Problem Çözme

Araştırmacıların pek çoğu problemin matematikte önemli yeri olduğunu ifade edip, ne olduğunu tanımlamaya çalışmışlardır. Bu doğrultuda Polya (1973) problemi, amaca ulaşabilmek için yapılacak aşamalardan, en uygun olanının sistemli olarak araştırılması şeklinde ifade etmiştir. Olkun ve Toluk Uçar (2005), bireyde çözme isteği uyandıran ve çözüm planı bulunmayan, ancak bireyin bilgi ve deneyimlerini kullanarak çözebileceği durumlar olarak tanımlamışlardır. Jonassen (2011) belirsizlik içeren, incelenip çözülmesi gereken durumlar olarak belirtmiştir. Baki (2014), kişiyi karşılaştığında rahatsız eden bir olay karşısında, kendi bilgi ve deneyimi ile çözüm yolu bulma ihtiyacı hissettiği bir durum olarak ifade etmiştir. Schoenfeld (1992) ise problemi, matematikte cevabı bulunması gereken, kafa karıştırıcı ya da çözümü açık bir şekilde kolayca görülemeyen durum olarak tanımlamıştır. Yani en genel anlamıyla, bireyin bir amaca ulaşma yolunda, engeller ile karşılaştığı çatışma durumudur (Morgan, 1995).

Araştırmacıların yapmış oldukları tanımlar incelendiğinde, problemlerin genel olarak öğrencilerin doğrudan sonuca ulaşamadığı ve kafa karıştıran durumlar olduğu, devamında da öğrencide bu durumu çözme isteği uyandırdığı görülmektedir. Altun (2014)’a göre problemler rutin (sıradan) ve rutin olmayan (sıra dışı) problemler şeklinde sınıflandırılabilir.

• Rutin problemler, günlük hayatta sıklıkla karşılaşılan yol-zaman, kar-zarar gibi dört işlem becerisini gerektiren, dört işlem becerilerinin bilinmesi ve doğru bir şekilde uygulanmasıyla çözülebilen problemlerdir. Genellikle gerçek yaşamda karşılaşılan olayların problem haline dönüştürülmüş şekilleridir. Türkçede dört işlem problemi olarak bilinen toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin bir kısmının ya da tümünün doğru olarak kullanılmasıyla problem çözümleri gerçekleştirilebilir (Altun, 2014).

• Rutin olmayan problemler, ilişki, düzen ya da örüntülerin açıklanmasına dayalı olarak oluşturulan problemlerdir. Bu nedenle rutin olmayan problemlerin öğretimi öğrencilerin, olayları inceleme, düzen, örüntü ve ilişki arama eğilimlerini arttırır ve ispat yapabilme düzeylerini geliştirir (Altun, 2014). Bunun yanında öğrencilerin zihinsel yeteneklerini harekete geçirip gerçek düşüncelerinin ortaya çıkarılmasını sağlar (Chapman, 2002). Öğrencilerin rutin olmayan problemleri çözmesi, matematik uygulamaları arasında en çok istenen ve zaman ayrılan, olmazsa olmaz olarak görülen etkinlik şeklidir (Grossnickle ve Brueckner, 1963; Chapman, 2002, Yazgan, 2002). Aynı zamanda rutin olmayan problemlerle, öğrencilerin dışarıdan gözlenemeyen zihinsel süreçleri ve üst düzey düşünme yetenekleri analiz edilebilir (English, 2007).

NCTM (2000) etkili problemlerin, “öğrencilerin bulunduğu ortamda oluşan”, “öğrencilere yeni kavramları öğretmek için ortam hazırlayan” ve “öğrencileri strateji

geliştirme ve uygulamaları için zorlayan” nitelikte problemler olduğunu belirtmektedir.

Bu nedenle problem çözme, basit işlemleri hatırlama ya da öğrenilmiş süreçleri uygulamadan fazlasını içermekte ve problem çözme becerisi çok uzun bir süreçte gelişmektedir (Lester, 1994).

