AÖF Kitapları Öğrenci Kullanım Kılavuzu

(1)

(2)

Bölüm Özeti

Bölümün kısa özetini gösterir.

Karekod

Bölüm içinde verilen karekodlar, mobil cihazlarınız aracılığıyla sizi ek kaynaklara, videolara veya web adreslerine ulaştırır.

Sözlük

Bölüm içinde geçen önemli kavramlardan oluşan sözlük ünite sonunda paylaşılır.

Öğrenme Çıktısı Tablosu Araştır/İlişkilendir/Anlat-Paylaş

İlgili konuların altında cevaplayacağınız soruları, okuyabileceğiniz ek kaynakları ve konuyla ilgili yapabileceğiniz ekstra etkinlikleri gösterir.

Yaşamla İlişkilendir

Bölümün içeriğine uygun paylaşılan yaşama dair gerçek kesitler veya örnekleri gösterir.

Araştırmalarla İlişkilendir

Bölüm içeriği ile ilişkili araştırmaların ve bilimsel çalışmaları gösterir.

Tanım

Bölüm içinde geçen önemli kavramların tanımları verilir.

Dikkat

Konuya ilişkin önemli uyarıları gösterir.

Neler Öğrendik ve Yanıt Anahtarı Bölüm içeriğine ilişkin 10 adet çoktan seçmeli soru ve cevapları paylaşılır.

Öğrenme çıktıları

Bölüm içinde hangi bilgi, beceri ve yeterlikleri kazanacağınızı ifade eder.

(3)

T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 2828 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 1786

MATEMATİK II

Yazarlar

Prof.Dr. Yalçın KÜÇÜK (Ünite 1) Doç.Dr. Yılmaz DERELİ (Ünite 2) Doç.Dr. Taner BÜYÜKKÖROĞLU (Ünite 3) Prof .Dr. Namık Kemal ERDOĞAN (Ünite 4)

Doç.Dr. Emrah AKYAR (Ünite 5) Dr.Öğr.Üyesi Figen TAKIL MUTLU (Ünite 6)

Prof.Dr. Vakıf CAFER (Ünite 7, 8)

Editör

Prof.Dr. Şahin KOÇAK

Prof.Dr. Namık Kemal ERDOĞAN

(4)

“Uzaktan Öğretim” tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır.

İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz.

No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without

permission in writing from the University.

Grafik Tasarım Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız

Doç.Dr. Nilgün Salur

Latex Stil Dosyası Hazırlayanlar Prof.Dr. Emrah Akyar

Doç.Dr. Ali Deniz Doç.Dr. Serkan Ali Düzce Dr.Öğr.Üyesi Yunus Özdemir

Kapak Düzeni Prof.Dr. Halit Turgay Ünalan

Dizgi ve Yayıma Hazırlama Kitap Hazırlama Grubu

Matematik II

E-ISBN 978-975-06-3068-2

Bu kitabın tüm hakları Anadolu Üniversitesi’ne aittir.

ESKİŞEHİR, Ocak 2019 2373-0-0-0-1309-V01

(5)

˙Içindekiler iii

˙Içindekiler

1 Belirli ve Belirsiz ˙Integral 1

1.1 Alan Hesaplamaları . . . 6

1.2 Belirli ˙Integral . . . 12

1.3 Belirsiz ˙Integral . . . 15

1.4 Temel Teoremler . . . 21

1.5 Sürekli Bir Fonksiyonun Ortalama De˘geri . . . 24

1.6 Okuma Parçası . . . 28

1.7 Çıkarın Ka˘gıtları . . . 29

1.8 Çözümler . . . 30

2 Diferansiyel Denklemler 31 2.1 Nüfus Problemi . . . 39

2.2 Radyoaktif Bozunma Hesabı . . . 42

2.3 So˘guma Problemi . . . 45

2.4 Sınırlı Büyüme . . . 50

2.5 Dedikodunun Yayılması . . . 52

2.8 Çözümler . . . 57

3 Do˘grusal Programlamaya Giri¸s 59 3.1 Çokgen Bölge . . . 65

3.2 Grafik Yöntemle Çözüm . . . 70

3.5 Çözümler . . . 80

4 ˙Iktisadi Uygulamalar 81 4.1 Tüketici ve Üretici Rantı . . . 82

4.2 Lorenz E˘grisi ve Gini ˙Indeksi . . . 88

4.3 Diferansiyel Denklemlerin Uygulaması . . . 94

(6)

4.6 Çözümler . . . 101

5 Çizge Kuramına Giri¸s 103 5.1 Königsberg Köprüleri . . . 109

5.2 Düzlemsel Çizgeler . . . 116

5.3 Çizgeleri Boyamak . . . 120

5.4 A˘gaçlar . . . 124

5.7 Çözümler . . . 130

6 Asal Sayılar ve Modüler Aritmetik 131 6.1 Asal mı? De˘gil mi? . . . 137

6.2 Kaç Tane Asal Sayı Vardır? . . . 139

6.3 Modüler Aritmetik . . . 141

6.4 Bir Bilinmeyenli Do˘grusal Denklikler . . . 149

6.7 Çözümler . . . 156

7 ¸Sifreleme Kuramına Giri¸s 157 7.1 Do˘grusal ¸Sifreleme . . . 161

7.2 Kuvvet Fonksiyonuyla ¸Sifreleme . . . 166

7.3 RSA Yöntemi . . . 170

7.4 Geçmi¸sten Günümüze Kriptoloji: Kısa bir özet . . . 176

7.7 Çözümler . . . 182

8 Oyunlar Kuramına Giri¸s 183 8.1 ˙Iki Ki¸silik Sonlu Oyun . . . 189

8.2 Sıfır Toplamlı Oyunda Denge . . . 191

8.3 Dengenin Olması Neden Önemlidir? . . . 196

8.4 Sıfır Toplamlı Olmayan Oyunda Denge . . . 198

8.7 Çözümler . . . 202

Kaynakça 203

Dizin 205

(7)

v

Önsöz

Sevgili Ö˘grenciler,

Matematik ö˘grenmeyi keyifli bir serüvene dönü¸stürmek amacıyla hazırladı˘gımız kitabınızın ikinci bölümünde de aynı anlayı¸sla yeni konuları ele alıyoruz. Pınar ve Mete Hocalarla, meraklı ö˘grenci- lerimiz Zeynep, Gökçe, Selçuk ve Engin’den olu¸san ekibimiz tatlı-sert tartı¸smalarla bu konuları her yönüyle irdeleyerek, berrakla¸stırıp, içselle¸stirmeye çalı¸sıyorlar. Biz de daha önce oldu˘gu gibi sizlerin de bu tartı¸smaların hem izleyicisi, hem katılımcısı olmanızı diliyoruz. Aklınıza takılan her noktayı, zihninizde beliren her soruyu lütfen bize iletiniz.

Matemati˘gin ya¸samla ba˘glarını daha öne çıkarmak için ekledi˘gimiz yeni ünitelerin ilginizi çe- kece˘gini umuyoruz. ¸Sa¸sırtıcı çe¸sitlilikte uygulama alanları olan çizge kavramı, matemati˘gin sadece türev ve integralden ibaret olmadı˘gını göstermesi açısından da bize önemli görünüyor. Bir zamanlar yalnızca matematikçilerin soyut estetik zevklerine hizmet etti˘gi dü¸sünülen asal sayılar bugün herkes için ya¸samsal olan ileti¸sim güvenli˘ginin en vazgeçilmez araçlarına dönü¸smü¸s durumdalar. Bu ne- denle kitabınızda onlara da yer ayırdık ve ¸sifreleme ile ilgili temel bilgilere biraz dokunmak istedik.

