Genel Prensip İfade Etme

Öğrenciler, yaptıkları genellemeler sonucunda ifadelerini üzerinde çalıştıkları durumların ötesine taşıyarak bu durumlar hakkında genel kural, örüntü, strateji, prensip ifade edebilirler. Bu şekilde ulaşılan genellemeler, bir de cebirsel formda ifade edildiklerinde, matematikçiler tarafından en çok kabul gören genellemeler olmaktadır. Öğrencilerin buldukları genel kural, genel örüntü, genel strateji ve global kural genel prensip ifadesi olarak değerlendirilmektedir.

Genel örüntü ifadesi: Örneğin; öğretim deneyinin ilk gününde Oğuz’un birinci görevde verilen örüntü kuralı ile ilgili olarak “şu bir kareyi sabit alırsak, diğer sütunlar her terimde artıyor. Her terimde adım sayısı kadar üçlü bloklardan var” ifadesi terimler arasında artarak devam eden bir olayın açıklanması olarak ele alınabilir.

Mumun boyunun zamana göre değişimini veren tablodaki örüntülerle ilgili olarak öğrenciler; zaman sütunu içinde, boy uzunluğu sütunu içinde, zamana göre boy ilişkisini de kendi içinde analiz etmişlerdir. Buna göre şekil 20’de Sezen’in çalışma kâğıdında görüldüğü gibi değişimleri incelemişler ve sonunda mumun yarım dakikada 1 cm, 1 dakikada 2 cm kısaldığını ve bunun tablodaki tüm değerler için geçerli olduğunu ifade etmişlerdir.

Öğretim deneyinin ilk günlerinde tablodaki sayılar arasındaki ilişkinin incelendiği (geometrik dizi olan) görevle ilgili olarak öğrenciler, öncelikle terimler arasında 10, 60, 360 fark olduğunu ifade etmişlerdir. Daha sonra bunun düzenli bir artış olmamasından dolayı başka bir durum düşünerek her terimin bir önceki terim ile 6 sayısının çarpılması ile elde edildiğini fark etmişlerdir.

Genel kural ifadesi: Öğretim deneyinin ilk günlerinde verilen bazı örüntülerin şekillerinin tamamlanarak içindeki kare sayısından bir kural bulmayla ilgili olan soruda Ali, “dikdörtgenin içinde kareler var ya onların kenarları 1 birim. O zaman birinci şeklin uzun kenarı 3 birim, kısa kenarı 2 birimdir. Diğerlerinde de aynı şekilde… Dikdörtgenin içinde minik karelerden var gibi düşünüp alanını bulmuştuk.” şeklinde açıklama yapmıştır. Böylece Ali, dikdörtgensel bölgenin alanının, içindeki birim kare sayısına eşit olduğunu ifade ederek genel bir kural ifadesine ulaşmıştır.

Çevre uzunluğu 18 br olan dikdörtgenin kenarlarının uzunluklarının alabileceği olası değerler ile ilgili olarak öğrenciler, kuralı sağlayan sayı çiftlerini (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) olarak belirlemişlerdir. Ali, daha genel düşünerek kenarlardan biri x, diğeri y olmak üzere

2x+2y=18 ise x+y=9 olarak bir kural bulmuş ve bunu “toplamı 9 olan tam sayılar” şeklinde ifade etmiştir.

Öğretim deneyinin ilk günlerinde tablodaki sayılar arasındaki ilişkinin incelendiği (aritmetik dizi olan) görevle ilgili olarak öğrenciler, terimler arasında ilişki araştırmışlardır. Daha sonra terimler arasındaki farkı 6 olarak bulmuşlardır. Bir de adım sayısı ve terim arasında 5 fark olduğunu bulmuşlar ve bu farklara dair 6n-2 ve 5n-2 kurallarını belirtmişlerdir. Ancak buldukları bu kuralların ne ile ilgili kurallar olduğunu, hangisinin kendi aradıkları kural olduğunu bilememişlerdir. Elde ettikleri bu kurallar arasında ‘n’ fark olduğunu, adım sayısına artış miktarı olan 5n-2 eklediklerinde terimi yani 6n-2’yi elde ettiklerini belirtmişlerdir.

