Giri¸s
Merhaba de˘gerli arkada¸slar. Bugünkü dersimizin konusu oyun-lar kuramıdır. Bu derste biz oyunoyun-lar kuramı hakkında en te-mel bilgileri vermeyi amaçlıyoruz. Oyun dedi˘gimizde ilk akla gelenler tavla, dama, satranç, briç, poker vs. gibi oyunlardır. Ancak oyunlar ku-ramının üzerinde durdu˘gu problemler daha çok ekonomi, biyoloji, harp gibi alanlardandır. Bu problemlerde farklı amaçları olan taraflar (oyun-cular) söz konusu olmaktadır. Oyunlar kuramı rekabet, kar¸sıdurma içe-ren olayları matematiksel yöntemlerle incelemektedir.
¸
Sekil 8.1: George Bingham- Dama
Oyuncuları-1850.
Ben bu oyunlar kuramını iyi ö˘grenirsem kumarhanelerde iyi paralar kazanabilir miyim?
O tür oyunların fazla matemati˘gi yoktur. Orada matematik sadece oyunlardaki beklentileri, yani çok defa oynadı˘gında kazanıp-kazanmayaca˘gını hesaplamada i¸se yarayabilir. Bu beklentiler ise genelde negatiftir. Kumarhanelerden kazandı˘gı paralarla kimse zen-gin olmamı¸stır ve dolayısıyla e˘ger oraya gidersen büyük ihtimalle cebin-deki paraları da koyup çıkarsın.
Yukarıda söylendi˘gi gibi oyunlar kuramı rekabet, kar¸sıdurma, mücadele içeren olayların matematiksel modellerini ele al-maktadır. Oyuncuların (tarafların) ellerindeki bilgiler, oyuncular arasın-daki münasebetler, tek veya çok hamle vs. durumlarına göre oyunların çe¸sitleri vardır. Ancak biz en basit oyun modelini ele alaca˘gız. Bu mo-delde oyuncular, onların ellerindeki strateji kümeleri ve her bir oyun-cunun kazanç fonksiyonu vardır. Bu fonksiyonlar strateji kümeleri üze-rinde tanımlıdırlar. Yani her bir oyuncu tek hamle ile aynı anda birer st-rateji seçti˘ginde bu stratejilere ba˘glı olarak her oyuncunun kazanç fonk-siyonu belli bir de˘ger almaktadır. Oyuncu öyle bir strateji seçmelidir ki kazanç fonksiyonu (kazancı) maksimum olsun.
185
Çünkü, oyunlarda oldu˘gu gibi burada da 1) Belli bir kural söz konusudur.
2) Her bir oyuncunun kazancı bir tek kendi seçti˘gi stratejiye ba˘glı olmayıp, di˘ger oyuncuların seçtikleri stratejilere de ba˘glıdır. 3) Her bir oyuncu strateji seçerken di˘ger oyuncuların strateji
küme-lerini, kazanç fonksiyonlarını biliyor ancak hangi stratejiyi seçece-˘
gini bilmemektedir.
Bu özellikler, her bir taraf için en iyi strateji seçme problemine bu taraflar arasında bir oyun karakteri vermektedir.
Oyuncuların tek hamle yaptıklarını tekrar vurgulayalım. Karma st-ratejiler kullanılırken oyunların tekrarlanması varsayılmaktadır. O ko-nulara girmeyece˘giz.
Strateji, kazanç fonksiyonu derken kafamız karı¸stı hocam, bir örnek verseniz.
Ta¸s, makas, kâ˘gıt oyununu biliyorsunuzdur herhalde.
Yoksa oyun mu oynayaca˘gız hocam?
Neden olmasın. Ama bu oyun yardımıyla kavramları açıkla-maya çalı¸salım. ¸Simdi oyunun kurallarını bir hatırlayalım.
Çocukken çok oynamı¸stık. ˙Iki ki¸si ile oynanan bir oyundu. ˙Iki ki¸si aynı anda ta¸s, makas veya kâ˘gıttan birini seçip söyler.
Ku-ralları ise ¸söyledir: kâ˘gıt ta¸sı sarar, makas ka˘gıdı keser ve ta¸s da makası kırar.
Bu oyunu Zeynep ile Gökçe’nin oynadı˘gını varsayalım. Buna göre de her birinin seçti˘gi stratejiye göre elde edecekleri geti-rileri hesaplamaya çalı¸salım.
Zeynep’in seçeneklerine bakarsak “ta¸s”, “makas” veya “kâ˘gıt” diyebilir. Buna göre Zeynep’in strateji kümesine X dersek,
X ={ta¸s, makas, kâ˘gıt}
olur. Benzer durumda Gökçe’nin strateji kümesine de Y dersek bu küme de
Y ={ta¸s, makas, kâ˘gıt}
olacaktır. ¸Simdi her birinin seçimine göre getirilerini hesaplayalım.
Zeynep’in ta¸s dedi˘gini varsayalım. Bu durumda Gökçe de ta¸s derse her ikisi sıfır puan alsın. Di˘ger bir ifadeyle getirileri 0 olsun.
