ALTIN ORAN VE FİBONACCİ DİZİSİ

Altın Oran kavramına baktığımızda çok ünlü bir dizi olan Fibonacci sayı dizileri ile karşılaşmaktayız. Bu dizinin yaratıcısı olan Leonardo Fibonacci diziyi tavşanların üremesi üzerinde incelemeler yaparak geliştirmiştir. Altın Oran, Kutsal Oran, Altın Bölüm, Altın Sayı gibi çeşitli isimlerle karşımıza çıkmaktadır bu oran.

Fibonnaci sayı dizisinin 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… şeklinde ilk iki sayı haricinde kendinden önceki iki sayının toplamı şeklinde ilerlediği bilinmektedir. Bu sayı dizisindeki terimleri sonraki terime bölersek; 0,618033989 sayısına giderek yaklaştığını görürüz. Diğer yandan F2 / F1 = 2 F3/F4 =1,5… ve giderek bu bölümlerin 1,618 rakamına yaklaştığı görülür ki bu rakama Altın Oran adı verilmiştir. Serideki 13. sırada yer alan sayıdan

(233) itibaren bu sayı 1,618 olarak sabitlenir. ÖNEMİ VE KULLANILDIĞI YERLER

   Altın Oran olarak bilinen 1,618034 rakamı Altın Bölüm, Altın Sayı hatta Kutsal Oran gibi ifadelerle tanımlanır ve Yunancada bir harf olan Phi (ф ) ile gösterilir. Bu rakamı kutsal denecek kadar önemli kılan nedir peki? Doğadaki ve insan üzerindeki, teknolojideki inanılmaz tesadüfleri ya da artık adına ne derseniz: tesadüf, önem, buluş…

Bildiğim ve gördüğüm, Altın Oran’ı incelerken her yerde karsıma çıkan inanılmaz sonuçlar sonucunda rakamın kutsallığı inanılmazlığına bende katıldım, hayran kaldım.

Samime Avşar

Bu orana göre yapılan resimlerde, mimari eserlerde ve doğada bulunan bir çiçeğin yapraklarındaki simetri çok güzel görünmektedir. Altın Oran doğada veya çevremizde neredeyse her şeyde karşımıza çıkmaktadır. Örnek arayacak olursak buna ilk önce kendimizden yani insan vücudundan başlayabiliriz. Zaten en güzel uyum ve görüntü insanın kendisi değil midir? İnsanın boyuna x dersek, göbek deliğinden ayak uçlarına kadar olan kısmına da y dersek, göbekten başa kadar olan bölge x-y olur. Altın Oran’a göre ise insan vücudunun denklemi x\y = y\(x-y) olacaktır. Aynı denklemi parmak boğumları, kol, yüz hatları. gibi insanın tüm organlarında da uygulayabiliriz.

Bitki yapraklarında, çam kozalaklarında, tohumlarda görebilmekteyiz bu oranı.

Şekil 4. İnsan Vücudundaki Altın Oran

Sanat ve mimari de ise Altın Oranı kullanan ve önemli eserlere imza atanların başında Da Vinci ve Mimar Sinan gelmektedir.

Ancak bilimle sanatın bütünleşmesi sadece Fibonacci Dizisi ve Da Vinci sanatıyla kalmamıştır. Mozart ‘in senfonisi, bir ağacın yaprakları, Mısır Piramitleri... yani doğadaki her yapı, her eser ile ortak ilgi alanı oluşturmuştur sanat ve bilim kendilerine.

