Pınar Hocam konular zorla¸sıyor, acaba toplanıp sizde mi ça-lı¸ssak. Baksanıza, Zeynep hariç herkesin size tek otobüsle gel-mesi mümkün.
Neden olmasın Selçuk. Ne de olsa Zeynep hariç hepinizle kom¸suyuz. Evlerimiz yan yana olmasa da bizim durumu yan-sıtan çizgeye göre (¸Sekil 5.9) kom¸suyuz.
p m s e z g ¸
Sekil 5.9: Ki¸silerin evlerini ve
bu evler arasında tek otobüs ile ula¸sımın mümkün olup olmadı-˘
gını gösterir diyagram.
Bir çizgenin u ve v gibi iki kö¸se noktası arasında bir kenar varsa, bu noktalara kom¸su noktalar denir. Buna göre ¸Sekil 5.9 ile verilen çizgede p kö¸se noktasının kom¸su noktaları e, g, s ve m iken, mkö¸se noktasının kom¸su noktaları p ve s olur.
Königsberg Köprüleri
Arkada¸slar, çizge kuramına ait belki de en eski sonuç 18. yüz-yılda Leonhard Euler tarafından ke¸sfedilmi¸stir. Bu sonuç Kö-nigsberg (¸simdiki adıyla Kaliningrad)’de ya¸sayan halkın ortaya attı˘gı bir soru üzerine elde edilmi¸stir.
Königsberg ¸sehri, Pregel nehrinin kolları ile dört farklı böl-geye ayrılmaktaydı ve nehrin üzerinde yer alan yedi köprüyle de bu bölgeler birbirine ba˘glanmaktaydı (¸Sekil 5.10).
0 1 2 3 4 5
-1 0 1
¸
Sekil 5.10: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdı˘gı bölgeleri ve bu bölgeleri birbirine ba˘glayan köprüleri gösteren kroki.
Gökçe, söyle bakalım. Her köprüden bir kez geçerek bu ¸se-hirde bir gezinti yapmak mümkün mü?
Tüm köprülerden geçilecek, ama sadece bir kez. . . Hocam he-men söyleyemeyece˘gim, birkaç deneme yapmam lazım.
Gökçe istersen i¸sleri kolayla¸stırmak için bölgeleri a, b, c, d ¸seklinde, köprüleri de 1, 2, . . . , 7 diye adlandıralım (¸Sekil 5.11).
0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 a b c d 1 2 3 4 5 6 7 ¸
Sekil 5.11: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdı˘gı bölgelerin ve nehrin üzerindeki köp-rülerin adlandırılı¸sı.
O zaman a bölgesinden ba¸slıyorum ve 4 numaralı köprüyü kullanarak d bölgesine geçiyorum. Sonra, 5 numaralı
köprü-den c bölgesine geçiyorum. ¸Simdi de 6 numaralı köprüyü kullanarak tekrar a bölgesine geliyorum. ¸Simdi kesinlikle 7 numaralı köprüyü kul-lanmamalıyım aksi halde c bölgesiyle ba˘glantılı tüm köprüleri kullan-dı˘gım için c bölgesinde sıkı¸sır kalırım. Bu yüzden 2 numaralı köprüyle b bölgesine geçiyorum. ¸Simdi ya 1 ya da 3 numaralı köprüyü kullan-malıyım. E˘ger 3 numaralı köprüyü kullanırsam d bölgesiyle ba˘glantılı tüm köprüler kullanılmı¸s olaca˘gından d bölgesinde sıkı¸sıp kalaca˘gım. O yüzden 1 numaralı köprü ile a bölgesine geçiyorum. a bölgesiyle ba˘ g-lantılı kullanılmayan tek köprü 7 numaralı köprü oldu˘gu için 7 numa-ralı köprü ile c bölgesine geçiyorum. Bu durumda c bölgesi ile ba˘glantılı tüm köprüler kullanıldı˘gından ve her köprü bir kez kullanılaca˘gı için c bölgesinden çıkmak mümkün de˘gil. Ne yazık ki 3 numaralı köprü hiç kullanılmamı¸s oldu.
a→ d4 → c5 → a6 → b2 → a1 → c7
Königsberg Köprüleri 111
Gökçe yanlı¸s yerden ba¸slarsan tabii bulamazsın. Bak ¸simdi, ben nasıl bulaca˘gım. Ben c bölgesinden ba¸slıyorum ve 5
nu-maralı köprüyle d bölgesine geçiyorum. Sonra 4 nunu-maralı köprüyle a bölgesine geliyorum. Daha sonra 2 numaralı köprüyle b bölgesine, bu-radan 3 numaralı köprüyle de d bölgesine ve. . . Eyvah! d bölgesinin tüm köprülerini kullanmı¸sım. d bölgesinde hapis kaldım.
c→ d5 → a4 → b2 → d3
Hocam ben de bulamadım. En iyisi cevabı siz söyleyin. Hangi yolu takip edece˘giz?
