Çözümün mevcut olmamas¬durumunda en yak¬n çözümün En Küçük Kareler veya buna denk olarak QR ayr¬¸s¬m¬yard¬m¬yla nas¬l bulunabi- lece¼gini inceliyoruz

(1)

B ¨ol ¨um 7

Lineer Cebirsel Denklem Sistemleri

Say¬sal analiz gerektiren problemler aras¬nda yer alan di¼ger önemli bir problem, Ax = b biçiminde ifade edilebilen lineer cebirsel sistemlerdir, burada A_{m n}matris, xn 1 ve bm 1 vektördür. Bu bölümde matris ve vektör çarp¬m¬

ile ba¸slayarak,

Ax = b denklem sistemini lineer cebirsel ve geometrik olarak inceliyoruz,

çözümünün varl¬k ve tekli¼gi ile birden fazla çözümün mevcut olmas¬

durumunda genel çözümün nas¬l ifade edilebilece¼gini inceliyoruz, çözümü sonlu say¬da aritmetik i¸slem ile elde eden ve do¼grudan(direkt) yöntemler olarak bilinen

–Gauss yok etme, –LU ve

–QR ayr¬¸s¬m yöntemlerini inceliyoruz.

Çözümün mevcut olmamas¬durumunda en yak¬n çözümün En Küçük Kareler veya buna denk olarak QR ayr¬¸s¬m¬yard¬m¬yla nas¬l bulunabi- lece¼gini inceliyoruz. Ayr¬ca

herhangi bir ba¸slang¬ç de¼ger ile önceden bilinmeyen say¬da yinelemeli i¸slem sonucunda yakla¸s¬k çözümü elde eden ve yinelemeli(iteratif) yön- temler olarak bilinen yöntemlerden

(2)

–Gauss-Jacobi ve

–Gauss-Seidel yöntemlerini inceliyoruz.

Bu döküman "MATLAB/Octave Uygulamalar¬yla Say¬sal Analize Giri¸s"

isimli çal¬¸smam¬z¬n yedinci bölümünü olu¸sturmaktad¬r. ·Ileri düzey ara¸st¬rma için konuyla ilgili olarak zaman zaman kulland¬¼g¬m¬z ve bölüm sonunda sun- du¼gumuz de¼gerli kaynaklar¬öneririz.

Öncelikle s¬kça kullanaca¼g¬m¬z matris ve vektör çap¬m¬n¬ yak¬ndan inceleyelim:

7.1 Skaler ve vektör cebiri ile matris-vektör çarp¬m¬

Amatrisi ile x vektörünün çarp¬m¬, A matrisinin sütunlar¬n¬n x vektörünün bile¸senleri ile olu¸sturulan lineer bile¸simi(kombinasyonu) dir.

Örne¼gin

A = 1 2

3 4 (7.1)

matrisi ve x = x

y vektörü için Ax = 1 2

3 4 x

y = x + 2y

3x + 4y = x 1

3 + y 2 4 olarak ifade edilebilir.

Hat¬rlatma 7.1. Am n matrisinin sütun uzay¬, A n¬n sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi ile olu¸sturulan vektör uzay¬d¬r ve bu uzay R^m in bir alt uzay¬d¬r. O halde Ax vektörü A matrisinin sütun uzay¬n¬n bir eleman¬d¬r.

Ayr¬ca, A matrisi ve x sütun vektörünün çarp¬m¬sonucunda olu¸san y = Ax vektörünün her bir bile¸seni, A n¬n her bir sat¬r vektörü ile x = [x₁; x₂; ; x_n]^T sütun vektörünün skaler çap¬m¬oldu¼guna dikkat edelim. y =Ax vektörünün i incibile¸seni

y(i) = ai1x1+ ai2x2+ + ainxn

= Xn

j=1

A(i; j) x(j); i = 1; 2; :::; m

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(3)

olarak ifade edilir ve a¸sa¼g¬daki y¬¼gmal¬toplam ile hesaplanabilir:

for i=1:m top=0;

for j=1:n

top=top+A(i,j)*X(j);

end Y(i)=top;

end

Yukar¬da tan¬mlanan skaler cebirsel y¬¼gmal¬toplam, MATLAB/Octave ortam¬nda vektör cebiri yard¬m¬yla daha pratik bir biçimde hesaplanabilir.

Burada skaler cebirsel i¸slem ile skalerler üzerindeki aritmetik i¸slemleri, vektör cebirsel i¸slem ile de vektörler üzerindeki cebirsel i¸slemleri kastediyoruz.

A(i; :) ile A matrisinin i inci sat¬r vektörünü gösterelim. x bir sütun vektörü olmak üzere, y = Ax çarp¬m vektörünün her bir bile¸seni vektörel iç çarp¬m ile

y(i) = A(i; :) x; i = 1; 2; :::; m

olarak elde edilir ve bu i¸slem MATLAB/Octave ortam¬nda vektör cebirsel i¸slemler yard¬m¬yla a¸sa¼g¬daki gibi gerçekle¸stirilebilir:

for i=1:m

Y(i)=A(i,:)*x;

end

Gözlem 7.1. Vektör cebiri yard¬m¬yla, skaler cebirsel i¸slemde gerekli olan iç içe for döngüsü yerine, ayn¬ i¸slemin tek bir döngü ile gerçekle¸stirilebildi¼gine dikkat edelim.

Alternatif olarak, matris-vektör çarp¬m¬MATLAB/Octave ortam¬nda

y= A x

olarak tan¬mlan¬r ve çap¬m vektörünün i inci eleman ise y(i) dir.

(4)

7.2 Ax = b?

Ax = bdenklem sisteminin sütunlar¬na bak¬ld¬¼g¬nda lineer cebiri, sat¬rlar¬na bak¬ld¬¼g¬nda ise geometriyi görürüz. Bu tesbit Gilber Strang’a[11] aittir.

Öncelikle denklem sistemini lineer cebirsel aç¬dan inceleyelim:

E¼ger bir b vektörü A matrisinin sütun uzay¬nda ise, bu taktirde b vektörü, A matrisinin sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir, yani Ax = b e¸sitli¼gi sa¼glanacak biçimde x vektörü mevcuttur, di¼ger bir de¼gimle, Ax = b denklem sistemi çözüme sahiptir. Öte yandan, e¼ger Ax = b denklem sistemi bir çözüme sahipse, b vektörü A matrisinin sütun uzay¬ndad¬r: O halde

Ax = b denklem sisteminin çözümünün var olmas¬ için gerek ve yeter

¸

sart b vektörünün A matrisinin sütun uzay¬nda yer almas¬d¬r.

