Merhaba arkada¸slar, bugün pek çok bilim dalında hatta gün-lük ya¸santımızda dahi uygulamaları olan diferansiyel denk-lemler konusu ile ilgilenece˘giz.
Hocam diferansiyel denklem nedir?
En basit tanımıyla, içinde de˘gi¸skenlerin türevlerini bulundu-ran denkleme difebulundu-ransiyel denklem denir.
Diferansiyel denklemler mühendislik, fizik, kimya, ekonomi, biyoloji gibi birçok bilim dalında kar¸sımıza çıkmakta ve çok çe¸sitli problemleri türev içeren denklemler yardımıyla modelleyip çöze-bilmemize imkan sa˘glamaktadır.
Arkada¸slar, diferansiyel denklemlere türevsel denklemler de denilir. Öncelikle bir diferansiyel denklemde kullanılan bazı terimleri tanımlamakla i¸se ba¸slayalım. Bir diferansiyel denklemde hangi de˘gi¸skene göre türev alınıyorsa, bu de˘gi¸skene ba˘gımsız de˘gi¸sken denir. Türevi alınan de˘gi¸skene ise ba˘gımlı de˘gi¸sken denir. d y
d x ifadesinde y ba-˘
gımlı, x ba˘gımsız de˘gi¸sken olarak adlandırılır. Ba˘gımlı de˘gi¸sken ile ba-˘
gımsız de˘gi¸skeni göstermek için farklı harfleri de kullanabiliriz. Ba˘gımlı de˘gi¸skenin ba˘gımsız de˘gi¸skene göre bir kere türevi alındı˘gı için bu tü-revli ifade birinci mertebedendir (veya basamaktandır) denir. Diferansi-yel denklemlerde y= d y
d x gösterimi de kullanılır.
Tanım Ba˘gımlı de˘gi¸skenin,
ba˘gımsız de˘gi¸skene göre tü-revlerini içeren bir denkleme diferansiyel denklem denir.
Demek ki birinci mertebeden bir diferansiyel denklem, ba-˘
gımlı de˘gi¸sken y, ba˘gımsız de˘gi¸sken x ve ba˘gımlı de˘gi¸skenin türevi d y
d x’i içerir. Mesela türevi kendisine e¸sit olan bir fonksiyonun sa˘ g-ladı˘gı diferansiyel denklemi d yd x = y ¸seklinde yazabiliriz. Türevi kendi-sinin x katına e¸sit olan fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferansiyel denklemi de y= x y ¸seklinde yazabiliriz. ¸Simdi herkes birer tane diferansiyel denk-lem örne˘gi verebilir mi?
33
Hocam, herhalde en kolay diferansiyel denklem d y
d x = x olsa gerek.
Olur mu! Türevi c gibi reel bir sabite e¸sit olan d y
d x = c denklemi daha kolay.
O zaman
d y d x = 0 olsun bari.
Neden olmasın? Sabit bir fonksiyon bu denklemi sa˘glar.
Ben de bir denklem örne˘gi vereyim. Türevi kendisinin x eksi˘gi olan fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferansiyel denklem
y= y − x ¸seklindedir.
Hocam çözme i¸sini bilemem ama, denklem örne˘gi vermek ko-laymı¸s. Örne˘gin, türevi 1x olan fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferan-siyel denklem de
d y d x =
1 x
¸seklindedir. Ya da, türevi 1y olan fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferansiyel denklem d y d x = 1 y ¸seklindedir.
Evet arkada¸slar bunların hepsi birer diferansiyel denklem ör-ne˘gidir. Diferansiyel denklemler konusunda amacımız dife-ransiyel denklemi olu¸sturmak, denklemin çözümünü sa˘glayan fonksi-yonu bulmak ve çözümü yorumlamaktır.
Diferansiyel denklemlere çözüm bulunması matematikçilerin yüzyıllardır u˘gra¸stı˘gı bir konudur. Diferansiyel denklemlerin hepsini birden çözen genel bir metot mevcut olmadı˘gı için çe¸sitli çözüm yöntemleri geli¸stirilmi¸stir. Buradaki amacımız integral alma kurallarını kullanarak bazı diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak olacaktır. Örne˘gin, Gökçe’nin verdi˘gi
d y d x = x
diferansiyel denklemini ele alalım. Bu denklemi y= x ¸seklinde de ya-zabiliriz. Burada fonksiyonun türevi x’e e¸sit, o halde bu fonksiyon
y =
x d x = x
2
2 + c
olur. Arkada¸slar, ¸simdi de buldu˘gumuz fonksiyonun türevini alarak çö-zümün sa˘glamasını yapalım.
