BÖLÜM 1: YAZIN ve YAZINSAL ÇEVİRİ
1.2. Çeviri ve Yazınsal Çeviri İlişkisi
1.2.1. Çeviri
1.2.1.2. Çeviri ve Kültür
Observa¸c˜ao 2.3.9. As defini¸c˜oes desta se¸c˜ao s˜ao relevantes apenas quando D n˜ao ´e compacto. De fato, se D ´e compacto, algumas hip´oteses nos resultados da se¸c˜ao podem ser retiradas, uma vez que as mesmas j´a estar˜ao satisfeitas em fun¸c˜ao da continuidade do n´ucleo. Isto motiva a discuss˜ao da se¸c˜ao seguinte.
2.4
N´ucleos
L
2-positivos definidos: generaliza¸c˜oes
´E poss´ıvel encontrar na literatura vers˜oes diferentes para o Teorema 2.3.7. Em [20], K¨uhn estabelece uma vers˜ao para n´ucleos em L2P D(X), onde X ´e um espa¸co de
Hausdorff compacto, munido de uma medida de Borel finita e n˜ao-nula µ, cujo suporte ´e o pr´oprio X (se Y ⊂ X ´e aberto e n˜ao-vazio, ent˜ao µ(Y ) > 0). O m´etodo empregado na prova do Teorema 2.3.7 pode ser adaptado para cobrir a seguinte situa¸c˜ao: X ´e um espa¸co topol´ogico compacto munido de uma medida de Borel finita e n˜ao-nula µ, X ´e o suporte de µ e L2(X, µ) ´e separ´avel. Embora estejamos interessados apenas em
subconjuntos de Rm, dedicamos esta parte do trabalho a esta variante.
A menos de especifica¸c˜ao em contr´ario, nesta se¸c˜ao, X ´e um espa¸co topol´ogico
compacto munido de uma medida de Borel finita µ tal que µ(X) > 0. Come¸camos
nosso estudo com os seguintes lemas.
Lema 2.4.1. Seja (Y,M, µ) um espa¸co de medida, com µ(Y ) < ∞. Se K ´e um ele-
mento hermitiano de L2(Y × Y, µ × µ), ent˜ao
Z Y Z Y K(x, y) dµ(x) dµ(y) = Z Y Z Y
Re(K(x, y)) dµ(x) dµ(y),
Demonstra¸c˜ao: Pelo Corol´ario 1.3.5 sabemos que L2(Y×Y, µ×µ) ⊂ L1(Y×Y, µ×µ).
Pelo Teorema de Fubini, K(·, y) ∈ L1(Y, µ) quase sempre e
Z Y Z Y K(x, y) dµ(x) dµ(y) = Z Y ·Z Y K(x, y) dµ(x) ¸ dµ(y) = Z Y ·Z Y K(x, y) dµ(y) ¸ dµ(x) = Z Y ·Z Y K(y, x) dµ(x) ¸ dµ(y). Por outro lado, pelo mesmo teorema
Z Y Z Y K(x, y) dµ(x) dµ(y) = Z Y ·Z Y K(x, y) dµ(x) ¸ dµ(y) = Z Y ·Z Y K(x, y) dµ(x) ¸ dµ(y) = Z Y ·Z Y K(x, y) dµ(x) ¸ dµ(y).
Utilizando a hip´otese temos que as duas equa¸c˜oes acima s˜ao iguais. Portanto, Z Y Z Y K(x, y) dµ(x) dµ(y) = Z Y Z Y K(x, y) dµ(x) dµ(y), e o resultado segue.
O lema abaixo ´e um corol´ario da demonstra¸c˜ao do Lema 2.3.4.
Lema 2.4.2. Se K ∈ C(X × X) as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao v´alidas: (i) A fun¸c˜ao x∈ X 7→ kKxkL2(X,µ) ´e um elemento de C(X);
(ii) ImK ⊂ C(X).
Demonstra¸c˜ao: Basta notar que a continuidade de K e a compacidade de X implicam que Kx ∈ L2(X, µ). Como µ(X) < ∞, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada
segue que x ∈ X 7→ Kx ´e cont´ınua. Procedendo-se como na Observa¸c˜ao 2.3.3 e na
demonstra¸c˜ao do Lema 2.3.4, obtemos os demais resultados.