ÖRNEK 7.1.

A = 1 2 3 4

matrisinin sütunlar¬ lineer ba¼g¬ms¬zd¬r(Vektörlerden birisi di¼gerinin s¬f¬rdan farkl¬ bir sabit kat¬ de¼gildir). O halde A n¬n sütun vektörleri R² nin bir taban¬n¬ olu¸sturur. Dolay¬s¬yla herhangi b 2R², A n¬n sütunlar¬n¬n lineer bile¸simi, yani Ax biçimde ifade edilebilir:Sonuç olarak herhangi b 2R² için Ax = b denklem sistemi çözüme sahiptir.

Önerme 7.1. E¼ger b vektörü A matrisinin sütun uzay¬nda yer almakta ve A n¬n sütunlar¬ lineer ba¼g¬ms¬z ise bu taktirde Ax = b denklem sistemi tek bir çözüme sahiptir.

Ispat y· 6= x olmak üzere Ay = b oldu¼gunu kabul edelim, di¼ger bir deyimle y de bir di¼ger çözüm olsun. Bu taktirde

Ax = b Ay = b denklem sistemlerinin taraf tarafa fark¬n¬alarak

z= x y6= 0 olmak üzere

Az = 0

elde ederiz ki bu sonuç A matrisinin sütunlar¬n¬n lineer ba¼g¬ms¬z olmas¬yla çeli¸sir. O halde birden fazla çözüm kabulümüz yanl¬¸st¬r.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(5)

Sonuç 7.1. E¼ger b vektörü A matrisinin sütun uzay¬nda ve A n¬n sütunlar¬

lineer ba¼g¬ml¬ise Ax = b denklem sistemi sonsuz say¬da çözüme sahiptir.

Ispat b· vektörü A n¬n sütun uzay¬nda oldu¼gundan Ax = b denklemini sa¼glayan en az bir x = xo• özel çözümü mevcuttur. Öte yandan A n¬n sü- tunlar¬lineer ba¼g¬ml¬oldu¼gundan, A matrisinin s¬f¬r uzay¬bo¸stan farkl¬d¬r.

fx¹; x₂; :::; x_kg,(k 1) kümesi A matrisinin s¬f¬r uzay¬n¬n bir taban¬ olsun.

Bu taktirde

x_h = c₁x₁+ c₂x₂+ ::: + c_kx_k; c_i 2 R

Ax = 0 homojen sisteminin genel çözümüdür ve homojen olmayan sistemin çözümü x = xh + x_o_• biçimindedir. Buradan sonsuz say¬da çözüm oldu¼gu aç¬kt¬r.

ÖRNEK 7.2.

A = 1 2

2 4 ; b = 3 6 için Ax = b denklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

Çözüm.

Aç¬kça A matrisinin sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬d¬r. A n¬n sütun uzay¬ikinci bile¸seni birincisinin 2 kat¬ olan noktalar kümesidir: Yani düzlemde y = 2x ba¼g¬nt¬s¬ ile tan¬mlanan do¼gru üzerindeki noktalardan olu¸sur. b de A n¬n sütun uzay¬nda yani y = 2x do¼grusu üzerinde yer al¬r. O halde x = [x; y]^Tiçin Ax = b denklem sistemi çözüme sahiptir. Standart yok etme i¸slemi ile

x + 2y = 3 2x + 4y = 6

dan x + 2y = 3 veya y = (x 3)=2 elde ederiz. Bu durumda sonsuz say¬da noktadan olu¸san çözüm kümesi

x = x

y = x

(x 3)=2

= x 1

1=2 + 0

3=2 ; x2 R

= x_h+ x_o_•

(6)

biçiminde iki bile¸senden olu¸smaktad¬r. Burada x_h = c 1

1=2 ; c2 R

Ax = 0 homojen sisteminin genel çözümü, yani A n¬n s¬f¬r uzay¬ndaki noktalar kümesi ve

xo•= 0 3=2

ise Ax = b nin c = 0 skalerine kar¸s¬l¬k gelen bir özel çözümüdür.

ÖRNEK 7.3.

A = 2 4

3 2 1

1 1 2

2 1 4

3 5

ile verilen A matrisi ve herhangi b 2 R³ için Ax = b denklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

Çözüm.

A matrisinin sütunlar¬ lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (Ax = 0 ) x = 0 d¬r). Do- lay¬s¬yla A n¬n sütunlar¬ R³ için bir taband¬r. R³ de al¬nan herhangi bir b vektörü, bu taban elemanlar¬n¬n lineer bile¸simi olarak yaz¬labilir. O halde her b 2 R³ için

2 4

3x + 2y + z x y + 2z 2x + y + 4z

3 5 = x

2 4

3 1 2

3 5 + y

2 4

2 1 1

3 5 + z

2 4

1 2 4

3 5 =

2 4

b₁ b₂ b₃

3 5

sistemi çözüme sahiptir.

ÖRNEK 7.4. Sütunlar¬lineer ba¼g¬ml¬olan

A = 2 4

1 1 1

3 2 7

2 1 4

3

5 (7.2)

matrisi ve herhangi b = [1 1 1]^T ve b = [2 1 1]^T için Ax = b denklem sisteminin çözümünü irdeleyiniz.

(7)

Çözüm.

b= [1 1 1]^T için Ax = b denklem sisteminin çözümü yoktur. Çünkü bu bvektörü A matrisinin sütun uzay¬nda yer almamaktad¬r. A matrisinin sat¬rlar¬ aras¬nda

sat{r_1 + 3 sat{r_2 = 5 sat{r_3 (7.3) ba¼g¬nt¬s¬n¬n oldu¼guna dikkat edelim. O halde herhangi b = [b1; b₂; b₃]^T vektörü için Ax = b denklem sisteminin çözümün var olmas¬ancak ve ancak

b₁+ 3 b₂ = 5 b₃ (7.4)

ba¼g¬nt¬s¬n¬n sa¼glamas¬yla mümkündür. Oysa b = [1 1 1]^T vektörü bu özelli¼gi sa¼glamamaktad¬r.

