Matematiksel Düşünmenin Bileşenleri

Matematiksel düşünmenin bileşenleri; bilginin özüne ulaşmayı, matematiksel bakış açısına sahip olmayı, problem çözme stratejilerini kullanmayı, bireyin kendi bilgisini etkili kullanmasını, matematiksel etkinliklerle uğraşmayı hedef alarak belirlenmektedir (Schoenfeld, 1992). Bu kapsamda matematiksel bilgi, zihinsel işlemler ve yatkınlık önem kazanmaktadır (Lim ve Hwa, 2006).

Farklı araştırmacıların matematiksel düşünmenin bileşenlerini belirlemeye çalıştıkları görülmektedir. Bunlardan bazıları şu şekildedir:

Mason, Burton ve Stacey (1985) matematiksel düşünmenin; • Özelleştirme (specializing)

• Genelleme (generalizing)

• Varsayımda bulunma (conjecturing)

• Doğrulama ve ikna etme (justifying and convincing) bileşenlerini kapsadığını ifade etmişlerdir.

Tall (2002) matematiksel düşünmenin; • Soyutlama (abstraction)

• Sentezleme (synthesizing) • Genelleme (generalizing) • Modelleme (modelling)

• Problem çözme (problem solving) • İspat (proof)

bileşenlerinden oluştuğunu belirtmiştir.

Liu (2003) matematiksel düşünmenin; • Tahmin edebilme • Tümevarım • Tümdengelim • Örnekleme • Genelleme • Analoji

• Formal ve informal olmayan usavurma • Doğrulama

bileşenlerinden oluştuğunu belirtmiştir.

Mubark (2005) matematiksel düşünmenin; • Genelleme • Tümevarım • Tümdengelim • Mantıksal düşünme • Sembolleri kullanma • Soyut düşünme

Araştırmacıların belirlemiş oldukları matematiksel düşünme bileşenlerinin ortak noktaları arasında matematiksel düşünmenin, üst düzey düşünme becerisi gerektirdiği ve elde edilen bilgilerin sunulmasının da oldukça önemli olduğu görülmektedir. Belirlenen bileşenlerden ortak olarak özelleştirme, genelleme, varsayımda bulunma, doğrulama ve ikna etme bileşenlerinin bulunduğu belirlenmiştir. Stacey (2006) bu bileşenlerden özelleştirmeyi, örneklere dayalı olarak özel durumları görme; genellemeyi, veriler arasındaki ilişkileri fark etme; varsayımda bulunmayı, veriler arasındaki ilişkilere dayalı olarak tahminde bulunma; doğrulama ve ikna etmeyi de belirlenen durumların neden doğru olduğuna dair sebepler bulma olarak ifade etmiştir. Bu nedenle yapılan çalışmada Mason, Burton ve Stacey (1985)’in belirlemiş olduğu matematiksel düşünme bileşenleri dikkate alınarak incelemeler yapılmıştır.

2.1.5.1. Özelleştirme

Özelleştirme bir problem durumunu anlamak için sistematik örnekleri seçmek ve seçilen bu örnekleri problem üzerinde incelemektir (Burton, 1984). Aynı zamanda bir genellemeye ulaşmayı sağlayacak gerekli verileri bir araya getirme olarak da ifade edilebilir (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Problemde verilenlere göre özel durumlar, rastgele bulunabileceği gibi sistematik şekilde ulaşılan genellemeyi test etmeye dayalı olarak da belirlenebilir (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Rastgele değer vererek özel durumları bulmak, problemin ne anlama geldiğini ya da verilen durumun doğruluğunu belirlemek için faydalı olurken, sistematik değer vermek ise veriler arasındaki ilişkiyi görmede etkilidir (Mason, Burton ve Stacey, 1985, Mason, Burton ve Stacey, 2010). Bunun yanında, öğrencileri problemde istenen durumlar ile ilgili açıklamaya zorlayarak, onların problemleri daha iyi bir şekilde anlayıp konuyla ilgili fikir sahibi olmalarını sağlanabilir. Öğrencilerin, sonucun neden o şekilde olacağına dair yorum yapabilmelerine olanak tanır (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Özelleştirme sürecinde durumlar arasındaki benzer ve karşıt örnekler incelenerek veriler arasındaki ilişkiler bulunmaya çalışılır. Bu şekilde sonuca ulaşılarak bulunan sonucun doğruluğu değerlendirilmiş olur.