Genel strateji ya da prosedür ifadesi: Şekillerin sayıları ile çevre uzunlukları arasındaki ilişkinin grafikte gösterildiği soru ile ilgili olarak Sezen, “mesela 3 beşgenin çevresi(nin uzunluğu) 15, 15/3=5. 3 karenin çevresi(nin uzunluğu) 12, 12/3=4. 3 üçgenin çevresi(nin uzunluğu) 9, 9/3=3. O zaman beşgenin eğimi 5, kareninki 4, üçgeninki 3 oluyor” şeklinde açıklama yapmış ve bunun tesadüf olduğunu düşünmüştür. Bunun üzerine Elif, “üç şekil üzerinden düşünürsek eğer, hepsinde bölü 3’ler aynı oluyor. O zaman y’si daha çok olanın eğimi daha fazladır. Beşgenin y’si daha çok olduğu için eğimi de daha fazladır” şeklinde açıklama yaparak eğer paydaları sabitse, bir oran söz konusu olduğundan payı büyük olanın eğiminin de büyük olacağını belirtmiştir.

“Feyza 10 saniyede 16 m yol almışsa, Feyza ile eşit zaman aralıklarında eşit miktarda yol alan Melike’nin bazı zamanlarda almış olabileceği yol” ile ilgili olarak öğrenciler çeşitli fikirler öne sürmüşlerdir. Bu sayıları neye göre belirledikleri sorulduğunda ise Koray, “10 saniyede 16 m yol almışsa, hepsinin yarısını alırsam 5 saniyede 8 metre yapar. Şimdi bu (5,8) sayısını istediğim sayıyla çarpar ya da bölersem, Melike’nin bazı zamanlarda aldığı yolu bulurum” şeklinde açıklama yapmıştır. Böylece Koray, en küçük sayı çiftini belirleyerek bu sayıları herhangi bir sayı ile çarpıp bölünce istenen sayı çiftlerine ulaşılabileceğini belirtmiştir. Dolayısıyla Koray, herhangi bir objeye bağlı kalmadan daha genel bir strateji belirlemiştir.

‘Ters c’ örüntüsünde her bir adımdaki kare sayısını belirlemek için öğrenciler, her şekle kare ekleyerek kapalı bir şekil elde etmeyi düşünmüşlerdir. İlk şekle 1 kare, ikinci şekle 2 kare, üçüncü şekle 3 kare ekleyerek bütün şekilleri dikdörtgen haline getirmişlerdir. Daha sonra dikdörtgenlerdeki kare sayısını bulup, bu şekillere eklenen kareleri çıkararak terimlerdeki kare sayısını bulmayı amaçlamıştır. Bunun nasıl yapılacağı ile ilgili olarak

Ali, karelerin bir kenarını 1 birim kabul ederek dikdörtgenlerin içindeki kare sayılarının bulunacağını belirtmiştir, dolayısıyla dikdörtgensel bölgenin alanının içindeki birim kare sayısına eşit olduğunu ifade etmiştir.

Global kural ifadesi: Tablo halinde bazı çokgenlerin verilip ilişkilerin araştırıldığı soruda, bir çokgene ait köşegen sayısını Ali, “Beşgenin beş köşesi var. Bir köşesi kendisi, kendi kendine köşegen oluşturamaz, yanındaki iki köşeyle de köşegen oluşturamaz. Bir köşeden iki köşegen çizebiliriz yani, 5 köşeden toplamda 10 köşegen eder. Hepsini iki kez saydığımız için 2’ye bölüyoruz; 5” şeklinde açıklamıştır. Ali, muhakeme ederek aslında köşegen sayısının kombinasyon yardımıyla bulunmasını anlatmıştır.

Zamana göre alınan yolun değişiminin incelendiği tabloda öğrenciler, değişkenlere ait farkların oranının dolayısıyla eğimin sabit olduğunu ifade etmişlerdir. Eğimin, x’de meydana gelen her birim değişim için, y’de meydana gelen değişim olmasından yola çıkarak hızın, x ekseninde değişim 1 br olduğunda, y ekseninde meydana gelen değişim olduğu bilgisine ulaşmışlardır.

Doğruların eğimlerinin incelendiği grafik sorusunda öğrenciler ilk doğruda bulunan [AB] ve [BC] doğru parçalarının eğimlerini eşit bulmuşlardır. Oğuz, bu durumu “… x eksenine paralel çizip BCD dik üçgeni oluştursak, o nokta da D olsun mesela. O zaman bu ikisi birbirine eş üçgenler olmaz mı? O zaman BAO açısı ile CBD açısı aynı olur. O zaman tanjantları da yani eğimleri de aynı olur” (şekil 16) diyerek açıklamıştır. Dolayısıyla “doğru boyunca eğim değişmez” kuralına ulaşmışlardır.