Öte yandan b = [2 1 1]^T vektörü (7.4) özelli¼gini sa¼glar. Dolay¬s¬yla bu b vektörü için çözüm mevcuttur. Ancak (7:2) ile tan¬mlanan A matrisinin sütunlar¬ lineer ba¼g¬ml¬ oldu¼gu için sonsuz say¬da çözüm vard¬r. Bu durumda sistemin çözümü

x= x_h+ x_o_•

olacak biçimde iki bile¸senden olu¸sur. Burada xh, Ax = 0 homojen sistemin key… parametre veya parametreler içeren genel çözümü ve xo•

ise homojen olmayan Ax = b sistemin bir özel çözümüdür. Örne¼gimiz için

x= x_h+ x_•_o= c 2 4

1 2 1

3 5 +

2 4

1 1 0

3

5 ; c 2 R

dir.

(8)

Özetle,

Ax = b denklem sistemi verilmi¸s olsun.

E¼ger b vektörü, A matrisinin sütun uzay¬nda ise çözüm mevcuttur, aksi halde çözüm mevcut de¼gildir.

E¼ger b vektörü A matrisinin sütun uzay¬nda ve A n¬n sütunlar¬

lineer ba¼g¬ms¬z ise bir tek çözüm, lineer ba¼g¬ml¬ise sonsuz say¬da çözüm mevcuttur.

Sonsuz say¬daki çözümler ise

x= x_h+ x_o_•

biçiminde xh ile gösterilen homojen k¬sm¬n genel çözümü ve xo•

ile gösterilen homojen olmayan sitemin özel çözümünün toplam¬

olarak ifade edilir.

¸

Simdi de denklem sistemini geometrik aç¬dan inceleyelim:

Ax = b denklem sisteminin her bir denklemine(sat¬r¬na) bak¬ld¬¼g¬nda ne gözlemleriz?

n = 1; m = 1 için sistem ax = b denklemine indirgenir. Bu durumda a 6= 0 için tek bir çözüm(x = b=a) elde edilir.a = 0 olmas¬ durumda ise çözüm yaln¬z ve yaln¬z b = 0 olmas¬durumunda mümkündür ve bu durumda sonsuz say¬da çözüm mevcuttur(her reel say¬bir çözümdür).

n = 2; m = 2için

a₁₁x + a₁₂y = b₁ a₂₁x + a₂₂y = b₂

denklem sistemini elde ederiz. Her bir denklemin R² de bir do¼gru be- lirledi¼gini biliyoruz. O halde sistem her iki do¼gru üzerinde bulunan noktalar¬n geometrik yerini ara¸st¬rmaktad¬r. Söz konusu do¼grular farkl¬

veya ayn¬e¼gimlere sahip olabilirler. E¼ger farkl¬e¼gimlere sahip olurlarsa,

(9)

tek bir noktada kesi¸sirler(tek bir çözüm). Ayn¬ e¼gime sahip olmalar¬

durumunda ise çak¬¸s¬k do¼grular olabilirler(sonsuz çözüm) veya hiç kesi¸smeyebilirler(çözüm yok).

n 3 için Ax = b denklem sisteminin her bir sat¬r¬ n = 3 için bir düzlem ven > 3 için hiperdüzlem belirler. Bu durumda problem, m adet hiperdüzlemin arakesit noktas¬n¬n geometrik yerini ara¸st¬rmaktad¬r. Tek bir noktada kesi¸smeleri durumunda, kesi¸sim noktas¬ sistemin tek bir çözümüdür. Denklemlerden baz¬lar¬ di¼gerlerinin lineer bile¸simi olabilir, buna göre sistem de¼gi¸sik say¬da parametreli sonsuz çözüme sahip olabilir veya hiçbir ortak noktada kesi¸smeyebilirler ki bu durumda sistem herhangi bir çözüme sahip de¼gildir.

7.3 Neden Ax=b?

Farkl¬alanlardaki bir çok problem, Ax = b biçiminde ifade edilebilen lineer cebirsel bir sistemin çözümünü gerektirir:

1. En basit durumda n = 1; m = 1 için f (x) = ¹₂ax² xb = ¹₂xax xb fonksiyonunu gözönüne alal¬m. E¼ger a > 0 (a < 0)ise f fonksiyonu minimumuna(maksimumuna), ax = b denkleminin çözümünde ula¸s¬r.

n = 2; m = 2 için f (x; y) = 1

2[x y] a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

x

y [x y] b₁ b₂ fonksiyonu ekstremum noktas¬na

f_x(x; y) = 0 f_y(x; y) = 0 veya

a11x + a12y = b1

a₂₁x + a₂₂y = b₂

olarak ifade edilebilen denklem sistemininin çözümünde ula¸s¬r.

(10)

Simetrik bir A matrisi için sonlu bilinmeyenli bir çok …ziksel sistemin(yap¬

elemanlar¬, yaylar, kütleler vb) toplam enerjisini ifade eden f (x) = 1

2x^TAx x^Tb fonksiyonu, ekstremum noktas¬na(denge noktas¬na)

Ax = b

denklem sisteminin çözümünde ula¸s¬r. E¼ger A pozitif de…nit ise çözüm noktas¬ minimum, negatif de…nit ise maksimum ve inde…nit ise eyer noktas¬d¬r[11].

2. Sadece do¼ga olaylar¬nda de¼gil, ekonomide de denge bir lineer denklem sisteminin çözümünü gerektirir. Örne¼gin ulusal ekonomi modelinde D vektörü ile d¬¸s ülkelerden gelen ithalat talebini gösterelim. Bu talebi kar¸s¬lamak üzere ülkenin her bir ekonomi sektöründe üretilmesi gereken miktar¬ise x ile gösterim. Bu üretim sürecinde ülkenin iç tüketimi Ax e e¸sittir ve d¬¸s talebi kar¸s¬lamak için üretilmesi gereken miktar

x Ax = D veya

(I A)x = D

biçiminde bir lineer sistemin çözümü olarak elde edilir. Bu model Leon- tief¹ input-output modeli olarak bilinir[4].

3. Diferensiyel denklemler ile olu¸sturulan s¬n¬r-de¼ger problemleri, sonlu elemanlar veya sonlu farklar yöntemleri yard¬m¬yla elde edilen yakla¸s¬mlar sonunda lineer cebirsel sistemlerin çözümünü gerektirirler[?].

4. Verilen veri kümesine uygun e¼grinin belirlenmesi problemi lineer denklem sistemi çözümünü gerektirir(Bölüm 5).

5. Nonlineer cebirsel sistemler için geli¸stirilen bir çok yöntem(örne¼gin New- ton yöntemi ve varyasyonlar¬ ) her ad¬mda lineer cebirsel sistemlerin çözümünü gerektirir(Bölüm 6).

Yukar¬daki örnekleri ço¼galtmak mümkündür, ¸simdi söz konusu sistemin nas¬l çözülece¼gi problemine geri dönelim.