İnsanlar yaşamı boyunca okulda, çalışma esnasında, günlük hayatta problemlerle karşılaşırlar ve bunları çözmek için uğraşırlar (Blitzer, 2003). Bu nedenle problem çözme, olaylara daha etkili bir şekilde yaklaşabilmek için kilit rol oynamaktadır. Okullarda problem çözmenin öğretilmesi, öğretmenler açısından kişisel, matematiksel ve pedagojik olarak oldukça güç bir durumdur (Burkhardt, 1994). Problem çözmenin önemi bu şekildeyken araştırmacılar problem çözmenin ne olduğu ile ilgili pek çok açıklamada bulunmuşlardır. Bu kapsamda yapılan problem çözme tanımlarından bazıları şu şekilde ifade edilmiştir: Bingham (1973), belli bir amaca ulaşmak için, karşılaşılan zorlukları ortadan kaldırmaya yönelik olarak yapılan çabalar olduğunu belirtmiştir. Mayer (1985)’e göre mevcut problemin çözümüne ulaşabilmek için yürütülen bilişsel etkinliklerdir. Amsel, Langer ve Loutzenhiser (1991), temel becerilerin yeni durumlarda uygulanabilmesi ve kontrolünü gerektiren üst düzey düşünme becerilerini de içeren zihinsel süreç becerisi olarak belirtmiştir. Montague (2008), birçok süreç ve stratejiyi içeren bilişsel karmaşık bir uygulama olduğunu ve

sadece doğru sonuca ulaşmayı değil, aynı zamanda geniş süreç ve becerileri kapsayan bir eylem olduğunu ifade etmiştir.

Problem çözme süreci üzerinde en çok kabul gören aşamalandırma, Polya tarafından belirlenen dört aşamalı süreçtir. Bu sürecin aşamaları şu şekilde ifade edilmiştir (Polya 1973):

1. Problemin anlaşılması: Problemde nelerin verildiği ve nelerin istendiği açıklanarak özetlenir. Problem, çözen kişinin kendi cümleleriyle ifade edilir. 2. Çözümle ilgili plan yapılması: Problemde verilenlerle istenen arasındaki ilişki

belirlenmeye çalışılır. Geçmiş deneyimler ve öğrenilen bilgiler ışında nasıl bir yol izleneceği belirlenir. Bu doğrultuda problem çözümü için plan yapılır.

3. Belirlenen planın uygulanması: Belirlenen plan, aşamalar halinde uygulanır ve işlemlerin doğruluğuna dikkat edilir.

4. Çözümün değerlendirilmesi: Yapılan çözümlerin ne derecede doğru olduğunun yanında çözümün niçin yapıldığının ve çözen kişiye neler kattığının değerlendirmesi yapılır.

Bu aşamaların bilinmesi ve bunlara uygun olarak çalışılması problem çözmeyi kolaylaştırırken çözümü garanti etmemektedir (Altun, 2014). Burada öncelikle problemde ne istenildiği bilinirse sonrasında problemi çözmek için hangi stratejinin seçilmesi gerektiği daha kolay bir şekilde belirlenebilmektedir.

Öğrenciler, problemlerin çözümünde uygun stratejilerini seçerler, aynı zamanda çözüm sürecinde birbirleriyle iletişimde bulunarak istenilen sonuca ulaşırlar (Cai, 2003). Öğrenciler, problemi nasıl çözeceklerini düşünürken, yeni stratejiler belirlemeyi ve bu stratejilerle yeni problemleri çözmeyi öğrenirler. Bu da bir problemin çözümü için tek bir stratejinin bulunmadığını birkaç farklı stratejiyle problemlerin çözülebileceğini göstermektedir (Billstein, Libeskind ve Johnny, 2004).

Problemleri çözerken birbirinden farklı stratejiler kullanılmaktadır. Problem çözme stratejileri, farklı araştırmacılar tarafından sınıflandırılarak problem çözmede hangi stratejilerin kullanılabileceği ifade edilmiştir (Posamentier ve Krulik, 2009; Altun, 2014; Baykul, 2014; Yazgan ve Arslan, 2017). Bu stratejiler, problemin nasıl çözüleceğine yönelik olarak yapılan plan ve örüntüleri ifade etmektedir (Mintzberg,

1994). Baykul (2014) stratejilerin belirlenmesini, problem çözmede başarıya ulaşmak amacıyla kullanılan yollar olarak ifade etmektedir. Problemlerde bir tane strateji kullanılabileceği gibi birden fazla strateji de kullanılabilmektedir (MEB, 2009b). Problem çözme stratejileri çok sayıda olup başlıcaları aşağıda açıklanmıştır.