Oyunlar teorisi de ya¸samın içinden kopup gelen yeni ünitelerimizden birisi.

Diyalog formatının kendine has dinami˘gi nedeniyle, üniteleri okurken en az bir alt-bölümü kendi bütünlü˘gü içinde okumanız önerimizi yineliyor ve iyi okumalar diliyoruz.

Editörler

¸

Sahin Koçak ve Namık Kemal Erdo˘gan

Soru, görü¸s ve önerileriniz için ileti¸sim adresimiz: nkerdoga@anadolu.edu.tr

(8)

Engin Selçuk

Pınar Hoca Mete Hoca

MATEMAT˙IK II

(9)

MATEMATİK 2

ÜNİTE

ORTALAMA DEĞER TEMEL TEOREM BELİRLİ İNTEGRAL

ÜST TOPLAM ALT TOPLAM

BÖLÜNTÜ

# Mete Hoca Pınar Hoca Gökçe Zeynep Selçuk Engin

1

2

3

4

5

6 BELİRSİZ İNTEGRAL

Belirli ve Belirsiz İntegral

1.

Sonsuz tane sayının

ortalaması nasıl

alınıyor?

(10)

Giri¸s

Dün televizyonda bir haber izledim, canım sıkıldı.

Neden Gökçe, haber neydi?

Geçen yaz Bodrum’da tatil yaptı˘gımız yöreye çok yakın bir böl- gede orman yangını ba¸slamı¸s ve bir saatin sonunda yayılma

hızı saatte 20 hektara ula¸smı¸s. Bir saat sonraki haberde, rüzgarın da etkisiyle, yangının yayılma hızının saatte 40 hektara çıktı˘gını duydum.

Ben de çevre illerden yangın söndürme ekiplerinin yola çıktı-

˘gını duydum ama daha sonra neler oldu˘gunu bilmiyorum.

Evet Selçuk, bir saat sonraki haber bülteninde yangının hızı- nın giderek arttı˘gı ve saatte 100 hektara kadar çıktı˘gı söylendi.

Dördüncü haber bülteninde yangının kontrol altına alındı˘gı, söndürme çalı¸smalarının karadan ve havadan sürdürüldü˘gü, buna ra˘gmen yayılma hızının ancak saatte 50 hektara dü¸sürülebildi˘gi açıklandı. Son izledi˘gim haber bülteninde ise yangının ya˘gmurun da etkisiyle söndürüldü˘gü söy- lendi. Güzelim ormanlarımız böyle yanıp kül oluyor hocam. Kim bilir ne kadar orman kül oldu!

Gerçekten çok üzücü bir durum Gökçe. Madem merak edi- yorsun, ne kadar ormanın yandı˘gı konusunda bir tahminde bulunabiliriz.

Bunu nasıl yapabiliriz hocam?

Zaman 1 2 3 4

(saat)

Yayılma hızı 20 40 100 50 (hektar/saat)

Tablo 1.1: Yangının saatteki ya- yılma hızı tablosu.

Yangın be¸s saat sürmü¸s ve Gökçe ilk dört saatin her biri için yangının yayılma hızını bizlere söyledi. Bunlarla ilgili yandaki tabloyu kurup, sonra da ikilileri zaman-yayılma hızı koordinat sis- teminde i¸saretleyebiliriz.

Yangının yayıldı˘gı alan = Zaman× Yayılma hızı

(11)

3 e¸sitli˘gini kullanarak da 4 saat içinde yakla¸sık olarak 210 hektarlık or-

man alanının tahrip oldu˘gunu anlayabiliriz. Bu tahminimizi birer saat arayla verilen yayılma hızı bilgilerine göre yaptık. Daha iyi bir tahminde bulunmak için sizce neye ihtiyacımız var?

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 2 3 4

Zaman (saat) Yayılma hızı (hektar/saat)

Zaman aralıklarını daha kısa tutmaya ihtiyacımız olabilir mi?

Örne˘gin saatteki de˘gil de her yarım saatteki yayılma hızlarını bilseydik daha iyi bir tahmin yapabilirdik sanırım.

Engin haklı! Biz birer saatlik aralıklarla yangının de˘gi¸sme hı- zını sabit kabul ediyoruz. Ancak yangının yayılma hızı her an de˘gi¸siklik gösterebilir. Yani açık olarak belirtemesek de yayılma hızı za- manın sürekli bir fonksiyonudur. Hız ölçümü yapılan zaman aralıklarını ne kadar azaltırsak, zarar için o kadar iyi bir tahminde bulunabiliriz.

Hocam ba¸ska hangi durumlar için tahminde bulunabiliriz?

Birçok durum için tahminde bulunabiliriz. ˙Isterseniz ba¸ska bir örnek vereyim. Varsayalım ki bir kasabada bir nehirle yol arasında kalan, ¸sekilde görülen bölgeyi ye¸sil alan haline getirmek isti- yorsunuz. Bu projenin maliyeti metrekare ba¸sına 25 lira olsun. Bu proje için yakla¸sık ne kadar para gerekir?

YOL NEH˙IR

YE¸S˙ILLEND˙IR˙ILECEK BÖLGE

Bölgenin alanını bulurum ve 25 ile çarparım. Ancak bu bölge- nin ¸sekli ne üçgene ne de dörtgene benziyor. Ben bir tahminde bulunamayaca˘gım.

Hocam bu bir mühendislik i¸si, bizi bununla u˘gra¸stırmasanız.

Do˘gru bir mantık yürütmeyle bunu herkes yapabilir, yeter ki nereden ba¸slayaca˘gınızı bilin. Bu problemi çözebilmeniz için size bir ipucu vereyim: Bölgenin yola en uzak noktasının yola uzaklı˘gı 35 metre ve bölgenin yola cephesi 14 metre olsun. Bölgeyi alttan sınırlayan yolu x-ekseni olarak alıp, bölgeyi bir dikdörtgenle sınırlandıralım. Yani bölgeyi eni 14 metre, boyu 35 metre olan bir dikdörtgen içine alalım.

35m

14m

(12)

Hocam ¸saka mı yapıyorsunuz? Bu dikdörtgenin alanı 35· 14 = 490 m²olur. Bu de˘ger istenen alandan oldukça bü- yüktür, bu gerçe˘gi pek yansıtmaz.

Güzel! Sizce daha iyi bir tahminde bulunmak için neye ihti- yacımız var?

Bölgeyi daha küçük dikdörtgenler içine alarak bu dikdörtgen- lerin alanları toplamı ile tahminde bulunsak hocam?

Ne tür dikdörtgenleri öneriyorsun Engin?

Yolun bölgeyi alttan sınırlayan kısmını x-ekseninin bir parçası olarak kabul etmi¸stik. ¸Simdi bu parçayı ikiye ayırıp, bunlar

üzerinde yola uzaklıkları en büyük olan noktaların uzaklıklarını alırsak, bölgeyi enleri aynı fakat boyları farklı iki dikdörtgenle üstten sınırlandı- rabiliriz. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı bölgenin alanı için daha iyi bir tahmin olur.