1Wasilly Leontief, Rus iktisatç¬.

(11)

7.4 Ax = b için do¼grudan çözüm yöntemleri

Ax = bsisteminin çözümü için esas itibariyle iki çözüm s¬n¬f¬mevcuttur. Bu yöntemler do¼grudan(direkt) ve yinelemeli(iteratif ) çözüm yöntemleri olarak adland¬r¬l¬rlar. Ayr¬ca yar¬yinelemeli(semi-iterative)[10] olarak adland¬r¬lan ve baz¬özel matrisler için daha etkin çözüm üreten yöntemler Gradyan yön- temleri gibi yöntemler de mevcuttur, ancak söz konusu yöntemlere bu çal¬¸s- man¬n kapsam¬n¬s¬n¬rl¬tutmak amac¬yla yer veremiyoruz..

Do¼grudan çözüm yöntemleri sonlu say¬da i¸slem yard¬m¬yla çözümü belirli bir yuvarlama hatas¬ ile elde eden yöntemlerdir. ·Ilerleyen bölümlerde in- celeyece¼gimiz Gauss yok etme yöntemi, LU ayr¬¸s¬m yöntemi ve QR ayr¬¸s¬m yöntemi do¼grudan çözüm yöntemlerinden s¬kça kullan¬lanlar¬d¬rlar.

Do¼grudan çözüm yöntemleri A katsay¬ matrisinin çok fazla say¬da s¬f¬rdan farkl¬eleman¬olmas¬veya di¼ger bir deyimle "yo¼gun(dense)" matris olmas¬durumunda ve boyutunun ise "küçük" olmas¬durumda tercih edilirler.

Yinelemeli yöntemler ise verilen denklem siteminin çözümünü, çok de¼gi¸skenli ve lineer bir fonksiyon olan

f (x) = Ax b

fonksiyonunun s¬f¬ryerini belirleme problemini olarak gözönüne al¬rlar. Bu biçimde tan¬mlanan f nin s¬f¬ryerini belirleme problemini ise uygun biçimde seçilen ve yineleme fonksiyonu ad¬ verilen fonksiyonun sabit noktas¬n¬ belirleme problemine dönü¸stürürler. Bu amaçla yinelemeli yöntemler uygun x⁽⁰⁾ 2 Rⁿ ba¸slang¬ç noktas¬ ve g ile gösterilen yineleme fonksiyonu yard¬- m¬yla

x^(k+1) = g(x^(k)); k = 0; 1;

ile elde edilen ve yak¬nsamas¬ümit edilen dizinin limit noktas¬n¬belirlemeyi veya limit noktas¬na yeterince yakla¸smay¬amaçlarlar.

Yinelemeli yöntemlergenelde büyük boyutlu ve yo¼gun olmayan(sparse) katsay¬matrisine sahip sistemler için tercih edilirler.

A matrisinin pozitif de…nit olmas¬durumunda ise E¸slenik Gradyan yön- temi [10] gibi yar¬-yinelemeli yöntem olarak adland¬r¬lan ve bu çal¬¸sma kapsam¬nda yer almayan yöntemler mevcuttur. Öte yandan daha özel A matris- leri için Ax = b denklem sisteminin çözümünü elde etmek amac¬yla geli¸stir- ilmi¸s yöntemler de mevcuttur. Örne¼gin A matrisinin üç kö¸segenli matris olmas¬durumunda Thomas yöntemi(algoritmas¬) kullan¬l¬r(Yinelemeli Yön- temler Bölümü, Al¬¸st¬rma 10).

(12)

Öncelikle do¼grudan çözüm yöntemlerini incelemek istiyoruz. Gauss-yok etme yöntemi akla gelen ilk do¼grudan çözüm yöntemidir. Yöntem a¸sa¼g¬da özetlenece¼gi üzere yok etme i¸sleminden sonra üst üçgensel sistemin çözü- münü gerektirir. Bu amaçla öncelikle üst üçgensel sistemlerin geriye do¼gru çözümünü hat¬rlayal¬m:

7.4.1 Üst üçgensel sistemler(geriye do¼gru çözüm)

U matrisi

U = 2 66 64

u₁₁ u₁₂ ::: u_1n 0 u₂₂ ::: u_2n

0 . ..

0 0 u_nn

3 77 75

olarak tan¬mlanan ve kö¸segen üzerindeki elemanlar¬ s¬f¬rdan farkl¬ bir üst üçgensel matris(uii 6= 0; i = 1; ; n) ve b = [b1 b₂ b_n]^T olmak üzere U x = b denklem sistemi verilmi¸s olsun. Aç¬kça bu sistemi

u₁₁x₁+ u₁₂x₂+ + u_1nx_n = b1 ... u_iix_i+ + u_inx_n = b_i

... u_nnx_n = b_n

olarak yazabiliriz. Son denklemden xn = b_n=u_nn elde ederek, bu de¼geri bir üst sat¬rdaki denklemde yerine yazmak suretiyle xn 1 de¼gerini, ve ayn¬

¸sekilde yukar¬ya(veya geri¼ge) do¼gru devam ederek xn 2; ; x2; x1de¼gerlerini elde ederiz.

ÖRNEK 7.5.

3x + 2y + 1z = 3 2y + z = 0 z = 2 denklem sistemini geriye do¼gru çözünüz.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(13)

Çözüm.

z = 2 de¼gerini bir önceki denklemde yerine yazarak y = 1 olarak elde ederiz. Son olarak bulunan y ve z de¼gerlerini birinci denklemde yazarak x = 1 de¼gerini elde ederiz.

Üst üçgensel sistem algoritmas¬(Algoritma 7.1) a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Algoritma 7.1 Üst üçgensel sistem çözer 1. input U; b

2. n ye b nin eleman say¬s¬n¬ata 3. xn = b_n=u_nn

4. i = n 1; n 2; ; 1için x_i = 1

u_ii(b_i u_i;i+1x_i+1 u_inx_n)

= 1

u_ii(b_i

Xn j=i+1

u_ijx_j);

Algoritma 7.1 e ait Program 7.1 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

%--- function X=ustucgen(U,b)

%UX=b üst üçgensel denklem sistemini çözer.

