Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

(1)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m ve hata

Prof. Dr. Erhan Co¸skun

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Kas¬m, 2018

(2)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

Kuvvet serisi, yak¬nsakl¬k yar¬çap¬ve bölgesi kavramlar¬n¬

hat¬rlayaca¼g¬z.

Bir fonksiyonun bir nokta kom¸sulu¼gundaki Taylor seri aç¬l¬m¬n¬ inceleyerek, benzer fonksiyonlar¬n Taylor seri aç¬l¬mlar¬n¬n nas¬l belirlenebilece¼gini inceleyece¼giz.

Bir fonksiyona verilen bir nokta kom¸sulu¼gunda Taylor polinomu ile yakla¸s¬m sonucu olu¸san hatay¬inceleyece¼giz.

Taylor polinomlar¬n¬n gereklili¼gi üzerinde duraca¼g¬z.

Taylor polinomunun bir nokta veya nokta kümesi üzerindeki de¼ger veya de¼gerlerinin nas¬l hesaplanabilece¼gini Horner yöntemi yard¬m¬yla inceleyece¼giz.

·Iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬m¬n¬ ve söz konusu aç¬l¬mlar yard¬m¬yla bilgisayar ortam¬nda gerçekle¸stirilen aritmetik i¸slemlerde olu¸san yuvarlama hatalar¬n¬n nas¬l birikece¼gini inceleyece¼giz. Detayl¬bilgi için döküman sonunda belirtilen referanslara ba¸svurulmas¬n¬tavsiye ederiz .

(3)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

Bir fonksiyonun bir nokta kom¸sulu¼gundaki Taylor seri aç¬l¬m¬n¬

inceleyerek, benzer fonksiyonlar¬n Taylor seri aç¬l¬mlar¬n¬n nas¬l belirlenebilece¼gini inceleyece¼giz.

(4)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

(5)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

(6)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

(7)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

·Iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬m¬n¬ ve söz konusu aç¬l¬mlar yard¬m¬yla bilgisayar ortam¬nda gerçekle¸stirilen aritmetik i¸slemlerde olu¸san yuvarlama hatalar¬n¬n nas¬l birikece¼gini inceleyece¼giz.

Detayl¬bilgi için döküman sonunda belirtilen referanslara ba¸svurulmas¬n¬tavsiye ederiz .

(8)

Taylor polinomlar¬ile yakla¸s¬m

Bu bölümde

hat¬rlayaca¼g¬z.

·Iki de¼gi¸skenli fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬m¬n¬ ve söz konusu aç¬l¬mlar yard¬m¬yla bilgisayar ortam¬nda gerçekle¸stirilen aritmetik i¸slemlerde olu¸san yuvarlama hatalar¬n¬n nas¬l birikece¼gini inceleyece¼giz.

Detayl¬bilgi için döküman sonunda belirtilen referanslara

(9)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

a, c_n 2^{R, n}=0, 1, sabitleri ve key… x 2^{R için}

∑

∞ n=0

c_n(x a)ⁿ :=c₀+c₁(x a) + +c_n(x a)ⁿ+ (1) ifadesine a merkezli ve sabit katsay¬l¬bir kuvvet serisi ad¬verilir.

S_N(x):=

∑

N n=0

c_n(x a)ⁿ olmak üzere,

Nlim!∞S_N(x)

limitine (1) serisinin x noktas¬ndaki toplam¬ad¬verilir. E¼ger bir x noktas¬nda serinin toplam¬sonlu ise seriye söz konusu noktada yak¬nsak, di¼ger durumda ise ¬raksakt¬r denir.

(10)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

a, c_n 2^{R, n}=0, 1, sabitleri ve key… x 2^{R için}

∑

∞ n=0

c_n(x a)ⁿ :=c₀+c₁(x a) + +c_n(x a)ⁿ+ (1) ifadesine a merkezli ve sabit katsay¬l¬bir kuvvet serisi ad¬verilir.

