(10.16) x ∈ [−L, L] ise F L (x) = f (x) di˘ ger durumda 0

PROBLEMLER 5

A¸sa˘ gıdaki kimi sorularda Lebesgue Sınırlı Yakınsama teoremini hatırlamanızda yarar vardır.

Problem 5.1 f : R → C fonksiyonu L ¹ (R)uzayında olsun.

(10.16) x ∈ [−L, L] ise F _L (x) = f (x) di˘ ger durumda 0

F _L fonksiyonunun L(R) ve L → ∞ iken R |f _L − f | → 0 oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

Problem 5.2 Ger¸cel de˘ gerli ve a¸sa˘ gıdaki anlamda yerel integrallenebilir, yani f : R → R fonksiyonunun

(10.17) g _L (x) =  f (x), x ∈ [−L, L]

0, x ∈ R − [−L, L]

fonksiyonu her L tamsayısı i¸cin Lebesgue integrallenebilirdir ko¸sulunu sa˘ glayan f i¸cin

1) Her sabit L sayısı i¸cin

(10.18) g _L ^N (x) =







g L (x), g L (x) ∈ [−N, N ] N, g _L (x) > N

−N, g _L (x) < −N

fonksiyonunun Lebesgue integrallenebilir oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

2)N → ∞ iken R |g _L ^{(N )} − g _L | → 0 g¨ osteriniz.

3) Bulunabilinecek h _n basamak fonksiyonları dizisi i¸cin, hemen her yerde (10.19) h _n (x) → f (x)

g¨ osteriniz.

4)

(10.20) L ^{(N )} _n,L (x) =



 



 



0, x / ∈ [−L, L]

h n (x), h n (x) ∈ [−N, N ], x ∈ [−L, L]

N, h _n (x) > N, x ∈ [−L, L]

−N, h _n (x) < −N, x ∈ [−L, L]

Bu durumda n → ∞ iken R |h ^N _n − g ^N _L | → 0 g¨ osteriniz.

1

Problem 5.3 L ² (R) uzayının Hilbert uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz. ¨ Once ger¸cel sayılarla ¸calı¸sarak L ² (R) uzayını f : R → R, |f | ² ve yukarıdaki anlamda yerel integrallenebilir fonksiyonlar olarak tanımlayınınz. (1) B¨ oylesi f fonksiyonları i¸cin h n se¸cip g L , g _L ^{(N )} h ^{(N )} n fonksiyonlarını (10.17),(10.17) ve (10.18) ve (10.20) g¨ ore tanımlayınız.

(2) Sabit N ve L sayıları i¸cin h ^{(N )} _n,L dizisini kullanarak g _L ^{(N )} , (g _L ^{(N )} ) ² fonksiy- onlarının L ¹ (R) uzayında ve n → ∞ iken R |(h ^{(N )} _n,L ) ² − (g ^{(N )} _L ) ² | → 0 g¨ osteriniz.

(3) (g L ) ² ∈ L ¹ (R) ve N → ∞ iken R |(g _L ^{(N )} ) ² − (g _L ^{(N )} ) ² | → 0 g¨ osteriniz.

(4) L → ∞ iken R |(g L ) ² − f | ² → 0 g¨ osteriniz.

(5) f, g ∈ L ² (R) ise f g ∈ L ¹ (R) ve (10.21) |

Z

f g| ≤ Z

|f g| ≤ ||f || _L

||g|| _L

, ||f || ² _L

= Z

|f | ² g¨ osteriniz.

(6) Yukarıdakileri kullanarak L ² (R) uzayının vekt¨or uzayı oldu˘gunu g¨osteriniz.

(7) N sıfırımsı fonksiyonlar ise L ² (R) = L ² (R)/N uzayının ger¸cel bir Hilbert uzayı oldu˘ gunu g¨ osteriniz.

(8) Yukarıdakileri karma¸sık sayılara geni¸sletiniz.

Problem 5.4

(10.22) h ^2,1 = {c : N 3 j → c j ∈ C, X

j

(1 + j ² )|c _j | ² < ∞}

le tanımlanan dizi uzayları i¸cin

(10.23) h ^2,1 × h ^2,1 : (c, d) →< c, d >= X

j

(1 + j ² )c _j d _j

i¸c¸carpımının h ^2,1 uzayını Hilbert uzayı yapan Hermitsel bir i¸c¸carpım oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve ∀c ∈ h ^2,1 i¸cin

(10.24) h ^2,1 ⊂ l ² , ||c|| ₂ ≤ ||c|| _2,1 g¨ osteriniz.

Problem 5.5 Ayrık uzaylarda Riesz Temsil teoremini do˘ grudan kanıtlayınız.

Ayrık Hilbert uzayı H i¸cin ortonormal (e _i ) tabanı se¸ciniz. E˘ ger T : H → C sınırlı ve do˘ grusal bir fonksiyonel ise

(10.25) w _i = T (e _i ), i ∈ N

2

tanımlayınız.

(1) S ¸imdi bir C sayısı i¸cin, |T u| ≤ C||u|| sa˘ glandı˘ gını anımsayarak her N tamsayısı i¸cin

(10.26)

N

X

j=1

|w _i | ² ≤ C ² g¨ osteriniz.

(2) (w _i ) dizisinin l ² oldu˘ gunu g¨ osteriniz ve (10.27) w = X

i

w _i e _i ∈ H g¨ osteriniz.

(3) Her u ∈ H i¸cin,

(10.28) T (u) =< u, w > _H ve ||T || = ||w|| _H g¨ osteriniz.

3