ÇARPANLARA AYIRMA

Bir Polinomun Çarpanları

 

^x

P polinomu, sabit olmayan ve derecesi ^P

 

^{x in}

derecesinden küçük olan polinomların çarpımı olarak yazılabiliyorsa bu polinomlardan her birine P

 

x polinomunun bir çarpanı denir.

Örnek:

 

^{x x 2}

Q   ve ^T

 

^{x x2 1} polinomlarının çarpımı olan ^P

 

^x polinomunu bulalım.

   

^{x x 2.}

 

^{x2 1 x3 2x2 x 2}

P        olur.

 

x x 2

Q   ve ^T

 

^{x x2 1} polinomlarına

 

^{x x3 2x2 x 2}

P     polinomunun çarpanları denir.

 

^{x x3 2x2 x 2}

 

^{x 2.}

 

^{x2 1}

P        şeklinde iki

polinomun çarpımı olarak yazmaya P

 

x polinomunu çarpanlara ayırma denir.

Örnek:

x2 ve x2 2 polinomlarının çarpımı olan polinom,

 

^{x2 2 x4 2x2}

2.

x    olduğundan.

x2 ve x2 2 polinomları x4 2x² polinomunun çarpanlarıdır.

x2 4 2

x  polinomunun çarpanlara ayrılmış hali,

 

^{x2 2}

2. 2 x x 4 2

x    dir.

Asal Polinom

Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir.

Sabit olmayan, baş katsayısı 1 olan ve kendisinden küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamayan polinomlara asal polinom denir.

Örnek:

 

^{x x2 6}

P   , ^Q

 

^{x 3x2 5 ,} A

 

x x8 polinomları iki ya da daha fazla polinomun çarpımı biçiminde

yazılamadığından indirgenemeyen polinomlardır.

Örnek:

 

^{x x}

P  , ^Q

 

^{x x7 , A}

 

^{x x2 3} polinomları asal polinomlardır.

 

^{x 2x 1}

B   polinomu baş katsayısı 1 den farklı olduğundan asal polinom değildir.

 

x 3x 7

R   polinomu baş katsayısı 1 den farklı olduğundan asal polinom değildir.

 

^{x x2 9}

T   polinomu x3 ve x3 polinomlarının çarpımı olarak yazılabildiğinden asal değildir.

 

^{x 9}

K  polinomu sabit polinom olduğundan asal polinom değildir.

Örnek:

3

x ve x3 polinomlarının çarpımı olarak yazılabildiğinden asal değildir.

3 x x

2  polinomu x ve 2x2 1 polinomlarının çarpımı olarak yazılabildiğinden asal değildir.

6 x

3  polinomu baş katsayısı 1 den farklı olduğundan asal polinom değildir.

3

x polinomunun baş katsayısı 1 olup kendisinden küçük dereceli en az iki polinomun çarpımı olarak yazılamadığından asaldır.

Bir Polinomun Asal Çarpanları

Bir ^P

 

^x polinomunun çarpanlarından her biri asal polinom ya da asal bir polinomun kuvveti ise bu polinomlara ^P

 

^x

polinomunun asal çarpanları denir.

Örnek:

   

^{x x 2 .}

 

^{x2 2}

P    ise x2 ile 2 2

x  , ^P

 

^x

polinomunun asal çarpanlarıdır.

  

^{x x 2}

 

^{2. x 3}



Q    ise x3 ile x2, Q

 

x polinomunun asal çarpanlarıdır.

Örnek:

   

^{x x 1.}

 

^{x2 1}

P    ise x1 ile x2 1, ^P

 

^x

polinomunun asal çarpanlarıdır.

  

^{x x 3}

  

^{2. x 1}

Q    ise x1 ile x3, ^Q

 

^x

polinomunun asal çarpanlarıdır.

 

^x

 

^{x2 15.}

^{ }

^{x 1 3.x}

R    ise x2 1 ,

 

^{x13 ile} x,

 

^x

R polinomunun asal çarpanlarıdır.

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri 1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma yapılırken, çarpmanın toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır.