Arkada¸slar aslında böyle bir gezintinin yapılması mümkün de-˘
gil. Mete Hoca sizi biraz u˘gra¸stırdı ama ba¸ska türlü de prob-lem bu kadar anla¸sılır hale gelmezdi. ¸Simdi neden böyle bir gezinti yap-manın mümkün olmadı˘gını anlamaya çalı¸salım. Böyle bir gezinti var olsa ve a bölgesinden ba¸slamasa bu gezinti mutlaka a bölgesine u˘ graya-cak de˘gil mi?
Evet hocam u˘gramak zorunda. Her köprüden bir kez geçilece-˘
gine göre ve a bölgesiyle ba˘glantılı be¸s tane de köprü oldu˘guna
göre bu gezinti a bölgesine u˘gramalı. 0 1 2 3 4 5
-2 -1 0 1 a b c d 1 2 3 4 5 6 7
Zeynep çok güzel. O zaman a bölgesinden ba¸slamayan ve her köprüden bir kez geçen bu gezinti mutlaka a bölgesine u˘grayacak.
¸
Simdi a bölgesiyle ba˘glantılı be¸s köprüden birini a bölgesine gelmek için kullandık. Di˘ger dört köprünün de kullanılması gerekece˘gine göre biriyle a bölgesinden ayrılaca˘gız, kalanlardan biriyle tekrar a bölgesine gelece˘giz, tekrar ayrılaca˘gız ve tekrar geldi˘gimizde a bölgesiyle ba˘ glan-tılı tüm köprüleri kullanmı¸s olaca˘gız.
O zaman a bölgesinden ba¸slamayan ve her köprüden bir kez geçen bir gezinti varsa bu gezinti a bölgesinde bitmeli.
Ama hocam bir hata olmalı. Sizin mantı˘gınıza göre b bölge-sinden ba¸slamayan ve her köprüden bir kez geçen bir gezinti
de mutlaka b bölgesine gelmeyecek mi? b bölgesiyle ba˘glantılı olan üç köprü var. Birisini b bölgesine ula¸smak için kullandık. Di˘ger ikisiyle de bbölgesinden ayrılıp, tekrar b bölgesine gelece˘giz. Ba¸ska da köprü ol-madı˘gından b bölgesinde durmak zorundayız.
Yani, b bölgesinden ba¸slamayan ve her köprüden bir kez geçen bir gezinti b bölgesinde biter.
Selçuk aynısı c bölgesi için de oluyor. Yani, c bölgesinde ba¸sla-mayan ve her köprüden bir kez geçen bir gezinti c bölgesinde bitiyor. Bu sefer Pınar Hoca hatalı galiba.
Arkada¸slar sizi tebrik ediyorum. Çok güzel bir ke¸sif yaptınız, gerçekten de a bölgesinden ba¸slamayan böyle bir gezinti a bölgesinde bitmeli. Aynı zamanda b bölgesinden ba¸slamayan bu ¸sekil-deki bir gezinti b bölgesinde de bitmeli. Hatta, c bölgesinden ba¸slama-yan bu tür bir gezinti c bölgesinde de bitmeli. Kontrol etmek hiç de zor de˘gil aynı ¸sekilde d bölgesinden ba¸slamayan böyle bir gezinti d bölge-sinde de bitmelidir. Bunun sebebi her bölge ile ba˘glantılı olan köprülerin sayısının tek olmasıdır.
O zaman, örne˘gin, b bölgesinden ba¸slayan bu tür bir gezinti hem a, hem c hem de d bölgesinde bitmeli. Bu ise olanaksız. Buradan çıkaraca-˘
gımız sonuç böyle bir gezintinin mümkün olmadı˘gıdır.
Peki hocam ba¸ska bir ¸sehir verilse ve böyle bir gezinti var mıdır diye sorulsa, vardır ya da yoktur demenin daha kolay bir yolu yok mu?