• Denklem veya Eşitsizlik Kurma: Günlük yaşam problemlerinin çözülmesinde denklemlerden ya da eşitsizliklerden faydalanılır. Problem çözme aşamasında bilinmeyen yerine ifadeyi sağlayan değerlerin bulunması gerekir. Aynı zamanda problemler, bir matematiksel cümle ile çözülebileceği gibi birden fazla matematiksel cümleyle de çözülebilir (Baykul, 2014). Ortaokul ve lise öğrencilerinin kullandığı bu strateji, cebirle ilişkili olarak normal program kapsamında öğrenilip öğrencilerin en iyi kullandığı stratejiler arasındadır (Yazgan ve Arslan, 2017).

• Tahmin ve Kontrol Etme: Bu strateji problemde verilen bilgilerin, çözümü bulmak için kesin olmadığı durumlarda kullanılmaktadır. Problemin cevabı doğrultusunda tahmin yürütülür ve yapılan tahminin istenen olup olmadığı incelenir. Eğer istenen elde edilmişse cevap bulunmuş olur, aksi bir durumda ikinci tahmine geçilir. Cevap bulunana kadar bu süreç devam eder (Altun, 2014). Başarısız olan bir tahmin, bireyi daha iyi bir tahmine götürebilir ve bu şekilde problemi daha iyi anlamasını ve çözüm üretmesini sağlayabilir (Baykul, 2014). Bunun yanında öğrencilere uygun çalışma becerilerinin kazandırılmasına, öğrencilerin probleme odaklanmasına ve temel becerilerle uygulamalar yapmasına olanak sağlamaktadır (Kalman, 2004). Genellikle elde edilen tahminler için bir liste ya da tablo kullanılır (Posamentier ve Krulik, 2009).

• Şekil veya Diyagram Çizme: Problem çözerken verileri destekleyen çizimlerin kullanılmasını içermektedir (Yazgan ve Arslan, 2017). Çözüm sürecinde şekil çizme, problemin anlaşılmasını kolaylaştırdığı ve veriler arasındaki ilişkiyi görmeyi sağladığı için problem çözmede fayda sağlar (Gojak, 2011; Baykul, 2014). Bu strateji tek başına kullanılabileceği gibi başka stratejilerle birlikte de kullanılabilmektedir (Altun, 2014).

• Tablo Yapma: Bazı problemlerin çözümünde, verilenleri ya da çözüm aşamasında elde edilen bilgileri tablo halinde düzenlemek, veriler arasındaki ilişkinin görülebilmesini kolaylaştırmaktadır. Bu şekilde, sonuçların bulunması için gerekli kural bulunur ve problem çözülür. Tablo yapılmadığı zaman, sadece özel çözümlerin incelenmesi problemin yanlış çözülmesine sebep olabilir (Altun, 2014). Yani bu stratejiyle, problemdeki bağıntıyı ortaya çıkarıp eksik olan bilgiyi belirlemek amacıyla verilerden bir tablo yapmak hedeflenmektedir (Yazgan ve Arslan, 2017).

• Rol Yapma: İlkokul ve ortaokul öğrencileri, özellikle 3 ve 4. sınıf öğrencileri için oldukça uygun bir stratejidir (Posamentier ve Krulik, 2009). Karşılaşılan bir problemde, verilen durumun gerçek bir olaymış gibi yerine getirilmesidir. Problemde verilen durum istenildiği şekilde yerine getirildiğinde problem çözülmüş olmaktadır. Bu strateji dramatizasyonla karıştırılmamalıdır. Dramatizasyonda problem çözülmeyebilir, ancak rol yapmada problem çözülmektedir (Baykul, 2014).

• Model Kullanma: Nesneler, nesnelerin benzerleri ve pek çok şekil, matematikte model olarak kullanılabilmektedir. Örneğin, tahtadan, kilden, kartondan malzemelerle çeşitli prizmalar, silindirler, düzlem üzerine çizilmiş üçgenler, herhangi bir dörtgensel şekil, bloklar model olarak kullanılabilmektedir. Modeller aracılığıyla problemler somut hale getirilebildiğinden dolayı çok kullanılmaktadır. Rutin olmayan problemlerin yanında rutin problemlerin çözümünde de kullanılabilmektedir (Baykul, 2014).

• Sistematik Liste Yapma: Bazı problemlerin çözülmesi bütün durumların bilinmesini gerektirir. Böyle durumlarda dikkatli bir sırayla liste yapılması çözümü kolaylaştırmaktadır (Altun, 2014). Hazırlanan listeler, saymanın yanında elde edilen verilerin hepsinin dikkate alınmasına da katkı sağlamaktadır (Baykul, 2014). Burada önemli olan öğrencilerin listeleri hazırlayabilmeleri için sık ve tekrar eden durumlarla ilgili bilgi sahibi olmaları gerektiğidir (Muckerheide, Mogill ve Mogill, 1999).