             

^{x .B x A x .C x A x.}



^{B x C x}



A   

Örnek:

 

^{x2 y}

. a y . 2 a x . a 2 ay

ax     

 

x 3 . 4 3 . 4 x . 4 12 x

4     



^{x m}



. mx x . m . m x . x . m 2x 2 m

mx     



x y



. 9 y 9 x 9 y 4 x 7 y 5 x

2       

Örnek:

x y4 3 12 2y x 2 9 3y x

6   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

Bu üç terimli ifadenin her terimi, 3x y² ifadesi ile bölünür. O halde,



^{2x2 3x y 4y2}



2. x y 4 3 x y 3 12 2y x 2 9 3y x

6     

biçiminde çarpanlarına ayrılmış olur.

2. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Verilen polinomun bütün terimlerinin ortak çarpanı bulunmayabilir. Ancak, polinomun terimlerini belirli gruplara ayırarak ortak çarpanlar bulabiliriz. Her gruptan elde edilen çarpanlar arasında ortak olanlar varsa, bu yöntem kolayca uygulanabilir.

Örnek:

by bx ay

ax   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

Dört ya da daha fazla terimli ifadeleri çarpanlarına ayırırken, önce uygun şekilde gruplandırılır. Daha sonra da ortak çarpan parantezine alınır.



^{ax ay}

 

^{bx by}



by bx ay

ax      

^a.

   

^{xy b.xy}



  

ab. xy

Örnek:

nb mb na

ma   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{ma na}

 

^{mb nb}



nb mb na

ma      



m n

 

b.m n



.

a   





^mn

 

^.ab



Örnek:

1 2 t 3 t

t    ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

 

^{t3 t2}

^{ }

^{t 1 t2.}

^{   }

^{t 1 1. t 1}

1 2 t 3 t

t           

^

 

^t1.

 

^t21

Örnek:



^{2b 1}

  

^{2b a2}

.

a    ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{2b 1}

  

^{2b a2 2ab a 2b a2}

.

a       



^2ab2b



^

 

^a2a



   

^{a-1 a. a 1}

2b.  



 

^a1.2ba





Örnek:

1 x y y

x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

  

^{x 1 x y y}



1 x y y

x      

1.

   

x1 y. x1

^

  

^x-1.1y

Örnek:

3 b

a  ve ac7 olduğuna göre abbcacb² toplamının sayısal değerini bulalım.

Çözüm:

3 b a 3 b

a     ve ac7 dir.

Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa, bc4 bulunur.

bc 2 ac b 2 ab b ac bc

ab      

b.

      

ab c. ab  ab .bc 3.412

Uyarı



^{y x}



y

x   tir.

Örnek:

 

^{9 3}

9 3  

          

^{a b db a ca b d a b a b .c d}

.

c          

          

z t y t z x z t y z t x y. z t

x          

Uyarı N

n olmak üzere,

 

^{xy 2n }

 

^{yx 2n}



^xy



^2n1



^yx



^{2n1 dir.}

Örnek:



^ab

   

^{2 bc  ba}

 

^{cb 2} ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^ab

 

^{2  ba}



^{2 dir.}

   

^{cb 2  bc 2 dir.}

      

^{ab 2 bc  ba cb 2}



^ba

   

^{2 bc  ba}

 

^{bc 2}



       

ba .ba.bc  ba bc.bc



      

^b^{a .b}^c.



^b^a  ^b^c





  

^{ba .bc. 2bac}





3. Özdeşlikler



^x3



^{. x3}



^{x2 9} eşitliği, 0

x için

  

^{03. 03 02 999} doğrudur.

1

x için

  

^{13.13 12 988} doğrudur.

2

x için

  

^{23. 23 22 955} doğrudur.



^x3



^{. x3}



^{x2 9} eşitliği, x in her sayı değeri için doğrudur.

Bilinmeyenlere verilen her sayı değeri için sağlanan eşitliklere özdeşlik denir.



^x3



^{. x3}



^{x2 9} eşitliği, bir özdeşliktir.