Güzel bir yakla¸sım. Hemen ölçümleri vereyim o zaman: 1.

parçada yola en uzak nokta 30 metre, 2. parçada en uzak nokta 35 metre uzaklıkta olsun.

x y

30m

35m

5 10 15 20 25 30 35 40

2 4 6 8 10 12 14

¸

Sekil 1.1: Ye¸sillendirilecek böl- genin yola cephesini ikiye bö- lerek olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına üst- ten yakla¸sım.

Ben de hesabı yapayım. Dikdörtgenlerin alanları toplamı:

30· 7 + 35 · 7 = (30 + 35) · 7 = 65 · 7 = 455 m²

oldu˘gundan bu dikdörtgenlerin olu¸sturdu˘gu bölgeyi ye¸sillendirmenin toplam maliyeti: 455· 25 = 11375 lira olur.

Peki hocam daha fazla dikdörtgen kullansak, örne˘gin bölgenin yola cephesini dört e¸sit parçaya bölerek bölgeyi dört dikdört- gen içine alsak sanırım daha iyi bir yakla¸sımda bulunmu¸s oluruz.

(13)

5 Bölgeyi dı¸stan sınırlayan dikdörtgenlerin alanları toplamıyla

bölgenin alanına giderek yakla¸sıyorsun Engin, gayet güzel!

Bu dört parçadaki yola uzaklı˘gı en büyük olan noktaların uzaklıkları:

Birinci parçada 20 metre, ikinci parçada 30 metre, üçüncü parçada 33 metre, dördüncü parçada 35 metre ise sonuç ne olur?

5 10 15 20 25 30 35 40

2 4 6 8 10 12 14

x y

20m

30m 33m

35m

¸

Sekil 1.2: Ye¸sillendirilecek böl- genin yola cephesini dörde bö- lerek olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına üst- ten yakla¸sım.

Bu durumda

20·7 2+30·7

2+33·7 2+35·7

2 = (20+30+33+35)·7

2= 118·7

2= 413 m² oldu˘gundan proje maliyeti 413· 25 = 10325 lira olur. Hocam, neden yolun bu dört parçası için de yola uzaklıkları en küçük olan noktalarını alarak tahminde bulunmuyoruz?

Tabii, öyle de dü¸sünebilirsiniz.

Parçalardaki en kısa uzunluklar; 1. parçada 0 metre, 2. par- çada 15 metre, 3. parçada 23 metre ve 4. parçada 12 metre- dir. Haydi bakalım hesaplayın!

5 10 15 20 25 30 35 40

2 4 6 8 10 12 14

x y

15m 23m

12m

¸

Sekil 1.3: Ye¸sillendirilecek böl- genin yola cephesini dörde bö- lerek olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına alttan yakla¸sım.

˙Ilk parçada en kısa uzaklık 0 metre oldu˘gundan bir alan olu¸s- maz. Di˘ger parçalarda enler e¸sit ve 3,5 metre oldu˘gundan en kısa uzaklıklarla olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı:

7

2· (15 + 23 + 12) =7

2· 50 = 175 m² olur.

Projenin maliyeti de 175· 25 = 4375 lira olur.

Ne güzel, bu tahminle proje oldukça ucuza mal olacak.

Ucuz gibi gözükse de bölgenin büyük bir kısmını ihmal ettik.

Hocam, bölgenin yoldaki sınırını 8 parçaya bölerek i¸slemleri- mizi tekrarlasak ne olurdu?

Peki Selçuk, bu parçalardaki en kısa ve en uzun mesafeleri yandaki tabloyla veriyorum.

Yola En En

uzaklık kısa uzun

1 0 18

2 16 20

3 15 27

4 26 30

5 23 28

6 24 33

7 33 35

8 12 33

(14)

Hesaplamaları da ben yapayım. Önce en uzun olanları göz önüne alarak ba¸slayayım:

7

4· (18 + 20 + 27 + 30 + 28 + 33 + 35 + 33) =7

4· 224 = 392.

5 10 15 20 25 30 35 40

2 4 6 8 10 12 14

x y

¸

Sekil 1.4: Ye¸sillendirilecek böl- genin yola cephesini sekize bö- lerek olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına üst- ten yakla¸sım.

5 10 15 20 25 30 35 40

2 4 6 8 10 12 14

x y

¸

Sekil 1.5: Ye¸sillendirilecek böl- genin yola cephesini sekize bö- lerek olu¸sturulan dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına alttan yakla¸sım.

Bu durum için proje maliyeti 392· 25 = 9800 lira olur. ¸Simdi de en kısa uzunluklarla hesaplamayı yapayım:

7

4· (0 + 16 + 15 + 26 + 23 + 24 + 33 + 12) = 7

4· 149 = 260, 75.

Projenin bu durumda maliyeti de 260, 75· 25 = 6518, 75 lira olur.

Hocam, parça sayısını arttırdıkça en kısa ve en uzun uzunluklarla yaptı˘gımız hesaplar sonucunda elde etti˘gimiz maliyet

de˘gerleri, birbirlerine gitgide yakla¸sıyorlar. Bu adımda projenin maliyeti en az 6518, 75 lira en çok 9800 lira olur. Bu iki de˘gerin ortalaması alı- nırsa yakla¸sık olarak 8159 lira olur.

Bravo sizlere, bölgenin alanına alttan ve üstten yakla¸sıp, alanı oldukça do˘gru bir bakı¸s açısıyla hesaplamaya çalı¸stınız. Yaptı-

˘gınız hesaplamalarla aynı zamanda herhangi bir e˘griyle sınırlı alanların hesabı için ilk adımı da atmı¸s oldunuz.

Alan Hesaplamaları

Alan hesaplamalarının binlerce yıllık bir tarihçesi vardır. Eski Mısır ve Babil’de nehirler ta¸sar ve yön de˘gi¸stirirdi. Nehirler yataklarını de˘gi¸stirdikçe bazı çiftçiler topraklarını kaybederken bazıları yeni topraklar kazanırlardı. Ödenecek vergiler sahip olunan toprakların alanına göre belirlendi˘gi için nehir kıyısındaki düzensiz ¸sekilli arazilerin alanlarını sık sık hesaplamak gerekirdi.

¸

Sekil 1.6: Bu bölgenin alanı nasıl hesaplanabilir?

Peki hocam, o zaman bu alan hesaplamaları nasıl yapılıyordu?

Belli bir yöntem var mıydı?

(15)

Alan Hesaplamaları 7 Babilliler ve Mısırlılar, üçgen ve dörtgenin alan hesabını bil-

diklerinden, alan ölçümlerini üçgenlerin ve dörtgenlerin alan- larına dayandırarak hesaplıyorlardı. Daha sonra Yunan matematikçiler Eudoxus (M.Ö. 408- M.Ö. 355) ve Ar¸simet (M.Ö. 287- M.Ö. 212) e˘gri- lerle sınırlı düzlemsel alanların belirlenebilmesi için "Tüketme Yöntemi"

adı verilen bir yöntem geli¸stirerek, bugün hala üzerinde çalı¸sılan integral kavramının temellerini atmı¸slardır.

