K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r (2)Say¬sal türev farkl¬lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla hesaplanabilir

(1)

B ¨ol ¨um 1

Say¬sal Türev

Bu bölümde

sonlu fark olarak bilinen yöntemlerle bir fonksiyonun herhangi bir nokta veya aral¬ktaki nokta kümesi üzerinde farkl¬yöntemlerle say¬sal türev- lerinin nas¬l hesapland¬¼g¬n¬,

yöntemlerin hatalar¬n¬n nas¬l belirlendi¼gini,

MATLAB veya Octave(k¬saca MATLAB/Octave) ortam¬nda bir nokta veya aral¬k içerisindeki nokta kümesi üzerinde say¬sal türevlerin nas¬l hesapland¬¼g¬n¬ve

yüksek basamaktan hata içeren yöntemlerin nas¬l elde edilebilece¼gini inceliyoruz.

Konuyla ilgili olarak bölüm sonunda sundu¼gumuz ve bizim de bu dökü- man¬haz¬rlarken faydaland¬¼g¬m¬z temel kaynaklar¬öneririz.

1.1 Say¬sal türev

Öncelikle say¬sal türevi anlamaya çal¬¸sal¬m.

TANIM 1.1. Herhangi bir fonksiyonun tan¬m kümesi içerisinde bulunan bir t_i noktas¬ndaki say¬sal türevi, ti noktas¬ kom¸sulu¼gundaki fonksiyon de¼gerlerinin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilen ve genelde hata içeren bir türev yakla¸s¬m¬d¬r.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(2)

Say¬sal türev farkl¬lineer kombinasyonlar yard¬m¬yla hesaplanabilir. Bir yöntemi di¼gerlerinden ay¬ran özellik, yöntemin

hatas¬ve

lineer kombinasyondaki terim say¬s¬d¬r.

Tercihen en iyi say¬sal türev yöntemi, en az hata ve

minumum bilgisayar kayna¼g¬kullanarak belirtilen türev i¸slemini gerçek- le¸stiren yöntemdir. Burada bilgisayar kayna¼g¬ ile bilgisayar bellek ve i¸slem gerçekle¸stirme zaman¬n¬kastediyoruz. Dolay¬s¬yla bilgisayar kay- nak kullan¬m¬ aç¬s¬ndan tercih edilen yöntem, en az say¬da fonksiyon de¼geri hesaplamak suretiyle ilgili türev yakla¸s¬m¬n¬elde eden yön- temdir.

¸

Simdi birinci basamaktan türev için farkl¬say¬sal yöntemlere göz atal¬m.

1.2 Birinci basamaktan türev için yakla¸s¬m- lar

Bir I = (a; b) R aç¬k aral¬¼g¬nda türevlenebilir bir f fonksiyonun bu aral¬k içerisinde herhangi bir t noktas¬ndaki türevinin, birbirine denk olan

f0(t) = limh!0

f (t + h) f (t) h

= lim_h!0f (t) f (t h) h

= lim_h!0f (t + h) f (t h) 2h

limitleri ile tan¬mland¬¼g¬n¬ biliyoruz. h ! 0 için limit i¸slemini kald¬rmak suretiyle, h n¬n yeterince küçük ve pozitif de¼geri için elde edilen

f⁰(t) = f (t + h) f (t) h

= f (t) f (t h) h

= f (t + h) f (t h) 2h

(3)

1.2 Birinci basamaktan türev için yakla¸s¬mlar 3

yakla¸s¬mlar¬ndan her birisi t noktas¬ndaki birinci basamaktan türev için farkl¬

say¬sal yakla¸s¬md¬r. Bu yakla¸s¬mlar¬a¸sa¼g¬da tan¬mlanan bölünmü¸s fark notasyonu yard¬m¬yla ifade edebiliriz.

TANIM 1.2. f fonksiyonun a ve b noktalar¬ndaki bölünmü¸s fark¬

f [a; b] = f (b) f (a) b a ile tan¬mlan¬r.

f [a; b]bölünmü¸s fark¬n¬n, (a; f (a)) ve (b; f (b)) noktalar¬n¬birle¸stiren do¼gru parças¬n¬n(kiri¸sin) e¼gimi oldu¼guna dikkat edelim.

TANIM 1.3. h > 0olmak üzere (t; f (t)); (t + h; f (t + h)) noktalar¬ndan geçen do¼grunun e¼gimini, (t; f (t)) noktas¬ndaki te¼get do¼gru e¼gimi olarak kabul eden

D_i(f; t; h) := f [t; t + h] = f (t + h) f (t)

h (1.1)

yakla¸s¬m¬na f⁰(t) için ileri fark yakla¸s¬m¬ ad¬ verilmektedir. Benzer olarak, t noktas¬ve bu noktan¬n gerisinde yer alan t h noktas¬ndaki fonksiyon de¼geri ile elde edilen

D_g(f; t; h) := f [t h; t] = f (t) f (t h)

h (1.2)

yakla¸s¬m¬na f⁰(t) için geri fark, ve t noktas¬n¬merkez kabul eden t h ve t + h noktalar¬ndaki fonksiyon de¼gerleri ile elde edilen

D_m(f; t; h) := f [t h; t + h] = f (t + h) f (t h)

2h (1.3)

yakla¸s¬m¬na ise birinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬ad¬verilmektedir.

ÖRNEK 1.1. f (t) = t² + 1 fonksiyonun t = 1 noktas¬ndaki ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬ ile elde edilen e¼gimlere sahip ve (1; 2) noktas¬ndan geçen do¼grular ile ayn¬ noktadan geçen te¼get do¼gru gra…klerini ayn¬eksende çizdiriniz.

Çözüm. Birinci mertebeden türev için de¼gi¸sik yakla¸s¬mlar ve geometrik gös- terimleri ¸Sekil 1.1 de verilmektedir.

(4)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

teğet doğru

eğim=geri fark

teğet doğru

eğim=merkez fark eğim=ileri fark

¸

Sekil 1.1: Te¼get do¼gru ve ileri fark, geri fark ve merkezi fark e¼gimli do¼grular.

