Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

(1)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Kas¬m, 2018

(2)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

gra…¼gi, bir fonksiyon veya ölçüm sonucu elde edilen nokta kümesinden geçen polinomu belirlemek suretiyle

veri kümesi içerisinde eksik olan de¼geri tahmin etme i¸slemi olarak tan¬mlanan interpolasyon kavram¬n¬tan¬tarak,

interpolasyon polinomunu ad¬verilen söz konusu polinomun Cebirsel, Newton ve Lagrange gibi farkl¬formülasyonlar yard¬m¬yla elde edili¸sini, farkl¬formülasyonlar¬n özelliklerini,

elektronik ortamda interpolasyon i¸sleminin nas¬l gerçekle¸stirildi¼gini ve interpolasyon i¸sleminde olu¸san hata kavramlar¬n¬inceleyece¼giz.

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 4 Kas¬m, 2018 2 / 58

(3)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

(4)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

interpolasyon polinomunu ad¬verilen söz konusu polinomun Cebirsel, Newton ve Lagrange gibi farkl¬formülasyonlar yard¬m¬yla elde edili¸sini,

farkl¬formülasyonlar¬n özelliklerini,

(5)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

(6)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

elektronik ortamda interpolasyon i¸sleminin nas¬l gerçekle¸stirildi¼gini ve

interpolasyon i¸sleminde olu¸san hata kavramlar¬n¬inceleyece¼giz.

(7)

Interpolasyon polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Bu bölümde

(8)

Interpolasyon

Apsisleri birbirlerinden farkl¬olan

A= f(^tⁱ^{, y}ⁱ)jⁱ =0, 1, ..., ng^{, e¼}^{ger i} 6=^{j ise t}ⁱ 6=^t^j^, nokta çiftleri kümesinin verildi¼gini kabul edelim.

A kümesindeki verilerden hareketle, herhangi bir t 2 [^t⁰^{, t}ⁿ], t 6=^tⁱ^{, i} =0, 1, ..., n

noktas¬ndaki bilinmeyen y de¼gerini tahmin etme i¸slemi s¬kça ihtiyaç duyulan bir i¸slemdir ve bu i¸sleme interpolasyon i¸slemi ad¬

verilmektedir.

(9)

Interpolasyon

Apsisleri birbirlerinden farkl¬olan

A= f(^tⁱ^{, y}ⁱ)jⁱ =0, 1, ..., ng^{, e¼}^{ger i} 6=^{j ise t}ⁱ 6=^t^j^, nokta çiftleri kümesinin verildi¼gini kabul edelim.

A kümesindeki verilerden hareketle, herhangi bir t 2 [^t⁰^{, t}ⁿ], t 6=^tⁱ^{, i} =0, 1, ..., n

noktas¬ndaki bilinmeyen y de¼gerini tahmin etme i¸slemi s¬kça ihtiyaç duyulan bir i¸slemdir ve bu i¸sleme interpolasyon i¸slemi ad¬

verilmektedir.

(10)

Interpolasyon ve Extrapolasyon

ti de¼gerleri deney gözlem zamanlar¬n¬ve yi ’ler ise bu zamanlarda elde edilen deneysel gözlem sonuçlar¬olabilir.

Gözönüne al¬nan veri aral¬¼g¬n¬n, yani [t0, tn]aral¬¼g¬n¬n d¬¸sar¬s¬ndaki bir noktadaki tahmin i¸slemi ise ekstrapolasyon olarak adland¬r¬lmaktad¬r.

(11)

Interpolasyon ve Extrapolasyon

ti de¼gerleri deney gözlem zamanlar¬n¬ve yi ’ler ise bu zamanlarda elde edilen deneysel gözlem sonuçlar¬olabilir.

Gözönüne al¬nan veri aral¬¼g¬n¬n, yani [t₀, t_n]aral¬¼g¬n¬n d¬¸sar¬s¬ndaki bir noktadaki tahmin i¸slemi ise ekstrapolasyon olarak adland¬r¬lmaktad¬r.