Bazen verilen ifadeleri çarpanlarına ayırmak için özdeşliklerden kullanılır. Önemli özdeşliklerden bazıları şunlardır.

a. İki Kare Farkı Özdeşliği

^{x2 y2 }



^xy



^.xy



özdeşliğine iki kare farkı özdeşliği denir. İki terimin toplamı ile farkının çarpımı, birinci terimin karesi ile ikinci terimin karesinin farkına eşittir



^{x y}



^{. x y}

 

^{x y}



^{.x y}



^{x2 y2}

y2

x2         

dir.

Örnek:



^{x 2}



^{. x 2}



22 x2 2 4

x       dir.

  

^{a 1. a 1}

12 a2 2 1

a       dir.

 

^{5n 2 22}



^{5n 2}



^{. 5n 2}



2 4 n

25       dir.

 

^{7b 2 32}



^{7b 3}



^{. 7b 3}



2 9 b

7       tür.

Örnek:

  _



 



 



 



 



 





_{  }





 4

x 3 2 4 . x 3 2 2 4 2 3 x 16 2 2 9 x

4 tür.

   

^{5a2 3b 2}

b2 2 3 a

5   

^



^{5a 3b}



^{. 5a 3b}



Örnek:

   

^{205 2  195 2} işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

    

^{205 2 195 2  205195}



^.205195



10.4004000

Örnek:

   

^{0,7 2  0,3 2} işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

    

^{0,7 2  0,3 2  0,70,3}



^.0,70,3



^{0,4.10,4}

Örnek:

a . 2 272 2 132

140   olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:



^{140 132}



^{.140 132}



^8.272

1322

1402     

8 a a . 272 272 . 2 8 2 132

140      dir.

Örnek:



^{x y}



^{.x y}



y2

x2    

eşitliğinden yararlanarak 492.508 çarpımını iki kare farkı şeklinde yazalım.

Çözüm:

2 8 492

508 

olduğu için, 4925008, 5085008 şeklinde yazılabilir.

Buna göre,



^{500 8}



^{.500 8}



^{5002 82}

508 .

492      olur.

Örnek:

28 . 2 22

25  işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:



^{25 3}



^{.25 3}



252 28 . 2 22

25     

^{ 252}



^25232



^{ 25225232}

 32 3

Örnek:

1 3

m  olduğuna göre m.

 

m1.m2



çarpımının sonucunu bulalım.

Çözüm:

  

^{31. 31 312 dir.}

 

^{m 1.m 2}

  

^{3 1. 3 1 1}



^{. 3 1 2}



.

m        

^{ 3.}

  

^{31. 31  3.22 3}

b. İki Terim Toplamının Karesi

 

^{xy 2 x2 2x yy2}

özdeşliğine iki terim toplamının karesi özdeşliği (tam kare özdeşliği) denir.

İki terim toplamının karesi alınırken; birinci terimin karesi, birinci ile ikinci terim çarpımının iki katı, ikinci terimin karesi alınıp toplanır.

Örnek:



^x2



^{2 x2 2x.222 x2 4x4}



^3x2y

  

^{2  3x 22.3x.2y}

 

^{2y 2}

9x212x y4y²

Örnek:

2 6 x 2 9 x 2 x 3 x .3 x . 2 2 x 2 x

x3

  

  

     

  

 



Örnek:

132 ifadesini, 13 sayısını iki sayının toplamı biçiminde yazarak bulalım.

Çözüm:

6 7

13  olarak alalım,



^{7 6}



^{2 72 2.7.6 62 49 84 36 169}

132         

bulunur.

Örnek:

x 5 x 1 ise

x2 2 1

x  ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

x 5

x1  eşitliğinde her iki tarafın karesi alınırsa,

2 25 x

1 x .1 x . 2 2 2 x 5 2 x

x1

  

    

 



2 23 x 2 1 x 2 25

x 2 1

x2       bulunur.

Örnek:

2 10 2 y

x   ve x.y3 olduğuna göre xy kaçtır?

Çözüm:



^xy



^{2 x2 2x yy2 }



^xy



^{2 102.316}

 

^{xy 2 16xy4 bulunur.}

Örnek:

b 3 . a

b2 a2

 

olduğuna göre a2 b2 b2 a2

 kaçtır?