¸

Sekil 1.1’de, f (t) = t² + 1 fonksiyonuna t = 1 noktas¬nda çizilen te¼get do¼grular ile t = 1 noktas¬nda h = 1 ad¬m

uzunlu¼gu ile olu¸sturulan ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬n¬

e¼gim kabul ederek, (1; 2) noktas¬ndan geçen do¼grular¬n gra…kleri görülmek- tedir. ·Ileri fark ile elde edilen e¼gim

f [1; 1] = (f (2) f (1))=1 = 3;

geri fark ile elde edilen e¼gim

f [0; 1] = (f (1) f (0))=1 = 1 ve merkezi fark ile elde edilen e¼gim ise

f [0; 2] = (f (2) f (0))=2 = 2

olarak elde edilir. Bu örnek için merkezi fark e¼giminin t = 1 noktas¬nda gerçek e¼gime e¸sit oldu¼gunu gözlemleyiniz.

ÖRNEK 1.2. f (t) = at + bfonksiyonunun t0 noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplayal¬m.

Çözüm.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(5)

D_i(f; t₀; h) = f (t₀+ h) f (t₀) h

= a(t₀+ h) + b a(t₀) b

= a h

d¬r ve bu sonuç h ad¬m uzunlu¼gundan ba¼g¬ms¬z olarak do¼grudur. Di¼ger yön- temlerle de ayn¬ sonucu elde edebilece¼gimizi kontrol ediniz. Bu durumda say¬sal türevde olu¸san hata

Hata = f⁰(t₀) f [t₀; h]

= a a

= 0 d¬r.

ÖRNEK 1.3. f (t) = at² fonksiyonunun t0 noktas¬ndaki birinci basamaktan say¬sal türevini h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z. Her bir durumda olu¸san hatay¬hesaplay¬n¬z.

Çözüm.

·Ileri fark yöntemi ile

D_i(f; t₀; h) = f (t₀+ h) f (t₀) h

= a(t₀+ h)² a(t₀)² h

= a(h + 2t₀);

ve

Hata = f⁰(t₀) D_i(f; t₀; h)

= 2at₀ a(h + 2t₀)

= ah

olarak elde edilir. Geri fark yöntemiyle

D_g(f; t₀; h) = f (t₀) f (t₀ h) h

= a(t₀)² a(t₀ h)² h

= a( h + 2t₀)

(6)

Hata = f⁰(t0) Dg(f; t0; h)

= 2at₀ a( h + 2t₀)

= ah ve merkezi fark yöntemiyle ise

D_m(f; t₀; h) = f (t₀+ h) f (t₀ h) 2h

= a(t₀+ h)² a(t₀ h)² 2h

= 2at₀

Hata = f⁰(t₀) D_m(f; t₀; h)

= 2at0 2at0

= 0

elde edilir. O halde bu örnek için elde edilen say¬sal türev yakla¸s¬mlar¬

ileri fark ve geri fark yönteminde ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬ olarak de¼gi¸sirken, merkezi fark yönteminde ise ad¬m uzunlu¼gundan ba¼g¬ms¬zd¬r ve elde edilen yakla¸s¬m ayn¬zamanda gerçek türev de¼geridir.

ÖRNEK 1.4. f (t) = t³ fonksiyonunun t = 1 noktas¬ndaki türevinde olu¸san hatay¬h = 0:2 ve h = 0:1 ad¬m uzunluklar¬için

ileri fark geri fark merkezi fark

yöntemi yard¬m¬yla hesaplay¬n¬z.

Çözüm.

·Ileri fark yöntemi ile türev

D_i(f; 1; h) = f (1 + h) f (1) h

= (1 + h)³ (1)³ h

= h²+ 3h + 3

(7)

olup, hata

f⁰(1) D_i(f; 1; h) = (h²+ 3h)

olarak elde edilir. h = 0:2 için hata de¼geri 0:64 olarak bulunur.

h = 0:1için ise hata de¼geri 0:31olarak elde edilir. Bu de¼gerin h = 0:2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬ kadar oldu¼guna dikkat edelim.

Geri fark yöntemi ile türev

D_g(f; 1; h) = f (1) f (1 h) h

= (1)³ (1 h)³ h

= h² 3h + 3 olup, hata

f⁰(1) D_g(f; 1; h) = h²+ 3h

olarak elde edilir. h = 0:2 için hata de¼geri 0:56 olarak bulunur. h = 0:1 için ise hata de¼geri 0:29 olarak elde edilir. Bir önceki ¸s¬kta oldu¼gu gibi bu de¼ger, h = 0:2 için elde edilen hatan¬n yakla¸s¬k olarak yar¬s¬

kadard¬r.

Merkezi fark yöntemi ile türev

D_m(f; 1; h) = f (1 + h) f (1 h) 2h

= (1 + h)³ (1 h)³ 2h

= h²+ 3 olup, hata

f⁰(1) Dm(f; 1; h) = h²

elde edilir. h = 0:2 için hata de¼geri 0:04 olarak bulunur. h = 0:1 için ise hata de¼geri 0:01 olarak elde edilir. ·Ilk ¸s¬klarda elde edilen sonuçlar¬n aksine bu de¼ger h = 0:2 için elde edilen hatan¬n dörtte biri kadard¬r.

Özetle burada sunulan örnekler ve benzer di¼ger örnekler sonucunda

(8)

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda olu¸san hatan¬n mutlak de¼gerce di¼ger yakla¸s¬m hatalar¬ndan daha küçük oldu¼gunu,

·Ileri fark ve geri fark yakla¸s¬mlar¬nda olu¸san hatalar¬n mutlak de¼gerce birbirlerine yak¬n olduklar¬n¬,

Ad¬m uzunlu¼gunun h = 0:2 den h = 0:1 ’e yani yar¬s¬na dü¸sürülmesiyle, ileri fark ve geri fark yakla¸s¬m hatalar¬n¬n da yakla¸s¬k olarak yar¬ya indirgendi¼gini,

Merkezi fark formülünde ise ad¬m uzunlu¼gunun yar¬ya dü¸sürülmesiyle hatan¬n yakla¸s¬k olarak 4 kat azald¬¼g¬n¬gözlemliyoruz.

