Üçgenlerin Özellikleri

(1)

SAİT TANRIÖĞEN - MANİSA CELAL BAYAR ÜNİVERSİTESİ

Dik Üçgenlerde Teoremler Pisagor Teoremi:

Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

Aşağıdaki ABC dik üçgeninde C açısı dik açıdır. a ve b kenarları dik kenarlar, c kenarı ise hipotenüs olarak adlandırılır.

𝑎² + 𝑏² = 𝑐² 𝑎 = √𝑐²− 𝑏² 𝑏 = √𝑐²− 𝑎²

Öklid Teoremi:

ℎ² = 𝑝. 𝑞 𝑏² = 𝑞. 𝑎 𝑐² = 𝑝. 𝑎

1 𝑏²+ 1

𝑐² = 1 ℎ²

Üçgenlerin Özellikleri

 Bir düzlem üçgenin her açısı 0^g dan büyük ve 200^g dan küçüktür.

 Dik üçgenlerde dar açılar birbirini 100^g’a tamamlar.

 Eşkenar üçgenlerde üç simetri ekseni olup, her açı 60^o’dir.

 Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenar toplamından küçük, farkından büyüktür. Örneğin a kenarı için, |𝑏 − 𝑐| < 𝑎 < 𝑏 + 𝑐

 Bir üçgenin iç açıları toplamı 180^o (200^g), dış açılarının toplamı 900^o (1000^g)’dır.

 Genel olarak n kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı : (n-2).200^g, dış açılar toplamı: (n+2).200^g’dır.

 Bir üçgende eşit kenarlar karşısına eşit açılar; büyük kenar karşısında büyük açı, küçük kenar karşısında küçük açı bulunur. Burada söylenenlerin karşıtları da doğrudur.

𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 ↔ 𝐴 ≥ 𝐵 ≥ 𝐶 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵 ≤ 𝐶

Eğik Açılı Üçgenlerin Elemanları Arasındaki Bağıntılar Sinüs Teoremi:

Bir üçgende kenarların karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir.

𝑎

sin 𝐴= 𝑏

sin 𝐵= 𝑐

sin 𝐶 = 2. 𝑅

R: Üçgenin dışına çizilen çemberin yarıçapı.

(2)

Kosinüs Teoremi:

Bir üçgende bir kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamından; bu kenarların ve aralarındaki açanının kosinüsünün çarpımının iki katının çıkarılmasına eşittir.

𝑎² = 𝑏²+ 𝑐²− 2. 𝑏. 𝑐. cos 𝐴 cos 𝐴 =𝑏²+ 𝑐²− 𝑎² 2. 𝑏. 𝑐

𝑏² = 𝑎²+ 𝑐²− 2. 𝑎. 𝑐. cos 𝐵 cos 𝐵 =𝑎²+ 𝑐²− 𝑏² 2. 𝑎. 𝑐

𝑐² = 𝑎²+ 𝑏² − 2. 𝑎. 𝑏. cos 𝐶 cos 𝐶 =𝑎²+ 𝑏²− 𝑐² 2. 𝑎. 𝑏

Projeksiyon Teoremi:

Bir üçgende her kenar, diğer kenarların bu kenar üzerindeki izdüşümlerinin cebirsel toplamına eşittir.

𝑎 = 𝑏. cos 𝐶 + 𝑐. cos 𝐵 𝑏 = 𝑎. cos 𝐶 + 𝑐. cos 𝐴 𝑐 = 𝑎. cos 𝐵 + 𝑏. cos 𝐴

Mollweide Formülleri:

(𝑏 + 𝑐). sin𝐴

2 = 𝑎. cos𝐵 − 𝐶

2 (𝑏 − 𝑐). cos𝐴

2 = 𝑎. sin𝐵 − 𝐶 2 (𝑐 + 𝑎). sin𝐵

2 = 𝑏. cos𝐶 − 𝐴

2 (𝑐 − 𝑎). cos𝐵

2 = 𝑏. sin𝐶 − 𝐴 2 (𝑎 + 𝑏). sin𝐶

2= 𝑐. cos𝐴 − 𝐵

2 (𝑎 − 𝑏). cos𝐶

2= 𝑐. sin𝐴 − 𝐵 2

Tanjant Teoremi:

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏= tan𝐴 + 𝐵 2 tan𝐴 − 𝐵

2

𝑏 + 𝑐

𝑏 − 𝑐 =tan𝐵 + 𝐶 2 tan𝐵 − 𝐶

2

𝑐 + 𝑎

𝑐 − 𝑎= tan𝐶 + 𝐴 2 tan𝐶 − 𝐴

2

(3)

Neper Formülü:

𝑐 + 𝑏

𝑐 − 𝑏= tan𝐶 + 𝐵 2 tan𝐶 − 𝐵

2

Yarım Açı Formülleri:

sin𝛼

2 = √1 − cos 𝛼 2

cos𝛼

2 = √1 + cos 2𝛼 2

tan𝛼

2= sin 𝛼

1 + cos 𝛼=1 − cos 𝛼 sin 𝛼 cot𝛼

2= 1 + cos 𝛼

sin 𝛼 = sin 𝛼 1 − cos 𝛼

Yarım Açı Teoremi:

𝑢 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2

sin𝐴

2 = √(𝑢 − 𝑏). (𝑢 − 𝑐) 𝑏. 𝑐

cos𝐴

2 = √𝑢 (𝑢 − 𝑎) 𝑏. 𝑐

tan𝐴

2 = √(𝑢 − 𝑏). (𝑢 − 𝑐) 𝑢. (𝑢 − 𝑎)

tan𝐵

2 = √(𝑢 − 𝑎). (𝑢 − 𝑐) 𝑢. (𝑢 − 𝑏)

tan𝐶

2 = √(𝑢 − 𝑎). (𝑢 − 𝑏) 𝑢. (𝑢 − 𝑐)

Üçgenin Yükseklikleri:

Üçgende, herhangi bir kenara karşı köşeden indirilen dike o kenara ait yükseklik denir.

ℎ_𝑎 = 𝑐. sin 𝐵 = 𝑏. sin 𝐶 ℎ_𝑏 = 𝑎. sin 𝐶 = 𝑐. sin 𝐴 ℎ_𝑐 = 𝑎. sin 𝐵 = 𝑏. sin 𝐴

Üçgenlere Ait Diğer Teoremler ve Formüller:

tan 𝐴 = 𝑎. sin 𝐵

𝑐 − 𝑎. cos 𝐵 = 𝑎. sin 𝐶 𝑏 − 𝑎. cos 𝐶 tan 𝐵 = 𝑏. sin 𝐶

𝑎 − 𝑏. cos 𝐶= 𝑏. sin 𝐴 𝑐 − 𝑏. cos 𝐴 tan 𝐶 = 𝑐. sin 𝐵

𝑎 − 𝑐. cos 𝐵= 𝑐. sin 𝐴 𝑏 − 𝑐. cos 𝐴