2.1.5.2. Genelleme

Genelleme, bireylerin matematiksel düşünme ve problem çözme ile elde ettikleri verileri, veriler arasındaki ilişkilere dayalı olarak birkaç örnekten hareketle daha genel ve kapsamlı olarak uygulanması amacıyla yeniden ifade edilmesidir (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Genelleme becerisi, bireyin bir problem çözümünü başka bir problemi oluşturmaya başladığında ve problem çözümünde kullandığında gelişmeye başlar. Bu nedenle genelleme kolay bir süreç değildir. Bu süreçte öğrencilerin değişkenler arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade etmeleri gerekmektedir (Driscoll, 2007). Geliştirilmesi için öğrencilerin, matematiksel bilgi ve deneyimlerini artırmaya yönelik olarak açık uçlu problemlerle uğraşmaları ve pratik yapmaları oldukça önemlidir (Mason, Burton ve Stacey, 1985).

Genelleme sürecinde belirli örneklerden hareketle istenenle ilgili karar verilmeye çalışılır. Bu nedenle genelleme sürecinde özelleştirme de yapılmaktadır (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Matematiksel düşünmenin önemli süreçlerini oluşturan özelleştirme ve genelleme sürekli etkileşim halindedir. Özelleştirme süreci problemin anlaşılmasını sağlayarak genellemenin oluşturulmasına ortam hazırlayıp genellemeyi test etmeyi sağlar (Mason, Burton ve Stacey, 1985).

2.1.5.3. Varsayımda Bulunma

Varsayımda bulunma, belirli bir yargıda bulunmadan önce gerekli örnekler incelenip, örnekler arasındaki bağıntı ve ilişkiler keşfedilerek, mevcut bağıntılardan sonuca varma süreci olarak ifade edilmektedir (Burton, 1984). Varsayımları belirleme ve test etme, değerlendirme sonucunda da değiştirme, matematiksel düşünmenin temel dayanak noktasını oluşturmaktadır. Bu nedenle varsayımda bulunma döngüsel bir süreç olarak kabul edilmektedir (Mason, Burton ve Stacey, 1985).

Özelleştirme ve genelleme sürecin farkında olarak ya da olmayarak varsayımda bulunma bileşeni kullanılmaktadır. Bu süreçte bir önermenin doğru olabileceği düşünülerek, doğruluğu araştırılmaktadır. Bu aşamada tahminde bulunma, matematiksel fikirleri formüle etme, hipotez kurma, tahminlerden sonuç çıkarma, gibi zihinsel süreçler kullanılmaktadır (Arslan ve Yıldız, 2010).

2.1.5.4. Doğrulama ve İkna Etme

Doğrulama ve ikna etme bileşeni, savunulan ifadenin nedenini araştırma ve varsayımın doğruluğunun nedenlerini anlamaya dayalıdır (Mason, Burton ve Stacey, 1985). Burada temel nokta olan ispat, bir yargı ya da sonucun doğruluğunu yeterli delil göstererek kabul ettirme olarak ifade edilebilir (Yıldırım, 2014). Elde edilen verileri doğrulamak için kullanılan ispat, matematiksel düşünme açısından oldukça önemli bir yere sahiptir (Knuth, 2002). Bu nedenle ispat, öğrencilerin matematiksel düşünmelerini geliştirerek, kavramları daha iyi bir şekilde anlamalarını ve buldukları sonuçların akla uygun olmasını sağlamaktadır (Hersh, 1993; Gökkurt ve Soylu, 2012). Yani matematiksel ispat verilen problemi çözmek yerine matematiğin doğasını anlamayı, matematiği kullanmayı ve problemde verilenlerin nedenini öğrenmeyi sağlamaktadır (Hersh, 1993). Bu nedenle ispatlama süreci, matematiksel düşünmenin geliştirilmesinde, matematiksel bilginin yapısını ve doğasını anlamada, kavramların tarihsel gelişimlerini öğrenmede, öğrenilen kavramları geliştirmede oldukça önemlidir. Kavramları öğrenmenin yanında ulaşılan bilgilerin başka kaynakları açıklaması ve başka kaynaklar tarafından kullanılması için gerekli açıklamaların nedenlerine dayalı olarak yapılması da matematiksel düşünme süreci açısından önemli bir konumda yer almaktadır.