ÖRNEK 1.5. Sat¬r fonksiyonu(inline function) olarak tan¬mlanan bir f fonksiyonunun, verilen bir noktadaki say¬sal türevini verilen bir ad¬m uzunlu¼gu ile ileri fark, geri fark ve merkezi fark yöntemi ile hesaplayan MATLAB/OCTAVE program¬geli¸stiriniz.

Çözüm.

Program¬m¬z¬sturev olarak adland¬ral¬m:

%--- function sonuc=sturev(f,a,h)

ilerifark=(f(a+h)-f(a))/h;

merkezifark=(f(a+h)-f(a-h))/(2*h);

gerifark=(f(a)-f(a-h))/h;

sonuc=[ilerifark,merkezifark,gerifark];

end

%---

Program 1.1: Farkl¬yöntemlerle say¬sal türev

Program 1.1’i çal¬¸st¬rmak için öncelikle f fonksiyonunu tan¬mlayal¬m: f fonksiyonunu iki farkl¬¸sekilde tan¬mlayabiliriz. Birincisi a¸sa¼g¬da görüldü¼gü gibi inline fonksiyonu yard¬m¬yla

>> f=inline(’t^2’) f =

Inline function:

(9)

1.3 O(Büyük O) notasyonu 9

f(t) = t^2

Alternatif olarak f fonksiyonunu "anonim fonksiyon" olarak ’@’sembolü ile

>> f=@(t) t^2

biçiminde de tan¬mlayabiliriz. Burada @(t) terimi f nin t ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenin fonksiyonu oldu¼gunu ifade etmektedir.

>> sonuc=sturev(f,1,0.1) sonuc =

2.1000 2.0000 1.9000 elde ederiz.

Türev için elde edilen de¼gi¸sik yakla¸s¬mlardan hangisinin kullan¬laca¼g¬na karar verirken dikkat etti¼gimiz kriterlerden birisi ve belki de en önemlisi, yöntem ile elde edilen sonuç ile gerçek de¼ger aras¬ndaki fark, yani hatad¬r.

Genelde gerçek türev de¼geri elimizde olmayaca¼g¬ için bir sonlu fark yönte- minde her bir noktada olu¸sacak olan hatay¬tam olarak belirlemek mümkün olmad¬¼g¬gibi, gerekli de de¼gildir. Fakat verilen bir yöntemde olu¸san hatan¬n, ad¬m uzunlu¼gunun hangi dereceden polinomuyla k¬yaslanabilece¼gini belirlemek mümkündür. Söz konusu k¬yaslama i¸slemi O(b•uy •uk O olarak okunur) notasyonu yard¬m¬yla gerçekle¸stirilebilir. ¸Simdi büyük O notasyonunu k¬saca tan¬yal¬m.

1.3 O(Büyük O) notasyonu

Onotasyonu, belirli bir noktan¬n kom¸sulu¼gunda verilen bir fonksiyonun de¼gi¸sim h¬z¬n¬daha sade biçimde ifade edilen elemanter fonksiyonlar cinsinden ifade etmek için kullan¬l¬r.

TANIM 1.4. t = anoktas¬kom¸sulu¼gunda tan¬ml¬f ve g fonksiyonlar¬için e¼ger lim_t!a(f (t))=(g(t)) = sabit6= 0 ise bu taktirde f(t) fonksiyonuna, t = a noktas¬

kom¸sulu¼gunda g inci basamaktand¬r denir. Bu durum f (t) = O(g(t)); t ! a gösterimi ile ifade edilir ve f (t) büyük O g(t) diye okunur.

Yukar¬daki tan¬mda a = 1 olmas¬durumunda, bu noktan¬n kom¸sulu¼gu olarak yeterince büyük c > 0 için (c; 1) aral¬¼g¬al¬n¬r.

ÖRNEK 1.6. O(büyük o) notasyonunun kullan¬m¬na ili¸skin olarak a¸sa¼g¬daki örnekleri inceleyelim.

(10)

sin(t) = O(t); t! 0 d¬r, çünkü

lim_t!0(sin(t))=t = 16= 0

d¬r. Bu durumda t = 0 noktas¬ kom¸sulu¼gunda sin(t) fonksiyonu t fonksiyonu ile benzer davran¬¸s gösterir(di¼ger bir deyimle, de¼gi¸sim h¬zlar¬

aras¬nda lineer bir ili¸ski söz konusudur).

3t²+ 3t + 2 = O(t²); t! 1 çünkü limt!1((3t²+ 3t + 2))=t² = 36= 0 dir.

3t²+ 3t + 2 = O(1); t ! 0 çünkü limt!0((3t²+ 3t + 2))=1 = 26= 0:

sinh(t) = 1=2(e^t e ^t) = 1=2(e^t) 1=2(e ^t)

= 1=2(1 + t + t²=2! + t³=3! : : :) 1=2(1 t + t²=2! t³=3! : : :)

= t + t³=3! : : :

= O(t); t! 0 Benzer biçimde

cos(t) = O(1); t ! 0 ve

e^t 1 = O(t); t! 0 fakat

e^t 16= O(t); t ! 1 d¬r.

(11)

1.3 O(Büyük O) notasyonu 11

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2

x y

¸

Sekil 1.2: S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda f (t) = e^t 1 ve g(t) = t fonksiyonlar¬

Özetle büyük O notasyonu yard¬m¬yla bir fonksiyonun bir nokta kom¸sulu¼gundaki davran¬¸s¬ daha basit fonksiyonlarla( örne¼gin tⁿ; n 2 Z ) ifade edilmektedir. Örne¼gin

lim_t!0(e^t 1)=t = 1 olup, büyük O notasyonu ile

e^t 1 = O(t); t! 0

ile s¬f¬r noktas¬n¬n yeterince küçük kom¸sulu¼gunda e^t 1 = t al¬nabilece¼gini anl¬yoruz. S¬f¬r noktas¬kom¸sulu¼gunda f (t) = e^t 1ve g(t) = t fonksiyonla- r¬n¬n gra…kleri ¸Sekil 1.2’de görülmektedir.