Tanım Diferansiyel
denk-lemi özde¸s olarak sa˘glayan fonksiyona diferansiyel denklemin çözümü denir.
Tanım Diferansiyel
denkle-min keyfi sabitlere ba˘glı çö-zümüne diferansiyel denkle-min genel çözümü denir.
Tanım Diferansiyel
denk-lemin genel çözümündeki keyfi sabitlere de˘gerler ve-rerek elde edilen çözümlere özel çözümler denilir.
Hocam ben zaten sa˘glamasını yaptım, buldu˘gumuz fonksiyo-nun türevi gerçekten de x’e e¸sit.
Arkada¸slar, böylelikle çözüm fonksiyonunu y = x22 + c ¸sek-linde yazabiliriz. Bu e¸sitli˘ge diferansiyel denklemin genel çö-zümü denir. c keyfi sabitine de˘gerler verilerek bulunan çözümlere de diferansiyel denklemin özel çözümü denilir. Çözüme ait grafi˘gi inceler-sek c’nin keyfi de˘gerlerine göre çözümün davranı¸sını görebiliriz.
x y c =−1 c =−2 c =−3 c =0 c =1 c =2 c =3 ¸ Sekil 2.1: y = x2 2 + c fonksiyonlar ailesinin grafi˘gi.
Acaba türevi 1’e e¸sit olan fonksiyon ne olabilir? Ne dersin Sel-çuk?
35
Hocam bu fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferansiyel denklem y= 1 ¸seklinde olup y = 1· d x = d x e¸sitli˘ginden y = x + c olur.
Aferin Selçuk, türevi 1’e e¸sit olan fonksiyon y = x + c ¸seklin-dedir.
Türevi kendisine e¸sit olan fonksiyonun sa˘gladı˘gı diferansiyel denklemin d yd x = y oldu˘gunu söylemi¸stik. Acaba bu denklemi hangi fonksiyon sa˘glar?
Hocam bu soru di˘gerlerinden biraz farklı sanırım, bunu nasıl yapaca˘gız, tek tek fonksiyonları yazıp türevi kendisine e¸sit mi de˘gil mi diye kontrol mü edece˘giz?
Arkada¸slar elbette çözümü bu ¸sekilde aramayaca˘gız. Diferan-siyel denklemin özelliklerini inceleyerek uygun çözüm bula-ca˘gız.
Burada ¸söyle bir hile yapalım. d y d x = y diferansiyel denklemini
d y y = d x
¸seklinde yazıp, sonra da iki tarafın integralini alalım. Bu durumda, 1 yd y = d x e¸sitli˘ginden ln| y| = x + c olur.
Hocam niçin mutlak de˘ger kullandık?
Arkada¸slar y negatif de˘gerler de alabilece˘gi için mutlak de˘ger i¸saretini kullandık. E˘ger her zaman için y > 0 oldu˘gunu kabul edersek
ln y = x + c olarak yazabiliriz.
Önceki problemde y’nin de˘gerini daha açık bulmu¸stuk ama burada sonuç öyle çıkmadı.
Haklısın Zeynep. y’yi açık bir ¸sekilde bulamadık, y’nin de˘ ge-rini açık bir ¸sekilde yazmaya çalı¸salım. Bunun için önce e¸sit-li˘gin her iki tarafını da e tabanında yeniden yazarsak
eln y= ex+c yani
eln y = exec olur. Burada eln y = y’dir. Böylece çözüm
y = ecex
¸seklinde olur. Ayrıca c1= ec sabitini kullanırsak çözüm y = c1ex
¸seklinde bulunur. c1 keyfi pozitif sabitinin de˘gerlerine göre çözümün davranı¸sını yandaki ¸sekilde görebilirsiniz.
x y c1= 1 c1= 2 c1= 3 ¸ Sekil 2.2: f (x) = c1ex fonksiyon-lar ailesinin grafi˘gi.