Çözüm:

a 3 b b 3 a b . a b2 b . a a2 b 3

. a

b2 a2













 

olur. Bu eşitlikte her iki tarafın karesi alınırsa,

2 9 a b2 a .b b .a 2 2 b a2 32 2 a b b

a 



    



 





2 7 a b2 b2 a2 2 9

a b2 2 2 b a2











 bulunur.

c. İki Terim Farkının Karesi Özdeşliği

 

^{xy 2x22xyy2}

özdeşliğine iki terim farkının karesi özdeşliği (tam kare özdeşliği) denir.

İki terim farkının karesi alınırken; birinci terimin karesi ile ikinci terimin karesi toplamından, birinci terim ile ikinci terim çarpımının iki katı çıkarılır.

Örnek:



^x2



^{2 x2 2x.222 x2 4x4}

 

^2y2

y 2 . 2x .1 2 2 2x 2 1 y 2 2x

1  



 



 



 



 





2x y 2y² 4

x2







Örnek:



^32



^{2  32 2. 3.222 34 3474 3}

Örnek:

302 ifadesini, 30 sayısını iki sayının farkı biçiminde yazarak bulalım.

Çözüm:

10 40

13  olarak alalım,



^{40 10}



^{2 402 2.40.10 102}

302     

1600800100900 dür.

Örnek:

a 5 a 1

2   ise

a2 2 1 a

4  ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

a 5 a 1

2   eşitliğinin her iki tarafının karesini alalım,

2 25 a

1 a .1 a 2 . 2 2 a 2 4 5 2 a a 1

2 

  

    

 



29 4 2 25 a 2 1 a 4 2 25

a 4 1 a2

4         bulunur

d. Üç Terim Toplamının Karesi



^xyz



^{2 x2 y2 z2 2.}



^{x yx zyz}



Üç terim toplamının karesi; terimlerin kareleri toplamına, terimlerin ikişer ikişer çarpımları toplamının iki katı eklenerek bulunur.

Örnek:



^x3y



^{2 x2 32 y2 2.}



^{x.3x.y3.y}





^x3y



^{2 x2 y2 6x6y2x y9 dir.}

Örnek:



^xy2



² ifadesinin özdeşini bulalım.

Çözüm:



^xy2



²

   

^{y 2 2 2 2.}



^x.

      

^{y x. 2 y . 2}



x2          





^{x y 2x 2y}



. 2 2 2 4 2 y

x      



16 y 4 x y 2 x 2 4 2 y

x     



Örnek:

13 z y

x   , x yx zyz54 olduğuna göre

z2 y2

x2  ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:



^xyz



^{2 x2 y2 z2 2.}



^{x yx zyz}



olduğundan,

54 . 2 2 2 z 2 y 2 x

13    

2 108 2 z 2 y x

169   

61 108 2 169

2 z 2 y

x     



Örnek:



^{a2 3}



^{2 a2 22 }

  

^{ 3 2 2.a.2a. 32 3}



ifadesinin özdeşini bulalım.

Çözüm:



^{a2 3}



^{2 a2 432.}



^{2aa. 32 3}





^{a2 3}



^{2 a2 4a2a 3 4 3 7 dir.}

Örnek:

2 160 2 c 2 b

a    ve acabbc120 olduğuna göre c

b

a  ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:



^abc



^{2 a2b2 c2 2.}



^{abacbc}





^abc



^{2 a2 b2 c2 2.}



^acabbc





^abc



^{2 1602.120160240400}



^abc



^{2 400abc20 bulunur.}

e. İki Terim Toplamının veya Farkının Küpü Özdeşliği

İki terim toplamının küpü özdeşliği,



^xy



^{3 x3 3x2y3x y2 y3}

İki terim farkının küpü özdeşliği.