[m,n]=size(U);

X=zeros(n,1);

X(n)=b(n)/U(n,n);

for i=n-1:-1:1 jv=i+1:n;

top=U(i,jv)*X(jv); % jv nin vektör oldu¼guna X(i)=(b(i)-top)/U(i,i); % dikkat ediniz!

end

%--- Program 7.1: Üst üçgensel sistem çözer

(14)

Program¬ çal¬¸st¬rmak için U matrisi ve b sütun vektörü a¸sa¼g¬daki gibi tan¬mlan¬r:

>>U = [3 2 1; 0 2 1; 0 0 1];

>>b = [3 0 2]0 ;

Daha sonra a¸sa¼g¬daki komut yard¬m¬yla x çözümü elde edilir:

>>X=ustucgen(U,b) X =1 -1 2

U x = y sistemini çözmek için gerekli i¸slem(çarpma ve bölme) say¬s¬n¬hesaplayal¬m:

U x = ydenklem sistemini çözmek için n 1-inci sat¬rda 1 adet, n 2-inci sat¬rda 2 adet ve 1-inci sat¬rda ise n 1adet çarpma i¸slemi gereklidir. Di¼ger bir de¼gimle tablo halinde ifade edersek

sat¬r no 1 2 n 1

çarpma i¸slem say¬s¬ n 1 n 2 1 O halde gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬

1 + 2 + + (n 1) = n(n 1) 2 dir.

Öteyandan bu çözüm i¸sleminde gerekli bölme i¸slemi say¬s¬ise her sat¬rda 1adet olmak üzere toplam n adettir.

Sonuç olarak U x = y denklem sistemini çözmek için gerekli çarpma ve bölme i¸slem say¬s¬

n + n(n 1)

2 = 1

2n(n + 1) (7.5)

dir.

7.4.2 Pivotsuz ve k¬smi pivotlu Gauss yok etme yön- temi ile çözüm

Ax = b denklem sisteminin çözümünde kullan¬lan geleneksel bir yöntem Gauss yok etme yöntemidir². Yöntem elemanter sat¬r veya sütun i¸slemleri

2Carl Friedrich Gauss (1777-1855, Alman matematikçi)

(15)

yard¬m¬yla verilen sistemi U x = c biçiminde üst üçgensel veya e¸selon(basamakl¬) forma dönü¸stürür. Bu amaçla sa¼g yan vektörü ile birlikte olu¸sturulan [Ajb]

ekli matrisine elemanter sat¬r i¸slemleri uygulanarak [U jc] ekli matrisi elde edilir. Elemanter sat¬r i¸slemlerinin ilgili denklem sisteminin çözümünün de- gi¸¼stirmedi¼gini biliyoruz. Dolay¬s¬yla verilen sistemi çözmek yerine yukar¬da incelenen geriye do¼gru çözüm yöntemini, elde edilen U x = c üst üçgensel sistemi veya e¸selon sistemine uygulayarak çözüm elde edilmi¸s olur.

Elemanter sat¬r i¸slemlerini hat¬rlayal¬m:

1. Bir matrisin herhangi bir sat¬r¬s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir.

2. Herhangi iki sat¬r yer de¼gi¸stirebilir.

3. Bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬larak di¼ger sat¬ra ilave edilebilir.

Öteyandan e¸selon formu hat¬rlayal¬m: e¼ger a¸sa¼g¬daki kriterler sa¼glan¬rsa [Ujc] ekli matrisi e¸selon formdad¬r denir:

1. Her bir sat¬rdaki s¬f¬rdan farkl¬ ilk eleman bir üst sat¬rdaki s¬f¬rdan farkl¬eleman¬n sa¼g¬nda yer al¬r.

2. Her bir sat¬rda s¬f¬rdan farkl¬ ilk eleman¬n a¸sa¼g¬s¬nda yer alan bütün elemanlar s¬f¬ra e¸sittir.

3. En az bir eleman¬s¬f¬rdan farkl¬olan hiçbir sat¬r, bütün elemanl¬s¬f¬ra e¸sit olan bir sat¬r¬n daha a¸sa¼g¬s¬nda yer almaz.

ÖRNEK 7.6.

3x + 2y + z = 3 6x + 6y + 3z = 6 9x + 10y + 6z = 11

denklem sistemini Gauss yok etme yöntemi ile çözünüz.

Çözüm.

(16)

Elemanter sat¬r i¸slemleri yard¬m¬yla [Ajb] =

2 4

3 2 1 : 3

6 6 3 : 6

9 10 6 : 11 3 5

2 S₁+ S₂

! 3 S₁+ S₃

2 4

3 2 1 : 3 0 2 1 : 0 0 4 3 : 2

3 5

! 2 S₂+ S₃

2 4

3 2 1 : 3 0 2 1 : 0 0 0 1 : 2

3

5 = [Ujc]

elde ederiz. Elde edilen üst üçgensel sistem 3x + 2y + z = 3

2y + z = 0 z = 2 olup, geriye do¼gru çözerek

z = 2; y = 1; x = 1 çözümünü elde ederiz.

Gauss yok etme yöntemine göre çözüm iki a¸samadan olu¸smaktad¬r:

1. Ax = b denklem sisteminin elemanter i¸slemlerle U x = c üst üçgensel sistemine dönü¸stürülmesi ve

2. U x = c sisteminin çözülmesi

Yukar¬da bahsetti¼gimiz birinci a¸samay¬ herhangi sat¬r veya sütun yer de¼gi¸stirmeden gerçekle¸stiren yok etme yöntemine pivotsuz Gauss yok etme yöntemiad¬verilir. Burada pivot, s¬f¬rdan farkl¬kat¬al¬narak di¼ger sat¬rlara ilave edilmek suretiyle gerekli yok etme i¸sleminin yap¬lmas¬için kullan¬lan ve matris kö¸segeni üzerinde bulunan elamana verilen isimdir, ve pivotsuz yöntem pivotu olmayan yok etme i¸slemi olarak yorumlanmamal¬d¬r.

Gauss yok etme yöntemine ait Algoritma 7.2 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Gauss yok etme yöntemine ait Program 7.2 a¸sa¼g¬da verilmektedir. Sat¬r i¸slemlerinin vektör cebiri (vektörlerle aritmetik i¸slemler) yard¬m¬yla gerçek- le¸stirildi¼gine dikkat ediniz.

