir.

2.7.2.3.Muhakeme

Öğrencilerin oluşturdukları anlama ve düşünme yollarının içselleştirmeleri için, bu anlama ve düşünme yollarını muhakeme etmeleri gerekmektedir. Tekrarlanan deneyimlerin, birbirine bağlı bilişsel yapılar oluşturmada ya da bu yapıların yeniden düzenlenmesinde rolü büyüktür. Böyle bir yapının oluşturulması, bilginin kazanılmasını sağlamaktadır. Bu sayede yeni bilginin oluşmasına katkı sunan yansıtıcı soyutlama gerçekleştirilmiş olur. Öğrenciler, matematiksel bilgilerini -düz bir şekilde öğretilmesindense- deneyim ve pratikler yardımıyla daha iyi oluşturmakta ve içselleştirmektedirler (Cooper, 1991). DNR’ ye göre pratikler, deneyimler istendik anlama ve düşünme yollarının pekiştirilmesini sağlamaktadır. Bahsi geçen pratikler, sadece alıştırma ya da rutin problemlerin çözümü olarak düşünülmemelidir (Harel, 2008b). Burada oluşturulacak olan problem durumları, daha çok öğrencilerin bilgilerini uygulayıp, içselleştirecekleri ve yeniden organize edecekleri problemler olarak düşünülmelidir. Dikkat edilmesi gereken nokta, problemlerin öğrencinin değişen zihinsel ihtiyaçlarına cevap verecek şekilde ve öğrencinin zihninde karışıklığa neden olacak şekilde organize edilmesidir. Bu sayede öğrencinin zihninde dengesizlik oluşacak ve düzenleme süreci sonucunda yeni bir denge durumu oluşturularak yeni bilgi elde edilebilecektir.

Bu çalışmanın ön uygulaması sırasında öğrencilerden iki tek sayının toplamının çift sayı olduğunu göstermeleri istenmiştir. Öğrencilerden çoğunluğu herhangi iki tek sayıyı toplayıp sonucun çift sayı olduğunu göstermişlerdir. Ezgi de işlemini benzer şekilde ilerletip “1+1=2, 3+3=6, 3+9=12, 5+7=12. O zaman bu bütün sayılar için doğrudur. O yüzden iki tek sayının toplamının çift sayı olduğunu göstermiş oldum” şeklinde ifade etmiştir. Ancak Ali bu kuralı şu şekilde göstermiştir: “Diyelim sayılardan biri 2n-1 olsun. Diğer sayı da 2k-1 olsun. O zaman bu ikisini toplarsak (2n-1)+(2k-1)=2n+2k-2=2(n+k-1) olur. Yani son sayı, bir sayının 2 ile çarpılmış şeklidir. 2 ile çarpılan sayılar da çift sayılardır.” Ali yaptığı işlemde öğrencilerin çoğunluğu gibi sayı değerleri vererek bazı durumlar için kuralın doğru olduğunu göstermektense, tüm sayılar için kuralın doğru olduğunu göstererek kuralı genelleme yoluna gitmiştir. Ezgi’nin yaptığı gibi sayı değeri vererek ifadenin doğru olduğunu gösterme öğrenciler arasında çok yaygındır. Burada öğrenciler birkaç durum için ifadenin doğruluğunu gösterirler ki bu empirik ispat şemasının bir göstergesidir. Bu şekilde yürütülen düşünme yoluna sonuç odaklı genelleme (result pattern generalisation) adı verilmektedir. Burada öğrenciler işlemlerin sonucuna odaklanmaktadırlar. Dolayısıyla birkaç özel örneğin kuralın doğruluğunu sağlaması, o

kuralın geçerli olduğunu söylemeleri için yeterlidir. Ancak Ali, kuralın tüm tek sayılarda çalıştığını göstermek istemiş ve kuralı tek sayılara genellemiştir. İlk düşünme şeklinde sonucun devamlılığı önemli iken, ikinci düşünme şeklinde sürecin devamlılığı önemlidir. Harel (2008a) bunu süreç odaklı genelleme (process pattern generalisation) olarak ifade etmiş ve bunun tümdengelimsel ispat şeması ile ilgili olduğu belirtmiştir.