SN(x):=

∑

N n=0

cn(x a)ⁿ olmak üzere,

Nlim!∞S_N(x)

limitine (1) serisinin x noktas¬ndaki toplam¬ad¬verilir. E¼ger bir x noktas¬nda serinin toplam¬sonlu ise seriye söz konusu noktada yak¬nsak, di¼ger durumda ise ¬raksakt¬r denir.

(11)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

Oran testi ile

nlim!∞

c_n₊₁(x a)ⁿ⁺¹

cn(x a)ⁿ = j^x ^aj_n^lim

!∞

c_n₊₁ cn

<1 (2) için (1) serisi x noktas¬nda yak¬nsakt¬r.

E¼ger lim_n_!_∞ ^cⁿ_c⁺¹

n =0, (1) her x 2 ( ^{∞, ∞})için yak¬nsakt¬r. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬sonsuz ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬ ise ( _{∞, ∞})aral¬¼g¬d¬r.

E¼ger limn!∞ cn+1

cn = ∞ ise, (1) serisi x =a noktas¬d¬¸s¬nda hiçbir noktada yak¬nsak de¼gildir. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬s¬f¬rd¬r ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬ mevcut de¼gildir.

(12)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

Oran testi ile

nlim!∞

c_n₊₁(x a)ⁿ⁺¹

!∞

c_n₊₁ cn

n =0, (1) her x 2 ( ^{∞, ∞}) için yak¬nsakt¬r. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬sonsuz ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬

ise ( _{∞, ∞})aral¬¼g¬d¬r.

cn = ∞ ise, (1) serisi x =a noktas¬d¬¸s¬nda hiçbir noktada yak¬nsak de¼gildir. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬s¬f¬rd¬r ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬ mevcut de¼gildir.

(13)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

Oran testi ile

nlim!∞

c_n₊₁(x a)ⁿ⁺¹

!∞

c_n₊₁ cn

n =0, (1) her x 2 ( ^{∞, ∞}) için yak¬nsakt¬r. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬sonsuz ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬

ise ( _{∞, ∞})aral¬¼g¬d¬r.

cn = ∞ ise, (1) serisi x=a noktas¬d¬¸s¬nda hiçbir noktada yak¬nsak de¼gildir. Bu durumda (1) serisinin yak¬nsakl¬k yar¬çap¬s¬f¬rd¬r ve yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬ mevcut de¼gildir.

(14)

Kuvvet serisi ve yak¬nsakl¬k aral¬¼ g¬

n mevcut, sonlu ve s¬f¬rdan farkl¬ise bu limiti 1/R ile gösterelim. Bu durumda (2) ve oran testi yard¬m¬yla (1) serisi

j^x ^aj^/R <1

e¸sitsizli¼gini sa¼glayan x de¼gerleri, yani x 2 (^a ^{R, a}+R)için yak¬nsakt¬r. x =a R ve x =a+R noktalar¬ndaki yak¬nsakl¬k durumu farkl¬kriterler yard¬m¬yla belirlenerek, yak¬nsakl¬k bölgesi ad¬

verilen ve yak¬nsaman¬n gerçekle¸sti¼gi noktalar kümesi belirlenebilir.

(15)

Kuvvet serisi ve fonksiyon

Yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬içerisinde kuvvet serisi bir fonksiyon tan¬mlar:

x noktas¬(1) serisinin yak¬nsakl¬k bölgesi içerisinde bir nokta olmak üzere,

f(x):=

∑

∞ n=0

c_n(x a)ⁿ, x 2 (^a ^{R, a}+R) (3) veya aç¬kça yazmak gerekirse

f(x):=c0+c1(x a) + +cn(x a)ⁿ+ ifadesinden yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬içerisinde terim terime türev al¬nabilece¼gi kural¬n¬kullanarak,

(16)

Kuvvet serisi ve fonksiyon

f(x):=

∑

∞ n=0

c_n(x a)ⁿ, x 2 (^a ^{R, a}+R) (3)

veya aç¬kça yazmak gerekirse

(17)

Kuvvet serisi ve fonksiyon

f(x):=

∑

∞ n=0

c_n(x a)ⁿ, x 2 (^a ^{R, a}+R) (3) veya aç¬kça yazmak gerekirse

(18)

Taylor serisi

c₀=f(a), c₁=f⁰(a), c₂ =f⁰⁰(a)/2!, , c_n =f⁽ⁿ⁾(a)/n! (4) elde ederiz.