 

^{xy 3 x3 3x2y3x y2 y3}

Örnek:



^x3y



^{3 x33x2.3y3x.}

   

^{3y 2 3y 3}

y3 2 27 y 9 . x 2 3 x 3 9

x   



y3 2 27 x y 2 27 x 3 9

x   



Örnek:



^{2x2 3y}



³

   

^{2x2 332x2 2.}

 

^{ 3y 3.2x2.}

   

^{ 3y 2  3y3}



 

^{3y 3.2x2.3y2 3 3y3}

4. x 4 . 6 3 x

8    



y3 3 2 3 2y x 18 4y x 3 6 12 x

8   



Örnek:

x 2 x 1 ise

x3 3 1

x  ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

23 3 x x 1 x 2

x 1  







 





3 8 x

1 x2 . 1 x . x 3 .1 x2 . 3 3

x    

3 8 x

1 x .1 3 x . 3 3

x    



x 8 x 1 . 3 3 x 3 1

x   







 





8 2 . 3 3 x 3 1

x   



2 6 3 8 x 3 1

x     bulunur.

Örnek:

2 51 x y 3 3

x   ve y3 3x2y24 olduğuna göre xy farkı kaçtır?

Çözüm:

Verilen birinci eşitlikten ikinci eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa,



^{y3 3x2y}



^{51 24}

x y2 3 3

x     

27 2y x 3 3 2 y x y 3 3

x    

33 y3 x y2 3 2y x 3 3

x    

 

^{xy 3 33 xy3 bulunur.}

f. İki Terimin Küplerinin Toplamı veya Farkı Özdeşliği

İki terimin küplerinin toplamı özdeşliği



^{a b}



^.



^{a2 ab b2}



b3

a3     

İki terimin küplerinin farkı özdeşliği.

 

^{a b.}



^{a2 ab b2}



b3

a3    

Örnek:

3 8

x  ifadesinin özdeşini yazalım.

Çözüm:



^{x 2}



^.



^{x2 2x 4}



23 x3 3 8

x       

Örnek:

y3 3 27 x

8  ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

   

^{2x 3 3y 3}

y3 3 27 x

8   

^



^2x3y



^.



^{4x26x y9y2}



Örnek:

   

^{5m3 4n 3}

n3 3 64 m

125   

^



^5m4n



^.



^{25m220mn16n2}



Örnek:

4 y

x  ve x.y2 ise x3 y³ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm:

 

^{xy 3 x33x2y3x y2y3}

 

^{x y}

x y 3 3 3 y 3 x

4    



40 24 3 64

3 y x 4 . 2 . 3 3 3 y x

64        bulunur.

Örnek:

x 3 x 2

3   ise

x3 3 8 x

27  kaçtır?

Çözüm:

 

^{3x 3 3.}

 

^{3x 2. 2}_x ^{3.3x. 2}_x ² _x^{2 3}

3 x x 2

3





 



 



 



 



 



 



 





_{    }

 

 





_













 x

x 2 3 . 3 18 x 3 8 x 3 27 x

8 x x 36 3 54 x 3 27 3

81 54 3 27

x 3 8 x 27 3 . 3 18 x 3 8 x 27

27        olur.

4. İki Terimliler İçin Genel Durum

 

^{x y .}



^{xn 1 xn 2y xn 3y2 ... yn 1}



yn

xn           dir.

Ve n tek sayı ise;

 

^{x y .}



^{xn 1 xn 2y xn 3y2 ... yn 1}



yn

xn           dir.

Uyarı:

yn

xn  ifadesinde n çift sayı ise xn yⁿ ifadesi

çarpanlarına ayrılamaz. Ancak özdeşlikler şeklinde yazılabilir.

Örnek:

 

^{x y.}



^{x3 x2y x y2 y3}



y4

x4      

 

^{x y .}



^{x4 x3y x2y2 x y3 y4}



y5

x5       

y4

x4  ifadesinin terimleri, eşit tek kuvvetler şeklinde yazılamadığından ifadenin çarpanları yoktur.

Örnek:

 

^{x y.}



^{x4 x3y x2y2 x y3 y4}



y5

x5       

     

^{x2 3 .y2 3 x2 y2.x4 x2y2 y4}



y6

x6       

      

^{x3 2 .y3 2 x3 y3.x3 y3}

y6

x6     

^

 

^xy.



^{x2x yy2}



^.

^{ }

^xy



^{x2x yy2}



Örnek:

 

^{x 1.}



^{x3 x2 x 1}



4 1

x      



^{x 2}



^.