Hocam, tüketme yönteminden kısaca bahsedebilir misiniz?

Tüketme yönteminde biraz önce bizim yaptıklarımıza benzer bir yol izliyoruz. Öncelikle alanını hesaplayabilece˘gimiz çokgenler kullanarak bölgeyi dı¸stan ku¸satıyoruz. Daha sonra da bölge- nin tamamen içinde kalan, yine alanını hesaplayabilece˘gimiz çokgen- lerle bölgenin sınırına içten yakla¸sıyoruz. Böylece bölgeyi dı¸stan ve içten ku¸satıp bu çokgenlerin kenar sayılarını adım adım arttırarak, bölgenin alanını istenilen hassasiyette hesaplayabiliyoruz. Hatta ço˘gu kez gerçek alan de˘gerine de ula¸sabiliyoruz.

¸

Sekil 1.7: Bölgeye dı¸stan yakla-

¸sım.

¸

Sekil 1.8: Bölgeye içten yakla¸sım.

Buna bir örnek yapsak hocam?

Peki Engin. Dilerseniz Ar¸simet’in çözdü˘gü me¸shur bir problemi bu yöntemle ele alalım.

Ar¸simet bir parabolik yayın altında kalan alanın bu yayı çevreleyen dikdörtgenin alanının üçte ikisi oldu˘gunu ifade etmi¸stir. Di˘ger bir deyi¸sle Ar¸simet, ¸sekildeki taralı alanın ABC D dikdörtgeninin alanının üçte ikisi oldu˘gunu söylemi¸stir.

A B

D C

Hocam, problemin Ar¸simetlik olu¸su gözümü korkuttu do˘g- rusu.

Daha problemi çözmeye ba¸slamadan gözünüz korkmasın. Hem Ar¸simet akıllı ö˘grencileri severdi. Önceki ye¸sil alan probleminin bir benzerini tartı¸saca˘gız. Önce parabol yayını çevreleyen dikdört- geni, tabanının orta noktası dik koordinat sisteminin merkezine gelecek

¸sekilde x-ekseni üzerine yerle¸stirelim. ^A ^B

D C

x y

E

O

(16)

Hocam, bu durumda ¸sekil y-eksenine göre simetrik oldu. Bu alan hesaplamalarında kolaylık sa˘glar mı?

Evet Zeynep. Bu durumda ¸seklin sa˘g yarısını göz önüne almak yeterli olacaktır. Kolaylık olsun diye|OB| = |OE| = 1 alalım.

1 x

y

1

O

B E

Söyleyin bakalım bu parabolün denklemi ne olur?

Tepe noktası y-ekseni üzerinde olan parabolün denklemi y = a x²+ c biçimindeydi. Parabolün tepe noktası (0, 1) oldu-

˘

gundan bu denklemde x yerine 0, y yerine 1 yazarsak c = 1 elde edilir.

Parabol x-eksenini (1, 0) noktasında kesti˘ginden y = a x²+ 1 denkle- minde x yerine 1, y yerine 0 yazılırsa a = −1 bulunur. Sonuç olarak parabolün denklemi y = 1− x²olur hocam.

Aferin Engin. Böylece problemimiz y = 1− x²e˘grisinin [0, 1]

aralı˘gı üzerindeki parçasının altındaki alanın 2

3br²oldu˘gunu göstermeye dönü¸sür.

˙Ilk olarak [0, 1] aralı˘gını ikiye bölerek i¸se ba¸slıyorduk. Bunun için 0, 1

2 ve 1 noktalarını kullanıp

0,1

2

ve 1

2, 1

aralık-

larını alalım. Bölgeyi dı¸stan ku¸satan ve bölgeye içten yakla¸san uygun dikdörtgenlerin alanlarıyla bölgenin alanına bir yakla¸sımda bulunalım.

Bunun için grafi˘gin [0, 1] aralı˘gı üzerinde azaldı˘gını kullan- mak yerinde olur.

Kullanalım hocam, biz 0’dan 1’e do˘gru hareket ettikçe grafik a¸sa˘gı do˘gru iniyor, yani fonksiyonun de˘gerleri azalıyor. Bu du-

rumda fonksiyon en büyük de˘gerini alt aralıkların sol uç noktalarında ve en küçük de˘gerini de sa˘g uçlarda alır, de˘gil mi?

(17)

Alan Hesaplamaları 9 Evet Zeynep, tam olarak bunu demek istemi¸stim. Önce fonk-

siyonun sırasıyla en büyük de˘gerlerini kullanıp bölgeyi dı¸stan ku¸satan ve en küçük de˘gerlerini kullanıp bölgeye içten yakla¸san dikdört- genlerin alanlarıyla bölgenin alanına yakla¸salım. Bunlara sırasıyla [0, 1]

aralı˘gının

0, 1

2, 1

bölüntüsüne kar¸sı gelen üst toplamı ve alt toplamı denir.

1

1 2

x y

1

0

f (0) f₁

2

¸

Sekil 1.9: [0, 1] aralı˘gının

0, ¹₂, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen üst toplam.

1

1 2

x y

1

0

f₁

2

3 4

¸

0, ¹₂, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen alt toplam.

1

1 2

x y

1

0

¸

0, ¹₂, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen fark dikdörtgenleri.

=

1 2

f (0)− f (1) = 1

¸

0, ¹₂, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen fark dikdörtgenlerinin olu¸sturdu˘gu farklar sütunu.

Üst toplam (¸Sekil 1.9)

Ü₂( f ) = f (0) ·1

2+ f 1 2

·1

2= 1 ·1 2+3

4·1 2= 1

2+ 3 8= 7

8 br² ve alt toplam (¸Sekil 1.10)

A₂( f ) = f 1 2

·1

2+ f (1) ·1 2= 3

4·1 2+ 0 ·1

2= 3 8 br² olur.

Aradı˘gımız alana A dersek A₂( f ) ≤ A ≤ Ü2( f ) e¸sitsizli˘gi ger- çekle¸sir. Bu durumda üst ve alt toplama giren dikdörtgenlerin farklarından olu¸san fark dikdörtgenleri ¸Sekil 1.12’deki sütunu olu¸stururlar. Bu sütunun alanı Ü₂( f ) − A2( f ) =

f (0)− f (1)

·1 2’dir.

Bence ne 7

8, ne de 3

8 istedi˘gimiz sonuç olan 2

3’e pek yakın sayılar de˘giller. Bunun için [0, 1] aralı˘gını,

0,1

4, 1 2, 3

4, 1

bölüntüsünü kullanarak

0,1

4

, 1

4,1 2

, 1

2,3 4

, 3

4, 1

gibi dört e¸sit parçaya ayırsak daha iyi olacak hocam.

Haklısın Engin. Bu durumda üst toplama giren dikdörtgenler bölgeyi dı¸stan ku¸sattıkları için dikdörtgenlerin alanları top- lamı bölgenin alanından büyük, fakat bir önceki adımdaki üst toplamdan küçük olacaktır. Alt toplama giren dikdörtgenlerin alanları toplamı ise, bölgenin içinde kalacaklarından, bölgenin alanından küçük, fakat bir önceki adımda elde etti˘gimiz alt toplamdan daha büyük olacaktır.