(4)ile verilen c de¼gerleri (3) de yaz¬larak, f(x):=

∑

∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x a)ⁿ, x 2 (^a ^{R, a}+R) (5) ile tan¬mlanan f fonksiyonunun x =a noktas¬merkezli Taylor serisi veya "Taylor aç¬l¬m¬" elde edilir.

Örnek olarak x =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda

1

1 x =1+x+x²+ = _∑^∞

n=0

xⁿ, x 2 ( ^{1, 1})

(19)

Taylor serisi

c₀=f(a), c₁=f⁰(a), c₂ =f⁰⁰(a)/2!, , c_n =f⁽ⁿ⁾(a)/n! (4) elde ederiz.

(4)ile verilen c de¼gerleri (3) de yaz¬larak, f(x):=

∑

∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x a)ⁿ, x 2 (^a ^{R, a}+R) (5) ile tan¬mlanan f fonksiyonunun x =a noktas¬merkezli Taylor serisi veya "Taylor aç¬l¬m¬" elde edilir.

1

1 x =1+x+x²+ = _∑^∞

n=0

xⁿ, x 2 ( ^{1, 1})

(20)

Taylor serisi

e^x =1+x+x²/2!+ = _∑^∞

n=0

xⁿ/n!, x 2 ( ^{∞, ∞}) sin(x) =x x³/3!+x⁵/5! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, x2 ( _{∞, ∞})

cos(x) =1 x²/2!+x⁴/4! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, x 2 ( _{∞, ∞})

(21)

Taylor serisi

Örnek olarak x =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda e^x =1+x+x²/2!+ = _∑^∞

n=0

xⁿ/n!, x 2 ( ^{∞, ∞})

sin(x) =x x³/3!+x⁵/5! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, x2 ( _{∞, ∞})

cos(x) =1 x²/2!+x⁴/4! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, x 2 ( _{∞, ∞})

(22)

Taylor serisi

n=0

xⁿ/n!, x 2 ( ^{∞, ∞}) sin(x) =x x³/3!+x⁵/5! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, x2 ( _{∞, ∞})

cos(x) =1 x²/2!+x⁴/4! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, x 2 ( _{∞, ∞})

(23)

Taylor serisi

n=0

xⁿ/n!, x 2 ( ^{∞, ∞}) sin(x) =x x³/3!+x⁵/5! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, x2 ( _{∞, ∞})

cos(x) =1 x²/2!+x⁴/4! = _∑^∞

n=0

( 1)ⁿx²ⁿ/(2n)!, x 2 ( _{∞, ∞})

(24)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

x =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬n¬kulalnarak, benzer fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬n¬belirleyebiliriz:

1

1 x = 1+x+x²+x³+

=) ₁+¹ x = ¹

1 ( x) =1 x+x² x³+ 2

3+4x = ²

3(1+ ⁴₃x) = ²

3 1 4

3x+ (⁴ 3x)²

e^x = 1+x+x²/2!+x³/3!+

=) ^e ^x =1 x+x²/2! x³/3!+

=) ^e ^x² =1 x²+x⁴/2! x⁶/3!+

(25)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

x =0 noktas¬kom¸sulu¼gunda bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬n¬kulalnarak, benzer fonksiyonlar¬n Taylor aç¬l¬mlar¬n¬belirleyebiliriz:

1

1 x = 1+x+x²+x³+

=) ₁+¹ x = ¹

1 ( x) =1 x+x² x³+ 2

3+4x = ²

3(1+ ⁴₃x) = ²

3 1 4

3x+ (⁴ 3x)²

e^x = 1+x+x²/2!+x³/3!+

=) ^e ^x =1 x+x²/2! x³/3!+

=) ^e ^x² =1 x²+x⁴/2! x⁶/3!+

(26)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

Yak¬nsakl¬k bölgesi içerisinde Taylor serisi terim terim türev veya integre edilebilir.