(12)

Interpolasyon

t noktas¬ndaki bilinmeyen de¼geri tahmin etmek için

P(t_i) =y_i, i =0, 1, ..., n (1) özelli¼gini sa¼glayan ve interpolasyon polinomu ad¬verilen derecesi en küçük P polinomu bulunarak, bilinmeyen P(t) de¼geri bu polinom yard¬m¬yla tahmin edilebilir. Bu noktada bir çok soru akla gelmektedir:

(13)

Interpolasyon

Verilen herhangi A kümesi için (1) özelli¼gini sa¼glayan bir polinom var m¬d¬r?

söz konusu polinom nas¬l belirlenir?

elde edilen ve belirtilen özellikleri sa¼glayan en dü¸sük dereceli polinom, yani interpolasyonu polinomu tek midir ve derecesi hakk¬nda ne söyleyebiliriz?

elde edilen interpolasyon polinomu yard¬m¬yla gerçekle¸stirilen interpolasyon i¸sleminde olu¸san hata tahmini olarak ne kadard¬r? sözkonusu hatay¬minimize etmek için neler yap¬lmal¬d¬r?

(14)

Interpolasyon

(15)

Interpolasyon

(16)

Interpolasyon

elde edilen interpolasyon polinomu yard¬m¬yla gerçekle¸stirilen interpolasyon i¸sleminde olu¸san hata tahmini olarak ne kadard¬r?

sözkonusu hatay¬minimize etmek için neler yap¬lmal¬d¬r?

(17)

Interpolasyon

elde edilen interpolasyon polinomu yard¬m¬yla gerçekle¸stirilen interpolasyon i¸sleminde olu¸san hata tahmini olarak ne kadard¬r?

sözkonusu hatay¬minimize etmek için neler yap¬lmal¬d¬r?

(18)

Interpolasyon

Yukar¬da belirtilen sorular¬n önemli bir k¬sm¬gerek Newton ve gerekse Lagrange’¬n çal¬¸smalar¬yla aç¬kl¬¼ga kavu¸sturulmu¸s ve

istenilen özellikleri sa¼glayan interpolasyon polinomunun varl¬¼g¬, bu polinomu in¸sa etmek suretiyle ispatlanm¬¸st¬r.

Kullan¬lan yöntemler ilerleyen bölümlerde inceleyece¼gimiz üzere birbirinden farkl¬d¬r.

(19)

Interpolasyon

istenilen özellikleri sa¼glayan interpolasyon polinomunun varl¬¼g¬,

bu polinomu in¸sa etmek suretiyle ispatlanm¬¸st¬r.

(20)

Interpolasyon

(21)

Interpolasyon

(22)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Newton)

Öncelikle iki adet (t0, y0),(t1, y1)nokta çifti gözönüne alal¬m.

Bu iki nokta çifti için (1) özelli¼gini sa¼glayan çok say¬da polinom bulabiliriz.

Ancak gra…¼gi bu iki noktadan geçen en dü¸sük dereceli polinom birinci dereceden olup a¸sa¼g¬daki gibidir:

P1(t) =y0+ ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀(t t0) (2)

(2) polinomu, yukar¬da yaz¬ld¬¼g¬biçimiyle Newton formülasyonudur.

(23)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Newton)

P1(t) =y0+ ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀(t t0) (2)

(24)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Newton)

P1(t) =y0+ ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀(t t0) (2)

(25)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Newton)

P1(t) =y0+ ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀(t t0) (2)

(26)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Cebirsel)

Alternatif olarak

P1(t) =a+bt (3)

biçiminde bir polinom arayarak, (1) özelli¼gi sa¼glanacak biçimdeki a ve b katsay¬lar¬n¬bulabiliriz:

a+bt0 = y0 (4)

a+bt1 = y1

denklem sistemini çözerek

a=y₀ bt₀, b = ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀ (5)

elde ederiz.

(4) siteminin çözümünün varl¬¼g¬ve tekli¼gi için t₁ 6=^t⁰ ^olmas¬ gerekti¼gine dikkat edelim.