Lema 2.4.3. Assuma que X ´e o suporte de µ. Se K ∈ L2P D(X)∩ C(X × X), ent˜ao
K ´e hermitiano e K(x, x) ≥ 0, x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Nas condi¸c˜oes do enunciado, pelo Teorema 1.4.17 o operador integral K ´e auto-adjunto. Entretanto, alguns c´alculos utilizando o Teorema de Fubini e a unicidade do operador adjunto de K, mostram que K∗(x, y) := K(y, x) ´e o n´ucleo de
K∗, ou seja,
Z
X
[K(x, y)− K(y, x)]φ(y) dµ(y) = 0, φ ∈ L2(X, µ),
quase sempre. Como K ´e cont´ınua, utilizando o Lema 2.4.2-(ii), conclu´ımos que a equa¸c˜ao acima ´e nula para todo x ∈ X. Al´em disso, a fun¸c˜ao y ∈ X 7→ φx(y) :=
K(x, y)− K(y, x) ´e um elemento de L2(X, µ)∩ C(X), para todo x ∈ X. Logo, da
equa¸c˜ao acima
Z
X|φ
x(y)|2dµ(y) = 0.
Suponhamos que existam z, w ∈ X tais que K(z, w) 6= K(w, z). Da continuidade de φz segue que Y = (φz)−1(C\ {0}) 6= ∅ ´e aberto e possui medida positiva, pois X ´e o
suporte de µ. Mas se isto ocorrer teremos Z
Y |φ
x(y)|2dµ(y) = 0,
o que ´e absurdo, pelo Teorema 1.3.7. Para mostrarmos que K(x, x) ≥ 0, x ∈ X, suponhamos que existe xo ∈ X tal que K(xo, xo) < 0. Como K ∈ C(X × X), existe
2.4 N´ucleos L2-positivos definidos: generaliza¸c˜oes 37
x, y ∈ Vxo. Tomando f := χVxo ∈ L
2(X, µ), utilizando o Lema 2.4.1 e o Teorema 1.3.7,
obtemos hK(f), fi = Z Vxo Z Vxo K(x, y) dµ(x) dµ(y) < 0, contradizendo o fato de K ∈ L2P D(X).
Note que o Lema 2.4.3 ainda ´e verdadeiro quando X ´e um subconjunto n˜ao- compacto de Rm com a topologia usual e K ´e um n´ucleo suave, desde que X seja
o suporte da restri¸c˜ao da medida de Lebesgue.
Lema 2.4.4. Assuma que X ´e o suporte de µ. Se K ∈ C(X × X) e o operador integral
K possui uma representa¸c˜ao espectral L2(X, µ)-convergente na forma
K(f) =
∞
X
n=1
λn(K)hf, φniφn, f ∈ L2(X, µ),
onde{φn} ´e um subconjunto ortonormal de L2(X, µ) e{λn(K)} ⊂ [0, ∞) ´e a seq¨uˆencia
de autovalores de K, ent˜ao a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2, x∈ X,
converge absolutamente em X. Em particular
0≤
∞
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2 ≤ K(x, x), x ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Segue da demonstra¸c˜ao do Lema 2.3.5, trocando-se nos argumentos, o Lema 2.3.4 pelo Lema 2.4.2 e a Proposi¸c˜ao 2.2.9 pelo Lema 2.4.3.
Lema 2.4.5. Sob as condi¸c˜oes do Lema 2.4.4, fixado x∈ X, a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)φn(x)φn(y),
converge absoluta e uniformemente em X para uma fun¸c˜ao cont´ınua Bx, onde Bx(y) :=
B(x, y). A mesma conclus˜ao ´e v´alida trocando-se a ordem das vari´aveis.
Demonstra¸c˜ao: Segue da demonstra¸c˜ao do Lema 2.3.6, utilizando na argumenta¸c˜ao o Lema 2.4.4 no lugar do Lema 2.3.5.
Teorema 2.4.6. Assuma que X ´e o suporte de µ. Se K ∈ C(X × X) e o operador integral associadoK possui uma representa¸c˜ao espectral L2(X, µ)-convergente na forma
K(f) =
∞
X
n=1
onde {φn} ´e um subconjunto ortonormal de L2(X, µ) e a seq¨uˆencia {λn(K)} de auto-
valores de K ´e um subconjunto de um setor circular de ˆangulo < π e v´ertice na origem de C, ent˜ao a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)φn(x)φn(y)
converge absoluta e uniformemente para K em X × X. Ainda, se λn(K) ´e n˜ao-nulo,
ent˜ao φn∈ C(X).
Demonstra¸c˜ao: Segue da demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.7 e dos lemas anteriores.
Teorema 2.4.7. Assuma que X ´e o suporte de µ e que L2(X, µ) ´e separ´avel. Se
K ∈ L2P D(X)∩ C(X × X), ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes valem:
(i) ImK ⊂ C(X) ∩ L2(X, µ);
(ii) K ´e represent´avel por uma s´erie L2(X × X, µ × µ), absoluta e uniformemente
convergente da forma K(x, y) = ∞ X n=1 λn(K)φn(x)φn(y), x, y ∈ X, (2.3)
onde {φn} ´e um conjunto L2(X, µ)-ortonormal formado por autofun¸c˜oes do operador
integral K associadas aos autovalores n˜ao-negativos λn(K).