Bu i¸slem yard¬m¬yla elde edilen serinin yak¬nsakl¬k bölgesi de orijinal serinin yak¬nsakl¬k aral¬¼g¬ile ayn¬d¬r.

Buna göre

ln(1+x)

fonksiyonunun x =0 kom¸sulu¼gundaki Taylor seri aç¬l¬m¬, 1

1+x

fonksiyonunun aç¬l¬m¬n¬n terim terime integrali yard¬m¬yla elde edilebilir.

(27)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

Buna göre

ln(1+x)

1+x

(28)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

Buna göre

ln(1+x)

1+x

(29)

Bilinen Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla benzer fonksiyonlar¬n aç¬l¬mlar¬

Örnekleri inceleyelim 1

1+x = 1 x+x² x³+ , x 2 ( ^{1, 1})

=) ^ln(1+x) =x x² 2 + ^x

3

3 x⁴

4 + , x 2 ( ^{1, 1}] 1

1+x² = 1 x²+x⁴ x⁶+

=) ^arctan(x) =x x³/3+x⁵/5 x⁷/7+

(30)

Taylor Teoremi

Theorem

(Taylor teoremi) f 2^Cⁿ⁺¹[a, b], ve x₀2 (^{a, b}) seçilsin. Bu taktirde f(x) =P_n(x) +R_n(x) (6) olarak ifade edilir. Burada P_n(x), f nin x₀ noktas¬ko¸slu¼gundaki n inci dereceden Taylor polinomu:

P_n(x):=f(x₀) + (x x₀)f⁰(x₀) +(x x₀)²

2! f⁰⁰(x₀) + +(x x₀)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(x₀) ve

R_n(x):= ¹ n!

Z _x

x0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(t x₀)ⁿdt kalan terimdir veya alternatif olarak

R_n(x) = (x x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x),

biçiminde de yaz¬labilir. Burada c_x, x₀ ile x aras¬nda bir noktad¬r ve R_n(x) fonksiyonuna ise, f fonksiyonuna P (x)ile yakla¸s¬m sonucu olu¸san

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 3 Kas¬m, 2018 12 / 46

(31)

Taylor yakla¸s¬m polinomunun derecesini tahmin edebiliriz

f(x) =e^x fonksiyonuna [ 1, 1] aral¬¼g¬nda e =0.1 den küçük kesme hatas¬ile x₀ =0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki Taylor polinomu yakla¸s¬m için en dü¸sük polinom derecesi ne olmal¬d¬r?

f⁽ⁿ⁺¹⁾(cx) =e^c^x, cxe( 1, 1)olup,

j^Rⁿ(x)j = ^xⁿ⁺¹^/(n+1)!e^c^x e

(n+1)! <0.1 için n 4 olmal¬d¬r. O halde belirtilen e=0.1 dan küçük kesme hatas¬ile yakla¸s¬m için fonksiyona en az dördüncü dereceden

P₄(x) =1+x+x²/2+x³/3!+x⁴/4! polinomu ile yakla¸s¬m yap¬lmal¬d¬r.

(32)

Taylor yakla¸s¬m polinomunun derecesini tahmin edebiliriz

f(x) =e^x fonksiyonuna [ 1, 1] aral¬¼g¬nda e =0.1 den küçük kesme hatas¬ile x₀ =0 noktas¬kom¸sulu¼gundaki Taylor polinomu yakla¸s¬m için en dü¸sük polinom derecesi ne olmal¬d¬r?

f⁽ⁿ⁺¹⁾(cx) =e^c^x, cxe( 1, 1)olup,

j^Rⁿ(x)j = ^xⁿ⁺¹^/(n+1)!e^c^x e

(n+1)! <0.1 için n 4 olmal¬d¬r. O halde belirtilen e=0.1 dan küçük kesme hatas¬ile yakla¸s¬m için fonksiyona en az dördüncü dereceden

P₄(x) =1+x+x²/2+x³/3!+x⁴/4!

polinomu ile yakla¸s¬m yap¬lmal¬d¬r.

