GENEL BİR NİCEL KURULUŞ YERİ MODELİ

Kuruluş yeri problemlerinin nicel bir modelle ifadesi genel olarak aşağıdaki şekilde formüle edilebilir:

i) M ü m k ü n kuruluş yerlerini ifade eden bir A kümesi:

A = ( A^t, A², A³, . . . Ai...)

A kümesi sonsuz veya sonlu sayıda eleman ihtiva edebilir.^{9 5} H e r elemanı-nın m ü m k ü n bir kuruluş yerini gösterdiği bu k ü m e boş k ü m e olamaz.

ii) Kuruluş yeri seçimine konu olan veya kuruluş yeri a r a n a n yer-leştirme birimi veya yeryer-leştirme birimlerini ifade eden bir Y kümesi:

Y = ( Y^t, Y², Y³, . . . , Y^p, . . . , Y^p)

Kuruluş yeri seçimine konu olan yerleştirme birimi teşebbüs, işletme ve-ya bir tesis, genel olarak bir üretim ünitesidir. H e r elemanın belirli bir w Literatürdeki klasik kuruluş yeri modellerinde yapılan homojen alan, sonsuz

sa-yıda m ü m k ü n kuruluş yeri ve tüketicilerin alan içinde eşit şekilde dağılmaları varsayımları, esas itibariyle diferansiyel metodu uygulayabilmek için başvuru-lan gerekli soyutlamalardır. Bu varsayımların kaldırılması ancak yöneylem araş-tırması metodlannın geliştirilmesiyle m ü m k ü n olmuştur.

93 Sonsuz sayıda eleman ihtiva eden A kümesini esas alan modeller sonsuz sayıda m ü m k ü n kuruluş yerinden hareket eden sürekli kuruluş yeri modelleri, sonlu sayıda eleman ihtiva eden A kümesini esas alan modeller ise sınırlı sayıda m ü m k ü n kuruluş yerinden hareket eden kesikli kuruluş yeri modelleridir.

yerleştirme birimini ifade ettiği Y kümesi sonlu sayıda eleman ihtiva eden ve boş olmayan bir k ü m e d i r .9 6

iii) Yerleştirme birimi veya yerleştirme birimlerinin girdilerinin te-m i n edildiği tedarik te-merkezlerinden ve çıktılarının sunulduğu talep te- mer-kezlerinden oluşan bir B kümesi:

B = (B!, B², B j , . . , Bⁿ)

B kümesi de sonlu sayıda eleman ihtiva eden ve boş olmayan bir küme-dir. Ayrıca B kümesinin h e m eleman sayısı ve h e m de h e r elemanın coğ-rafi konumu sabittir. B kümesinin elemanları, kuruluş yeri seçimine konu olan ü r e t i m ünitesinin ilişkide bulunduğu diğer işletmeleri, h a m m a d d e ve e n e r j i kaynaklarını ve —talep merkezi veya işgücü girdisi için tedarik merkezi olan— yerleşim merkezlerini ifade etmektedir.

iv) A, Y ve B kümeleri arasındaki ilişkiler: girdi ve çıktılara ilişkin taşıma miktarları, taşıma mesafeleri v.b. Bu ilişkiler —modelin optimum çözüm sonuçları olarak belirlenecek olan— yerleştirme birimlerinin Y^p E Y, belirli m ü m k ü n kuruluş yerlerine Aı E A yerleştirilmelerinden bağımsız, planlayıcı için veri niteliğinde olan ilişkilerdir.*

Genel olarak b u dört unsurdan meydana gelen nicel kuruluş yeri m o -deli, belli bir amaç fonksiyonu

Z = F [ A (Yı) , A (Y2) ,..., A ( Yp) ]

belirli sınırlayıcı şartlar altında optimize eden yerleştirme planının be-lirlenmesi olarak belirli bir çözüm metoduyla çözüme ulaştırılacaktır. (Ve-ya Y kümesinin hangi elemanlarının, A kümesinin hangi elemanlarına yerleştirileceği belirlenecektir.)

B u şartlar altında genel kuruluş yeri modeli, kâr (K) maksimizas-yonu amacına göre aşağıdaki şekilde ortaya konabilir:

Amaç fonksiyonu K Max

olup, amaç değişken olan kâr, satış hasılatı ( H )^{9 7} ile maliyet (M) arasın-daki olumlu fark (veya zarar halinde olumsuz fark) olarak tanımlanmaktadır. Kuruluş yeri kararı, işletmenin h e m satış hasılatını ve hem de m a -liyetini, dolayısıyla amaç değişken olan kârı belirleyen —kontrol

edile-9 6 Y kümesinin tek bir eleman ihtiva ettiği modeller tek konumlu kuruluş yeri modelleri, birden çok, sınırlı sayıda eleman ihtiva ettiği modeller ise çok ko-numlu kuruluş yeri modelleridir.