(18)

Bu durumda üst ve alt toplamlar

Ü₄( f ) = f (0)·1

4+ f 1 4

·1

4+ f 1 2

·1

4+ f 3 4

·1 4

= 1·1 4+15

16·1 4+ 3

4·1 4+ 7

16·1 4= 25

32 ve

A₄( f ) = f 1 4

·1

4+ f 1 2

·1

4+ f 3 4

·1

4+ f (1) ·1 4

= 15 16·1

4+3 4·1

4+ 7 16·1

4+ 0 ·1 4 =17

32 olur.

1

1 2 1 4

3 4

x y

1

0

f (0) f

1 4

f₁

2

f

3 4

¸

0, ¹₄,¹₂, ³₄, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen üst toplam.

1

1 2

x y

1

0

f₁

2

f

1 4

3 4 f

3 4

¸

0, ¹₄,¹₂, ³₄, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen alt toplam.

1

1 2

x y

1

0 ¹

4 3 4

¸

0, ¹

4,¹

2, ³

4, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen fark dikdörtgenleri.

= 1

1 4

¸

0, ¹₄,¹₂, ³₄, 1

bölüntüsüne kar¸sılık gelen farklar sütunu.

Zeynep’in hesaplamalarıyla da gördü˘gümüz gibi bölgenin alanı olan A sayısı bu iki sayı arasında kalır. Yani A₄( f ) ≤ A ≤ Ü4( f ) olur. Böylece aradı˘gımız alan de˘gerine üstten ve alttan biraz daha yakla¸smı¸s oluruz. Ayrıca üst ve alt toplamlara giren dikdörtgenlerin farkı ile olu¸san fark dikdörtgenleri ¸Sekil 1.16’daki sü- tunu olu¸stururlar. Bu sütuna farklar sütunu diyelim. Farklar sütununun alanı ise

Ü₄( f ) − A4( f ) =

f (0)− f (1)

·1 4

olur ve bu adımdaki farklar sütununun alanı bir önceki adımdakinin yarısı olur.

Buraya kadar yaptıklarımızı [0, 1] aralı˘gının

0,1

n,2

n, . . . ,n− 1 n , 1

bölüntüsünü için tekrarlarsak boyları e¸sit ve 1

n br olan

0,1

n

, 1

n,2 n

, . . . ,  n − 2 n ,n− 1

n

,  n − 1 n , 1

alt aralıklarını elde ederiz. Bu alt aralıkların uzunlu˘gunu ∆x ile göste- rirsek ∆x = ¹

n olur. Böylece üst toplama girecek dikdörtgenlerin taban uzunlukları ¹_n birim, yükseklikleri ise bu alt aralıkların sol uçlarındaki fonksiyon de˘gerleri kadardır.

y = f (x ) =1− x²oldu˘gundan bu yükseklikler f (0) = 1−0²= 1, f 1

n

= 1 − 1 n

2

, f 2 n

= 1 − 2 n

2

, . . .,

f n − 1 n

= 1 − n − 1 n

2

olur. Üst toplam da

(19)

Alan Hesaplamaları 11

Ü_n( f ) = f (0)· ∆x + f 1 n

· ∆x + · · · + f  n − 1 n

· ∆x

=

f (0) + f 1 n

+ f 2 n

+ · · · + f n − 1 n

· ∆x

=

1− 0²+1 − 1 n

2

+1− 2 n

2

+ · · · + 1 − n − 1 n

2

·1 n

=

n−

1 n

2

+ 2 n

2

+ · · · + n − 1 n

2

·1 n

= 1−1 n

1²+ 2²+ · · · + (n − 1)² n²

olarak bulunur.

n n

n +1 n

2n + 1

6 (1²+ 2²+ · · · + n²)

= n(n + 1) (2n + 1)

Okay Arık:

http://demonstrations.wolfram.com/

AGeometricProofOfTheSquarePyra midalNumberFormula/

Aferin Zeynep. Alt aralıkların sa˘g uçları alınıp benzer i¸slemler yapılırsa

A_n( f ) = 1 −1 n

1²+ 2²+ · · · + n² n²

olarak elde edilir. Sonunda n’ye ba˘glı iki toplam elde ettik. Bu toplamlar içinde geçen n tane ardı¸sık do˘gal sayının kareleri toplamının

1²+ 2²+ 3²+ · · · + n²= n(n +1)(2n + 1) 6

oldu˘gunu veren güzel bir geometrik yakla¸sımı yanda görebilirsiniz. Bu toplamlarda n’yi sınırsız bir biçimde arttırarak üst toplamın limitini bul- maya çalı¸salım. Üst toplamı

Ü_n( f ) = 1 − 1 n

1²+ 2²+ · · · + (n − 1)² n²

olarak hesaplamı¸stık. Yukarıdaki kareler toplamı formülünde n yerine n− 1 yazarsak

1²+ 2²+ · · · + (n − 1)²=(n − 1) n (2n − 1) 6

(20)

olur. Bunu üst toplam formülünde yerine koyarsak Ü_n( f ) = 1 −1

n·(n − 1) n (2n − 1) 6n²

= 1−(n − 1)(2n − 1) 6n²

= 6n²− (2n²− n − 2n + 1) 6n²

= 4n²+ 3n − 1 6n² olur. ¸Simdi n→ ∞ için

nlim→∞Ü_n( f ) = lim

n→∞

4n²+ 3n − 1 6n² = lim

n→∞

4 6+ 3

6n− 1 6n²

= 4 6= 2

3 bulunur ve Ar¸simet’in iddiasının do˘grulu˘gu da görülmü¸s olur.

Hocam, üst toplamların limitini buldunuz ve Ar¸simet’in sonu- cunun do˘gru oldu˘gunu söylediniz. Alt toplamın limitinin de buna e¸sit olması gerekmez miydi?

x y

1 n

2 n 3

n i−1

n i

n n−1

n n n=1

¸

0, ¹_n,²_n,· · · , ⁿ⁻¹_n , 1

bölün- tüsüne kar¸sılık gelen fark dikdörtgenleri.

=

1 n 1

. ..

¸

0, ¹_n,²_n,· · · , ⁿ⁻¹_n , 1

bölün- tüsüne kar¸sılık gelen farklar sütunu.

Haklısın Zeynep. Üst toplamlara giren dikdörtgenlerle alt toplamlara giren dikdörtgenlerin farklarının olu¸sturdu˘gu fark sü- tununun tabanı 1

n, yüksekli˘gi ise f (0)− f (1) birimdir. Buradan, n son- suza giderken fark sütununun alanı sıfıra gider. Yani n → ∞ iken Ü_n( f ) − An( f ) = 1

n( f (0) − f (1)) → 0’dır. Böylece bu örnek için üst ve alt toplamların limitleri e¸sit olur. Bu da söz konusu alanın anlamlı bir de˘gere sahip oldu˘gunu gösterir. Tabii istersen alt toplamın limitini do˘g- rudan hesaplayıp gene 2

3 çıktı˘gını görebilirsin.

Belirli ˙Integral

Ar¸simet’in probleminin çözümünde izlenen yolla, negatif de-

˘

ger almayan bir y = f (x) sürekli fonksiyonunun belli bir [a, b] kapalı aralı˘gı üzerindeki parçasının altında kalan bölgenin ala- nını benzer i¸slemleri yaparak elde edebiliriz. Artık [a, b] aralı˘gı üzerinde

f’nin Belirli ˙Integrali diye adlandıraca˘gımız sayıyı tanımlayabiliriz.