Sanatın Gelişim Sürecinde Matematik ve Matematik Sanatı

Şekil 5. Mısır Piramitleri ve Mona Lisa Tablosu

Geçmişten günümüze gelmiş olan en büyük mimari eser olan piramitlerde bile bu oranla karşılaşmaktayız. Firavun Coser için yapılmış olan piramit in 3:1 eğimle ya da 72® ‘ lik açı ile üst üste yığılan 6 mastabadan* oluştuğu görülmektedir. (* mastaba : Eski Mısır uygarlığında, toprak altına gömülen ölülerin anısına, mezarın hemen üstüne kurulan tepesi düz odacık ). Bu ölçümler çökmüş olan piramit incelenerek elde edilmiştir. Piramidin içerisinde büyük ihtimalle bir kule daha olduğu düşünülmektedir. Bu kulenin kenarlarından yola çıkılarak hesaplanan ölçümlere göre bir ikizkenar üçgen ortaya çıkmaktadır. 72-72-36 derecelik açılarla oluşan bu üçgen bir altın üçgendir. Bu üçgende kullanılan trigonometrik oranlardan bahsetmeyeceğim, bu kadarı bile yeterince ilginç. O zamanın koşulları düşünülürse Imhotep’ in bütün bunları hesaplayarak yapmış olma ihtimalinden çok sezgisel olarak düşünme ihtimali ağır basmaktadır. Yani bir sanat eseri yapılırken insanlar simetri, oran, uyum gibi kavramları hesaplamak yerine sezgilerince hareket edebilmektedirler. Daha sonraları yapılmış olan diğer, mimari eserlerde de benzer oranlara rastlamaktayız. Yüzyıllar sonra Mimar Sinan ın yapmış olduğu Süleymaniye Camii’nde Da Vinci’ nin Mona Lisa tablosunda da oranlar kullanılmıştır. Acaba Mimar Sinan ve Da Vinci de Imhotep gibi sezgisel mi yoksa hesaplayarak mı bu eserleri yapmışlardır?

Piramitlerden sonraki bir sanat dönemi ise eski Yunan yani antik çağ dönemindedir. Persleri yenen Yunanlılar hikâyeyi nesillerden nesillere aktarmak için, hem de zaferlerinin

Samime Avşar

  88

tadını çıkarmak için olsa gerek, kendilerini sanata, müziğe, eğlenceye vermişlerdir. Dolayısıyla birçok mimari yapı, tiyatro eserleri, resimler, müzikler miras bırakmışlardır bizlere eski Yunan halkı.

Mona Lisa tablosu Da Vinci’nin yarattığı en önemli eserlerden birisidir. Zaten tüm yaşamı boyunca sanata kazandırdığı eser sayısı bir elin parmaklarını geçmemiş olan Da Vinci özellikle sanat içinde bilimi yorumlama üzerine çalışıp modern bilimin temellerini atmıştır. Da Vinci’ye yarı zamanlı ressam denilmesinin nedeni de budur zaten. Örneğin Mona Lisa tablosuna bakacak olursak, hafifçe gülen bir kadın resmi görürüz ilk bakışta. Sonra bakış açımızı değiştirip tekrar bakacak olursak, bu sefer karşımıza hüzünlü bir yüz çıkmaktadır. Farklı bir açıdan baktığımızda ise ifadesiz bir portre ile karşılaşırız. Bu yönü ile bir perspektif harikasıdır Mona Lisa. Bir matematiksel kuramların birleşimidir.3 farklı açıdan baktığımızda 3 farklı tablo görmemiz zekâ, matematik ve yaratıcılığın ortak sonucundan başka bir şey değildir. Mona Lisa tablosu daha detaylı incelendiğinde içerisinde birçok matematiksel oranları barındırdığı görülmektedir.