Gauss yok etme i¸slemine göre uygulad¬ktan sonra, üst üçgensel sistemi Algoritma 7.2 yard¬m¬yla çözen gaussilecoz isimli Program 7.3 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

(17)

Algoritma 7.2 Pivotsuz Gauss Yoketme algoritmas¬

1. girdi: A; b

2. A = [A b] %ekli matris 3. j = 1; 2; :::; n 1 için

(a) iv = j + 1 : m % elemanter sat¬r i¸slemi uygulanacak sat¬r indisleri (b) eger A(j; j) = 0 ise pivotsuz yöntem uygulanamaz, ç¬k

(c) carp = A(iv; j)=A(j; j); % elemanter sat¬r i¸slemi için carpan vektörü

(d) A(iv; :) = A(iv; :)+carp A(j; :);% iv indisli sat¬rlar için elemanter sat¬r i¸slemi

4. U = A(:; 1 : n); % üstüçgensel matris 5. c = A(:; n + 1); % sa¼gyan vektörü 6. ç¬kt¬: U; c

ÖRNEK 7.7. Örnek 7.6 de verilen lineer sistemi pivotsuz Gauss yok etme yöntemine ait Program 7.2 yard¬m¬yla çözünüz.

MATLAB/Octave ortam¬nda

>>A=[3 2 1;6 6 3;9 10 6];b=[3 6 11]’;

ile tan¬mlayarak,

>>X=gaussilecoz(A,b) komutuyla

>>X=1 -1 2

sonucunu elde ederiz.

Gauss yok etme yöntemi ile çözüm için gerekli aritmetik i¸slem(çarpma ve bölme) say¬s¬n¬hesaplayal¬m:

(18)

%--- function [U,c]=gauss(A,b)

%Pivotsuz Gauss Yoketme Yöntemi ile

%AX=b sistemini Ux=c sitemine indirger, ec.

--- [m,n]=size(A);

A=[A b];

for j=1:n-1

iv=j+1:m; % iv nin vektör oldu¼guna dikkat ediniz!

if A(j,j)==0 error(’Pivotsuz GE uygulanamaz’);

end

carp=-A(iv,j)/A(j,j);

A(iv,:)=A(iv,:)+carp*A(j,:);

end

U=A(:,1:n);

c=A(:,n+1);

%--- Program 7.2: Pivotsuz Gauss yoketme yöntemi uygulamas¬

%--- function X=gaussilecoz(A,b)

%Pivotsuz Gauss Yoketme Yöntemi ile

%AX=b sistemini çözer.

--- [U,c]=gauss(A,b);

X=ustucgen(U,c);

%--- Program 7.3: Pivotsuz Gauss yoketme yöntemi ile çözüm

Öncelikle Ax = b denklem sistemini U x = c sistemine dönü¸stürmek için gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬n¬hesaplayal¬m.

Birinci sütunu indirgemek(n 1 adet eleman¬ s¬f¬r yapmak) için gerekli çarpma i¸slem say¬s¬

(n 1)(n + 1)

dir: (n 1) adet sat¬r ve her bir sat¬rda (n + 1) eleman(A n¬n n adet sütun

(19)

eleman¬ile b nin ilgili sat¬r eleman¬).

Bu say¬ikinci sütun için

(n 1 1)(n + 1 1)

= (n 2)n ve (n 1)inci sütun için ise

(n 1 (n 2))(n + 1 (n 2))

= 1 3

dür.

Öte yandan

(n 1)(n + 1) = n² 1

(n 1 1)(n + 1 1) = (n 2)n = (n 1)² 1 ...

(n 1 (n 2))(n + 1 (n 2)) = (n (n 2))² 1

= 2² 1

O halde uygulanan çarpma i¸slemi say¬s¬, 1 den n e kadar olan say¬lar¬n karelerinin toplam formülü yard¬m¬yla

(2² 1) + (3² 1) + ::: + (n² 1)

= 2²+ 3²+ + n² (n 1)

= n(n + 1)(2n + 1)=6 n

= 1

3n³ +1

2n² 5 6n dir.

Ayr¬ca gerekli bölme i¸slemi say¬s¬ise yok etme i¸slemi için gerekli çarpan- lar¬n say¬s¬olan

1

2(n 1)n

kadard¬r. (Bu say¬n n lik matrisin kö¸segen hariç alt üçgensel k¬sm¬ndaki eleman say¬s¬na e¸sittir.)

(20)

O halde Gauss yok etme i¸slemiyle Ax = b sisteminin U x = c sistemine dönü¸stürülmesi için gerekli çarpma ve bölme i¸slemlerinin toplam say¬s¬

1

3n³+ n² 4

3n (7.6)

kadard¬r.

Öte yandan elde edilen U x = c sisteminin çözümü için gerekli olan ve 7.5 ile verilen i¸slem say¬s¬n¬da ilave etmek suretiyle, Gauss yok etme yöntemiyle verilen denklem sisteminin çözümü için gerekli i¸slem say¬s¬n¬

1

3n³+3

2n² 5

6n (7.7)

olarak elde ederiz.

Hat¬rlatma 7.2. Yukar¬da uygulanan herhangi bir sat¬r yer de¼gi¸stirmesi gerektirmeyen yok etme yöntemi pivotsuz Gauss yok etme yöntemi olarak bilinir ve yok etme i¸slemi esnas¬nda A(j; j) kö¸segen elemanlar¬n¬n s¬f¬ra e¸sit olmas¬durumunda uygulanamaz.

Örne¼gin katsay¬matrisi

A = 2 4

3 2 1

6 4 3

9 10 6 3 5

olmu¸s olsayd¬, A(2; 1) = 6 eleman¬n¬n bulundu¼gu pozisyonu s¬f¬r yapmak için uygulanan 2 S₁ + S₂ > S₂ yok etme i¸sleminde A(2; 2) = 0 olurdu ve yok etme i¸slemine devam edilemezdi.

Bu durumda s¬kça kullan¬lan alternatif

A(j; j) eleman¬n¬n bulundu¼gu sütunda yer alan A(j + 1; j); :::A(n; j) elemanlar¬n¬s¬ras¬yla tarayarak belirlenen mutlak de¼gerce en büyük eleman e¼ger jA(j; j)j den büyükse, bu eleman¬n bulundu¼gu sat¬r elemanlar¬

ile j inci sat¬r elemanlar¬n¬yer de¼gi¸stirmektir.

Bu yönteme k¬smi pivotlu Gauss yok etme yöntemi(Gauss elimination with partial pivoting) ad¬verilmektedir.

Bir di¼ger alternatif ise A(j; j) pivotunun eleman¬n¬n a¸sa¼g¬s¬nda ve sa¼g¬nda bulunan mutlak de¼gerce en büyük elemanla sat¬r ve sütun de¼gi¸simi

(21)

yapmakt¬r ki bu yakla¸s¬ma tam pivotlu Gausss yok etme i¸slemi ad¬

verilmektedir. Say¬sal i¸slemlerde ola¸sabilecek yuvarlama hatalar¬n¬mi- nimize etmek için tam pivotlu yöntem tercih edilir.