9 7 Burada işletmenin belli bir dönemdeki üretim miktarının tamamen satıldığını, dolayısıyla işletme hasılatının işletmenin satış hasılatına eşit olduğu varsayımı yapılmaktadır.

* E sembolü ile, Yp ve Ad kümelerinin, Y ve A kümelerinin alt kümeleri oldukları ifade edilmektedir.

bilir nitelikte— önemli bir bağımsız değişkendir.^{9 8} Kârı belirleyen unsur-lar ounsur-larak amaç fonksiyonu, H satış hasılatım ve M maliyetleri ifade et-m e k üzere:

K = H - M , K = K (H , M) > Max

olarak yazılabilir. Diğer taraftan yukarıda belirtildiği gibi satış hasılatı ve maliyet, kuruluş yerine bağlı unsurlardır. Ax m ü m k ü n kuruluş yeri, (AO nin coğrafi k o n u m u n u n —ikili bir koordinat sistemindeki— koordi-n a t değerleri olakoordi-n ( yl t, yi 2) vasıtasıyla ifade edilirse, amaç değişken kâr, m ü m k ü n kuruluş yerlerini gösteren A kümesinin bir fonksiyonu olarak

—A kümesinin ( y^t, y²) koordinat değerleriyle ifadesi halinde—

K = H ( y , , y2) - M (y, , y2) ve K = K ( y , , y²) Max

şeklinde tanımlanabilir. B, talep merkezindeki satış hasılatı H j , (Bj deki satış miktarı (Xj) ve satış fiyatı (Pj) nin çarpımı olarak)

H j = X j . P, dir.

T ü m talep merkezlerinde gerçekleştirilen toplam satış hasılatı ise, H = S Hj = - S X j . P j

j=l j=l

şeklinde yazılabilir. Diğer yandan h e r talep merkezindeki satış hasılatını belirleyen (Xj) ve (Pj) nin kuruluş yerine —veya m ü m k ü n kuruluş yer-lerinin koordinat değerleri olan (y4, , yi 2) ye— bağlı olduğu göz önünde tu-tulursa, toplam satış hasılatı m ü m k ü n kuruluş yerlerinin bir fonksiyonu olarak

n m

H = S 2 Xj (y^{i (} , y^{i 2}) . Pj ( y^{i (}, y^{1 2})

İmi 1 = 1

şeklinde ifade edilebilir.

Amaç değişken kârın satış hasılatı yanında diğer belirleyici olan m a -liyetin de, m ü m k ü n kuruluş yerlerini ifade eden A kümesinin —veya

»8 Burada bağımlı bir değişken olarak ele alman kârı (amaç değişken) belirleyen bağımsız değişkenler, kontrol edilebilen ve edilemeyen bağımsız değişkenler şeklinde ikiye ayrılmaktadır. Kontrol edilemeyen bağımsız değişkenler k a r a r vericinin etki alanı dışında kalan ve dolayısıyla modele veri olarak dahil edi-len değişkenlerdir. Kontrol edilebiedi-len bağımsız değişkenler ise k a r a r vericinin etki alanına giren eylem araçlarıdır. Ancak bu eylem araçları vasıtasılya amaç fonksiyonu maksimize veya minimize, başka bir deyimle optimize edilebilecek-tir. Bu nedenle kontrol edilebilen bağımsız değişkenler, modelin çözümü ile belirlenecek çözüm değişkenleridir.

( y ı , Yî) koordinat değerlerinin— bir fonksiyonu olarak ifadesi gerekmek-tedir. Bu amaçla maliyetleri aşağıdaki şekilde sınıflandırabiliriz:9 9

— kuruluş yerine bağlı taşıma maliyeti (M^T)

— kuruluş yerine bağlı diğer değişken maliyetler (M^d)

— kuruluş yerine bağlı sabit yatırım maliyeti (M^s)

— kuruluş yerine bağlı olmaayn maliyetler (Mc)

Kuruluş yerine bağlı maliyetler h e r m ü m k ü n kuruluş yeri için farklı olacağından, b u maliyet kalemleri ( y^u, y^{1 2}) koordinat değerlerinin bir fonk-siyonu olarak toplam maliyet (M), Mt,, M^, Ms j (Aj) m ü m k ü n kuruluş ye-rinde ortaya çıkacak taşıma, değişken ve sabit yatırım maliyetlerini ifade etmek üzere,

M = S Mu (y„ , ya) + S Md j (y„ , yi 2) + 1 Ms j (y„ , y1 2) + Mc

ı=ı 1=1 1=1

şeklinde yazılabilir. Modelin amaç değişkeni olan kârı, K = H - M

farkı olarak belirleyen satış hasılatı (H) ve maliyet (M) yerine, yukarıda-ki değerleri konursa, amaç değişken kâr,