Var tabii Selçuk. Bunun için önce bu konunun çizgelerle olan ili¸skisini verelim. Verilen krokideki bölgeleri kö¸se noktaları, bölgeler arasındaki köprüleri de kenarlar olarak dü¸sünürsek bir çizge elde ederiz (¸Sekil 5.12).
Königsberg Köprüleri 113 0 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 a b c d 1 2 3 4 5 6 7 a c b d ¸
Sekil 5.12: Pregel nehrinin Königsberg’de ayırdı˘gı bölgeleri gösteren kroki ve bu kro-kiye kar¸sılık gelen çizge.
¸
Simdi gezintimizi çizgenin kenarlarını kullanarak bu çizge üzerinde yapabiliriz. Örne˘gin, a kö¸se noktasından d kö¸se nok-tasına bu iki noktayı birle¸stiren kenar üzerinden gidip sonra da d kö¸se noktasından c kö¸se noktasına bu kö¸se noktalarını birle¸stiren kenar üze-rinden gidersek, a kö¸se noktasından c kö¸se noktasına a→ d → c ¸sek-linde bir gezinti yapmı¸s oluruz.
a
c b
d
O zaman her köprüden bir kez geçen bir gezinti aramak yerine her kenardan bir kez geçen bir gezinti arayaca˘gız.
Güzel! ¸Simdi çizgede her kenardan bir kez geçen bir gezinti olsa ve bu gezinti nereden ba¸slarsa ba¸slasın bir kö¸se nokta-sına gelip, bu kö¸se noktasından ayrılsa, bu kö¸se noktasından çıkan ke-narlardan ikisini kullanmayacak mı? Hatta bu kö¸se noktasından çıkan çok sayıda kenar varsa, gezinti bu kö¸se noktasına çok defa u˘grayıp ayrı-labilir. O zaman bir kö¸se noktasına gelip, bu kö¸se noktasından ayrılmak için her seferinde bu kö¸se noktasından çıkan iki yeni kenara ihtiyacı-mız var. Bir kö¸se noktasından çıkan kenar sayısına bu kö¸se noktasının derecesi demi¸stik. O halde gezintide u˘grayıp ayrıldı˘gımız tüm kö¸se nok-talarının derecelerinin çift sayı oldu˘gunu söyleyebiliriz.
Peki hocam ya u˘grayıp da oradan ayrılmıyorsak? Yani, gezinti-nin bitti˘gi kö¸se noktaları ne olacak? Onların da dereceleri tek sayı mı olmalı?
Selçuk e˘ger gezintinin bitti˘gi kö¸se noktası gezintinin ba¸sla-dı˘gı kö¸se noktasından farklıysa, evet, gezintinin bitti˘gi kö¸se noktasının derecesi tek sayı olmalıdır.
¸
Söyle dü¸sünelim: Kö¸se noktasına geldik ve ayrılabilece˘gimiz bir ba¸ska kenar daha olmadı˘gından durduk. Yani kö¸se noktasından ayrılmadı˘ gı-mız için, kö¸se noktasının kenarlarından birini kullandık. Bu durumda ister daha önce bu noktaya gelip bu noktadan ayrılmı¸s olalım, ister ilk kez bu noktaya geliyor olalım, bu noktanın derecesi tek sayı olur.
Aynı ¸sey gezintinin ba¸sladı˘gı kö¸se noktası için de geçerlidir. Gezin-tinin ba¸sladı˘gı kö¸se noktası gezintinin bitti˘gi kö¸se noktasından farklıysa onun da derecesi tek sayı olmalıdır.
E˘ger gezintinin ba¸sladı˘gı kö¸se noktası ile gezintinin bitti˘gi kö¸se nok-tası aynı ise, bu kö¸seden her çıktı˘gımızda tekrar dönmek zorunda oldu-˘
gumuzdan bu kö¸senin de derecesi çift sayı olmalıdır. Yani bu durumda çizgenin tüm kö¸se noktalarının derecesi çift sayı olur.
Hocam do˘gru anladıysam “çizgede her kenardan bir kez ge-çen bir gezinti varsa ve bu gezintinin ba¸slangıç ve biti¸s
nokta-ları farklıysa o zaman ba¸slangıç ve biti¸s noktanokta-ları hariç tüm noktanokta-ların dereceleri çift sayı, sadece ba¸slangıç ve biti¸s noktalarının dereceleri tek sayıdır” diyorsunuz.