(27)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Cebirsel)

Alternatif olarak

P1(t) =a+bt (3)

biçiminde bir polinom arayarak, (1) özelli¼gi sa¼glanacak biçimdeki a ve b katsay¬lar¬n¬bulabiliriz:

a+bt0 = y0 (4)

a+bt1 = y1

denklem sistemini çözerek

a=y₀ bt₀, b = ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀ (5)

elde ederiz.

(28)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Lagrange)

(2) polinomunun alternatif olarak P1(t) = ^t ^t¹

t₀ t₁y0+ ^t ^t⁰

t₁ t₀y1 (6)

biçiminde de yaz¬labilece¼gine dikkat edelim.

Bu formülasyon Lagrange formülasyonu olarak adland¬r¬l¬r.

(29)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Lagrange)

t₀ t₁y0+ ^t ^t⁰

t₁ t₀y1 (6)

(30)

Interpolasyon polinomunun farkl¬formülasyonlar¬(Lagrange)

t₀ t₁y0+ ^t ^t⁰

t₁ t₀y1 (6)

(31)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Örnek

(0, 0),(1, 2),(2, 5) noktalar¬ndan geçen interpolasyon polinomunu cebirsel formülasyon yard¬m¬yla belirleyiniz.

(32)

Gra…¼gi, verilen üç noktadan geçen interpolasyon polinomunu P₂(t) =a+bt+ct²

ile gösterelim.

P2(ti) =yi, i =0, 1, 2 özelli¼ginden

a = 0

a+b+c = 2 a+2b+4c = 5

elde ederiz. Bu sistemi çözerek, c =1/2, b=3/2 elde ederiz. O halde arad¬¼g¬m¬z polinom

P₂(t) = ^t

2(t+3)

(33)

ile gösterelim.

a = 0

a+b+c = 2 a+2b+4c = 5

elde ederiz. Bu sistemi çözerek, c =1/2, b=3/2 elde ederiz.

O halde arad¬¼g¬m¬z polinom

P₂(t) = ^t

2(t+3)

(34)

ile gösterelim.

a = 0

a+b+c = 2 a+2b+4c = 5

elde ederiz. Bu sistemi çözerek, c =1/2, b=3/2 elde ederiz.

O halde arad¬¼g¬m¬z polinom

P₂(t) = ^t

2(t+3)

(35)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Örnek

Örnek 1 de verilen noktalara ilaveten, gra…¼gi (4, 1) noktas¬ndan da geçen interpolasyon polinomunu belirleyiniz.

Sözkonusu polinomu

P3(t) =a+bt+ct²+dt³ ile gösterelim.

P₃(t_i) =y_i, i =0, 1, 2, 3 özelli¼ginden

a = 0

a+b+c+d = 2

a+2b+4c+8d = 5 (7)

a+4b+16c+64d = 1

(36)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Örnek

Örnek 1 de verilen noktalara ilaveten, gra…¼gi (4, 1) noktas¬ndan da geçen interpolasyon polinomunu belirleyiniz.

Sözkonusu polinomu

P3(t) =a+bt+ct²+dt³ ile gösterelim.

P₃(t_i) =y_i, i =0, 1, 2, 3 özelli¼ginden

a = 0

a+b+c+d = 2

a+2b+4c+8d = 5 (7)

a+4b+16c+64d = 1

(37)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

a=0 oldu¼gundan hareketle 2

4

1 1 1

2 4 8

4 16 64 3 5

2 4

b c d

3 5=

2 4

2 5 1

3 5

Gauss eliminasyon yöntemi yard¬m¬yla 2

4

1 1 1

2 4 8

4 16 64 j j j

2 5 1

3

5 !

