Birinci Problem

İlk problem, matematiksel düşünmenin “varsayımda bulunma” bileşenine yönelik olarak hazırlanmıştır. Bu problem, ortaokul öğrencilerinin problemin sonucuna ulaşırken verilenlere göre bir kabulden yola çıkıp istenene nasıl ulaştıklarını belirlemek amacıyla oluşturulmuştur. Aynı zamanda problem sonucunda birden fazla cevabın olabileceğini görebilmelerini hedefleyen problem, aşağıda verilmiştir.

Bir kırtasiyede mavi kalemler 2 liraya, kırmızı kalemler ise 3 liraya satılmaktadır. Bu kırtasiyeden bir miktar kalem alan Ahmet, 23 lira ödeme yapmıştır. Buna göre Ahmet’in almış olduğu mavi ve kırmızı kalem sayısının neler olabileceğini bulunuz? Kalem sayılarını nasıl bulduğunuzu açıklayınız.

Problemde öncelikle öğrencilerin kalem fiyatları arasındaki ilişkiyi görmeleri beklenmektedir. Buna bağlı olarak kalem fiyatlarını kullanıp toplam fiyata nasıl ulaşabileceklerini belirlemeleri istenmektedir. Bunu yapmak için de hangi kabulleri belirlediklerini ve bu kabulleri nasıl kullandıklarını araştırmak amaçlanmıştır. Ancak problemin sonucunda bu koşulları sağlayan bütün olasılıkları bulup, bunları matematiksel olarak nasıl ifade edip açıklayacaklarını ayrıntılı bir şekilde ifade etmeleri istenmiştir.

3.3.1.2. İkinci Problem

İkinci problem, matematiksel düşünmenin “özelleştirme” bileşenine yöneliktir. Bu problemde ortaokul öğrencilerinin problemde verilen değerleri, hangi kriterlere göre değerlendirdiklerini ve özel durumlarda nasıl kullanacaklarını belirlemek hedeflenmektedir. Genel olarak verilen ifadeleri daha küçük ya da özel durumlarda kullanmaları istenmektedir. Bu kapsamda hazırlanan problem aşağıda verilmiştir.

Hilal’in hayvan resimleri koleksiyonu vardır. Koleksiyonunda uğur böceği, solucan ve arı resimleri bulunmaktadır. Koleksiyondaki solucan sayısı; arı ve uğur böceği sayılarının toplamından daha fazladır. Koleksiyonda toplam 10 tane baş ve 18 tane ayak bulunduğuna göre Hilal’in kaç tane uğur böceği vardır? Cevabınızı ayrıntılı bir şekilde açıklayınız. (Uğur böceğinin 6 ayağının, arının da 4 ayağının olduğu kabul edilecektir.)

Bu problemde ortaokul öğrencilerinden öncelikle koleksiyonda bulunan resimlerdeki ayak ve baş sayıları arasındaki ilişkiyi görmeleri istenmektedir. Daha sonra bu ilişkiye bağlı olarak verilen toplam baş ve ayak sayılarından, resimlerin sayısının kaçar tane olabileceğini belirlemeleri gerekmektedir. Burada toplam sayıdan sadece bir tür resmin sayısının ne olabileceğinin bulunması amaçlanmıştır. Ayrıca problemde yapılan işlemlerin matematiksel olarak nasıl ifade edilebileceğinin ayrıntılı olarak açıklanması istenmiştir.

3.3.1.3. Üçüncü Problem

Üçüncü olarak verilen problem, matematiksel düşünmenin “doğrulama ve ikna

etme” bileşenine yönelik olarak belirlenmiştir. Bu problemde ortaokul öğrencilerinin

verilen ifadelerden yola çıkarak öncelikle istenene ulaşmak için nasıl bir yol izleyebileceklerini bulmaları ve bu şekilde buldukları çözüm şeklinin ne derece doğru olduğunu ifade etmeleri istenmektedir. Daha sonra doğru olduğunu ifade ettikleri durumun, neden doğru olduğunu mantıklı bir şekilde açıklamaları beklenmektedir. Tüm aşamalarda kullandıkları ifadeleri, matematiksel olarak ayrıntılı olarak açıklayarak da ikna etme sürecini, ne derece etkili olarak kullandıkları belirlenmeye çalışılmaktadır. Problemin hazırlanmasında Mason, Burton ve Stacey (2010)’in kitabından faydalanılmıştır. Bu doğrultuda hazırlanan üçüncü problem aşağıda verilmiştir.