Büyük O notasyon kullan¬m¬n¬daha iyi kavrayabilmek için a¸sa¼g¬da verilen ifadeleri yak¬ndan inceleyelim:

3t = O(t); t! 0;

3t + 2t² = O(t); t! 0;

3t + 2t² = O(t²); t! 1;

e^t = 1 + t + t²=2 + O(t³); t! 0, 2 cos(t) = O(1); t ! 0;

tan(x) = O(x); x! 0;

(12)

tan(x) = x + O(x³); x! 0;

x + x²=2 + x³=5 = x + O(x²); x! 0;

x sin(x) = O(x²); x! 0

1.4 Say¬sal türev yakla¸s¬m hatalar¬

TEOREM 1.1. f 2 C²[a; b]ve küçük bir pozitif h sabiti için, t ve t+h 2 (a; b) olsun. Bu taktirde

f⁰(t) = f (t + h) f (t)

h + O(h); h > 0 d¬r.

Ispat.·

Taylor teoreminden

f (t + h) = f (t) + hf0(t) + h²f⁰⁰(c)=2

ba¼g¬nt¬s¬sa¼glanacak biçimde c 2 (a; b) sabiti mevcuttur. Bu ba¼g¬nt¬dan f0(t) = (f(t + h) f (t))=h hf⁰⁰(c)=2

elde edilir. f 2 C²[a; b] oldu¼gundan f⁰⁰ fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda s¬n¬rl¬d¬r ve dolay¬s¬yla

hf⁰⁰(c)=2 = O(h); h > 0 d¬r.

Ileri fark yöntemi ile türev yakla¸· s¬m¬nda olu¸san

f0(t) (f (t + h) f (t))=h = h=2f⁰⁰(c) olarak elde edilen hata terimine yak¬ndan bakal¬m:

Hata terimi bize ileri fark yöntemiyle f (t) = at + b ile verilen lineer fonksiyonlar¬n türevinin hatas¬z olarak hesaplayaca¼g¬n¬aç¬kça ifade etmektedir.

(13)

1.5 Aral¬k üzerinde say¬sal türev(ileri, geri ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬) 13

Yine hata terimi, ad¬m uzunlu¼gu h yerine h=2 al¬nmas¬ durumunda hatan¬n yakla¸s¬k olarak h ile olu¸san hatan¬n yar¬s¬kadar olaca¼g¬n¬ifade etmektedir.

Fonksiyonun d¬¸sbükey oldu¼gu (f⁰⁰ > 0) noktalarda hata, yani gerçek türev de¼geri ile fark yakla¸s¬m¬ ile elde edilen de¼ger aras¬ndaki fark, negatiftir. Di¼ger bir deyimle, fark yakla¸s¬m¬gerçek de¼gerden büyüktür.

Fonksiyonun içbükey oldu¼gu bölgede ise tersi durum söz konusudur.

Son olarak hata terimi, fonksiyonunu ikinci türevinin mutlak de¼gerce büyük de¼gerler ald¬¼g¬ noktalarda iyi sonuç elde edebilmek için ad¬m uzunlu¼gunun çok küçük olmas¬gerekti¼gini ifade etmektedir.

Benzer biçimde geri fark yakla¸s¬m¬ için de hatan¬n ayn¬ basamaktan, yani O(h) oldu¼gu(Al¬¸st¬rma 5) ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ için ise O(h²) oldu¼gu(Al¬¸st¬rma 7) gösterilebilir.

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda olu¸san hata, mutlak de¼gerce ve genelde, ileri fark ve geri fark yakla¸s¬mlar¬na göre daha küçüktür. Merkezi fark yakla¸s¬m¬daha iyi bir yakla¸s¬m olmas¬na ra¼gmen diferensiyel denklemlerin say¬sal çözümlerinde bu yakla¸s¬m yerine bazen ileri fark bazen de geri fark yakla¸s¬m- lar¬n¬n kullan¬lmas¬daha uygundur.

1.5 Aral¬k üzerinde say¬sal türev(ileri, geri ve merkezi fark yakla¸s¬mlar¬)

[a; b] aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ bir y = f (t) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.

Bu aral¬kta aralar¬ndaki uzakl¬klar¬h = (b a)=n olan n adet alt aral¬¼g¬n uç noktalar¬

t_i = a + (i 1)h; i = 1; 2; ; n + 1 dir. Bu uç noktalar¬

T = [t₁; t₂; ; t_n; t_n+1]

vektörü ile gösterelim. T nin elemanlar¬na kar¸s¬l¬k gelen fonksiyon de¼gerlerinin bile¸sen kabul eden vektörü ise

f (T ) = [f (t₁); f (t₂); : : : ; f (t_n)]

ile gösterelim.

(14)

T = [ t1; ; tn] noktalar¬nda ileri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m Di(f; T; h) = f (T + h) f (T )

h (1.4)

olarak tan¬mlan¬r.Burada T + h ile T vektörünün her bir eleman¬na h skalerinin ilave edilmesiyle elde edilen

T + h : = [t₁+ h; t₂+ h; ; t_n+ h]

= [t₂; t₃; ; t_n+1] vektörünü ifade ediyoruz.

T = [ t₂; ; t_n; t_n+1]noktalar¬nda geri fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_g(f; T; h) = f (T ) f (T h)

h (1.5)

olarak tan¬mlan¬r.