2 4

1 1 1

0 2 6

0 12 60 j j j

2 1 7

3 5

! 2 4

1 1 1

0 2 6

0 0 24 j j j

2 1 13

3 5

(38)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

a=0 oldu¼gundan hareketle 2

4

1 1 1

2 4 8

4 16 64 3 5

2 4

b c d

3 5=

2 4

2 5 1

3 5

Gauss eliminasyon yöntemi yard¬m¬yla 2

4

1 1 1

2 4 8

4 16 64 j j j

2 5 1

3

5 !

2 4

1 1 1

0 2 6

0 12 60 j j j

2 1 7

3 5

! 2 4

1 1 1

0 2 6

0 0 24 j j j

2 1 13

3 5

(39)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Bu sistemden

d = 13/24, c= (1 6d)/2= (1+13/4) =17/8 ve

b =2 17/8+13/24= ⁵ 12 elde ederiz. O halde

P3(t) = ⁵

12t+¹⁷

8 t² 13 24t³

Ancak bu yöntem tercih edilen bir yöntem de¼gildir, çünkü katsay¬ matrisi Vandermonde matrisi olarak adland¬r¬lan (7) sisteminin say¬sal çözüm problemi yuvarlama hatalar¬na kar¸s¬çok hassas olan bir

problemdir. Bu tür problemler karars¬z problem olarak adland¬r¬l¬rlar. Di¼ger bir de¼gimle çözüm a¸samas¬nda olu¸san yuvarlama hatalar¬ kontrolsüz olarak büyüyebilmekte ve elde edilen say¬sal çözüm kabul edilemeyecek büyüklükte hata içerebilmektedir. Bu durumda en iyi alternatif Newton formülasyonudur.

(40)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Bu sistemden

d = 13/24, c= (1 6d)/2= (1+13/4) =17/8 ve

P3(t) = ⁵

12t+¹⁷

8 t² 13 24t³

Ancak bu yöntem tercih edilen bir yöntem de¼gildir, çünkü katsay¬ matrisi Vandermonde matrisi olarak adland¬r¬lan (7) sisteminin say¬sal çözüm problemi yuvarlama hatalar¬na kar¸s¬çok hassas olan bir

problemdir. Bu tür problemler karars¬z problem olarak adland¬r¬l¬rlar. Di¼ger bir de¼gimle çözüm a¸samas¬nda olu¸san yuvarlama hatalar¬ kontrolsüz olarak büyüyebilmekte ve elde edilen say¬sal çözüm kabul edilemeyecek büyüklükte hata içerebilmektedir. Bu durumda en iyi alternatif Newton formülasyonudur.

(41)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Bu sistemden

d = 13/24, c= (1 6d)/2= (1+13/4) =17/8 ve

P3(t) = ⁵

12t+¹⁷

8 t² 13 24t³

Ancak bu yöntem tercih edilen bir yöntem de¼gildir, çünkü katsay¬

matrisi Vandermonde matrisi olarak adland¬r¬lan (7) sisteminin say¬sal çözüm problemi yuvarlama hatalar¬na kar¸s¬çok hassas olan bir

problemdir. Bu tür problemler karars¬z problem olarak adland¬r¬l¬rlar.

Di¼ger bir de¼gimle çözüm a¸samas¬nda olu¸san yuvarlama hatalar¬ kontrolsüz olarak büyüyebilmekte ve elde edilen say¬sal çözüm kabul edilemeyecek büyüklükte hata içerebilmektedir. Bu durumda en iyi alternatif Newton formülasyonudur.

(42)

Interpolasyon için cebirsel formülasyon uygulamalar¬

Bu sistemden

d = 13/24, c= (1 6d)/2= (1+13/4) =17/8 ve

P3(t) = ⁵

12t+¹⁷

8 t² 13 24t³

Ancak bu yöntem tercih edilen bir yöntem de¼gildir, çünkü katsay¬

matrisi Vandermonde matrisi olarak adland¬r¬lan (7) sisteminin say¬sal çözüm problemi yuvarlama hatalar¬na kar¸s¬çok hassas olan bir

problemdir. Bu tür problemler karars¬z problem olarak adland¬r¬l¬rlar.