K = İ S Xj (y„ , y^a) . P, (y„ , y^{1 2})

J = ı 1 = 1

s M t i (yıı, yJ 2) — s MD J (y4ı, yu)

1 = 1 .1 = 1

s M^{s j} (yjı , y^{1 2}) — M^c

1 = 1 Max

şeklinde ifade edilebilecektir. Ai m ü m k ü n kuruluş yerinde beher çıktıya düşen birim değişken maliyetin ( m^{d i}) , birim sabit yatırım maliyetinin

(m^) sabit olduğu, yine Ai m ü m k ü n kuruluş yerinden Bj talep merkezine birim mesafe başına taşıma ücretinin (Cu) (örneğin t o n / k m taşıma ücreti) sabit olduğu varsayılır ve At m ü m k ü n kuruluş yeri ile Bj talep merkezi arasındaki mesafe ( du) ile ifade edilirse,

w Kuruluş yerine bağlı olarak maliyetlerin geniş şekilde bir sınıflandırılma ör-neği için bkz.: Enzmann, M.: Die Anwerdung mathematischer Methoden bei der industriellen Standortbestimmung, Diss., Zürich 1962, s. 155 v.d., Ayrıca başka bir sınıflandırma içiiı bkz.: Bloech, J.: a.g.e., s. 8.

n

Mt l = S C y . d y . X i j j = l

(Xy = A^t m ü m k ü n kuruluş yerinden Bj talep merkezine sevkedilen mal m i k t a r ı )1 0 0

M^d, = m^{d l}. Xj

(Xı — Aj m ü m k ü n kuruluş yerinde kurulan üretim ünitesinde üretilen ü r ü n m i k t a r ı ) .^{1 0 1}

M^{s l} = m^{s i}. X,

eşitliklerine göre amaç fonksiyonu

m n m n

K = 2 S Xy ( ytı , y1 2) . P , ( yu , ya) - S S C y . d y . X ü

i = l j = l J = 1 1 = 1

m

— S maj, X, (yu , y^a) 1 = 1

m

— S m^{s l}. x (yi, , y^{i 2})

1 = 1

— Mc Max !

şeklinde ifade edilebilir. Bu amaç fonksiyonuna belirli sınırlayıcı şartla-rın da ilavesiyle genel kuruluş yeri modeli ortaya konabilir. Örneğin za-r a za-r etmeme duza-rumu, yani H — M;> O şaza-rtı, Cy , m^{d i} ve m^s, unsurlarının sa-bitliği dolayısıyla

Pj ^ C^y . ^{d y} + m a + m^{s l}

şeklinde bir sınırlayıcı şart olarak modele dahil edilebilir. Bu sınırlayıcı şartı sağlayamayan Bj talep merkezlerine satış yapılmayacaktır. Yine t ü m değişkenler için negatif olmama şartı,

X ı j , X i , P j , Cy , m ^ , msi > O şeklinde modele dahil edilebilir.^{1 0 2}

ıoo Xy, At m ü m k ü n kuruluş yerinden Bj talep merkezine sevkedilen ü r ü n miktarı yanında, Bj tedarik merkezinden A4 m ü m k ü n kuruluş yerine t a ş m a n girdi mik-tarlarını da kapsadığı varsayılmaktadır.

ıoı A, m ü m k ü n kuruluş yerinde bir üretim ünitesi kuruluyorsa Xj > O; A, müm-k ü n müm-kuruluş yerinde üretim ünitesi müm-kurulmuyorsa X4 = O olacaktır.

102 Bu model Lagranj çarpanı (Lagransche Multiplikator) metodu ile çözülebile-cektir. Çözüm için bkz.: Dantzig, G.B.: Lineare Programmierung und seine Er-weiterungen, Berlin - Heidelberg - New York 1966, s. 63 v.d. Ayrıca bkz.: Bloech, J.: a.g.e., s. 116 v.d. ve Lücke, W.: Produktions - und Kostentheorie, W ü r z b u r g

1969, S. 125 V.d.

Model çözümünde, kârı m a k s i m u m kılan ( y(, , y1 2) koordinat değerle-ri, yani hangi m ü m k ü n kuruluş yerinin (yerlerinin) optimum kuruluş ye-ri (kuruluş yeye-ri sistemi) olarak seçileceği; Xi değerleye-ri yani optimum ku-ruluş yeri (kuku-ruluş yeri sistemi) olarak seçilen m ü m k ü n kuku-ruluş yerin-de (yerlerinyerin-de) kurulacak ü r e t i m ünitesinin (ünitelerinin) kapasiteleri ve Xu değerleri, yani hangi kuruluş yerinden hangi talep merkezine ne ka-dar mal sevkedilmesi gerektiği hususları eşanlı olarak belirlenecektir.

B.3. TEK KONUMLU (VEYA SÜREKLİ) KURULUŞ YERİ