^{x4 2x3 4x2 8x 16}



25 x5 5 32

x         

Örnek:

5 5 x

5  ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

 

^{x2 1 5.}

^{ }

^{x 1.}



^{x4 x3 x2 x 1}



. 5 5 5 x

5         

Örnek:

7 1

x  ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

 

^{x 1.}



^{x6 x5 x4 x3 x2 x 1}



7 1

x         

5. Tam Kare Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma



^xy



^{2 x2 2x yy2 ve}

 

^{xy 2 x2 2x yy2}

özdeşliklerinden yararlanarak yapılan çarpanlara ayırmadır.

İki terim toplamının karesi özdeşliği üç terimlidir. Üç terimli bir ifadede iki terimin karekökü alınabiliyor ve üçüncü terimi de bu iki karekökün çarpımının iki katından elde

edilebiliyorsa bu ifade bir tam kare olarak yazılabilir.

Örnek:

y2 x y 2 2

x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

1. ve 3. terimler pozitif ise karekökleri alınır. Kareköklerin çarpımının 2 katı 2. terimi veriyorsa, ifade tam karedir. Tam karenin işareti 2. terimin işaretidir. Yani



^{x y}



²

y2 x y 2 2

x     dir.

1. ve 3. terimler aynı işaretli değilse üç terimli, tam kare olamaz.

Örnek:

 

^{x 12}

12 1 . x . 2 2 x 1 x 2 2

x       

 

^{x 3 2}

32 x . 3 . 2 2 x 9 x 2 6

x       

 

^{x 2 2.x.3y}

  

^{3y 2 x 3y}



²

y2 9 x y 2 6

x       

 

^{0,4 2 2.0,4.y2}

   

^{y2 2 0,4 y2 2}

y4 y2 8 , 0 16 ,

0       

Örnek:

3 a x 2 8

x    ifadesi tam karedir. Buna göre a nın değerini bulalım.

Çözüm:

3 a x 2 8

x    ifadesi tam kare ise, x in katsayısının yarısının karesi a3 ifadesine eşittir.

Buna göre,

13 a 3 a 16 3 a 2 2

8       







 





_bulunur.

Örnek:

32

x ve y12 olmak üzere x2 6x y9y² ifadesinin değerini bulalım.

Çözüm:

  

^{3y 2 x 3y}



²

y 3 . x . 2 2 2 x y 9 x y 2 6

x       

32

x ve y12 için ^{x2 6x y9y2 }



^x3y



²

ifadesinin değeri;



^323.12

  

^{2  4 2 16 bulunur.}

Örnek:

5 y 2 2 y 10 xy 2 6

x     ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

54 y 2 2 y 10 x y 2 6

x    













 2 2y 1

2 y y 9 x y 2 6 x

5 y 2 2 y 10 x y 2 6

x    



^{x26x y9y2}

 

^{ y22y1}



^4





^{x 3y}

  

^{2 y 12 4}

5 y 2 2 y 10 x y 2 6

x          tür.



^x3y



^{2 ve}

 

^{y1 2} ifadelerinin alabileceği en çüçük değer sıfır olduğuna göre, x2 6x y10y2 2y5 ifadesinin en küçük değeri alabilmesi için



^x3y



^{2 0 ve}

 

^{y1 2 0} alınmalıdır.

Buna göre, verilen ifade en az; 0044 olur.

Örnek:

176 . 2 24 176

A  ve B242 24.176 olduğuna göre B

A toplamının sonucu kaçtır?

Çözüm:

176 . 2 24 24 176 . 2 24 176 B

A    

1762 176 . 24 . 2 2 176 B

A   



^{176 24}



^{2 2002 40000}

B

A     bulunur.

Örnek:

b2 2 4 2 a x ab 4 x 6

9     ifadesini çarpanlarına

ayıralım.

Çözüm:

b2 2 4 2 a x ab 4 x 6

9     ifadesini önce gruplandıralım.

b2 2 4 2 a x ab 4 x 6

9    



^96xx2

 

^{ a24ab4b2}







^{ }



^

^ _ ^

^{ }

^{  } _ ^

 32 2.3.x x2 a2 2.a.2b 2b 2

  

^{3x 2 a2b}



²





^{3xa2b}



^{. 3xa2b}





6. x2bxc Şeklindeki Üç Terimliyi Çarpanlara Ayırma.

c 2 bx

x   üç terimlisini c sabit teriminden yararlanarak çarpanlarına ayıralım:

n . m

c ve bmn olacak biçimde m ve n sayılarını bulabilirsek,



^{m n}



^{x m.n}



^{x m}

 

^{. x n}

x2 c 2 bx

x          olur.