(21)

Belirli ˙Integral 13

¸

Simdi tanımımızı verelim. f , [a, b] kapalı aralı˘gı üzerinde sürekli bir fonksiyon olsun. Önce [a, b] aralı˘gının (n−1) tane noktasını

a < x₁< x2< x3< · · · < xn−1< b

olacak ¸sekilde seçelim. a = x₀ ve b = x_n diyerek [a, b]’nin bir B = {x0, x₁, . . . , x_n} bölüntüsünü olu¸sturalım. B bölüntüsü [a, b]’yi [x₀, x₁], [x₁, x₂], . . . , [x_n₋₂, x_n₋₁], [x_n₋₁, x_n] biçiminde n tane alt ara- lı˘ga ayırır. Bu alt aralıklardan k = 1, 2, . . . , n olmak üzere bir [x_k₋₁, x_k] alt aralı˘gı seçelim. Bu alt aralık üzerinde fonksiyonun en küçük de˘gerine m_kve en büyük de˘gerine M_kdiyelim. Bu durumda ∆x_k= x_k− xk−1der- sek, her x ∈ [xk−1, x_k] için m_k∆x_k ≤ f (x)∆xk ≤ Mk∆x_k e¸sitsizli˘gini yazarız. ¸Simdi ¸su iki toplamı olu¸sturalım:

A_n( f ) = m₁∆x₁+ m₂∆x₂+ · · · + mn∆x_n Ü_n( f ) = M₁∆x₁+ M₂∆x₂+ · · · + Mn∆x_n

a x1 x2 xk−1xk

x_n−1xn=b y

x

M_k m_k

∆x_k Hocam, bu toplamlar daha önce olu¸sturdu˘gumuz alt ve üst

toplamlara benzedi.

Benzemek ne kelime Zeynep, bu iki toplam tamamen aynı.

Bu toplamlara sırasıyla B bölüntüsüne kar¸sı gelen alt ve üst toplamlar denir.

f, [a, b] aralı˘gında sürekli bir fonksiyon, α ∈ ve a < c < bolmak üzere

1)

a a

f (x)d x =0

2)

b a

α f (x)d x=α

b a

f (x)d x

3)

b a

f (x)d x =

c a

f (x)d x

+

b c

f (x)d x

olur.

Önceki örnekte bir bölüntüye kar¸sı gelen alt toplam daima üst toplamdan küçük oluyordu.

Benzer bir e¸sitsizli˘gi burada da yazabiliriz, yani B bölüntüsü için

A_n( f ) ≤ Ün( f )

yazılabilir. Fonksiyon sürekli oldu˘gu için bölüntü sayısı sonsuza ve alt aralıkların uzunlu˘gu sıfıra giderken alt ve üst toplamların aynı sayıya yakınsadı˘gı gösterilebilir. Bu sayıya A dersek

n→∞lim A_n( f ) = lim

n→∞Ü_n( f ) = A olur.

Bu A sayısına f ’nin [a, b] aralı˘gı üzerindeki belirli integrali diyece˘giz ve A sayısını

b a

f (x )d x

biçiminde gösterece˘giz. Belirli integralin tanımı kullanılarak birçok özel- lik elde edilebilir. Bunlardan bazılarını vitrinde görebilirsiniz.

(22)

Belirli integralin de˘geri daima pozitif midir?

a b

y

A

x f

¸

Sekil 1.19:

b a

f (x)d x =A.

a b

y

A

x

f

¸

Sekil 1.20:

b a

f (x)d x =−A.

Tabii ki hayır Engin. E˘ger her x ∈ [a, b] için f (x) ≥ 0 olu- yorsa

b a

f (x )d xbelirli integrali negatif olmayan bir sayıdır.

Bu sayı alttan [a, b] aralı˘gı, üstten f fonksiyonunun grafi˘gi ve yanlardan da x = a ve x = b do˘gruları ile sınırlı bölgenin alanına e¸sit olur.

Benzer biçimde e˘ger her x∈ [a, b] için f (x) ≤ 0 oluyorsa b

a

f (x )d x belirli integrali pozitif olmayan bir sayıdır. Bu sayı grafi˘gin [a, b] aralı˘gı altındaki parçası ve x-ekseni ile sınırlı bölgenin alanının eksi i¸saretlisi- dir.

Peki, grafi˘gin bir parçası x-ekseninin üzerinde, bir parçası da x-ekseninin altında ise durum ne olur?

Bu durumda belirli integral x-ekseninin üstünde ve altındaki alanların i¸saretli toplamına e¸sittir.

Söyleyin bakalım ¸Sekil 1.21’de verilen grafi˘ge göre 5

−2

f (x )d x’in de˘geri nedir?

1 2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

x y

A₁ A2

A3

¸

Sekil 1.21:

5

−2

f (x)d x =A1+ A2− A3.

A₁ ve A₂ x-ekseni üstünde kalan bölgelerin alanları oldu˘gu için pozitif i¸saretli, A₃ ise x-ekseninin altındaki grafikle sınırlı bölgenin alanı oldu˘gundan negatif i¸saretlidir. Bu durumda

5

−2

f (x )d x = A₁+ A₂− A3

= 2· 2

2 +(3 + 1) · 2 2 −2· 2

2 = 4 olur.

Anla¸sıldı ki grafikle sınırlı bölgeler, alanını hesaplayabilece˘gimiz üçgen, dörtgen vs. gibi geometrik ¸sekillerden olu¸suyorsa

i¸sler kolay. Ancak de˘gilse en azından bir üst ya da alt toplamı bulup n→ ∞ için limitine bakmalıyız. Bunun ba¸ska bir yolu yok mu hocam?

(23)

Belirsiz ˙Integral 15

Belirsiz ˙Integral

Var elbette! Bir büyüklük ba¸ska bir büyüklü˘ge göre de˘gi¸si- yorsa hangi hızla de˘gi¸sti˘gini bulmanın yöntemlerini, yani bir fonksiyonun türevini bulma yöntemlerini görmü¸stük. ¸Simdi bunun tersi olan problemin üzerinde duralım: Bir fonksiyonun türevini biliyorsak kendisini bulabilir miyiz? Örne˘gin belli bir (a, b) açık aralı˘gı içindeki her x için türevi F(x) = 3x² olan F(x) fonksiyonu nedir?

Kolay hocam, y = F (x) = x³fonksiyonudur.

Ama hocam, bu aralık üzerinde x³+ 2 fonksiyonunun türevi de 3x²olur. Yani y = x³+ 2 fonksiyonu da bunu sa˘glar.

Her x∈ [a, b] için F(x) = f (x) = G(x) ise

(G(x) − F(x))

= G(x) − F(x)

= f (x) − f (x) = 0 oldu˘gundan

G(x)− F(x) = c (sabit) ya da G(x) = F (x) + c olur.

Böylece, bir aralık üzerinde türevleri e¸sit olan iki fonksiyonun farkı sabittir.