Uyar¬. 1.4 ve 1.5 yöntemleri kar¸s¬la¸st¬r¬ld¬¼g¬nda, her ikisi de sonuç olarak ayn¬indisel notasyona sahip gözükmekte olsa bile 1.4 formülasyonunun T = [ t₁; ; t_n] noktalar¬nda ve 1.5 notasyonunun ise T = [ t₂; ; t_n; t_n+1] noktalar¬nda tan¬ml¬ oldu¼guna dikkat ediniz. Di¼ger bir de¼gimle, t1 noktas¬nda ileri fark yöntemine göre say¬sal türev ile t2 noktas¬nda geri fark yöntemine göre say¬sal türev ayn¬d¬r.

t₁ ve tn+1 noktalar¬aras¬nda kalan T = [ t2; ; t_n] iç noktalar¬nda merkezi fark yöntemiyle türev için yakla¸s¬m

D_m(f; T; h) = f (T + h) f (T h)

2h (1.6)

ÖRNEK 1.7. f (t) = t³; t 2 [ 1; 1]; h = 0:2 ad¬m uzunlu¼gu ile belirtilen T noktalar¬nda birinci türev için ileri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬, gerçek türev de¼geri ve her noktada olu¸san hatay¬hesaplayarak tablo halinde sunal¬m.

Çözüm.

(15)

Verilen ad¬m uzunlu¼gu ile olu¸san alt aral¬k say¬s¬

h = (b a)=n = 2=n = 0:2) n = 10

dur. Bu durumda nokta say¬s¬ise n+1 = 11 adet olup, alt aral¬k uç noktalar¬

t_i = a + (i 1)h = 1 + (i 1)0:2; i = 1; 2; ; 11 :olarak tan¬mlan¬r. Uç noktalar vektörü

T = [ 1; 0:8; 0:6; 0:4; 0:2; 0; 0:2; 0:4; 0:6; 0:8; 1]

olup, ileri fark yöntemi ile yakla¸s¬mlar ilk 10 noktada, merkezi fark yöntemi ile ise ilk ve son nokta d¬¸s¬ndaki noktalarda hesaplanmaktad¬r.

Ileri Fark· Merkezi Fark

T Türev Yakla¸s¬m Hata Yakla¸s¬m Hata 0.0000 0.0000 0.0400 0.0400 0.0400 -0.0400 0.2000 0.1200 0.2800 -0.1600 0.1600 -0.0400 0.4000 0.4800 0.7600 -0.2800 0.5200 -0.0400 0.6000 1.0800 1.4800 -0.4000 1.1200 -0.0400 0.8000 1.9200 2.4400 -0.5200 1.9600 -0.0400

Tablo 1.1: Örnek 1.7 için baz¬·Ileri Fark ve Merkezi Fark yakla¸s¬mlar¬

f (t) = t³ fonksiyonu, t < 0 için iç bükey ve t > 0 için ise d¬¸s bükeydir.

Özetle

Ileri fark yönteminde hatan¬n i¸· sareti yukar¬da belirtildi¼gi üzere iç bükey bölgede pozitif ve d¬¸s bükey bölgede ise negatiftir.

S¬f¬r noktas¬ndan uzakla¸st¬kça ikinci türev de¼gerinin büyümesine ba¼gl¬

olarak ileri fark yöntemine göre hatan¬n mutlak de¼gerce artmaktad¬r.

Merkezi fark yakla¸s¬m¬nda hatan¬n, türevi hesaplanan fonksiyonun üçüncü türevini içerdi¼gini(Al¬¸st¬rma 7) biliyoruz. Göz önüne ald¬¼g¬m¬z örnekte fonksiyonun üçüncü türevi sabit oldu¼gu için hata formülü bu durumda gerçek hatay¬da vermektedir.

( h²f⁰⁰⁰(c)=6 = h² = (0:2)² = 0:04)

(16)

Merkezi fark yakla¸s¬m¬üçüncü türevi s¬f¬ra e¸sit olan iki veya daha dü¸sük dereceli polinomlar¬n türevini hatas¬z olarak hesaplar.

ÖRNEK 1.8. f fonksiyonu ve gerçek türevi ile [a; b] aral¬¼g¬ ve bu aral¬kta kullan¬lmas¬ istenilen alt aral¬k say¬s¬n¬(n) kullan¬c¬dan alarak, birinci türev için ileri fark, geri fark ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ile gerçek türev de¼gerini hesaplayan program¬haz¬rlayal¬m

Örnekte belirtilen i¸slemler Program 1.2 ile gerçekle¸stirilmi¸stir. Ayr¬ca

%--- function asturev(f,df,a,b,n)

h=(b-a)/n;

T=a:h:b;

Ti=T(1:n);

Tg=T(2:end);

Tm=T(2:n);

ifark=(f(Ti+h)-f(Ti))/h;

mfark=(f(Tm+h)-f(Tm-h))/(2*h);

gfark=(f(Tg)-f(Tg-h))/h;

subplot(3,1,1);

plot(Ti,ifark,’-o’);hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

subplot(3,1,2);

plot(Tg,gfark,’-d’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

subplot(3,1,3);

plot(Tm,mfark,’-*’); hold on; plot(T,df(T),’-r’,’linewidth’,2);

%---

Program 1.2: Gerçek türev ile farkl¬yöntemlerle aral¬k üzerinde say¬sal türev

>> f=@(t) sin(t)

>> df=@(t) cos(t) ile

>>asturev(f,df,-3,3,20)

komutu ile elde edilen sonuçlar ¸Sekil 1.3 de sunulmaktad¬r.

¸

Sekilde oklarla belirtildi¼gi üzere ·Ileri fark yöntemi ile say¬sal türevin aral¬¼g¬n sa¼g uzunda, geri fark ile hesaplanan say¬sal türevin aral¬¼g¬n sol ucunda ve merkezi fark ile hesaplanan türevin ise aral¬¼g¬n uç noktalar¬nda hesaplan- mad¬¼g¬na dikkat ediniz.

(17)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

¸

Sekil 1.3: ·Ileri fark(o), geri fark(kare) ve merkezi fark(*) yakla¸s¬mlar¬ ile gerçek türev(-)

Al¬¸st¬rmalar 1.1.