Önce Mona Lisa’ nın başının üst kısmından, elbisesinin başladığı yere kadar onu çevreleyen bir dikdörtgen çizdiğimizde oluşan şekil altın dikdörtgendir. Dikdörtgeni kapsayan bir kare çizildiğinde, çenesi karenin alt kenarına değer, sol gözü ise karenin ortasında yer alır. Son olarak, sağ omzu ile sağ yanağı, sol omzu ile sol yanağına göre daha arkada duran Mona Lisa ‘ nın hafifçe yanda duran gövdesi piramitlerde rastladığımız 72-36-72 derece açılara sahip ikizkenar üçgeni oluşturmaktadır. Imhotep ‘ in sezgisel olarak kullandığını düşündüğümüz bir oran yine başka bir eserde karşımıza çıktı. Fakat ben bu sefer sezgisel kullanıldığını düşünmüyorum. Da Vinci Son Yemek, Müneccim Kralların Tapınması, Meryem ‘ e Müjde gibi tablolarında da bu metottan yararlanmıştır. Da Vinci gibi bir dehanın rastlantı sonucu bu oranı kullandığını düşüncesi hatalı geliyor bana göre.

Perspektif, 2 ve 3 boyutlu çizimleriyle tanınan ve matematiği resimlerinde çalışmalarında kullanan bir başkası ise M.C Escher (Maurits Cornelis Escher) adındaki Hollandalı bir ressamdır. 2000’ in üzerinde eser yaratan Escher bunların çoğunda simetrik, perspektif hilelerini kullanmış ve insanları şaşırtmıştır. Bunun içinde ihtiyacı olanı kullanmıştır, eserlerinin çoğunda matematiksel bir yoğunluk görülmektedir.

Sanatın Gelişim Sürecinde Matematik ve Matematik Sanatı

Şekil 6. "Reptiles" adlı eserinde, kağıt üstünde yer alan zemin ve biçimin birbirine geçtiği iki boyutlu soyut çizim, metamorfoz ve yineleme yoluyla üç boyutlu somut figürlere dönüşmektedir.

Günümüzde ise 3 boyutlu resimler üzerinde çalışan en önemli grafiker ressamlardan birisi olan Kurt Wenner ‘in, özellikle kaldırım resimleriyle adından sıkça bahsettiren bir ressamın, ilginç ve matematiksel oranların uygulanışı ve bu uygulamanın güzel sonuçları

bakımından önemli gördüğüm birkaç çalışmasından örnekler vermek istiyorum şimdi.

Şekil 7. Kurt Wenner ‘ in Kaldırım Resimleri

Samime Avşar

  90

Şekil 8 ‘de özellikle uygulanan Altın Oran ve Fraktal Geometrisi, metamorfozlar çizimleri 2 boyuttan çıkarıp yaşama yani 3. boyuta taşımıştır. Verdiğim örneklerde ve sayısız birçok örnekte görebildiğimiz gibi matematik, sanat içindeki haklı yerini almış ve muhteşem sonuçlar yaratmıştır.

Matematiğin sanatta kullanıldığı tek alan resim değildir. Edebiyat, müzik, heykel, mimari gibi çeşitli sanat kollarında da kullanılmıştır matematik. Örnek vermek gerekirse Yavuz Sultan Selim’ in yazdığı bir şiirde simetrik matris ortaya çıkıyor.

Didâr Olur

Sanma şâhım,...herkesi sen...sadıkâne...yâr olur. Herkesi sen,...dostun mu sandın,...belki ol...ağyâr olur. Sadıkâne,...belki ol... âlemde bir...didâr olur. Yâr olur,...ağyâr olur,...didâr olur,...serdâr olur. Yavuz Sultan Selim

Şiiri ilk önce sağdan sola daha sonra yukarıdan aşağıya okuyalım. Hiçbir fark yok ikisi arasında. Yukarıdan aşağıya ve sağdan sola okunduğunda aynı şiir elde ediliyor. Yani transpozesi kendisine eşit olan bir matrisle karşılaşıyoruz.

Müzik ve matematik benzer kurallar ve ölçme teknikleri gerekmesinden dolayı benzeşmektedirler. Periyodik olarak devam eden bu müzik bestekârların içgüdüsel bir sezgi sonucu üretilmiştir genellikle. Öncüleri, bir biyolog olan Robert Brown (1773- 1858) dur. Brown, Brown müzik, Pink müzik, White müzik, Chaotic müzik, Periodic müzik, çalışmalarında matematiği kullanmıştır. Ayrıca, Beethoven da matematiği kullanarak çalışmıştır.

