Benzerlik İfade Etme

Öğrenciler, genelleme eylemlerinin ürünü olarak iki durum, problem, obje arasındaki benzerlikten yola çıkarak bu benzerliği ifade edebilirler. Burada benzer olarak ifade edilen problem ya da durum, öğrencinin gözünden benzer olan problem ya da durumlar arasındaki benzerliğin ifade edilmesidir. Öğrencinin odağında olan problem ya da durum; benzer özellik, obje ya da gösterim, durumlar arasında kurdukları benzerliğin ifadesi olarak karşımıza çıkmaktadır.

Benzer Özellik İfadesi: Selin ve Burak’ın hızlarının karşılaştırıldığı soruda öğrenciler, grafiği ve tabloyu incelemişlerdir. Daha sonra Gül, grafiği inceledikten sonra Selin’in hızı ile ilgili olarak, “şurada küçük üçgen var, burada da büyük üçgen var. Bunlar benzer üçgenler olurlar. Küçük üçgende bir kenar 2, bir kenar 3. Büyük üçgende de bir kenar 8, bir kenar da x olsun. 2’nin 3’e oranı, 8’in x’e oranına eşit olur. O zaman burası 12 olur. 10/15’ten 2/3 olmuş eğimi yani hızı” şeklinde açıklama yapmıştır. Gül, benzer üçgenlerin özelliğinden yola çıkarak doğrunun eğimini bulmuş ve yarışmacının hızı hakkında yorum yapmıştır.

“Feyza 10 saniyede 16 m yol almışsa, Feyza ile eşit zaman aralıklarında eşit miktarda yol alan Melike’nin bazı zamanlarda almış olabileceği yol” ile ilgili çeşitli ihtimaller belirtilmiştir. Bunların neye göre yazıldığı sorulduğunda ise söyledikleri bütün sayıların,

10 ve 16 sayılarının aynı sayı ile çarpılıp bölünmesinden elde edildiğini ifade etmişlerdir. Bu örneklerde görüldüğü gibi öğrenciler, iki durum arasındaki benzerliği ifade ederek bir genellemeye ulaşmışlardır.

Obje ya da gösterimlerin benzerliğinin ifadesi: Öğretim deneyinin ilk günlerinde verilen örüntülerin kuralını bulmayla ilgili olarak Ali, Bartu ve Oğuz, ‘3n+1’ olan örüntü kuralının aynı zamanda ‘(9n+3)/3, (12n+4)/4, (15n+5)/5, (18n+6)/6’ olarak yazılabileceğini belirtmişlerdir. Neden böyle yaptıkları sorulduğunda ise Oğuz, 3n+1’i aynı sayıyla çarpıp bölmenin sonucu değiştirmeyeceğini, bu gösterimlerin benzer kuralı ifade ettiğini belirtmiştir.

Hangi mağazadan DVD kiralanacağı ile ilgili olan soruda öğrenciler, DVD sayısına göre mağazaların talep ettiği ücretleri gösteren bir tablo düzenlemiş ve tablodaki ilişkilere dair kurallar bulmuşlardır. Bu ilişkileri denklemler halinde gösterdikten sonra, tablodaki örüntü kurallarıyla denklemlerin benzer obje olduğunu fark etmişlerdir. Böylece tablodaki değişkenlere ait ilişkinin kuralını bulmanın ve bu ilişkiyi denklemle ifade etmenin aynı şey olduğunu belirtmişlerdir.

Burak ve Selin’den kimin daha hızlı yürüdüğünün sorulduğu soruda Gül, Selin’in doğrusunun denklemi ile ilgili olarak, doğru orijinden geçmediği halde bir önceki soruyla benzer durumlar olduğunu ifade ederek denklemi olarak yazmıştır. Arkadaşları, doğrunun orijinden geçmediğini hatırlatması üzerine, doğru orijinden geçmiyorsa y’nin katsayısı olması gerektiğini düşünmüş ve denklemini şeklinde yazmıştır. Gül’ün ilk yazdığı denklemle sonradan yazdığı denklemin, benzer gösterimler olduğu görülmektedir. Selin’e ait denklemin sınıfça tartışılıp doğru bir şekilde ifade edilmesinden sonra, denklem olarak yazılmıştır. Bunun üzerine Gül, aynı denklemin bir başka ifadesi olan “ ” şeklinde de yazılabileceğini belirtmiştir.