Yandaki şeklin alanının hesaplanmasına yönelik olarak nasıl bir yol izlenebilir? Cevabınızı ayrıntılı bir şekilde açıklayınız.

Üçüncü problemde, verilen şeklin alanının bulunması aşamasında, öğrencilerin hangi yöntemleri kullandıklarını ve tercihlerini belirlemek amaçlanmaktadır. Burada öğrencilerin belirlemiş oldukları yöntemlerin dayanak noktası ve kendilerinin yöntemlerini ne şekilde kabul ettikleri tespit edilmeye çalışılmıştır. Devamında ise şeklin alanının nasıl bulunacağına yönelik olarak belirlemiş oldukları yöntemlerin neden kullanıldığını ve bu kullanım şeklinin matematiksel olarak ifadesini, matematiksel kurallar doğrultusunda gerçekleştirerek ifade edip göstermeleri beklenmektedir.

3.3.1.4. Dördüncü Problem

Bu problem, matematiksel düşünmenin “genelleme” bileşenine yönelik olarak hazırlanmıştır. Problemde verilenlerin kullanılmasıyla, ilk aşamada verilen kuralların neler olduğunun tespit edilmesi hedeflenmektedir. Daha sonra belirlenen bu kurala dayalı olarak, sonraki aşamalarda hangi durumların oluşabileceğini ve bunları matematiksel olarak nasıl ifade edeceklerini tespit etmek amaçlanmıştır. Bu kapsamda hazırlanan dördüncü problem aşağıda verilmiştir.

Her katta bir görevlinin bulunduğu yedi katlı bir iş merkezinin son katında ofisi olan Can Bey, günlük gazete almaktadır. Bu iş yerinde gazeteler şu kurala göre dağıtılır. Her görevli kendisine ulaşan gazetelerin yarısını o kata dağıtıp kalanını üst kata göndermektedir. En üst katta sadece Can Bey gazete aldığına göre bu iş merkezine günde kaç tane gazete gelmektedir? Cevabınızı ayrıntılı bir şekilde açıklayınız.

Dördüncü problemde ortaokul öğrencilerinden ilk aşamada hangi kuralın verildiğini görmeleri beklenmektedir. Belirlenen bu kural doğrultusunda, daha sonraki aşamalarda sonucun ne olacağını belirleyebilmeleri istenmektedir. Bu kuralları belirlerken matematiksel ifadeleri doğru bir şekilde kullanıp daha genel ifadeleri bulmaları hedeflenmektedir.

3.3.2. Görüşme

Görüşme, sözlü olarak en az iki kişi arasında yapılan bir iletişimdir. Aynı zamanda çalışmada, araştırılan konu çerçevesinde ilgili kişilerden veri toplamak olarak da ifade edilebilir (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Cohen ve Manion (1994) ise görüşmeyi, araştırmacı ve ilgili kişiler arasında geçen, araştırmanın amacına uygun olarak yapılan sözel bir iletişim aracı olduğunu belirtmişlerdir. Bu şekilde yapılan görüşmeler bireylerin fikirleri, deneyimleri, duyguları ve bilgileriyle ilgili doğrudan alıntılar yapılabilmesine olanak sağlanmaktadır (Patton, 2002).

Görüşme türlerini yapılandırılmış, yapılandırılmamış, yarı yapılandırılmış, etnografik ve odak grup görüşmesi olarak ifade edilmiştir (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Çalışma kapsamında matematik öğretmen ve öğretmen adaylarıyla yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Yarı yapılandırılmış görüşmeler, sabit seçenekli cevaplamanın yanında, araştırılan konu ile ilgili derinlemesine inceleme yapmaya olanak sağlayarak her iki durumun birleştirilmesinde etkili bir yoldur (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Yapılan görüşmelerle matematik öğretmen ve öğretmen adaylarının matematiksel düşünme süreçlerini ve ortaokul öğrencilerine yönelik tahminlerini belirlemek amaçlanmıştır.