(33)

Fonksiyon ve Taylor Polinomlar¬

f(x) =cos(x) ve Taylor polinomlar¬1,1 x²/2, 1 x²/2!+x⁴/4!

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

(34)

Fonksiyon ve Taylor Polinomlar¬

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1

2 3 4

x y

(35)

Kesme hatas¬

[ 2, 2]aral¬¼g¬nda hesaplanan

k^e ^x² ^Pⁿ(x)k∞

hatalar farkl¬n de¼gerleri için a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir.

n 0 4 6 8 10 12 16 20

jj^f(x) P_n(x)jj∞ 0.98 4.98 5.68 4.98 3.55 2.14 0.51 0.08

nlim!∞P_n(x) =e ^x²

oldu¼gunu gözlemleyelim. Detayl¬bilgiler için [1],[2] ve [5] nolu kaynaklar¬öneririz.

(36)

Kesme hatas¬

[ 2, 2]aral¬¼g¬nda hesaplanan

k^e ^x² ^Pⁿ(x)k∞

hatalar farkl¬n de¼gerleri için a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir.

n 0 4 6 8 10 12 16 20

jj^f(x) P_n(x)jj∞ 0.98 4.98 5.68 4.98 3.55 2.14 0.51 0.08

nlim!∞P_n(x) =e ^x²

oldu¼gunu gözlemleyelim. Detayl¬bilgiler için [1],[2] ve [5] nolu kaynaklar¬öneririz.

(37)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Bir nokta kom¸sulu¼gunda elde edilen Taylor polinomu, söz konusu fonksiyonu bu nokta kom¸sulu¼gunda uygun dereceli polinomla temsil ederek, fonksiyonla gerçekle¸stirilecek i¸slemlerde kolayl¬k amac¬yla kullan¬l¬r.

Örne¼gin R1

1

e ^x²dx gibi analitik olarak hesaplanamayan integralleri yakla¸s¬k olarak hesaplamak için e ^x² fonksiyonunun x =0 noktas¬ kom¸sulu¼gundaki Taylor polinomundan faydalan¬labilir[7],

Nonlineer problemlerin bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬, söz konusu nokta kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬ile elde edilen lineer yakla¸s¬m yard¬m¬yla analiz edilebilir. Örne¼gin

Nonlineer Diferensiyel denklem veya sistemlerinin çözümlerinin bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬, Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla elde edilen lineer sistemler yard¬m¬yla analiz edilebilir(Bknz [4])

Nonlineer cebirsel sistemlerin say¬sal çözümleri, Taylor aç¬l¬m¬ile elde edilen lineer cebirsel sistemlerin çözümleri yard¬m¬yla elde

edilebilir(Bknz [5]).

Türev için Sonlu Fark Yöntemlerinin türetilmesi ve hata analizleri, Taylor aç¬l¬mlar¬yard¬m¬yla gerçekle¸stirilebilir( Bknz[6]).

(38)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Örne¼gin R1

1

e ^x²dx gibi analitik olarak hesaplanamayan integralleri yakla¸s¬k olarak hesaplamak için e ^x² fonksiyonunun x =0 noktas¬

kom¸sulu¼gundaki Taylor polinomundan faydalan¬labilir[7],

Nonlineer problemlerin bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬, söz konusu nokta kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬ile elde edilen lineer yakla¸s¬m yard¬m¬yla analiz edilebilir. Örne¼gin

(39)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Örne¼gin R1

1

kom¸sulu¼gundaki Taylor polinomundan faydalan¬labilir[7], Nonlineer problemlerin bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬, söz konusu nokta kom¸sulu¼gunda Taylor aç¬l¬m¬ile elde edilen lineer yakla¸s¬m yard¬m¬yla analiz edilebilir. Örne¼gin

(40)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Örne¼gin R1

1

(41)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Örne¼gin R1

1

(42)

Taylor polinomlar¬niçin gereklidir?