Sanatın sözlükteki anlamı, "Bir duygu, tasarı, güzellik vb.nin anlatımında kullanılan

yöntemlerin tamamı veya bu anlatım sonucunda ortaya çıkan üstün yaratıcılıktır.”Bu tanımda

geçen “ kullanılan yöntemlerin tamamı “ öbeğinde kullanılan yöntemler yani bütün yaklaşım biçimleri, matematiksel yaklaşım biçimleri ile aynı düşünce tarzını anlatmaktadır. Bir olaya doğabilecek, oluşabilecek her türlü ihtimalleri göz önünde tutarak yaklaşmak, matematiksel araştırmanın da temelini oluşturmaktadır. Bu açıdan matematik ile sanatın yöntemleri benzeşmektedir.

Sanatın Gelişim Sürecinde Matematik ve Matematik Sanatı

  91

“Matematik ve sanat” diye baktığımızda, çoğu internet sitesinde, makalelerde veya kitaplarda bulunan yazılarda Altın Oran, simetri gibi kavramlar anlatılmıştır. Yani buraya kadar bahsettiğimiz konular işlenmiştir; fakat sanat, matematik içinde öyle bir şekillenmiştir ki kendisine özgü bir anlayış ve görüntü oluşturmuştur. Mathart - matematiksel sanat- denilen kavram matematiğin yaptığı ve sadece matematik tarafından yapılan sanattır. Çevremizde belki bir kaset kapağında ya da bir reklam panosunda gördüğümüz muhteşem renk uyumu veya gözümüzü alamadığımız o spiraller, matematiğin sanatının birer ürünüdür. Metamorfozlar, fraktal geometrisi, sonsuzluk, düzlem, paradokslar matematiğin sanat için ihtiyaç duyduğu aletlerdir. Nasıl ki bir ressam bir tablo yapmak için tuval, fırça, boya gibi bazı gereçlerle çalışmak zorundaysa, bir matematikçinin ihtiyacı olan bazı kavramlar vardır. Sanat için bir sonsuz bir hayal gücü ve ön yargısız bir anlayış sorgulama gerekmektedir. Bir matematikçi sorgular, sonsuzluğa inanır ve geniş bir hayal gücüne sahiptir. Sanat için ihtiyacı olan her özelliğe sahiptir matematikçi dolayısıyla. Matematikçi her yeteneğe sahip olabilir sanatsal etkinlikler için; fakat neden yapmak istesin ki böyle bir şeyi? Neden gerek duysun matematikçiler sanata? Bu durum şu şekilde açıklanabilir: insansal güdüler. İnsanlar başkaları tarafından takdir edilmeyi, övülmeyi isterler, yaptıkları şeylerin anlaşılıp güzel sözlerle anlatılmasını isterler. Matematiksel sanat, bir matematikçinin aklından geçenleri insanlara anlatabilmenin en kolay yoludur.

Bu ismi 1975 te Benoit Mandelbrot verdi. Latincede “ kırıklı” anlamına gelen fraktus tan fraktal olarak Türkçeleştirilmiştir. Kabaca, fraktal cümle klasik geometride çalışılan cümlelerden daha alışılmışın dışındadır. Cümle ne kadar büyütülürse büyütülsün, daha küçük düzensizlikler görülür. Mandelbrot içinde bulunduğumuz dünyayı bu tür soyut geometrinin alışılmış düz eğri ve yüzeylerden daha iyi açıkladığını öne sürmektedir. FRACTAL GEOMETRY OF NATURE adlı kitabının ilk sayfasında şu cümle yer alır, “Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir ve havlamak düz değildir,ışık da düz doğru boyunca hareket etmez.”(36,s.1) Euclid geometrisi biraz daha soyuttur aslında; çünkü etrafımıza baktığımızda tam küre şeklinde bir portakal ile karşılaşamayız, ya da tam dik bir üçgen göremeyiz.Binalarda duvarların kesim noktaları hiçbir zaman tam olarak 3 boyutlu bir koordinat sistemini vermez bizlere. Fraktal geometri ise bize doğanın şekillerini sunmaktadır bir anlamda ve bir ihtiyaçtan üretilmiştir bir başka bakış açısına göre.