(iii) O operador K ´e nuclear e tr(|K|) = tr(K) = ∞ X n=1 λn(K) = Z X K(x, x) dµ(x) <∞.
Demonstra¸c˜ao: Os itens (i) e (ii) seguem da demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.8 e dos lemas anteriores. Para o item (iii), observe que a convergˆencia da s´erie (2.3) ´e uniforme e que a seq¨uˆencia
k
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2
´e n˜ao-decrescente e convergente para K(x, x). O resultado segue pelo Teorema da Con- vergˆencia Mon´otona.
Os resultados obtidos nesta se¸c˜ao nos permitem provar agora uma generaliza¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.9.
Teorema 2.4.8. Se X ´e o suporte de µ e L2(X, µ) ´e separ´avel, ent˜ao L2P D(X)∩
C(X × X) ⊂ P D(X).
Demonstra¸c˜ao: Segue diretamente do teorema anterior e das propriedades dos n´u- cleos positivos definidos.
2.4 N´ucleos L2-positivos definidos: generaliza¸c˜oes 39
Observa¸c˜ao 2.4.9. Assumindo-se que o espa¸co (X,M, µ) ´e t˜ao somente um espa¸co com medida finita, n˜ao podemos garantir a mensurabilidade dos conjuntos abertos e das fun¸c˜oes cont´ınuas, informa¸c˜oes utilizadas em argumentos importantes das provas dos resultados anteriores. Logo, com essa hip´otese n˜ao h´a garantia de validade dos resultados. Por outro lado, observamos que os resultados continuam v´alidos, quando substituimos a medida de Borel pelo seu completamento. Em particular, os resultados valem quando X ´e um subconjunto de Rm e a medida ´e a restri¸c˜ao da medida de
Lebesgue.
Os resultados abaixo capturam algumas escolhas importantes para o espa¸co X.
Corol´ario 2.4.10. Seja Sm a esfera unit´aria de Rm+1, m ≥ 1, munida da medida
de Lebesgue usual. Se X ´e um subconjunto fechado de Sm, ent˜ao os teoremas 2.4.6 e 2.4.7 s˜ao ainda verdadeiros, contanto que X seja o suporte da restri¸c˜ao da medida de Lebesgue σm a X.
Demonstra¸c˜ao: Basta notar que L2(Sm, σ
m) ´e separ´avel ([16, p.71]) e utilizar a
Observa¸c˜ao 2.4.9.
O teorema abaixo cont´em o Teorema de Mercer e generaliza um pouco mais os resultados obtidos at´e o momento.
Teorema 2.4.11. Seja X ´e um subconjunto fechado de Rm com medida positiva e que
coincide com o suporte da restri¸c˜ao da medida de Lebesgue a X.
(i) Se X for limitado, ent˜ao o Teorema 2.4.6 e o Teorema 2.4.7 s˜ao verdadeiros. (ii) Se X for ilimitado, ent˜ao as conclus˜oes do Teorema 2.3.7 e do Teorema 2.3.8 ainda
s˜ao v´alidas.
Demonstra¸c˜ao: O item (i) segue da Observa¸c˜ao 2.4.9. Para o item (ii), basta proceder como na demonstra¸c˜ao dos teoremas 2.3.7 e 2.3.8, substituindo o Lema 2.3.6 pelo Lema 2.4.5 nos argumentos.
Os resultados obtidos nesta se¸c˜ao nos permitem provar agora mais uma generaliza- ¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.9.
Teorema 2.4.12. Se Y ´e um subconjunto fechado de Rm que coincide com o suporte
da restri¸c˜ao da medida de Lebesgue de Rm a Y , ent˜ao L2P D(Y )∩C(Y ×Y ) ⊂ P D(Y ).
Demonstra¸c˜ao: Sejam {x1, x2, . . . , xn} um subconjunto de Y e r > 0. Como X ´e o
suporte da restri¸c˜ao da medida de Lebesgue, ent˜ao X = ∪n
j=1(B(xj, r)∩ Y ) tamb´em
´e o suporte da restri¸c˜ao da medida. Al´em disso, Z := X ∩ Y , onde X denota o fecho de X, ´e um conjunto compacto, cont´em o conjunto {x1, x2, . . . , xn} e ´e tamb´em o
suporte da restri¸c˜ao da medida. Aplicando o Teorema 2.4.8 ao n´ucleo K|Z conclu´ımos
que K|Z ∈ P D(Z). Voltando `a defini¸c˜ao de n´ucleos positivos definidos conclu´ımos a
prova.
A prova da rec´ıproca do teorema anterior n˜ao ´e do nosso conhecimento. Entretanto, acreditamos que seja verdadeira com base nas afirma¸c˜oes de K¨uhn [20] e Schaback [37].