• Geriye Doğru Çalışma: Matematiksel öğretimde öğrencilere, probleme giriş bölümünden başlamaları ve eylemleri adım adım yapmaları öğretilmektedir. Ancak bu strateji, ters yönde yapılmaktadır. Öğrenciler, problemin son kısmından başlayarak başlangıçtaki eylemleri elde etmek için koşulları geriye doğru hareket ettirmektedirler. Bu şekilde matematiksel işlemleri tersine çevirerek çözüme ulaşmaya çalışmaktadırlar (Posamentier ve Krulik, 2009).

• Mantıksal Akıl Yürütme: Akıl yürütmeye problem çözmenin her aşamasında başvurulmaktadır. Akıl yürütme “böyle ise şöyle olur, şu sonuç çıkar” anlamında kullanılmaktadır. Problem çözmede akıl yürütme, bağıntıların ve ilişkilerin ortaya çıkarılmasında oldukça etkilidir (Baykul, 2014). Yapılan bir çıkarım, diğer bir çıkarımın yapılmasına olanak tanır ve süreç bu şekilde devam eder. Yani yapılan bir çıkarım diğer bir çıkarıma yol açar (Posamentier ve Krulik, 2009).

• Problemi Basitleştirme: Bazı problemlerin karmaşık ya da verilerin çok büyük olması zor gibi görülmesine neden olmaktadır. Bu tür durumlarda aynı problemin daha basit veya daha küçük sayılardan olan örneklerinin incelenmesi faydalı olacaktır. Yani burada daha basit örnekler çözerek mevcut problemin çözüm yolunu keşfetmek, problemin çözümünü mümkün olan en küçük sayılarla incelemek, sonrasında sayıları giderek büyütmeyle problem çözümünü genelleyerek bulmak hedeflenmektedir (Yazgan ve Arslan, 2017). Yani, bu stratejideki temel amaç, problemin aslının nasıl çözülebileceğine yönelik olarak fikir elde etmektir (Moursund, 2007).

• Bilinenleri Eleştirici Biçimde İnceleme: Problemler her zaman düzenli bir biçimde karşımıza çıkmaz, çoğu zaman eldeki verilerden gerekli olanlar seçilerek problemin çözümü gerçekleştirilir. Bazen de çözüm için gerekli verilerin toplanması gerekmektedir. Yani karşılaşılan problemlerde gereksiz bilgiler ya da eksik bilgiler bulunabilmektedir. Bu nedenle problemlerin eleştirici bir biçimde incelenmesi ve problem çözümü için gerekli verilerin seçilerek elde edilmesi gerekmektedir (Baykul, 2014).

• Bağıntı Bulma: Bazı problemlerin özel çözümleri sıralandığında aritmetik, geometrik veya daha değişik diziler olduğu görülür. Bu şekildeki problemlerin çözümüne ulaşabilmek, terimlerin hangi kurala göre oluştuğunu görmekle sağlanabilmektedir (Altun, 2014). Problemlerdeki bağıntıların bulunması bazen oldukça kolay olabilirken bazen de zor olabilmektedir. Öğrencilerin bağıntıları bulmalarının en iyi yolu, farklı problemlerdeki bağıntıları görmeye yönelik alıştırma yapılmasıdır (Posamentier ve Krulik, 2009).

• Eleme: Bazı problemler, birçok seçeneğin denenip, işe yaramayanların elenmesiyle çözülebilmektedir. Denemeler rastgele olmayıp çözüme ulaşacak şekilde yapılmalıdır. Uygun olmayan denemeler ayrı bir yerde listelenmeli ve tekrar edilmemelidir (Altun, 2014).

• Farklı Bir Bakış Açısı Benimseme: Eğer bir probleme farklı bir bakış açısı ile yaklaşılırsa, problem daha etkili ve ilginç bir şekilde çözülebilir. Yani problemi doğrudan açık bir şekilde düşünmek yerine farklı bir bakış açısı ile çözmek için uğraşmak daha hızlı ve etkili sonuçlar verebilir. Bu şekilde çözmek ilginç akıl yürütmeleri ortaya çıkarabilir (Posamentier ve Krulik, 2009).