Örnek:

 

^{3 1x 3.1}



^{x 3}

 

^{. x 1}

x2 3 x 2 4

x         

 

^{2 3 x 2.3}



^{x 2}



^{. x 3}



x2 6 x 2 5

x         



^{2 3}

   

^{x 2. 3}

x2 6 x 2 5

x         



  

x2 .x3



^{2 3}

     

^{x 2.3 x 3. x 2}

x2 6 2 x

x           



^{3 8}

   

^{a 3 . 8}

a2 24 a 2 11

a         

^

  

^{a3 .a8}



^{2 9}

  

^{x 2.9}

n2 18 n 2 7

n        

^

  

^{x2. x9}

Örnek:

a 2 x . a 3

x2   ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

   

^{xa 2 3.xa 2}

a 2 x . a 3

x2      eşitliğini yazabiliriz.

Bu eşitlikte xa n alınırsa,



^{2 1}

   

^{n 2 . 1}

n2 2 n 2 3 n a 2 x . a 3

x2            

^

  

^{n-1.n2 }

  

^{xa1.xa2}

bulunur.

Örnek:

   

^{x22x2 7.x22x 8} ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

Bu ifadede x2 2xa alınırsa,

   

^{x22x 7.x22x 8}



^{8 1}

  

^8.1

a2 8 2 7a

a        



  

^{a1. a8 }



^x22x1



^.x22x8







^{x22.x.112}



^.



^x2

^

^24

^{  }

^x4.2





    

^{x12. x2. x4}



Örnek:

   

^{x222 5.x22 6} ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:

   

^{x2225.x22 6}

 

^{x222 }

^

^61

^

^.

 

^{x22 }

^{ }

^6.1





^x226



^.x221

   

^{ x24.x23}



  

^{x222.x23 }

^{  }

^{x2 . x2 .}

 

^x23

 olur.

7. ax2bxc Şeklindeki Üç Terimliyi Çarpanlara Ayırma.

0

a olmak üzere ax2 bxc biçimindeki polinomlar çarpanlarına ayırırken a ve c nin çarpanlarına bakarız.

n . m

a ve cp.q olsun.

Şayet bmpqn ise



^{mx q}



^{.nx p}



c 2 bx

ax      şeklinde çarpanlarına

ayrılır

Örnek:

5 x 2 13 x

6   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

Bulacağımız iki terimli çarpanların ilk terimleri 6x² nin çarpanları, son terimleri ise 5 in çarpanlarıdır. Karşılıklı çarpımların toplamı da 13x olacaktır. 6x² ve 5 in çarpanlarından hangilerinin karşılıklı çarpımlarının 13x ettiğini bulalım.

Şekle göre verilen koşullara uygun olarak



^{3x 5}



^{.2x 1}



5 x 2 13 x

6      biçiminde çarpanlarına

ayrılır.

Örnek:

3 x 2 7 x

2   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{2x 1}

 

^{. x 3}

3 x 2 7 x

2     

Örnek:

5 x 2 13 x

6   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{2x 1}



^{.3x 5}



5 x 2 13 x

6     

Örnek:

4 x 2 3 x

7   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{7x 4}

 

^{. x 1}

4 x 2 3 x

7     

Örnek:

6 2 x x

2   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:



^{2x 3}

 

^{. x 2}

6 2 x x

2     

8. Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlarına Ayırma Verilen metotlarla çarpanlara ayrılamayan ifadelere, uygun terimler eklenip çıkarılarak, ifade bilinen özdeşliklere benzetilip çarpanlarına ayrılır.

Örnek:

b4 b2 a2

a4   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

b4 b2 a2

a4   ifadesi, bir tam kare değildir. Bu ifadenin tam kare olabilmesi için orta terim 2a2b² olması gerekir.