Örne¼gin R1

1

Türev için Sonlu Fark Yöntemlerinin türetilmesi ve hata analizleri,

ec (Karadeniz Teknik Üniversitesi) Bölüm 3 Kas¬m, 2018 17 / 46

(43)

Taylor polinom de¼ gerlerinin hesaplanmas¬(Horner yöntemi)

P_n(x) =a₁xⁿ+a₂x^{n 1}+ +a_nx+a_n₊₁ olarak ifade edilen polinomun x₀ noktas¬ndaki de¼geri

P_n(x₀) =a₁x₀ⁿ+a₂x₀^{n 1}+ +a_nx₀+a_n+1 (7) ifesinin do¼grudan kodlanmas¬suretiyle hesaplanmaz.

Çünkü bu ¸sekliyle n(n+1)/2 adet çarpma i¸slemi gerçekle¸stirilmesi gerekmektedir. Örne¼gin

P3(x) = a1x³+a2x²+a3x+a4

= a₁ x x x+a₂ x x+a₃ x+a₄ polinomu için P₃(x₀)de¼gerinin hesaplanmas¬6 adet çarpma i¸slemi ve 3 adet toplama i¸slemi gerektirir.

(44)

Taylor polinom de¼ gerlerinin hesaplanmas¬(Horner yöntemi)

P_n(x) =a₁xⁿ+a₂x^{n 1}+ +a_nx+a_n₊₁ olarak ifade edilen polinomun x₀ noktas¬ndaki de¼geri

P_n(x₀) =a₁x₀ⁿ+a₂x₀^{n 1}+ +a_nx₀+a_n+1 (7) ifesinin do¼grudan kodlanmas¬suretiyle hesaplanmaz.

Çünkü bu ¸sekliyle n(n+1)/2 adet çarpma i¸slemi gerçekle¸stirilmesi gerekmektedir. Örne¼gin

P3(x) = a1x³+a2x²+a3x+a4

= a₁ x x x+a₂ x x+a₃ x+a₄ polinomu için P₃(x₀)de¼gerinin hesaplanmas¬6 adet çarpma i¸slemi ve 3 adet toplama i¸slemi gerektirir.

(45)

Taylor polinom de¼ gerlerinin hesaplanmas¬(Horner yöntemi)

Oysa ayn¬i¸slem

P₃(x) = ((a₁x+a₂)x+a₃)x+a₄

örne¼ginde oldu¼gu üzere iç içe çarp¬m format¬nda yaz¬lmak suretiyle 3 adet çarpma ve 3 adet toplama i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilir.

b1 =a1

olarak tan¬mlanmak üzere

b₂ = b₁x₀+a₂ =a₁x₀+a₂(en içteki toplam)

b₃ = b₂x₀+a₃ = (a₁x₀+a₂)x₀+a₃(en içten ikinci toplam) b₄ = b₃x₀+a₄ = ((a₁x₀+a₂)x₀+a₃)x₀+a₄(istenen toplam)

(46)

Taylor polinom de¼ gerlerinin hesaplanmas¬(Horner yöntemi)

Oysa ayn¬i¸slem

P₃(x) = ((a₁x+a₂)x+a₃)x+a₄

örne¼ginde oldu¼gu üzere iç içe çarp¬m format¬nda yaz¬lmak suretiyle 3 adet çarpma ve 3 adet toplama i¸slemi ile gerçekle¸stirilebilir.

b1 =a1

olarak tan¬mlanmak üzere

b₂ = b₁x₀+a₂ =a₁x₀+a₂(en içteki toplam)

b₃ = b₂x₀+a₃ = (a₁x₀+a₂)x₀+a₃(en içten ikinci toplam) b₄ = b₃x₀+a₄ = ((a₁x₀+a₂)x₀+a₃)x₀+a₄(istenen toplam)

(47)

Taylor polinom de¼ gerlerinin hesaplanmas¬(Horner yöntemi)

b₁ =a₁

b_k =a_k +x₀b_k ₁, k =2, 3, . . . , n

ile tan¬mlanan f^b^kg^{, k} =1, 2, 3, . . . , n dizisi için yukar¬daki örne¼gimize paralel olarak

bn =Pn(x0) elde ederiz.

Bu i¸slemin sadece (n 1)adet çarpma i¸slemi gerektirdi¼gine dikkat edelim.