1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki say¬sal türev- lerini ileri fark yöntemi ve h = 0:1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z.

f (t) = sin(t); t = 1 f (t) = ln(t); t = 1 f (t) = e^2t; t = 0

2. Soru 1 de verilen fonksiyonlar¬n gerçek türevlerini de kar¸s¬lar¬nda verilen noktalarda hesaplay¬n¬z.

3. Soru 1 de elde etti¼giniz say¬sal türev de¼gerleri ile Soru 2 de elde etti¼giniz say¬sal türev de¼gerlerinin fark¬ile olu¸sturaca¼g¬n¬z say¬sal türev hata de¼gerlerini hesaplay¬n¬z.

(18)

4. Soru 1 3’ü h = 0:05 için tekrarlay¬n¬z. Elde etti¼giniz yeni hata de¼gerleri ile h = 0:1için elde etti¼giniz hata de¼gerlerini kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z. Ad¬m uzunlu¼gunu ikiye bölmek suretiyle elde etti¼giniz yakla¸s¬mlarda olu¸san hata de¼gerleri, önceki de¼gerlerin yakla¸s¬k olarak ne kadar¬d¬r. Elde etti¼giniz sonuç hatan¬n O(h)büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

5. (Birinci basamaktan türev için geri fark yakla¸s¬m¬) f 2 C²[a; b] ve küçük pozitif h sabiti için, t ve t h2 (a; b) olsun. Bu taktirde

f0(t) = (f(t) f (t h))=h + O(h); h! 0 oldu¼gunu gösteriniz.

6. Soru 1 4’ü geri fark yakla¸s¬m¬için tekrar ediniz.

7. (Birinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬) f 2 C³[a; b] ve küçük pozitif h sabiti için, t h; t + h2 (a; b) olsun. Bu taktirde

f0(t) = (f(t + h) f (t h))=2h + O(h²), O(h²) = h²=6f⁰⁰⁰(c); h! 0; c 2 (a; b) oldu¼gunu gösteriniz.

8. Soru 1 4’ü merkezi fark yakla¸s¬m¬için tekrar ediniz. Elde etti¼giniz sonuçlar hatalar¬n O(h²) büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

Al¬¸st¬rmalar 1.2. (Bilgisayar destekli al¬¸st¬rmalar)

1. f (t) = sin(t) fonksiyonunun ileri fark yöntemine göre birinci basmaktan say¬sal türevini [ 2; 2] aral¬¼g¬n¬10 adet alt aral¬¼ga bölerek elde edilen alt aral¬k uç noktalar¬nda hesaplayarak, gerçek ve say¬sal türevin gra…¼gini ayn¬

ekranda çizdiriniz.

2. Yukar¬da verilen aral¬¼g¬20 adet alt aral¬¼ga bölerek her bir noktada olu¸san hatan¬n yakla¸s¬k olarak kaç kat azald¬¼g¬n¬gözlemlemeye çal¬¸s¬n¬z.

3. t = 2 noktas¬nda olu¸san hatan¬n kaç kat azald¬¼g¬n¬hesaplay¬n¬z.

4. Elde etti¼giniz sonuç yöntemin hata tahmini ile uyumlu mu?

5. Soru 1 4’ü geri fark yöntemi için tekrar ediniz.

6. Soru 1 4’ü merkezi fark yöntemi için tekrar ediniz.

(19)

1.6 ·Ikinci türev ve merkezi fark yakla¸s¬m¬ 19

1.6 Ikinci türev ve merkezi fark yakla¸· s¬m¬

Ikinci türev için genellikle kullan¬lan sonlu fark yakla¸· s¬m¬merkezi fark yakla¸s¬m¬d¬r. Yakla¸s¬m formülü ve hata terimi a¸sa¼g¬daki gibidir:

TEOREM 1.2. Teorem (·Ikinci basamaktan türev için merkezi fark yakla¸s¬m¬) f 2 C⁴[a; b] ve küçük pozitif h sabiti için, t h ve t + h 2 (a; b) olsun. Bu taktirde

f⁰⁰(t) = (f (t + h) 2f (t) + f (t h))=h²+ O(h²); h > 0 d¬r.

·Ispat: Taylor teoreminden

f (t + h) f (t) = hf⁰(t) + h²f⁰⁰(t)=2 + h³f⁰⁰⁰(t)=6 + h⁴f^(iv)(c₁)=24; c₁ 2 (a; b)

f (t h) f (t) = hf⁰(t) + h²f⁰⁰(t)=2 h³f⁰⁰⁰(t)=3! + h⁴f^(iv)(c₂)=24; c₂ 2 (a; b) Aç¬l¬mlar¬taraf tarafa toplanarak düzenlenirse,

f (t + h) + f (t h) 2f (t) = h²f⁰⁰(t) + h⁴=12((f^(iv)(c₁) + f^(iv)(c₂))=2); (1.7) c₁; c₂ 2 (a; b) elde ederiz. Sürekli fonksiyonlar için ara de¼ger teoreminden

f^(iv)(c) = ((f^(iv)(c₁) + f^(iv)(c₂))=2)

ba¼g¬nt¬s¬sa¼glanacak biçimde (a; b) aral¬¼g¬nda bir c eleman¬mevcuttur.

O halde (1.7) denkleminin her iki yan¬h² ile bölünürse,

(f (t + h) 2f (t) + f (t h))=h² = f⁰⁰(t) + h²=12(f^(iv)(c)) veya

f⁰⁰(t) = (f (t + h) 2f (t) + f (t h))=h²+ O(h²); h > 0 elde ederiz.

Tan¬m kümesi içerindeki bir t noktas¬nda f fonksiyonunun ikinci basamaktan merkezi fark yöntemiyle say¬sal türevi

D2(f; t; h) := f (t + h) 2f (t) + f (t h)

h² (1.8)

(20)

ÖRNEK 1.9. f (t) = cos(t) fonksiyonunun t = =4 noktas¬ndaki ikinci türev yakla¸s¬m¬n¬ ve yakla¸s¬m hatalar¬n¬ h = 0:2 ve h = 0:1 ad¬m uzunluklar¬ için hesaplayal¬m.

Çözüm.