Di¼ger bir de¼gimle çözüm a¸samas¬nda olu¸san yuvarlama hatalar¬

kontrolsüz olarak büyüyebilmekte ve elde edilen say¬sal çözüm kabul edilemeyecek büyüklükte hata içerebilmektedir. Bu durumda en iyi alternatif Newton formülasyonudur.

(43)

Newton formülasyonu(üç nokta çifti)

·Iki nokta çifti için (2) ile verilen interpolasyon polinomu Newton formülasyonu, (t₀, y₀),(t₁, y₁),(t₂, y₂) nokta çiftlerine de benzer biçimde genelle¸stirilebilir:

Newton bu nokta çiftleri için ise

P2(t) =a+b(t t0) +c(t t0)(t t1) (8) formunda bir polinom önermektedir.

(1) özelli¼ginin sa¼glanabilmesi için (2) de oldu¼gu üzere a=y0, b= ^y¹ ^y⁰

t₁ t₀ olmas¬gerekti¼gi aç¬kt¬r.

y₂ =P₂(t₂)

özelli¼ginin sa¼glanmas¬gerekti¼ginden hareketle c de¼gerini c =

y2 y1

t2 t1

y1 y0

t1 t0

t2 t0

olarak elde edebiliriz:

(44)

Newton formülasyonu(üç nokta çifti)

y₂ =P₂(t₂)

y2 y1

t2 t1

y1 y0

t1 t0

t2 t0

(45)

Newton formülasyonu(üç nokta çifti)

y₂ =P₂(t₂)

y2 y1

t2 t1

y1 y0

t1 t0

t2 t0

(46)

Newton formülasyonu(üç nokta çifti)

y₂ =P₂(t₂)

y2 y1

t2 t1

y1 y0

t1 t0

t2 t0

(47)

Newton formülasyonu

Uygun bir f fonksiyonu için yi de¼gerlerinin y =f(t)ba¼g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬fonksiyonun t_i noktas¬ndaki de¼gerlerini

f_i :=f(t_i), i =0, 1, ..., n ile gösterelim

(8) deki katsay¬lar¬daha iyi temsil edebilmek için bölünmü¸s fark ad¬ verilen a¸sa¼g¬daki notasyonu tan¬mlayal¬m:

f[t_i, t_i+1] : = ^fⁱ⁺¹ ^fⁱ t_i₊₁ t_i

f[ti 1, ti, ti+1] : = ^f[ti, ti+1] f[ti 1, ti] t_i+1 t_i ₁ , ...

f[t1, t2, , ti] : = ^f[t₂, , t_i] f[t₁, t₂, , t_i ₁] ti t1

(48)

Newton formülasyonu

Uygun bir f fonksiyonu için yi de¼gerlerinin y =f(t)ba¼g¬nt¬s¬yla tan¬ml¬fonksiyonun t_i noktas¬ndaki de¼gerlerini

f_i :=f(t_i), i =0, 1, ..., n ile gösterelim

(8) deki katsay¬lar¬daha iyi temsil edebilmek için bölünmü¸s fark ad¬

verilen a¸sa¼g¬daki notasyonu tan¬mlayal¬m:

f[t_i, t_i+1] : = ^fⁱ⁺¹ ^fⁱ t_i₊₁ t_i

f[ti 1, ti, ti+1] : = ^f[ti, ti+1] f[ti 1, ti] t_i+1 t_i ₁ , ...

f[t1, t2, , ti] : = ^f[t₂, , t_i] f[t₁, t₂, , t_i ₁] ti t1

(49)

Newton formülasyonu

Bu durumda (8) da

a = f[t₀]:=f(t₀) =f₀, b = f[t₀, t₁]:= ^f¹ ^f⁰

t₁ t₀,

c = f[t0, t1, t2]:= ^f[t1, t2] f[t0, t1] t2 t0

olarak ifade edilebilir.

Yani (8) polinomu

P₂(t) = f[t₀] +f[t₀, t₁](t t₀) +f[t₀, t₁, t₂](t t₀)(t t₁)

= P₁(t) +f[t₀, t₁, t₂](t t₀)(t t₁) (9) olarak ifade edilebilir.