İfadeyi tam kare yapmak için a2b² ifadesini bir ekleyip bir çıkaralım.

b2 a2 b2 a2 b4 b2 a2 a4 b4 b2 a2

a4      

b2 a2 b4 b2 a2 . 4 2

a   



 

^{a222.a2.b2}

 

^{b22 }

^{ }

^{ab 2}







 





 

^{a2b2 2}

^{ }

^{ab 2}





^a2b2ab



^{.a2b2ab}





Örnek:

2 9 x 4 5

x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

2 9 x 4 5

x   ifadesini çarpanlarına ayırmak için x² ifadesini bir ekleyip bir çıkaralım.

x2 x2 2 9 x 4 5 x 2 9 x 4 5

x       

2 9 x²

x 4 6

x   



^

 

^{x2 22.x2.332}

_

^x2



 





^

 

^x232x2

  



^{x2 x 3}



^{.x2 x 3}



x 2 3 x . x 2 3 x





















Örnek:

24 x 2 2

x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

24 x 2 2

x   ifadesini çarpanlarına ayırmak için 1 sayısını bir ekleyip bir çıkaralım.

  ^{ }



^{x 1 5}



^{. x 1 5}

   

^{x 6. x 4}

52 12 2 x 2 5 1 1 . x . 2 2 x

25 1 x 2 2 x 1 1 24 x 2 2 x 24 x 2 2 x





















































Örnek:

4 1 x 8 6

x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

4 1 x 8 6

x   ifadesini çarpanlarına ayırmak için 4x⁴ terimini bir ekleyip bir çıkaralım.

x4 4 4 x 4 4 1 x 8 6 x 4 1 x 8 6

x       

x4 4 4 1 x 8 2

x   



 

^{x4 22.x4.112 }

^{ }

^{2x 2 }

 

^{x412 }

^{ }

^{2x 2}







 







^{x4 1 2x}



^{.x4 1 2x}













 

 

 

 

 

 

_{   }

 x4 2x 1 . x4 2x 1

9. Rasyonel İfadelerde Sadeleştirme

Rasyonel ifadenin payı ve paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilir.

Örnek:

2 x 2 3 x

6 x 2 5 x







 ifadesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

  

  

^{xx 12..xx 23 xx 13}

2 x 2 3 x

6 x 2 5 x



 







 







 bulunur.

Örnek:

 

 

^{a 12 1}

2 1 1 a







 ifadesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

 

    

    



^{aa.a 2}



^{2.a aa 22}

1 1 a . 1 1 a

1 1 a . 1 1 a 2 1

1 a

2 1 1 a



 



 















 









bulunur.

Örnek:

2 335 72

53 723



 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

   

2 335 72

52 5 . 2 72 72 . 5 72 2 335

72 53 723







 





 

₇₇

2 335 72

2 335 72 .

77 



  olur.

Örnek:

 

 



 



 





_ ^

 

x 1 x 1 x : x x 2

1 ifadesinin en sade şeklini

bulalım.

Çözüm:

     





 



 



 



 



 











 

 

 

1 x . x

12 2 x : x x

x 2 1 x

1 x 1 x : x x 2 1

      



^{2x 1}



. 1

1 x . . x x

x 2 1 1 x x . 1 x x

1 x . . x x

x 2 1





 











 

  

^{1 2x}

  

^{x 1 1 x}

. 1

1 x . . x x

x 2

1    





 

 bulunur.

Örnek:

a

4 21 olduğuna göre,

) 8 2 2 ).(

8 2 2 (

4 2





 işleminin

sonucunu bulalım.

Çözüm:

 

^{8 2}

 

²

 

^{2 2}

22 4 22 ) 8 2 2 ).(

8 2 2 (

4 2



 







4 2 2 4 2 2 . 4 2 2





 



 



 



 



4 22a1 Örnek:

 

 



 



 





_{  }



x x 1 x3 x . x 1

x 5 1 x

ifadesinin en sade şeklini bulalım.

Çözüm:

x 2 1 4 x .x x 2 1 x

x 6 1 x

x) x 1 x3 x).(

x 1 (

x 5 1 x

