Zeynep haklı. c bir sabit olmak üzere bu aralık üzerinde x³ + c fonksiyonunun türevi de 3x²’dir. c sabiti de˘gi¸stikçe sonsuz tane fonksiyon buluruz. O halde (a, b) aralı˘gında türev fonksiyonu verilmi¸sse, fonksiyonun kendisi ve türev fonksiyonu arasında ¸söyle bir ili¸ski kurabilirsiniz:

G(x ), türevi 3x² olan herhangi bir fonksiyon olsun. x³ fonksiyo- nunun türevinin de 3x² oldu˘gunu biliyoruz. O halde c bir sabit olmak üzere

G(x) = 3x²⇔ G(x) = x³+ c’dir.

Tanım Belli bir (a, b) aralı-

˘gındaki tüm x’ler için F (x) fonksiyonunun türevi f (x) fonksiyonuna e¸sit ise, yani F(x) = f (x) oluyorsa, F (x) fonksiyonuna f (x)’in bir il- keli denir.

Tanım Belli bir (a, b) aralı-

˘gında F (x) fonksiyonu, f (x) fonksiyonunun bir ilkeli ise, F (x) + c ailesine f (x) fonk- siyonunun belirsiz integrali denir ve

f (x)d x = F (x) + c

¸seklinde gösterilir.

Bu durumda c sabitinin her bir de˘geri için x³+ c fonksiyo- nuna 3x² fonksiyonunun bir ilkeli ve bu ilkellerin olu¸sturdu˘gu x³+ c fonksiyonlar ailesine de 3x² fonksiyonunun belirsiz integrali denir. Bu durum

3x²d x = x³+ c

biçiminde gösterilir. Bu gösterimde

simgesine belirsiz integral i¸sareti ve 3x²fonksiyonuna da integrali alınan (integrant) denir.

x³+c fonksiyonunun grafi˘gi x³fonksiyonunun grafi˘ginin c ka- dar kaydırılmı¸sı oldu˘gundan, bu ailenin her bir üyesinin gra-

fiklerini çizsek her biri x³ fonksiyonunun grafi˘ginin paralel kaydırılmı¸sı olan sonsuz tane e˘gri elde ederiz, de˘gil mi hocam?

(24)

Evet Engin, bu örnek için (a, b) = (−∞, +∞) = aralı˘gı seçilirse bu grafikler tüm düzlemi doldururlar. Düzlemde bir nokta seçildi˘ginde o noktadan geçen ve bu aileye ait olan bir tek fonksiyon vardır. Örne˘gin, bu aileye ait olan ve (1, 3) noktasından geçen fonksiyonu bulmak için y = x³+ c e˘grisinin denkleminde x yerine 1 ve y yerine 3 yazılırsa 3 = 1³+ c e¸sitli˘ginden c = 2 olarak bulunur. O halde (1, 3)’den geçen ilkel fonksiyon y = x³+ 2 olur.

y

x c =1

c =0

c =−1

¸

Sekil 1.22: x³+ 1, x³ ve x³− 1

e˘grileri. Hocam türev almak için kurallarımız vardı, integral için de

benzer kurallar var mıdır? Varsa bunların türev kurallarıyla il- gisi nedir?

Tabii ki var Selçuk. Öncelikle ¸sunu belirteyim ki, bir türev for- mülünü hemen bir integral formülüne dönü¸stürebiliriz. Örne-

˘

gin (x⁴)= 4x³ oldu˘gundan,

4x³d x = x⁴+ c

yazabiliriz. Ba¸ska örnekler için yandaki vitrine bakabilirsiniz.

Bu durumda türevi kullanarak bütün fonksiyonların belirsiz integralini hemen bulabiliriz. Bu i¸s bitmi¸stir diyebilir miyiz hocam?

(Kuvvet)

x^rd x = 1

r +1x^r+1+c (x > 0, r = −1 ve r ∈ )

(Logaritmik) 1

xd x =ln x +c, (x > 0) (Üstel)

e^axd x =1

ae^ax+c (a = 0)

Maalesef Engin! Türev kuralları sistematik bir ¸sekilde uygula- narak çok karma¸sık fonksiyonların türevleri bulunabilir. An- cak bazı basit fonksiyonların bile belirsiz integralini bulmak çok zor, hatta belli bir anlamda imkansız olabilir.

Olası bazı durumlar için birçok integral alma yöntemi geli¸stirilmi¸stir.

Bu yöntemlere geçmeden birkaç genel kuralı verelim: Herhangi f ve g fonksiyonları ve bir a sayısı için

a f (x )d x = a

f (x )d x

( f (x) ± g(x))d x =

f (x )d x±

g(x )d x

olur.

(25)

Belirsiz ˙Integral 17 Birinci e¸sitlikte sabitle çarpılmı¸s bir foksiyonun belirsiz integralinde

sabitin integral dı¸sına çıkabilece˘gini söylüyoruz. ˙Ikinci e¸sitlikte ise iki fonksiyonun toplamı ya da farkının integralinin, integraller toplamı ya da farkı olarak yazılabilece˘gini belirtiyoruz.

Bunlara birer örnek verseniz hocam.

Önce basit örneklerden ba¸slayalım. Söyleyin bakalım

x + 1 x³

d x

integralini kim çözecek?

˙Integrali toplam üzerine da˘gıtarak ba¸slıyorum hocam.

x + 1

x³

d x =

x d x + 1

x³d x

=

x d x +

x⁻³d x

Sonra da bu integrallere kuvvet formülünü uygularsam

x + 1 x³

d x =1

2x²+ c₁−1

2x⁻²+ c₂ elde ederim.

Evet Engin, gayet güzel. ˙Integral sabitlerinin toplamına c = c₁+ c₂ dersek

x + 1

x³

d x = 1 2x²−1

2x⁻²+ c

= 1

2x²− 1 2x² + c olur.

¸

Simdi de

5e^−2xd x belirsiz integralini bulun bakalım.

(26)

Önce çarpım halindeki sabiti integralin dı¸sına alalım.

5e^−2xd x =5

e^−2xd x

¸

Simdi de üstel integral formülünü uygularsak

5e^−2xd x = 5

e^−2xd x

= 5

−1

2e^−2x+ c₁

= −5

2e^−2x+ 5c₁ olur. c = 5c₁dersek

5e^−2xd x =−5

2e^−2x+ c elde ederiz.

˙Integrantı, iki fonksiyonun toplam veya farkı biçiminde, ya da sabitle bir fonksiyonun çarpımı biçiminde olan integrallerin

nasıl alındı˘gını gördük hocam. ˙Integrant iki fonksiyonun çarpımı biçi- mindeyse, bunların integrali çarpıma giren fonksiyonların integrallerinin çarpımına e¸sit midir?

Hayır Engin, istersen bunu basit bir örnek üzerinde görelim.

˙Integrantı f (x) = x² = x · x fonksiyonu olan bir integral, g(x ) = x’in integrali ile h(x) = x’in integralinin çarpımına e¸sit de˘gildir.

Yani,

(x · x) d x =

x d x

olur.

Bu e¸sitlik olsaydı,

x d x = x²

2 + c₁ve

x d x = x²

2 + c₂ oldu˘gundan

(x · x) d x = x²

2 + c₁

x² 2 + c₂

= x⁴

4 + c₁x²

2 + c₂x² 2 + c₁c₂ elde edilirdi. Ancak c₁ve c₂sabitleri ne olursa olsun e¸sitli˘gin sa˘g yanının türevi, integranta, yani x² fonksiyonuna e¸sit olamaz.