E˘ger Gökçe makas dediyse ta¸s makası parçalayaca˘gından Zeynep’in getirisi 1, Gökçe’nin getirisi−1 olsun. E˘ger Gökçe ka˘gıt derse kâ˘gıt ta¸sı sardı˘gından Zeynep’in getirisi−1, Gökçe’nin getirisi 1 olsun.
Hocam bunu bir tablo ¸seklinde göstersek daha iyi olmaz mı?
Evet Zeynep. Senin ta¸s demen durumunda, getiri tablosunu Gökçe
Zeynep
T M K
T (0, 0) (1, −1) (−1, 1)
¸seklinde yazalım. Burada örne˘gin (1,−1) ikilisi ¸sunu temsil ediyor: Zey-nep ta¸s ve Gökçe makas dedi˘ginde, Zeynep’in getirisi 1 ve Gökçe’nin getirisi−1’dir.
Zeynep’in makas dedi˘gini varsayarsak da ¸söyle gösterebiliriz: Gökçe
Zeynep
T M K
M (−1, 1) (0, 0) (1, −1)
187
Bravo Selçuk. Zeynep’in kâ˘gıt demesi durumunda üçüncü sa-tırı da yazarak hepsini birle¸stirirsek,
Gökçe Zeynep T M K T M K (0, 0) (1, −1) (−1, 1) (−1, 1) (0, 0) (1, −1) (1, −1) (−1, 1) (0, 0)
¸seklinde bir tablo elde ederiz. Bu tabloya oyunun matrisi diyece˘giz. Yal-nız ¸suna dikkat edelim ki, bu matrisin elemanları birer sayı de˘gil, bi-rer sayı ikilileri. ˙Ikilinin birinci terimi Zeynep’in getirisini, ikinci terimi de Gökçe’nin getirisini gösteriyor. Bütün ikililer için getirilerin toplamı, yani ikilinin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı sıfırdır. Bu nedenle bu oyuna sıfır toplamlı bir oyun denir.
Bu oyunu kim kazanır hocam?
Stratejilerin birbirlerine göre bir avantajı olmadı˘gından çok defa oynandı˘gında oyuncular bu stratejileri a¸sa˘gı yukarı e¸sit sayıda yani rastgele seçmelidirler. Dolayısıyla çok defa oynanırsa oyun toplamda berabere biter.
Hocam, bu oyunun sıfır toplamlı oldu˘gunu söylediniz. Sıfır toplamlı olmayan oyunlar da var mı?
Oyunlar kuramında sıfır toplamlı olmayan oyunlar önemli yer tutmaktadır. Bu kuramın klasik bir örne˘gi olan “Tutuklu ˙Iki-lemi” oyununu ele alalım. Polis bir cinayetin iki ki¸si tarafından birlikte i¸slendi˘ginden ¸süphelenmektedir. Bu ¸süpheliler ayrı odalarda polis ta-rafından sorgulanıyor. Her iki tutuklunun iki stratejisi vardır: susmak veya cinayeti birlikte i¸slediklerini itiraf etmek. Susma stratejisine S, iti-raf etme stratejisine ˙I dersek her iki tutuklunun stratejiler kümesi{S,˙I} olmaktadır.
Yasalar gere˘gi alacakları cezalar ¸söyledir ve ¸süpheliler de bu cezaları bilmektedirler:
- Her ikisi de susar ise cinayet kanıtlanmamı¸s olur ve ¸süpheliler ruh-satsız silah bulundurmaktan birer yıl ceza alır.
- Biri susar di˘geri beraber yaptıklarını itiraf ederse susan ki¸si 10 yıl ceza alır, itiraf eden ki¸si ise polise yardım etti˘gi için serbest kalır.
Bu oyunun da matrisini yazalım. Her bir oyuncunun iki strate-jisi oldu˘gu için bu matris 2× 2 boyutlu olacaktır.
Aferin Gökçe. Tutuklular alacakları cezayı azaltmaya çalı¸sa-cakları ve oyunların genel tanımı gere˘gi oyuncular getirile-rini maksimize etmeye çalı¸stıkları için cezaları negatif sayılar olarak ya-zalım. Örne˘gin tutuklular birer yıl ceza alıyorlarsa onların getirilerinin (−1, −1) ikilisiyle verilmesi uygundur.
Hocam, o zaman oyunun matrisini I I. Tutuklu S ˙I I. Tutuklu S ˙I (−1, −1) (−10, 0) (0, −10) (−6, −6) ¸seklinde yazabilir miyiz?
Evet. Matristeki ikililerde birinci terim I. tutuklunun, ikinci terim ise I I. tutuklunun alaca˘gı cezayı ifade ediyor. Bu ikili-lerde birinci terimle ikinci terimin toplamı sıfır olmadı˘gı için bu bir sıfır toplamlı olmayan oyundur.
Hocam, bir oyunun sıfır toplamlı olması için matristeki tüm ikililerde birinci terimle ikinci terimin toplamı sıfır mı olmalı-dır?
Evet, bu özellik tüm ikililer için sa˘glanmalıdır.
Bu oyunda tutukluların hangi stratejiyi, susmayı mı yoksa iti-raf etmeyi mi seçmesi mantıklıdır?
Gökçe istersen bunu Selçuk’a soralım. Selçuk, I. tutuklunun yerinde olsaydın neyi seçerdin?