Samime Avşar

  92

Fraktallarda da bir matematiksel yön vardır. Etrafımızda var ola gelen ama bizim yakın zamana kadar görmesini bilmediğimiz geometrik gerçeklerden biri de fraktallar; öyle bir cisim olsun ki, hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın. İşte fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı bu. Aslında doğa aynı doğa. Değişen tek şey matematiğin zenginleştirdiği algılama gücümüz.

Fraktal geometri modern bilimin özellikle kaos biliminin önemli uğraş alanlarından birini oluşturmaktadır. Fraktal oluşumu mantıksal olarak basit olsa da bilimsel olarak biraz daha derindir. Aslında oluşturulması matematiksel tekrarlar yani iterasyonlar yardımıyla oluyor en basit şekilde anlatmak gerekirse. Ne kadar büyütürseniz büyütün ya da ne kadar küçültürseniz küçültün her bir parçası bütünü ile aynı özelliklere sahiptir; fakat gerçekte fraktal geometrisini anlamak için kaos ve sonsuzluk kavramlarını çok iyi öğrenmek gerekmektedir. Fraktallar daha somut kavramlardan oluştuğundan her insana çekici gelen bir oluşum özelliği taşımaktadır. Kabuklu bir deniz canlılarının karmaşık biçimleri, ağaçların veya damarların dallanmaları, yeryüzü şekilleri fraktalların esinlendikleri doğallıklardan bazılarıdır. “ Bulut, dağ, kıyı şeridi veya ağacın şeklini tarif etmek için mevcut geometrinin yetersizliği aşikârdır.” diyerek bu konudaki görüşü Benoit Mandelbrot desteklemiştir.

Fraktalların bir başka önemli özelliği ise özgünlüğü ve sonsuzluğudur. Fraktal boyutlar adı verilen kesirli veya buçuklu boyutlara sahiptirler fraktalar. Ayrıca kenar uzunluğu hesaplanamamaktadır bir fraktal şeklinin; çünkü sonsuzdur. Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün .(aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz) . Kâğıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkânsızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız.

Sanatın Gelişim Sürecinde Matematik ve Matematik Sanatı

Şekil 8. Fraktal Örnekleri Ve Büyütülmüş Parçalar

Fraktal örneklerini sadece çizimlerle sınırlamak kendisine haksızlık olur. Fraktal örnekleri, biraz daha dikkatli bakarsak, her yerde karşımıza çıkmaktadır. Bakış açımızla ne kadar ilgilendiğimizle alakalıdır biraz da. Örneğin; birim matrisin (1x1),(2x2),(3x3)... formlarının tamamının birer birim matris olduğu fraktal örneğiyle eşleştirilebilir. Sol üst köşeden itibaren çizilen her kare matris birim matris olur. Her şekil kendine benzer olan bir form elde ediyoruz yani bir fraktal ortaya koyuyoruz.

Şekil 9. Birim Matristeki Fraktal

Günümüzde mimaride özellikle kullanılan fraktalar çeşitli mimari eserlerin verilmesinde yardımcı rol almaktadır. Özellikle ölçek farklılığı ile kendisine benzer parçalar oluşturma özelliğinden yararlanılmaktadır. Mimaride plan formu, cephe formu, kütle formu, kaplamalar ve 3 boyutlu süslemelerde fraktal örneklerine sıkça rastlamaktayız.

Samime Avşar

  94

K. Yakut ve A. Şen (Editörler): Mantık, Matematik ve Felsefe VI. Ulusal Sempozyumu: Evrim