Laplace Dönü¸ sümü Yard¬m¬yla Lineer Diferensiyel Denklemlerin Çözümü

(1)

Laplace Dönü¸ sümü Yard¬m¬yla Lineer Diferensiyel Denklemlerin Çözümü

a

₀

(t) y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

(t) y

^{(n 1)}

+ ::: + a

_{n 1}

(t) y

⁰

+ a

_n

(t) y = f (t) y (0) = c

1

; y

⁰

(0) = c

2

; :::; y

^{(n 1)}

(0) = c

n

(1)

ba¸ slang¬ç de¼ ger problemini ele alal¬m.

t 0 için tan¬ml¬reel de¼ gerli y fonksiyonunun y

⁰

; y

⁰⁰

; :::; y

^{(n 1)}

türevleri var, sürekli ve ayn¬ üstel basamaktan fonksiyonlar olsun. y

⁽ⁿ⁾

; [0; 1) da parçal¬

sürekli olsun. Bu durumda y; y

⁰

; y

⁰⁰

; :::; y

⁽ⁿ⁾

fonksiyonlar¬n¬n Laplace dönü¸ süm- leri mevcut olup L fy (t)g = Y (s) olmak üzere

L n

y

⁽ⁿ⁾

(t) o

= s

ⁿ

Y (s) s

^{n 1}

y (0) s

^{n 2}

y

⁰

(0) ::: y

^{(n 1)}

(0) (2)

= s

ⁿ

Y (s) c

₁

s

^{n 1}

c

₂

s

^{n 2}

::: c

_n

dir. L ff (t)g = F (s) olmak üzere (1) denkleminin her iki taraf¬na Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa

L n

a

0

(t) y

⁽ⁿ⁾

o + L n

a

1

(t) y

^{(n 1)}

o

+ ::: + L fa

^{n 1}

(t) y

⁰

g + L fa

ⁿ

(t) yg = F (s) olur. Bu e¸ sitlikten Y (s) fonksiyonu bulunur, sonra da ters Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümü

y (t) = L

¹

fY (s)g olarak elde edilir.

Örnek 1.

y

⁰⁰

+ 3y

⁰

+ 2y = e

^2t

; y (0) = y

⁰

(0) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm. Diferensiyel denklemin her iki taraf¬na Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa L fyg = Y (s) olmak üzere

L fy

⁰⁰

g + 3L fy

⁰

g + 2L fyg = L e

^2t

s

²

Y (s) + 3sY (s) + 2Y (s) = 1

s 2 s

²

+ 3s + 2 Y (s) = 1

s 2

Y (s) = 1

(s 2) (s + 1) (s + 2) olur.

1 (s 2) (s + 1) (s + 2) = A

s 2 + B

s + 1 + C

s + 2

1

(2)

formunda basit kesirlerine ayr¬l¬rsa A = 1

12 ; B = 1

3 ; C = 1

4 bulunur.

Ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümü y (t) = L

¹

fY (s)g = 1

12 L

¹

1 s 2

1 3 L

¹

1 s + 1 + 1

4 L

¹

1 s + 2

= 1

12 e

^2t

1 3 e

^t

+ 1 4 e

^2t

olarak bulunur.

Örnek 2.

ty

⁰⁰

2ty

⁰

2y = 0 ; y (0) = 0; y

⁰

(0) = 1 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

Çözüm. Diferensiyel denklemin her iki taraf¬na Laplace dönü¸ sümü uygulan¬r ve

L ft

ⁿ

f (t)g = ( 1)

ⁿ

d

ⁿ

ds

ⁿ

L ff (t)g özelli¼ ginden yararlan¬l¬rsa, L fyg = Y (s) olmak üzere

L fty

⁰⁰

g 2L fty

⁰

g 2L fyg = 0 d

ds s

²

Y (s) 1 + 2 d

ds (sY (s)) 2Y (s) = 0 2sY (s) s

²

Y

⁰

(s) + 2Y (s) + 2sY

⁰

(s) 2Y (s) = 0 2s s

²

Y

⁰

(s) 2sY (s) = 0

Y

⁰

(s) Y (s) + 2

s 2 = 0

bulunur. Her iki taraf¬n integrali al¬n¬rsa

ln Y (s) + 2 ln (s 2) = ln c

Y (s) = c

(s 2)

²

olarak bulunur. Burada ters Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa

y (t) = L

¹

fY (s)g = cL

¹

( 1

(s 2)

²

)

= cte

^2t

elde edilir. y

⁰

(t) = ce

^2t

+2cte

^2t

olup y

⁰

(0) = 1 ko¸ sulu uygulan¬rsa c = 1 bulunur.

Böylelikle ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümü y (t) = te

^2t

¸ seklinde elde edilir.

2

(3)

Örnek 3. y

⁰⁰

y

⁰

+ y = e

^2t

+ t ; y (0) = 1 ; y

⁰

(0) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

Örnek 4. y

⁰⁰

+ y = cos 2t ; y (0) = 0 ; y

⁰

(0) = 0 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünü bulunuz.

3