Selçuk, Mete Hoca sadece bunu söylemiyor, “e˘ger bu gezinti-nin ba¸slangıç ve biti¸s noktaları aynı ise o zaman çizgegezinti-nin tüm noktalarının dereceleri de çift sayıdır” diyor.
Evet, demek ki bir çizgede her kenardan bir kez geçen bir gezinti varsa, iki durum söz konusu olabilir: Ya bütün kö¸se noktalarının derecesi çifttir, ya da sadece iki kö¸se noktasının derecesi tek olup, di˘gerlerinin dereceleri çifttir. Bu durumda herhangi bir ¸sehir için her köprüden bir kez geçen bir gezinti var mıdır diye sorulsa önce bu ¸sehrin krokisine kar¸sılık gelen çizgeyi olu¸sturaca˘gız. Sonra da çizge-nin kö¸se noktalarının derecelerine bakaca˘gız. E˘ger dereceleri tek olan kö¸se noktalarının sayısı ikiden fazlaysa, o zaman böyle bir gezintinin olamayaca˘gını söyleyebiliriz.
¸
Simdi Königsberg için olu¸sturdu˘gumuz çizgeye tekrar bakın ve ne-den böyle bir gezintinin olmadı˘gını bu anlattıklarımız yardımıyla tekrar ifade edin bakalım.
a
c b
Königsberg Köprüleri 115
Hocam Königsberg ¸sehrine kar¸sılık gelen çizgeye göre a kö¸se noktasının derecesi 5, b kö¸se noktasının derecesi 3, c kö¸se
nok-tasının derecesi 3 ve d kö¸se noknok-tasının da derecesi 3 olur. Derecesi tek sayı olan kö¸se noktası ya iki tane olmalıydı ya da hiç olmamalıydı. Oysa burada dört kö¸se noktasının da derecesi tek sayı. O zaman bu çizgede dolayısıyla da bu ¸sehirde istenen ¸sekilde bir gezinti yapılamaz.
Bu argüman çok güzelmi¸s. ¸Simdi çocukken kapalı zarfı ne-den çizemedi˘gimizi de anladım. Peki hocam, bir çizgede bütün
kö¸se noktalarının derecesi çiftse veya sadece iki kö¸se noktasının derecesi tekse, o zaman her kenardan sadece bir kez geçen bir gezintinin oldu-˘
gunu söyleyebilir miyiz?
Kapalı Zarf
a b
c d
¸
Sekil 5.13: Bu çizgede 4 kö¸se
noktasının da dereceleri 3’tür. Dereceleri tek olan nokta sayısı ikiden fazla oldu˘guna göre, bu çizge her kenardan bir kez geçe-rek dola¸sılamaz.
Evet Selçuk, bunu her ne kadar kanıtlamadıysak da öyle bir durumda gerçekten de her kenardan bir kez geçen bir gezin-tinin oldu˘gu gösterilebilir.
Arkada¸slar ufak bir uyarı yapmakta da fayda var sanırım. Elbette bu anlattıklarımız tek parça olan çizgeler için geçerli. Yani, çizgenin keyfi iki kö¸se noktasını birle¸stiren bir gezinti mümkünse, bu sonuçlar geçer-lidir. Ayrıca, bu problemde inceledi˘gimiz çizgenin, iki kö¸se noktası ara-sında birden fazla kenar bulundu˘gundan, basit bir çizge olmadı˘gına da i¸saret edeyim. a b c d e f ¸
Sekil 5.14: Çizgede her
kenar-dan bir kez geçen bir gezinti var mıdır?
Peki arkada¸slar ¸Sekil 5.14 ile verilen çizgede her kenardan bir kez geçen bir gezinti mümkün müdür?
Hocam hemen çizgenin kö¸se noktalarının derecelerine baka-lım:
Kö¸se Noktaları a b c d e f
Dereceleri 2 4 2 2 2 2
Tüm kö¸se noktalarının dereceleri çift sayı. O zaman her kenardan bir kez geçen bir gezinti vardır. Hem de ba¸sladı˘gı yerde biter.
Çok güzel Engin. Örne˘gin bir gezintiyi ¸söyle yapabiliriz:
b→ a → f → b → c → d → e → b.
Hocam arkada¸slara bir soru da ben sorabilir miyim? Arkada¸s-lar açık zarfı kalemi kaldırmadan ve aynı çizginin üzerinden bir daha geçmeden çizebilir misiniz?
Açık Zarf a b c e