Belirtilen h de¼gerleri için elde edilen yakla¸s¬mlar ve hatalar¬ a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir:

h = 0:2 h = 0:1

t_i Yakla¸s¬m Hata(h = 0:2) Yakla¸s¬m Hata(h = 0:1)

=4 0:7048 0:0024 0:7066 5:89E 04

Hata(h = 0:2)=Hata(h = 0:1) = 4:074

olup, bu sonuç Teorem 1.2 ile elde edilen O(h²) teorik hatas¬n¬do¼grulamak- tad¬r: ad¬m uzunlu¼gu ikiye bölününce hata dört kat azalmaktad¬r.

Al¬¸st¬rmalar 1.3.

1. A¸sa¼g¬da verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki ikinci basamaktan say¬sal türevlerini merkezi fark yöntemi ve h = 0:1 ad¬m uzunlu¼gu ile hesaplay¬n¬z.

f (t) = sin(t); t = 1 f (t) = ln(t); t = 1 f (t) = e^2t; t = 0

2. Soru 1’de verilen fonksiyonlar¬n kar¸s¬lar¬nda verilen noktalardaki ikinci basamaktan türevlerini(gerçek) hesaplay¬n¬z.

3. Soru 1 ve 2’deki sonuçlar¬n¬z¬kar¸s¬la¸st¬rarak, say¬sal türev i¸sleminde olu¸san hatalar¬hesaplay¬n¬z.

4. Soru 1 3’ü h = 0:05 ad¬m uzunlu¼gu ile tekrar ediniz. Elde etti¼giniz yeni hata de¼gerlerini h = 0:1 için elde etti¼giniz hata de¼gerleri ile kar¸s¬la¸st¬r¬n¬z.

Gözlemleriniz hatan¬n O(h²) büyüklü¼günde olmas¬ile uyumlu mudur?

(21)

1.7 Proje çal¬¸smalar¬ 21

5. ·Ikinci basamaktan türev için merkezi fark formülü ile, birinci basamaktan türev için ileri ve geri fark formülleri aras¬nda a¸sa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar¬n mevcut oldu¼gunu gözlemleyiniz:

D₂(f; t; h) = (D_goD_i)(f; t; h) = (D_ioD_g)(f; t; h)

6. f (t) = sin(t) fonksiyonunun merkezi fark yöntemine göre ikinci basamaktan say¬sal türevini [0; 1] aral¬¼g¬n¬ 10 adet alt aral¬¼ga bölerek elde edilen alt aral¬k uç noktalar¬nda hesaplay¬n¬z. Gerçek ve say¬sal türev fark¬n¬

hesaplay¬n¬z.

7. Yukar¬da verilen aral¬¼g¬20 adet alt aral¬¼ga bölerek her bir noktada olu¸san hatan¬n yakla¸s¬k olarak kaç kat azald¬¼g¬n¬gözlemlemeye çal¬¸s¬n¬z.

8. t = 1=2 noktas¬nda olu¸san hatan¬n kaç kat azald¬¼g¬n¬hesaplay¬n¬z.

9. Elde etti¼giniz sonuç yöntemin hata tahmini ile uyumlu mudur?

10. Soru 1 4’ü f (t) = cos(t) fonksiyonu için tekrar ediniz.

1.7 Proje çal¬¸smalar¬

1. (Birinci basamaktan türev için merkezi fark formülü için farkl¬bir yakla¸s¬m)

f fonksiyonunun ti noktas¬ndaki birinci mertebeden türevi için ileri fark yöntemi (ti; f_i); (t_i+1; f_i+1)noktalar¬ndan geçen kiri¸sin e¼gimini yakla¸s¬m olarak kulland¬¼g¬n¬biliyoruz, burada fi = f (t_i) dir. Benzer olarak geri fark yakla¸s¬m¬ (ti 1; f_{i 1}); (t_i; f_i) noktalar¬; merkezi fark yakla¸s¬m¬ ise (t_{i 1}; f_{i 1}); (t_i+1; f_i+1) noktalar¬ndan geçen kiri¸sin e¼gimini ti noktas¬n- daki türev için yakla¸s¬m kabul etmektedir. Bu noktada akl¬m¬za ¸su soru gelebilir: Belirtilen noktalardan geçen kiri¸sin e¼gimini kullanmak yerine, söz konusu noktalardan geçen parabolün ti noktas¬ndaki e¼giminin bu noktadaki türev için yakla¸s¬m olarak kabulü daha iyi sonuç vermez mi?

Ancak parabol için üç nokta çiftine ihtiyac¬m¬z olacakt¬r. Örne¼gin ap- sisleri aras¬ndaki uzakl¬¼g¬h ya e¸sit olan (ti 1; f_{i 1}); (t_i; f_i), (ti+1; f_i+1) nokta çiftlerini göz önüne alal¬m. Newton formülü yard¬m¬yla bu noktalardan geçen ikinci dereceden polinomun

P (t) = f_{i 1}+ f [t_{i 1}; t_i](t t_{i 1}) + f [t_{i 1}; t_i; t_i+1](t t_{i 1})(t t_i)

(22)

olarak verildi¼gini hat¬rlayal¬m. Burada

f [t_{i 1}; t_i] = (f_i f_{i 1})=h

f [t_{i 1}; t_i; t_i+1] = (f [t_i; t_i+1] f [t_{i 1}; t_i])=2h = (f_i+1 2f_i+ f_{i 1})=(2h²) Newton bölünmü¸s farklar¬d¬r. Bu de¼gerler yukar¬da verilen P (t) ifadesinde yerine yazarak

P (t) = f_{i 1}+(f_i f_{i 1})=h(t t_i)+(f_i+1 2f_i+f_{i 1})=(2h²)(t t_{i 1})(t t_i) elde ediniz. Buradan

P⁰(t_i) = (f_i+1 f_{i 1})=2h oldu¼gunu gösteriniz.

Ancak bu e¼gimi f⁰(ti)için yakla¸s¬m olarak kulland¬¼g¬m¬zda merkezi fark yakla¸s¬m¬n¬elde ederiz!