(50)

Newton formülasyonu

Bu durumda (8) da

a = f[t₀]:=f(t₀) =f₀, b = f[t₀, t₁]:= ^f¹ ^f⁰

t₁ t₀,

c = f[t0, t1, t2]:= ^f[t1, t2] f[t0, t1] t2 t0

olarak ifade edilebilir.

Yani (8) polinomu

= P₁(t) +f[t₀, t₁, t₂](t t₀)(t t₁) (9) olarak ifade edilebilir.

(51)

Newton formülasyonu(genel durum)

En genel halde (ti, fi), i =0, 1, ..., n nokta çiftleri için ise, N₀(t) : =1,

N₁(t) : =t t₀,

N₂(t) : = (t t₀)(t t₁), ...

N_n(t) : = (t t₀)(t t₁). . .(t t_{n 1})

(52)

Newton formülasyonu

Pn(t) = f[t0]

+f[t0, t1](t t0) +

+f[t₀, t₁, . . . , tn](t t₀). . .(t t_{n 1})

= P_{n 1}(t) +f[t₀, t₁, . . . , tn](t t₀). . .(t t_{n 1})

=

∑

n i=0

f[t₀, ..., t_i]N_i(t) (10)

(53)

Newton formülasyonu

Az say¬da nokta çiftleri için (10) polinomunun katsay¬lar¬ise Newton bölünmü¸s fark tablosu ad¬verilen Tablo 21 yard¬m¬yla daha kolay bir biçimde elde edilir.

t_i f[t_i] =f_i f[., .] f[., ., .] . . . t₀ f₀

t1 f1 f[t0, t1]

t2 f2 f[t1, t2] f[t0, t1, t2]

... ... ... ... . ..

tn fn f[tn 1, tn] f[tn 2, tn 1, tn] f[t0, t1, . . . , tn]

Tablo 21 deki kö¸segen üzerindeki elemanlar¬n (10) interpolasyon polinomunundaki sabit çarpanlar oldu¼guna dikkat edelim.

(54)

Newton formülasyonu

Az say¬da nokta çiftleri için (10) polinomunun katsay¬lar¬ise Newton bölünmü¸s fark tablosu ad¬verilen Tablo 21 yard¬m¬yla daha kolay bir biçimde elde edilir.

t_i f[t_i] =f_i f[., .] f[., ., .] . . . t₀ f₀

t1 f1 f[t0, t1]

t2 f2 f[t1, t2] f[t0, t1, t2]

... ... ... ... . ..

tn fn f[tn 1, tn] f[tn 2, tn 1, tn] f[t0, t1, . . . , tn] Tablo 21 deki kö¸segen üzerindeki elemanlar¬n (10) interpolasyon polinomunundaki sabit çarpanlar oldu¼guna dikkat edelim.

(55)

Newton formülasyon uygulamas¬

Örnek

(0, 0),(1, 2),(2, 5) noktalar¬ndan geçen interpolasyon polinomunu belirleyerek, t =3/2 noktas¬ndaki bilinmeyen de¼geri tahmin ediniz.

(56)

Öncelikle verilerimize ait Newton bölünmü¸s fark tablosunu olu¸stural¬m:

t_i f_i f[., .] f[., ., .]

0 0

1 2 ^{2 0}_{1 0} =2

2 5 ^{5 2}_{2 1} =3 ^{3 2}_{2 0} = ¹₂

(57)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

(t,y) vektör çifti için bolfark(t,y) komutu ile Newton bölünmü¸s fark tablosunu olu¸sturan program haz¬rlay¬n¬z.

function D=bolfark(t,y)

n=length(t); D=zeros(n,n); D(:,1)=y; for j=2:n iv=j:n;

D(iv,j)=(D(iv,j-1)-D(iv-1,j-1))./(t(iv)-t(iv-j+1))’;

%Tablonun j-inci sütunu end

(58)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

function D=bolfark(t,y) n=length(t);