K¬smi pivotlu Gauss yok etme yöntemine de k¬saca göz atal¬m:

ÖRNEK 7.8. K¬smi Pivotlu Gauss yok etme yöntemi ile 3x + 2y + z = 6

6x + 4y + 3z = 13 9x + 10y + 6z = 25 sistemini çözünüz.

Çözüm.

[Ajb] = 2 4

3 2 1 : 6

6 4 3 : 13 9 10 6 : 25

3

5 S₁ < > S₃

!

2 4

9 10 6 : 25 6 4 3 : 13

3 2 1 : 6

3 5

2=3 S₁+ S₂ ! 1=3 S₁+ S₃ !

2 4

9 10 6 : 25

0 8=3 1 : 11=3

0 4=3 1 : 7=3

3 5

1=2 S₂+ S₃ ! 2 4

9 10 6 : 25

0 8=3 1 : 11=3

0 0 1=2 : 1=2

3 5

Elde edilen bu indirgenmi¸s sisteme kar¸s¬l¬k gelen üst üçgensel sistem a¸sa¼g¬daki gibidir:

9x + 10y + 6z = 25 8=3y z = 11=3

1=2z = 1=2

Bu sistemi çözerek x = y = z = 1 sonucunu elde ederiz. K¬smi pivotlu yönteme ait Algoritma 7.4 ve kodu,Program7.7, bir sonraki bölümde LU ayr¬¸s¬m yöntemiyle birlikte veriyoruz.

(22)

7.4.3 A = LU ayr¬¸s¬m¬yard¬m¬yla çözüm

Bu yöntem öncelikle A matrisinin, e¼ger mümkünse, birisi kö¸segen üzerindeki elemanlar¬ bir rakamlar¬ndan olu¸san alt üçgensel L matrisi, ve di¼geri de U üst üçgensel matrisi olmak üzere bu iki matrisin çarp¬m¬, A = LU , ¸seklinde yaz¬lmas¬n¬ gerektirir. Öncelikle söz konusu ayr¬¸s¬m¬n nas¬l gerçekle¸stirile- ce¼gini inceleyelim:

Yukar¬daki bölümde inceledi¼gimiz pivotsuz Gauss yok etme yöntemi U matrisi ile birlikte yok etme i¸sleminde kullan¬lan çarpanlar¬n toplama i¸slemine göre terslerini içeren ve kö¸segen üzerindeki elemanlar¬1 e e¸sit olan L alt üçgensel matrisini de üretir.

Bunun için yukar¬daki örne¼ge ait yok etme i¸slemlerine tekrar gözatal¬m:

A = 2 4

3 2 1

6 6 3

9 10 6 3 5

2 S₁+ S₂

! 3 S₁+ S₃

2 4

3 2 1 0 2 1 0 4 3

3

5 !

2 S₂+ S₃ 2 4

3 2 1 0 2 1 0 0 1

3 5 = U

An¬n (i; j) inci pozisyonunda s¬f¬r eleman¬üretmek için kullan¬lan çarpan¬n toplama i¸slemine göre tersi L nin (i; j) inci eleman¬ olarak al¬n¬r. O halde yukar¬daki çarpanlar dikkate al¬narak

L = 2 4

1 0 0 2 1 0 3 2 1

3 5

elde edilir. Gerçekten de A = LU dur.

A = LUayr¬¸s¬m¬n¬, herhangi bir sat¬r yer de¼gi¸stirme i¸slemi gerçekle¸stirmek- sizin(e¼ger mümkünse !) elde eden algoritma 7.3 a¸sa¼g¬da verilmektedir .

A = LU ayr¬¸s¬m¬n¬algoritma 7.3 ile gerçekle¸stiren Program 7.4 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Test:

>> A=[3 2 1;6 6 3;9 10 6];

>> [L,U]=lubul(A) L =

1 0 0

(23)

Algoritma 7.3 Pivotsuz LU ayr¬¸s¬m algoritmas¬

1. girdi: A

2. n; A n¬n sat¬r say¬s¬

3. L :, A ile ayn¬boyutlu s¬f¬rlar matrisi 4. L nin kö¸segen elemanlar¬n¬1 e e¸sitle 5. Her bir j = 1; 2; :::; n 1 için

(a) iv = j + 1; :::; n; % elemanlar¬n¬içeren vektörü tan¬mla (b) L(iv; j) = A(iv; j)=A(j; j);;% çarpanlar vektörünü tan¬mla

(c) A(iv; :) = A(i; :) L(iv; j) A(j; :);iv indisli sat¬rlar¬güncelle 6. Ç¬kt¬L alt üçgensel matris

7. Ç¬kt¬A üst üçgensel matris

A=LU ayr¬¸s¬m¬n¬ pivotsuz yöntemle hesaplar

%--- function [L,A]=lubul(A)

[n,n]=size(A);

L=zeros(n,n);

for i=1:n L(i,i)=1;

end

for j=1:n-1 iv=j+1:n;

L(iv,j)=A(iv,j)/A(j,j);

A(iv,:)=A(i,:)-L(iv,j)*A(j,:);

end

%--- Program 7.4: Pivotsuz yöntemle A=LU ayr¬¸s¬m uygulamas¬

(24)

2 1 0 3 2 1 U = 3 2 1 0 2 1 0 0 1

E¼ger A matrisi yukar¬da belirtildi¼gi biçimde A = LU ayr¬¸s¬m¬na sahipse, bu taktirde Ax = b denklem sistemi LU x = b sistemine dönü¸sür.

U x = y dönü¸sümü yaparak

Ax = LU x = Ly = b

biçiminde alt üçgensel sistemini elde ederiz. Alt üçgensel sistemi çözerek y vektörünü belirledikten sonra U x = y de yerine yazmak suretiyle x çözümünü elde ederiz. O halde

Ax = b sistemi yerine

Ly = b ve

U x = y üçgensel sistemlerini çözmü¸s oluruz.

ÖRNEK 7.9. A¸sa¼g¬da verilen denklem sisteminin çözümünü LU ayr¬¸s¬m yöntemi yard¬m¬yla gerçekle¸stiriniz.

x + 2y + z = 3 6x + 6y + 3z = 6 9x + 10y + 6z = 11

(25)

Çözüm.