Denklemlerin doğrusunu göstermekte bir sorun yaşamamaları için öğrencilere, örneğin; , , şeklinde denklemler verilmiş, bu denklemlerde x’in aldığı değerlere karşılık y’nin alacağı değerleri tabloda göstermeleri istenmiştir. Daha sonra bu değerleri grafikte işaretleyerek denklemlere ait doğruları çizmeleri beklenmiştir. Burada amaçlanan verilen denklemlerin tablodaki değerleriyle ilişkilendirme yaparak doğruları çizmeleri ve denklemin, tablonun ve doğrunun aynı şeyi gösterdiğini fark etmelerini sağlamaktır. Bu açıdan düşünüldüğünde uygulanan öğretim deneyi sürecinde öğrencilerin, verilen bir tablodaki değişkenlerin birbiri ile olan ilişkisini sözel olarak ifade etmeleri, bu

ilişkiyi denklemle cebirsel olarak ifade etmeleri, bu denklemin doğrusunu çizerek değişkenlerin birbirine göre değişimini grafikte ifade etmelerinin benzer gösterim ifadeleri olduğunu kavradıkları söylenebilir. Dolayısıyla bu çoklu gösterimler, benzer gösterim ifadeleri olarak kodlanmış olup öğretim deneyi boyunca yapılan her genelleme ürününde, bu gösterimlerden en az birine ulaşıldığı belirtilmelidir.

Durumların benzerliğinin ifadesi: Sinemada koltukların yerlerini bulma ile ilgili soruda Gül, bu soruyla bir önceki sayı tablosu sorusunu benzetmiştir. Sayı tablosu sorusunda örneğin; 4’lük sayı tablosu üzerinde çalışırken en son sütunun kuralı 4n olduğu için o sütundan bir önceki sütun 4n-1, iki önceki sütun 4n-2, üç önceki sütun ise 4n-1 olarak ifade edilmişti. Bu soruda da benzer şekilde en son sütunun kuralını 6n olarak almış ve ondan bir önceki sütunun kuralını 6n-1, iki önceki sütunun kuralını 6n-2 ve diğer sütunlara da aynı işlemi yaparak kurallarını bulmuştur. Ancak burada gözden kaçırdığı nokta, koltuklu soruda 5 sütun olduğundan sayı tablosu sorusunda uygulanan kuralın burada uygulanamayacağıdır. Ali de arkadaşının fikrini bu şekilde belirtmesi üzerine, bu noktayı da göz önünde bulundurmak gerektiğini ifade etmiştir.

Çevresinin uzunluğu 18 br olan dikdörtgenin olası kenar uzunluklarının tartışıldığı soruda, [AB]’nın eğimi ile ilgili olarak Ali, [AB] hipotenüs olacak şekilde ABD dik üçgeni oluşturmuştur. Daha sonra ABD açısının tanjantı, eğimi vereceğinden karşı dik kenarın, komşu dik kenara oranını alarak eğimi ifade etmiştir. Bu soruyu yanlış cevaplayan Elif, araştırmacının [BC]’nın eğimini sorması üzerine bu durumların benzer durumlar olmasından yola çıkarak [BC] hipotenüs olacak şekilde bir dik üçgen oluşturmuş ve karşı dik kenarın, komşu dik kenara oranını alarak soruyu doğru bir şekilde cevaplamıştır.

Mumun boyunun zamana göre değişimi ile ilgili olan soruda, tablodaki değerler grafik üzerinde nokta olarak gösterilmiştir. Daha sonra öğrencilere, bu noktaların bir doğru ile birleştirilip birleştirilmeyeceği sorulmuştur. Bunun üzerine öğrenciler, çokgenlerin çevrelerinin grafikte gösterildiği soruyla ilişkilendirme yapmışlar ve “dünkü soruda da yapmıştık; ama dünkü soruda yarım çevre olamayacağından o noktaları birleştiremeyiz dedik. Ama burada yarım dakika da yarım çevre de olabileceğinden, bu noktaları birleştirebiliriz” şeklinde ifade etmişlerdir. Dolayısıyla durumların benzerliğini ifade ederek bir sonuca gitmişlerdir.