O halde merkezi fark yakla¸s¬m¬n¬n (ti 1; f_{i 1}); (t_i+1; f_i+1) noktalar¬n- dan geçen kiri¸sin e¼gimini, fonksiyonun tinoktas¬ndaki te¼getinin e¼gimine yakla¸s¬m olarak almak suretiyle, ayn¬ zamanda (ti 1; f_{i 1}); (t_i; f_i) , (t_i+1; f_i+1)noktalar¬ndan geçen ikinci dereceden polinomun ti noktas¬n- daki türevini fonksiyonun bu noktadaki türevi için bir yakla¸s¬m olarak kabul etti¼gini görüyoruz.

Sonuç olarak e¼ger türevini hesaplamak istedi¼gimiz fonksiyon ikinci dereceden polinom olsayd¬, merkezi fark yakla¸s¬m¬ile fonksiyon türevini ne- den hatas¬z olarak hesaplayabilece¼gimizi de görmü¸s olduk. Bu sonucu

¸süphesiz hata formülünden de elde edebiliriz. Çünkü hata, f fonksiyonunun üçüncü mertebeden türevini içermektededir.

2. (Birinci basamaktan türev için yüksek basamaktan hata içeren formül aray¬¸s¬)

Birinci basamaktan türev için daha yüksek basamaktan hata içeren türev yakla¸s¬m aray¬¸s¬m¬z¬sürdürelim:

a; b; c; dve e sabitleri h ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬olmak üzere

D(f; t_i) = af_{i 2}+ bf_{i 1}+ cf_i+ df_i+1+ ef_i+2= f⁰(t_i) (1.9)

(23)

1.7 Proje çal¬¸smalar¬ 23

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü arayal¬m. Elde edece¼gimiz formülün f (t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬n¬n herhangi bir ti noktas¬n- daki türevlerini do¼gru hesaplamas¬n¬ istiyoruz. Kolayl¬k olsun diye t_i = 0 alal¬m. Bu durumda e¸sit aral¬kl¬noktalar¬m¬z

t_{i 2}= 2h; t_{i 1}= h; t_i = 0; t_i+1= h; t_i+2= 2h d¬r.

Yukar¬da verilen fonksiyonlar¬n ti = 0 noktas¬ndaki birinci basamaktan türevlerinin do¼gru hesaplanmas¬gereklili¼ginden hareketle, çözülmesi gereken denklem sisteminin

a + b + c + d + e = 0 2a b + d + 2e = 1=h 4a + b + d + 4e = 0 8a b + d + 8e = 0 16a + b + d + 16e = 0 oldu¼gunu belirleyiniz.

Yukar¬daki denklem sistemini çözerek türev yakla¸s¬m katsay¬lar¬n a = 1

12h; b = 2

3 h; c = 0; d = 2

3h; e = 1 12h oldu¼gunu gösteriniz. Böylece türev yakla¸s¬m¬m¬z

D(f; t_i) = (1=12f_{i 2} 2=3f_{i 1}+ 2=3f_i+1 1=12f_i+2)=h olarak elde edilir.

f 2 C^m[a; b] ve t 2h; t h; t; t + h; t + 2h 2 (a; b) olmak üzere türev yakla¸s¬m hatas¬

f⁰(t) D(f; t) = C₁f^(m)(c)hⁿ; c2 (a; b) olacak biçimdeki pozitif m ve n tamsay¬lar¬n¬belirleyiniz.

Yukar¬da elde etti¼giniz yöntemin f (t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬- n¬n türevlerini herhangi h > 0 ad¬m uzunlu¼gu ile hata yapmaks¬z¬n hesaplad¬¼g¬n¬gösteriniz.

(24)

3. (Proje II deki fark formülü için farkl¬bir yakla¸s¬m)

(t_{i 2}; f_{i 2}); (t_{i 1}; f_{i 1}); (t_i; f_i); (t_i+1; f_i+1); (t_i+2; f_i+2)noktalar¬ndan geçen interpolasyon polinomunu belirleyiniz.(Yard¬m: E¸sit aral¬kl¬

veriler için Newton formülünü kullan¬n¬z.) II. Projede belirtilen

f0(t) = 1=h(1=12f^{i 2} 2=3f_{i 1}+ 2=3f_i+1 1=12f_i+2)

yakla¸s¬m¬n¬n yukar¬da belirledi¼giniz polinomun tinoktas¬ndaki türevine e¸sit oldu¼gunu gösteriniz.

4. (II. basamaktan Türev için Yüksek basamaktan yakla¸s¬m aray¬¸s¬) ·Ikinci basamktan türev için daha yüksek basamaktan hata terimi içeren aray¬¸s¬m¬z¬

sürdürelim:

a; b; c; dve e sabitleri h ad¬m uzunlu¼guna ba¼gl¬sabitler olmak üzere D2(f; t_i) = af_{i 2}+ bf_{i 1}+ cf_i+ df_i+1+ ef_i+2= f⁰⁰(t_i)

¸seklinde ifade edilebilen bir türev formülü arayal¬m. Elde edece¼gimiz formülün f (t) = 1; t; t²; t³; t⁴ fonksiyonlar¬n¬n herhangi bir t_inoktas¬ndaki türevlerini do¼gru hesaplamas¬n¬istiyoruz. Kolayl¬k olsun diye ti = 0 alal¬m. Bu durumda e¸sit aral¬kl¬noktalar¬m¬z

t_{i 2}= 2h; t_{i 1}= h; t_i = 0; t_i+1 = h; t_i+2= 2h d¬r.

Yukar¬da verilen f fonksiyonlar¬n¬n ti = 0 noktas¬ndaki türev- lerinin do¼gru hesaplanmas¬ gereklili¼ginden hareketle, çözülmesi gereken denklem sisteminin

a + b + c + d + e = 0 2a b + d + 2e = 0 4a + b + d + 4e = 2=h² 8a b + d + 8e = 0 16a + b + d + 16e = 0 oldu¼gunu belirleyiniz.