D=zeros(n,n); D(:,1)=y; for j=2:n iv=j:n;

(59)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y; for j=2:n iv=j:n;

(60)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n iv=j:n;

(61)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n

iv=j:n;

(62)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n iv=j:n;

(63)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n iv=j:n;

(64)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n iv=j:n;

%Tablonun j-inci sütunu

end

(65)

Newton bölünmü¸s fark tablosu

Örnek

D=zeros(n,n);

D(:,1)=y;

for j=2:n iv=j:n;

%Tablonun j-inci sütunu

(66)

Newton formülasyon uygulamas¬

O halde arad¬¼g¬m¬z interpolasyon polinomunu

= 0+2(t 0) + ¹

2(t 0)(t 1)

= 2t+¹

2(t² t)

= ^t

2(t+3) olarak elde ederiz.

Polinom gra…¼ginin gerçekten de verilen noktalardan geçti¼gine dikkat edelim. t =1.5 noktas¬ndaki de¼geri ise

P(3/2) =3/4 (3/2+3) = ²⁷ 8 olarak tahmin ederiz.

(67)

Newton formülasyon uygulamas¬

O halde arad¬¼g¬m¬z interpolasyon polinomunu

= 0+2(t 0) + ¹

2(t 0)(t 1)

= 2t+¹

2(t² t)

= ^t

2(t+3) olarak elde ederiz.

Polinom gra…¼ginin gerçekten de verilen noktalardan geçti¼gine dikkat edelim. t =1.5 noktas¬ndaki de¼geri ise

27

(68)

Newton formülasyon uygulamas¬

Örnek

Yukar¬daki örnekte verile noktalara ilaveten (4, 1)noktas¬ndan da geçen interpolasyon polinomunu belirleyiniz ve t =3 noktas¬ndaki bilinmeyen de¼geri tahmin ediniz.

(69)

Newton formülasyonu

t_i f_i f[., .] f[., ., .] f[., ., ., .]

0 0

1 2 ^{2 0}_{1 0} =2

2 5 ^{5 2}_{2 1} =3 ^{3 2}_{2 0} = ¹₂

4 1 ^{1 5}_{4 2} = 2 _{4 1}^{2 3} = ⁵₃ _{4 0}⁵³ ¹² = ¹³₂₄

(70)

Newton formülasyonu uygulamas¬

Arad¬¼g¬m¬z polinom Örnek 3 için elde etti¼gimiz polinom yard¬m¬yla bulunabilir:

P3(t) = f[t0] +f[t0, t1](t t0) +f[t0, t1, t2](t t0)(t t1) +f[t₀, t₁, t₂, t₃](t t₀)(t t₁)(t t₂)

= P₂(t) +f[t₀, t₁, t₂, t₃](t t₀)(t t₁)(t t₂)

= ^t

2(t+3) ¹³

24t(t 1)(t 2)

= ¹³

24t³+ ¹⁷ 8 t²+ ⁵

12t

(71)

Newton formülasyon uygulamas¬

Elde edilen polinomun gra…¼gi ¸Sekil ?? de sunulmaktad¬r. Polinom gra…¼ginin verilen nokta çiftlerinden geçti¼gine dikkat edelim.

-1 1 2 3 4

2 4 6 8

x y

(72)

Newton formülasyon ile interpolasyon

Ayr¬ca t =3 noktas¬ndaki bilinmeyen de¼geri P(3) = ¹³

24 3³+¹⁷

8 3²+ ⁵

12 3=5. 75 olarak tahmin ederiz.

(t, y)vektör çiftini kullan¬c¬dan alarak istenilen t0 noktas¬ndaki de¼gerini yukar¬da verilen Newton formülasyonu yard¬m¬yla hesaplayan Algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir:

(73)

Newton formülasyon ile interpolasyon

Ayr¬ca t =3 noktas¬ndaki bilinmeyen de¼geri P(3) = ¹³

24 3³+¹⁷

8 3²+ ⁵

12 3=5. 75 olarak tahmin ederiz.