Hocam, burada buldu˘gumuz y = c1ex fonksiyonu c1’in her de˘geri için denklemi sa˘glar mı?
Zeynep bunun sa˘glamasını hemen yapabilirsin. Diferansiyel denklemde y ve yyerine çözüm fonksiyonu ve türevini yazıp sonucun do˘gru olup olmadı˘gını kontrol edebilirsin.
37
Tamam hocam, y = c1ex fonksiyonunun x’e göre türevini alır-sak d yd x = c1ex olur. Gerçekten de y fonksiyonunun türevi ken-disine e¸sit oldu.
Bir tane de hem ba˘gımsız hem de ba˘gımlı de˘gi¸skenin geçti˘gi bir denklem örne˘gi görelim. Türevi kendisinin x katına e¸sit olan fonksiyonu bulalım.
Hocam bu denklem y= x y de˘gil miydi?
Evet Engin. Bu denklemde de ba˘gımlı de˘gi¸sken ile ba˘gımsız de˘gi¸sken içeren terimleri ayırırsak
1
yd y = x d x olur.
¸
Simdi integral alabiliriz de˘gil mi?
Evet, de˘gi¸skenler ayrıldı˘gı için integral alabiliriz. Arkada¸slar, integrali alınacak ifadede aynı türden de˘gi¸skenlerin olması gerekmektedir. ˙I¸slemleri yaparken buna çok dikkat etmeliyiz.
O halde integral alırsak 1 yd y = x d xise ln| y| = x 2 2 + c olur. E¸sitli˘gin iki tarafını da e tabanında yazarsak
eln| y|= ex22+c
ve buradan da
| y| = ex22 ec yani
e¸sitli˘gini elde ederiz. Buldu˘gumuz e¸sitlikte y’yi mutlak de˘gerden kurta-rırsak y =∓ecex22 olup, c1= ∓ecolarak seçersek
y = c1ex22
¸seklinde diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur. O halde türevi kendisinin x katı olan fonksiyon y = c1ex22 ¸seklindedir. c1 sabitinin çe-¸sitli de˘gerlerine göre bu fonksiyonların grafi˘gini yandaki ¸sekilde görebi-lirsiniz. x y c1= 1 c1= 2 c1= 3 c1= −1 c1= −2 c1= −3 ¸ Sekil 2.3: f (x) = c1ex 22 fonksi-yonlar ailesinin grafi˘gi.
Bazen bir diferansiyel denklemin bir x0 noktasında belli bir y0 de˘gerini alan özel bir çözümünü bulmak isteyebiliriz. Bu-radaki y0 = y(x0) ko¸suluna ba¸slangıç de˘ger ko¸sulu denir. Verilen bir ba¸slangıç de˘ger ko¸suluna uyan diferansiyel denklemin çözümünün bu-lunması problemine ba¸slangıç de˘ger problemi denir. Bulunan çözüme de diferansiyel denklemin verilen ba¸slangıç ko¸suluna uyan özel çözümü denir.
Bu anlattıklarımızı bir örnek üzerinde görelim. y = x di-feransiyel denkleminin genel çözümünü y = x22 + c olarak hesaplamı¸stık. ¸Simdi bu diferansiyel denklemin herhangi bir ba¸slangıç de˘ger ko¸suluna uyan çözümünü bulalım. Örne˘gin, y(0) = 3 ba¸slangıç ko¸suluna uyan çözümünü ara¸stıralım. Engin bir dene istersen.
Bu durumda genel çözümde x yerine 0 ve y yerine de 3 ya-zıp keyfi sabitin alaca˘gı de˘geri bulaca˘gız. Böylece y(0) = 3
için 3 = 022 + c e¸sitli˘ginden c = 3 olup diferansiyel denklemin verilen ba¸slangıç ko¸suluna uyan çözümü
y = x
2
2 + 3 olarak bulunur.
Evet arkada¸slar böylelikle verilen ba¸slangıç ko¸suluna uyan özel çözümü hesaplamı¸s olduk. Burada dikkat etmemiz ge-reken husus ¸sudur: Genel çözüm keyfi bir sabit içerirken, özel çözüm ba¸slangıç ko¸sullarına uygun olarak bulunan çözümdür.