A = 2 4

1 2 1

6 6 3

9 10 6 3

5 = LU = 2 4

1 0 0

6 1 0

9 4=3 1 3 5

2 4

1 2 1

0 6 3

0 0 1

3 5

ayr¬¸s¬m¬n¬yukar¬da elde etmi¸stik. Öncelikle Ly = b denklem sistemini aç¬k olarak a¸sa¼g¬daki gibi ifade edelim:

y₁ = 3 6y₁+ y₂ = 6 9y₁+ 4=3y₂+ y₃ = 11

Bu sistemi ileriye do¼gru(yukar¬dan a¸sa¼g¬ya do¼gru) çözerek y₁ = 3; y₂ = 12; y₃ = 0 elde ederiz.

Dolay¬s¬yla U x = y denklem sistemi 1x + 2y + z = 3

6y 3z = 12

z = 0

olarak ifade edilebilir. Bu sistemi de geriye do¼gru(a¸sa¼g¬dan yukar¬ya do¼gru) çözerek z = 0; y = 2; x = 1 elde ederiz.

Yukar¬daki örnekten de görüldü¼gü üzere LU ayr¬¸s¬m¬yard¬m¬yla Ax = b denklem sistemininin çözümü için Ly = b alt üçgensel ve U x = y üst üçgensel sistemlerinin çözülmesi gerekmektedir. Ly = b alt üçgensel sistemini çözen Program 7.5 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Ax = bsistemini pivotsuz LU ayr¬¸s¬m yöntemi yard¬m¬yla çözen Program 7.11 a¸sa¼g¬da verilmektedir.

Test:

>> A=[1 2 1;6 6 3;9 10 6];b=[3 6 11]’;

>> X=luilecoz(A,b) X = -1 2 0

LU ayr¬¸s¬m¬ yard¬m¬yla Ax = b sisteminin çözümü için gerekli i¸slem say¬s¬n¬hesaplayal¬m:

Öncelikle LU ayr¬¸s¬m¬için gerekli i¸slem say¬s¬na göz atal¬m:

(26)

%--- function Y=altucgen(L,b)

%LY=b sistemini çözer.

--- n=size(L,1);

Y=zeros(n,1);

Y(1)=b(1)/L(1,1);

for i=2:n

jv=1:i-1; %jv nin vektör oldu¼guna dikkat edelim!

top=L(i,jv)*Y(jv);

Y(i)=(b(i)-top)/L(i,i);

end

%--- Program 7.5: Alt üçgensel sistem çözümü

%--- function X=luilecoz(A,b)

% Pivotsuz LU ayr¬¸s¬m¬ ile

% AX=b sistemini çözer.

--- [L,U]=lubul(A);

Y=altucgen(L,b); % LY=b sistemini çözer X=ustucgen(U,Y); % UX=Y sistemini çözer

%--- Program 7.6: Pivotsuz LU ayr¬¸s¬m yöntemi ile çözüm

(27)

Esasen bu say¬Gauss yok etme i¸slem say¬s¬na benzer olarak elde edilebilir.

Bunun için sadece

A > U

dönü¸sümü için gerekli i¸slem say¬s¬n¬hesaplamak yeterlidir.

A n¬n birinci sütunu için gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬ A n¬n birinci sat¬r¬ndaki her bir eleman¬n uygun bir sabitle çarp¬l¬p ilgili sat¬ra ilave edilmesiyle gerçekle¸stirilir. O halde bu i¸slem için gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬

n(n 1) dir.

An¬n ikinci sütunu için gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬A n¬n ikinci sat¬r¬n- daki her bir eleman¬n uygun bir sabitle çarp¬l¬p ilgili sat¬ra ilave edilmesiyle gerçekle¸stirilir. O halde bu i¸slem için gerekli çarpma i¸slemi say¬s¬

(n 1)(n 2) dir.

A n¬n (n 1)inci sütunu için gerekli i¸slem ise 2 1 dir.

O halde gerekli çarpma i¸slemleri say¬s¬

n(n 1) + (n 1)(n 2) + + 2 1

= Xn 1

k=1

k(k + 1)

= Xn 1

k=1

k²+ Xn 1 k=1

k

= (n 1)(n)(2n 1)

6 +(n 1)n

2

= n³ 3

n 3

dür. Ayr¬ca gerekli bölme i¸slemi say¬s¬ise yukar¬daki yok etme i¸slemi için gerekli çarpanlar¬n say¬s¬olan

(n 1)n=2 kadard¬r.

(28)

O halde A > U dönü¸sümü ve ayn¬zamanda da LU ayr¬¸s¬m¬için gerekli i¸slem say¬s¬

n³ 3

n

3 + (n 1)n=2

= n³ 3 + n²

2 5n

6 (7.8)

d¬r.

Ly = b yi çözmek için gerekli toplam çarpma i¸slemi say¬s¬

1 + 2 + + (n 1) = 1

2n(n 1) (7.9)

dir. L nin kö¸segen üzerindeki elemanlar¬1 e e¸sit oldu¼gu için bu i¸slemde bölme gerekli de¼gildir.

O halde U x = y ve Ly = b denklem sistemlerini çözmek için gerekli çarpma ve bölme i¸slemlerinin toplam say¬s¬(7.5) ve (7.9) ile

1

2n(n + 1) + 1

2n(n 1) = n² (7.10)

dir.

Bu say¬y¬yukar¬da (7.8) ile verilen LU ayr¬¸s¬m¬için gerekli i¸sllem say¬s¬na ilave etmek suretiyle

1

3n³+3

2n² 5

6n (7.11)

i¸slem de¼gerini elde ederiz.

Uyar¬. Gauss yok etme yöntemi ile çözüm için gerekli ve (7.7) ile verilen i¸slem say¬s¬ de¼gerin (7.11) ile verilen ve LU ayr¬¸s¬m ile çözüm için gerekli olan say¬sal de¼gere e¸sit oldu¼guna dikkat edelim.

Gözlem 7.2. Gauss yok etme yöntemi ile çözüm elde edilebilirken, LU ayr¬¸s¬m yöntemine neden ihtiyaç vard¬r diye dü¸sünebiliriz. E¼ger Ax = b denklem sisteminin birden fazla b vektörü için çözülmesi gerekiyorsa, bu durumda L ve U vektörlerini elde ettikten sonra farkl¬b ler için sistemi çözme i¸slemi sadece iki üçgensel sistemin çözümüne indirgenmi¸s olur. Oysa, Gauss yok etme yöntemi uygulayacak olsayd¬k, de¼gi¸sen her b için yok etme i¸slemini tekrarlamam¬z gerekirdi.