(t, y)vektör çiftini kullan¬c¬dan alarak istenilen t0 noktas¬ndaki de¼gerini yukar¬da verilen Newton formülasyonu yard¬m¬yla hesaplayan Algoritma a¸sa¼g¬da verilmektedir:

(74)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

Girdiler: (t, y) vektör çifti ve tt interpolasyon noktas¬veya vektörü

D bölünmü¸s fark alt üçgensel matrisini hesapla

D nin birinci sütununa y vektörünü ata,

her bir j=2, ..., n ye kar¸s¬l¬k gelen i =j, j+1, ...n için D(i , j)de¼gerini hesapla,

tt nin nokta olmas¬durumunda

N(tt) = [N1(tt), N2(tt), , Nn(tt)] vektörünü

tt nin vektör olmas¬durumunda ise N(tt) matrisini hesapla

D nin kö¸segen elemanlar¬ndan olu¸san vektör ile N(tt)nin iç çarp¬m¬ olan P(tt)de¼gerini hesapla ve geri gönder.

(75)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

Girdiler: (t, y) vektör çifti ve tt interpolasyon noktas¬veya vektörü D bölünmü¸s fark alt üçgensel matrisini hesapla

(76)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

(77)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

her bir j=2, ..., n ye kar¸s¬l¬k gelen i =j, j+1, ...n için D(i , j) de¼gerini hesapla,

(78)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

N(tt) = [N₁(tt), N₂(tt), , N_n(tt)]

vektörünü

(79)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

N(tt) = [N₁(tt), N₂(tt), , N_n(tt)]

vektörünü

(80)

Newton formülasyonu ile interpolasyon( Algoritma)

N(tt) = [N₁(tt), N₂(tt), , N_n(tt)]

vektörünü

D nin kö¸segen elemanlar¬ndan olu¸san vektör ile N(tt)nin iç çarp¬m¬

olan P(tt)de¼gerini hesapla ve geri gönder.

(81)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

function yy=newinterp(t,y,tt)

n=length(t);m=length(tt); D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m); N(1,:)=1;n1=n-1; for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

%Newton taban¬n¬n tt deki de¼geri(de¼gerleri) end

for i=1:n

fark(i)=D(i,i); %bölünmüs farklar kö¸segen elemanlar¬ end

for i=1:m

yy(i)=N(:,i)’*fark’;

% yy(i) interpolasyon polinomunun tt(i) deki de¼geridir. end

(82)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

function yy=newinterp(t,y,tt) n=length(t);m=length(tt);

D=bolfark(t,y); N=zeros(n,m); N(1,:)=1;n1=n-1; for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(83)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m); N(1,:)=1;n1=n-1; for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(84)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1; for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(85)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(86)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(87)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(88)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

%Newton taban¬n¬n tt deki de¼geri(de¼gerleri)

end for i=1:n

for i=1:m

(89)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(90)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

for i=1:m

(91)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

fark(i)=D(i,i); %bölünmüs farklar kö¸segen elemanlar¬

end for i=1:m

(92)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

end

for i=1:m

(93)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

end for i=1:m

(94)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

end for i=1:m

(95)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

end for i=1:m

end

(96)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(kod)

D=bolfark(t,y);

N=zeros(n,m);

N(1,:)=1;n1=n-1;

for i=1:n1

N(i+1,:)=N(i,:).*(tt-t(i));

for i=1:n

end for i=1:m

% yy(i) interpolasyon polinomunun tt(i) deki de¼geridir.

end

(97)

Newton formülasyonu ile interpolasyon(test)

Örnek

t=[0 1 2 4] ve y=[0 2 5 1] için

>> newinterp(t,y,3) ans =5.7500

Ayr¬ca çok say¬daki interpolasyon noktas¬için de program¬m¬z çal¬¸s¬r. Örne¼gin

>> tt=[1,2,3]

>> newinterp(x,y,tt) ans =

2.0000 5.0000 5.7500