2 · Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal · Integral

NÜMER· IK ANAL· IZ

Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

Nuri ÖZALP

SAYISAL ·INTEGRAL

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral

2 · Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal · Integral

Z ₂

0

e ^x2dx Z 1

0

Z 1 0

sin(xye^x)dxdy Z ₁

0

Z _x

x²

tan(xy²)dydx Z _π

0

cos(3 cos θ)d θ

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral

Z b a

f(x)dx

integralinin de¼gerini bulmak için, önce F⁰ =f özelli¼gine sahip bir F fonksiyonu üretiriz. Buradan da

Z b a

f(x)dx =F(b) F(a)

elde ederiz. Örne¼gin, Z 4

1

x²dx = ¹ 3x³

4 1

= ¹ 34³ 1

31³ =21

buluruz. F(x) =(1/3)x³ ile verilen F fonksiyonu f(x) =x² ile verilen f fonksiyonunun bir antitürevidir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral

Ço¼gu elemanter fonksiyonlar basit antitürevlere sahip de¼gildirler. Örne¼gin f(x) =e^x2 nin bir antitürevi

F(x) =

∑

x^2k+1 (2k+1)k ! dir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral

Z b a

f(x)dx (1)

integralinin say¬sal hesab¬için güçlü bir taktik, f ye yakla¸san ve kolayl¬kla integrallenebilen bir ba¸ska g fonksiyonu ile f yi de¼gi¸stirmektir. Böylece, f g den kolayca

Z _b

a f(x)dx Z _b

a g(x)dx

diyebiliriz. g belli bir nod kümesinde f yi interpole eden bir polinom olabilir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral

f nin bir polinom yakla¸s¬m¬di¼ger yollarla da, örne¼gin bir Taylor serisi kesilerek, elde edilebilir.

Örne¼gin

Z 1 0

e^x2dx Z 1

0

∑

x^2k k ! dx =

∑

1 (2k+1)k !

elde ederiz. Bununla beraber, sadece integrand hesaplamay¬ gerektiren genel yordamlara sahip olmak daha çekicidir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Polinom ·Interpolasyonu Yard¬m¬yla ·Integral

Polinom · Interpolasyonu Yard¬m¬yla · Integral

x_i ler [a, b]de ve

`i(x) =

∏

j=0 j6=ⁱ

x x_j xi xj

(0 i n)

olmak üzere, Lagrange polinomu

p(x) =

∑

f(xi)`i(x), (2)

dir. Böylece, Z b

a

f(x)dx Z b

a

p(x)dx =

∑

f(xi)

Z b a

`i(x)dx yazabiliriz.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Polinom ·Interpolasyonu Yard¬m¬yla ·Integral

Bu yolla, herhangi bir f için kullan¬labilecek olan a¸sa¼g¬daki gibi bir formül elde ederiz:

A_i =

Z _b

a `i(x)dx olmak üzere

Z _b

a

f(x)dx

∑

A_if(x_i) (3)

E¼ger nodlar e¸sit aral¬kl¬ yerle¸smi¸s ise, (3) formundaki bir formül bir Newton-Cotes formülü olarak adland¬r¬l¬r.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Yamuk Kural¬

Yamuk Kural¬

E¼gern =1ve nodlar dax₀ =a vex₁=b ise, en basit durum ortaya ç¬kar. Bu durumda, interpolasyon için temel polinomlar

`0(x) = ^{b x}

b a `1(x) = ^{x a}

b a

olup, buradan A0 =

Z b a

`0(x)dx = ¹

2(b a) =

Z b a

`1(x)dx =A1

dir. Kar¸s¬l¬k gelen tümleme formülü, böylece Z b

a

f(x)dx b a

2 [f(a) +f(b)]

olur. Bu, yamuk kural¬olarak bilinir. Bu formül her f 2^Π1 (yani derecesi en fazla 1 olan polinomlar) için kesin (e¸sitlik) dir. Dahas¬, bu formülün hata terimi, ξ 2 (^{a, b})olmak üzere,

1

12(b a)³f⁰⁰(ξ)

dir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Yamuk Kural¬

E¼ger [a, b]aral¬¼g¬

a=x₀ <x₁ < <x_n =b

¸seklinde parçalanm¬¸ssa, bu durumda yamuk kural¬herbir alt aral¬¼ga uygulanabilir. Burada nodlar¬n düzgün aral¬kl¬olmas¬gerekli de¼gildir.

Böylece, Z b

a

f(x)dx =

∑

Z xi

xi 1

f(x)dx 1

2

∑

(x_i x_{i 1}) [f(x_{i 1}) +f(x_i)]

bile¸sik yamuk kural¬n¬elde ederiz.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Yamuk Kural¬

Düzgün aral¬kl¬h = (b a)/n ve xi =a+ih ile bile¸sik yamuk kural¬

Z b a

f(x)dx h 2

"

f(a) +2

n 1

∑

i=1

f(a+ih) +f(b)

#

= h

∑

00f(a+ih) (4)

formunu al¬r. Bile¸sik yamuk kural¬için hata terimi 1

12(b a)h²f⁰⁰(ξ) olup, burada ξ 2 (^{a, b})dir.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Yamuk Kural¬

Örnek

E¼ger Newton-Cotes yordam¬nda n =1 ve [a, b] = [0, 1]al¬rsak, Z ₁

0

f(x)dx 1

6f(0) +² 3f 1

2 +¹

6f(1) (5)

formülünü elde ederiz. (3) formülünü kullanarak bu kural¬ç¬kar¬n¬z.

Çözüm

0, ¹₂ ve 1 nodlar¬için üç temel polinom

`0(x) =2(x <sub>2</sub><sup>1</sup>)(x 1), `1(x) = 4x(x 1), `2(x) =2x(x ¹₂) olur. Böylece

R1 1 R1

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Belirsiz Katsay¬lar Yöntemi

Belirsiz Katsay¬lar Yöntemi

(3) formülünün ç¬kar¬l¬¸s ¸seklinden, derecesi n olan her polinom için bu formülün kesin oldu¼gunu hemen görmekteyiz. Böylece belirsiz katsay¬lar yöntemi ile (3) formülüne benzer formüller üretmek kolayd¬r. Bunu görmek için, ¸simdi (5) e¸sitli¼gini bu yolla elde edelim.

Yani, derecesi 2 olan tüm polinomlar için kesin olan Z ₁

0

f(x)dx A₀f(0) +A₁f 1

2 +A₂f(1) formunda bir formül arayal¬m.

2 ·Interpolasyon Yard¬m¬yla Say¬sal ·Integral Belirsiz Katsay¬lar Yöntemi

Deneme fonksiyonlar¬olarak, s¬ras¬ile f(x) =1, x ve x² yi kullanarak

1 =

Z ₁

0

dx =A₀+A₁+A₂ 1

2 =

Z 1 0

xdx = ¹

2A₁+A₂ 1

3 =

Z ₁

0

x²dx = ¹

4A₁+A₂

elde ederiz. Bu denklem sisteminin çözümü ise A₀ =1/6, A1 =2/3 ve A₂ =1/6 d¬r. Bu formül lineer oldu¼gu için, ikinci dereceden herhangi bir f(x) =c0+c1x+c2x² polinomu için kesin de¼ger üretecektir.