2.2.7 Grünwald-Letnikov Yakla¸ s¬m¬yla · Ili¸ skisi:

(1)

2.2.7 Grünwald-Letnikov Yakla¸ s¬m¬yla · Ili¸ skisi:

E¼ ger 0 m 1 p < m n ise a < t < T için

a

D

_t^p

f (t) =

_a

D

_t^p

f (t) =

m 1

X

j=0

f

^(j)

(a)(t a)

^{j p}

(1 + j p) + 1 (m p)

Z

t a

f

^(m)

( ) (t )

^{p m+1}

d

dir.

Gerçekten; yukar¬daki ifadenin sa¼ g k¬sm¬Grünwald-Letnikov türevine e¸ sittir. Di¼ ger taraftan

d

^m

dt

^m

8 <

:

m 1

X

j=0

f

^(j)

(a)(t a)

^{m+j p}

(1 + m + j p) + 1 (2m p)

Z

t a

(t )

^{2m p 1}

f

^(m)

( )d 9 =

;

olarak yaz¬labilir. Taraf tarafa m integrasyondan sonra bu bize

a

D

^p_t

f (t) Riemann-Liouville formunu verir.

d

^m

dt

^m

8 <

: 1 (m p)

Z

t a

(t )

^{m p 1}

f ( )d 9 =

; = d

^m

dt

^m

f

^a

D

_t^{(m p)}

f (t) g =

^a

D

_t^p

f (t):

E¼ ger f (t) sürekli ve f

⁰

(t); [a; T ] aral¬¼ g¬nda integrallenebilir ise, her bir p (0 < p < 1) için Riemann-Liouville ve Grünlwald-Letnikov türevlerinin her ikiside mevcuttur ve

a

D

^p_t

f (t) =

_a

D

^p_t

f (t) = f (a)(t a)

^p

(1 p) + 1

(1 p) Z

t

a

(t )

^p

f

⁰

( )d

¸ seklinde yaz¬labilir.

Grünwald-Letnikov ve Riemann-Liouville tan¬mlar¬aras¬ndaki ili¸ ski, uygulama problemlerini formüle etmek için, kesirli türevleri el ile hesapla- mak için ve kesirli basamaktan diferensiyel denklemler için ba¸ slang¬ç- de¼ ger probleminin …ziksel anlamlar¬n¬n formülasyonu için çok önemlidir.

20