• Sonuç bulunamadı

durumlar¬ndan biri ile kar¸ s¬la¸ s¬ld¬¼ g¬nda limitin türev yard¬m¬yla hesaplan- mas¬n¬sa¼ glar.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "durumlar¬ndan biri ile kar¸ s¬la¸ s¬ld¬¼ g¬nda limitin türev yard¬m¬yla hesaplan- mas¬n¬sa¼ glar."

Copied!
3
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

BEL· IRS· IZ ¸ SEK· ILLER

Pay¬ve paydas¬ayn¬anda s¬f¬ra veya sonsuza yakla¸ san kesirlerin limit- lerinin hesaplanmas¬için Bernoulli taraf¬ndan bir yöntem geli¸ stirilmi¸ stir. Bu yöntem L’Hospital Kural ¬olarak adland¬r¬l¬r ve belirsiz ¸ sekiller ad¬verilen

0 0 ; 1

1 ; 1 1; 0:1; 0 0 ; 1 0 ; 1 1

durumlar¬ndan biri ile kar¸ s¬la¸ s¬ld¬¼ g¬nda limitin türev yard¬m¬yla hesaplan- mas¬n¬sa¼ glar.

0

0 Belirsizlik Hali

f ve g sürekli fonksiyonlar¬için f (a) = g (a) = 0 ise, lim x!a f (x) g(x) limiti x = a yaz¬larak hesaplanamaz. Baz¬durumlarda cebirsel i¸ slemler yard¬m¬yla sadele¸ stirmeler yap¬larak bu tip oranlar¬n limitleri hesaplanabilir. Bu tip oranlardan limitini kolayca hesaplayabildi¼ gimiz bir di¼ geri ise;

x!a lim

f (x) f (a)

x a

oran¬d¬r ve de¼ geri f 0 (a) d¬r. L’Hospital Kural¬türev kavram¬n¬kullanarak belirsiz formlar¬veren limitleri hesaplamam¬za yard¬mc¬olur.

Teorem (L0Hospital Kural{) f ve g sürekli iki fonksiyon, f (a) = g (a) = 0; f 0 (a) ve g 0 (a) mevcut ve g 0 (a) 6= 0 ise

x!a lim f (x)

g (x) = f 0 (a) g 0 (a) d¬r.

Teorem f ve g sürekli iki fonksiyon, f (a) = g (a) = 0; f ve g a noktas¬n¬

içeren bir aç¬k I aral¬¼ g¬ üzerinde türevlenebilir ve x 6= a ise I üzerinde g 0 (x) 6= 0 olsun. Bu durumda;

x!a lim f (x) g (x) = lim

x!a

f 0 (a) g 0 (a) dir.

Teorem f ve g fonksiyonlar¬ [a; b] üzerinde sürekli ve (a; b) üzerinde türevlenebilir ise,

9c 2 (a; b) : f 0 (c)

g 0 (c) = f (b) f (a) g (b) g (a) d¬r.

1

(2)

Uyar¬L’Hospital Kural¬belirsizlik ortadan kalk¬ncaya kadar tekrar uygu- lan¬r.

Örnek 1. (a) lim

x!0

1 cos x x + x 2 = lim

x!0

sin x

1 + 2x = 0 d¬r.

(b) lim

x!0

sin x

x 2 limitini hesaplayal¬m. L’Hospital Kural¬kullan¬l¬rsa;

lim

x!0

+

sin x x 2 = lim

x!0

+

cos x

2x = 1 ve lim

x!0

sin x x 2 = lim

x!0

cos x

2x = 1

elde edilir. Dolay¬s¬yla limit mevcut de¼ gildir.

1

1 ; 0:1 ve 1 1 Belirsizlik Hali L’Hospital Kural¬, 0

0 belirsizli¼ gine uyguland¬¼ g¬ gibi 1

1 belirsizli¼ gine de uygulanabilir. Bu durumda; x, a noktas¬na yakla¸ st¬¼ g¬nda lim

x!a f (x) ! 1 ve lim

x!a g (x) ! 1 ise

x!a lim f (x) g (x) = lim

x!a

f 0 (a) g 0 (a) e¸ sitli¼ gi gerçeklenir.

Örnek 2. lim

x!0

1 sin x

1

x limiti 1 1 belirsizli¼ gi verir, payda e¸ sitlenerek belirsizlik 0

0 belirsizli¼ gine dönü¸ stürülür ve L’Hospital Kural¬ ile limit hesa- plan¬r.

0 0 ; 1 0 ve 1 1 Belirsizlik Hali

x sonlu bir de¼ gere veya 1 de¼ gerine yakla¸ st¬¼ g¬nda y = [f (x)] g(x) biçi- minde tan¬ml¬ fonksiyonlar bu belirsizlik hallerinden birini verebilir. Bu durumda; logaritma fonksiyonundan faydalan¬larak

ln y = g (x) ln f (x)

e¸ sitli¼ gi elde edilir. Sa¼ g taraftaki ifadenin limiti 0:1 belirsizli¼ gine sahip olur ve daha önce verilen yöntemler kullan¬larak sa¼ g taraftaki limit hesaplan- abilir.

Örnek 3. lim

x!0 (1 + 2x) 1=x limitini hesaplamak için logaritma fonksiy- onundan faydalan¬l¬rsa

ln y = 1

x ln (1 + 2x)

2

(3)

e¸ sitli¼ gi elde edilir. Böylece

x!0 lim 1

x ln (1 + 2x) = lim

x!0

ln (1 + 2x) x

= lim

x!0 2 1+2x

1 = 2 olur. Dolay¬s¬yla; lim

x!0 y = e 2 dir.

3

Referanslar

Benzer Belgeler

(Turuncu cüce y›l- d›zlar, Günefl’ten biraz daha küçük ve so¤uk, ama buna karfl›n daha uzun ömürlü y›ld›zlard›r. Böyle bir y›ld›z, çevresine daha az

Ancak parçal› tutulma bafllang›c›ndan sonra, Dünya’n›n gölgesi Ay’›n üzerine düflmeye bafllayacak ve ay bir kenar›n- dan bafllayarak gölgede kalacak.. Tam

Türk Gö¤üs Kalp Damar Cerrahisi Dergisi 1991 y›l›nda yay›n hayat›na girmifl, ilk dönemdeki zorluklar afl›ld›ktan sonra dergi y›lda dört say› olarak

I¸ · sletme problemlerinin matematiksel modellerinde n de¼ gi¸ sken taraf¬ndan ayn¬anda sa¼ glanmas¬gereken m adet lineer denklemden olu¸ san sistemlerle s¬kl¬kla kar¸

[r]

kom¸sulu¼ gundaki Taylor polinomundan faydalan¬labilir[7], Nonlineer problemlerin bir nokta kom¸sulu¼ gundaki davran¬¸s¬, söz konusu nokta kom¸sulu¼ gunda Taylor

interpolasyon polinomunu ad¬verilen söz konusu polinomun Cebirsel, Newton ve Lagrange gibi farkl¬formülasyonlar yard¬m¬yla elde edili¸sini, farkl¬formülasyonlar¬n

de¼geri at¬¸ s e¼gimi olarak dü¸ sünüldü¼günde hede…n yukar¬s¬na at¬¸ s yap¬ld¬¼g¬nda e¼gim dü¸ sürülerek tekrar at¬¸ s yap¬lmaktad¬r. Hede…n a¸ sa¼g¬na