(27)

Belirsiz ˙Integral 19 Peki iki fonksiyonun çarpımının integralini nasıl bulaca˘gız ho-

cam?

˙Iki fonksiyonun çarpımının türev formülü bize, çarpımların integrallerinin alınması için yararlı bir kural çıkarmamızı sa˘g- lar. Türevin çarpım kuralı olan

f (x )g(x )

= f(x)g(x) + f (x)g(x) e¸sitli˘ginden

f (x )g(x)d x = f (x)g(x) −

f(x)g(x)d x

formülünü elde ederiz. Buna kısmi integrasyon formülü denir.

Baya˘gı uzun bir formül oldu hocam. Üstelik integralden de kurtulmu¸s de˘giliz.

Haklısın Gökçe. Bu formül H(x) = f (x)g(x) fonksiyonunun integralini G(x) = f(x)g(x)’in integraline indirger. ˙I¸sin püf noktası H(x) fonksiyonu için f (x) ve g(x) fonksiyonlarının seçimidir.

˙Iyi bir seçim di˘ger integrali kolayca çözülür hale dönü¸stürebilir.

¸ Simdi

x e^2xd x integralini kim çözecek? Yani x e^2x fonksiyonunun bir ilkelini kim bulacak?

Ben deneyeyim hocam. Önce integrantı f (x)g(x) çarpımı bi- çiminde yazalım. f (x) = x ve g(x) = e^2x dersek

f(x) = 1 olur ve g(x) =

g(x)d x =

e^2xd x =1

2e^2x alabiliriz.

Buradan

f (x )g(x)d x = f (x)g(x) −

g(x ) f(x)d x

x e^2xd x = x·1 2e^2x−

1

2e^2x· 1d x =1

2x e^2x−1 2·1

2e^2x+ c olur.

(28)

˙Integrantı iki fonksiyonun çarpımı biçiminde olan tüm integrallerde bu formülü mü kullanaca˘gız hocam?

Tabii ki hayır. ˙Integrantı iki fonksiyonun çarpımı biçiminde olan integrallerde türevler için bilinen zincir kuralını yararlı bir integral alma yöntemine çevirebilirsiniz. Bunu önce basit bir örnek üzerinde görelim. Sonra yöntemi açıklayalım. Örne˘gin;

(x²+ 2)²⁰2x d x integrali verilsin.

Bunu kısmi integralle biraz zor çözersiniz. (x²+2)²⁰ifadesi (x²+2) ’nin kendisiyle 20 kez çarpımı oldu˘gundan çarpımı yapsanız i¸s uzar da uzar.

Bunun yerine (x²+ 2)²⁰ ifadesinde x²+ 2’yi yeni bir de˘gi¸sken olarak alıp integranttaki di˘ger çarpımın bunun x’e göre türevi olup olmadı˘gını kontrol ederiz. Yani u = x²+ 2 deyip ^du_{d x}’in 2x’e e¸sit olup olmadı˘gına bakarız. u= ^du_{d x} = 2x oldu˘gundan aradı˘gımızı bulmu¸s oluruz. Böylece du = ud x =2x d x olaca˘gından integral yeni u de˘gi¸skeni ile

u²⁰du basit integraline dönü¸sür. Sonuç olarak integral

u²⁰du = u²¹ 21 + c olur.

u, x²+ 2 idi. u yerine tekrar x²+ 2 yazılırsa

(x²+ 2)²⁰2x d x =(x²+ 2)²¹

21 + c

bulunur.

Örnekten anladı˘gım kadarıyla, çarpım halindeki iki fonksiyon- dan biri di˘gerinin bir parçasının türevi oluyorsa öncelikle bu yolla çözmeyi denemekte yarar var, de˘gil mi hocam?

Fonksiyonun bir parçası ne demek bilmiyorum, ama söyledi-

˘gin kula˘ga fena gelmiyor. Genel olarak

f (g(x ))g(x)d x

integralini ele alalım. Dikkat ederseniz integrant f (g(x)) bile¸ske fonksi- yonu ile g(x)’in türevinin çarpımından olu¸suyor. Bu durumda u = g(x)

(29)

Temel Teoremler 21

dersek ^du

d x = g(x) ya da du = g(x)d x olur. Böylece integral

f (u)du biçimine dönü¸sür. f (u)’nun bir F(u) ilkeli varsa

f (u)du = F (u) + c olur ve bu da

f (g(x ))g(x)d x = F(g(x)) + c oldu˘gunu verir. Buna integralde de˘gi¸sken de˘gi¸stirme denir.

Temel Teoremler

Buraya kadar belirli ve belirsiz integral alma teknikleri hak- kında az da olsa bir fikir edindiniz. ¸Simdi de sürekli bir f fonksiyonu ile bu fonksiyonun grafi˘ginin sınırladı˘gı alan arasındaki ili¸s- kiyi inceleyelim.

a b

y

A(x)

x f

x

¸

Sekil 1.23: A(x) alan fonksiyonu.

a b

y

A(x)

x f

x

a b

y

A(x + ∆x)− A(x)

x f

x x +∆x

¸

Sekil 1.24: A(x + ∆x)− A(x) ¸se- ridinin alanı.

a b

y

x f

x k f (k)

x +∆x

¸

Sekil 1.25:

A(x + ∆x)− A(x) ∼= f (k)∆x.

f sürekli bir fonksiyon ve [a, b] aralı˘gı içindeki her bir x için f (x) pozitif olsun. [a, b] aralı˘gı içindeki bir x için, f ’nin grafi˘gi altında ve [a, x] aralı˘gı üzerindeki alanı A(x) ile gösterelim. x de˘gi¸stikçe A(x), x’in bir fonksiyonu olur. Bu durumda A(x) = f (x) olur. Bunun do˘grulu˘gunu

¸söyle sezinlemeniz mümkündür:

¸

Sekildeki taralı alanı A(x) ile göstermi¸stik. ∆x sıfıra çok yakın bir sayı olsun. [a, b] içinde x’i ∆x kadar hareket ettirelim. x + ∆x nokta- sına gelelim. Bu durumda A(x) alanı çok az bir büyümeyle A(x + ∆x) sayısına e¸sit olacaktır. Bu durumda A(x + ∆x)− A(x) ince ¸seridin alanı olur. Bu ¸seridi çok çok küçük tuttu˘gumuzda alanının, yakla¸sık olarak ta- banı [x, x + ∆x] aralı˘gı ve yüksekli˘gi [x, x + ∆x] aralı˘gı içindeki bir k noktasının f (k) görüntüsü olan dikdörtgenin alanına e¸sit oldu˘gunu söyleyebiliriz. Bu durumu

A(x + ∆x)− A(x) ∼= f (k)∆x

biçiminde yazalım. Ancak ∆x→ 0 oldu˘gunda f (k) de˘gerleri f (x)’e yak- la¸sacaklardır. Bu da tam olarak;

A(x) = lim

∆x→0

A(x + ∆x)− A(x)

∆x = f (x)

olması demektir. Böylece a ile b arasındaki her x için A(x) = f (x)

olur. Sizce bunun bir ba¸ska anlamı var mıdır?