Araştırmada öncelikle amaç ve alt amaçlar belirlenmiş, bu doğrultuda matematik öğretmen ve öğretmen adaylarının matematiksel düşünme biçimlerini belirlemekle birlikte ortaokul öğrencilerinin matematiksel düşünmelerini tahmin etmelerine yönelik düşüncelerini ortaya çıkaracak görüşme soruları hazırlanmıştır (Ek-3). Hazırlanan görüşme soruları 3 uzman eğitimci ile tartışılarak soruların, öğretmen ve öğretmen adaylarının görüşlerini ne düzeyde ortaya çıkarabileceğine yönelik olarak fikir alış verişinde bulunulmuştur. Daha sonra hazırlanan soruların pilot uygulaması, 1 matematik öğretmeni ve 2 öğretmen adayı ile görüşülerek yapılmış ve soruların anlaşılma düzeyi,

uygulanmada ne tür zorluklarla karşılaşılacağı, ne kadar zaman alacağı belirlenmiştir. Bu şekilde görüşme sorularına son şekli verilmiştir (Ek-4). Yapılan görüşmelerde görüşme formunda yer alan sorulara ek olarak, görüşmenin gidişatına bağlı olarak ek (sonda) sorular da kullanılmıştır. Görüşmeler sırasında problem çözümleri yapılırken katılımcılara, “Neden bu şekilde çözmeyi tercih ettin?”, “Başka türlü nasıl

çözülebilirdi?” gibi katılımcıların düşüncelerini belirleyebilecek ek sorular sorulmuştur.

Görüşmeler sırasında verileri eksiksiz olarak elde etmek amacıyla, katılımcıların izni doğrultusunda görüşmelerin ses kayıtları alınmıştır.

3.3.3. Gözlem

Gözlem, araştırmada ihtiyaç duyulan verilerin; insan, toplum veya doğa gibi belirlenmiş olan hedeflere odaklanıp, hedeflerin doğrudan veya bir araç yardımıyla izlenmesiyle toplanması sürecidir (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Bu şekilde elde edilen verilerle gözlenen olayı, olayda geçen etkinlikleri, etkinliklere katılan insanları ve gözlenenlerin bakış açıları betimlenebilmektedir (Patton, 2002).

Gözlem, yapılandırma ölçütüne göre yapılandırılmış gözlem ve yapılandırılmamış gözlem olarak ayrılmaktadır (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Araştırmada öğretmen ve öğretmen adaylarının matematiksel düşünme süreçleri ve ortaokul öğrencilerine yönelik tahminleri incelendiğinden yapılandırılmamış gözlem uygulanmıştır. Yapılan bu gözlem, gözlemden önce yapılandırılmayarak gözlemciye bilgi toplamada ve kayıt etmede özgürlük tanıyan bir gözlem yöntemidir (Büyüköztürk ve diğerleri, 2012). Bu kapsamda problemlerin çözümü sırasında gözlem notları tutulmuştur. Bu aşamada, ortaya çıkan önemli durumlar, düşünme süreçleri açısından ilginç olan veriler, katılımcıların ifade ettiklerini destekleyecek şekilde ele alınarak bu amaç doğrultusunda kullanılmıştır.

3.3.4. Doküman

Doküman, araştırılması hedeflenen olgu ya da olaylarla ilgili bilgi içeren yazılı olan veriler olarak bilinmektedir (Yıldırım ve Şimşek, 2011). Araştırmada, ortaokul öğrencileri ile matematik öğretmen ve öğretmen adaylarıyla problemler üzerine yapılan görüşmeler sırasında, katılımcıların matematiksel düşünme süreçlerini ortaya çıkarmak

amacıyla problemlerin üzerinde yapmış oldukları ayrıntılı çözümler yazılı veriler olarak elde edilmiştir. Bu doğrultuda elde edilen dokümanlar, nitel veri olarak, gözlem ve görüşmelerden elde edilen verilerle desteklenerek değerlendirilmiştir.