Grafik Yöntemle Çözüm

a₁, b₁, c₁, . . . , a_k, b_k, c_kpozitif sabit sayılar olmak üzere

           a₁x + b₁y ≤ c1 a₂x + b₂y ≤ c2 .. . a_kx + b_ky ≤ ck x≥ 0, y ≥ 0 kısıtları altında f (x, y) = a x + b y do˘grusal amaç fonksiyonu-nun de˘gerini en büyük ya-pan noktayı belirleme prob-lemine bir do˘grusal prog-ramlama problemi denir.

Kö¸se noktalarını neden bulduk? Ne i¸simize yarayacak?

f (x, y) = a x + b y do˘ gru-sal fonksiyonu çokgen bölge üzerinde en büyük de˘gerini çokgenin bir kö¸se noktasında alır.

Bu kö¸se noktaları problemimizin çözümü için çok önemli. Bi-raz sonra bu kö¸se noktalarından çözüme ula¸saca˘gız. Proble-mimizi bir defa daha tekrarlayalım. Depodaki malzeme miktarı ile ilgili kısıtlar vardı. Amacımız bu kısıtlar altında geliri maksimum yapan masa ve sandalye sayısını belirlemekti. ¸Sekil 3.11’de üretilebilecek masa ve sandalye sayılarının kümesi görülüyor. ¸Simdi sıra bu kümede geliri mak-simum yapan (x, y) ikilisini belirlemeye geldi.

x tane masa ve y tane sandalye üretti˘gimizde bunların satı¸sından elde etti˘gimiz gelir

150x + 50 y lira ¸seklindeydi. y x (0, 0) (50, 0) (0, 200) (25, 150) ¸

Sekil 3.11: Problemin tanım

kü-mesi.

Problemimizin tanım kümesi üzerinde 150x +50 y amaç fonk-siyonunun en büyük de˘gerini ara¸stırıyoruz.

Elde etti˘gimiz çokgen bölge üzerinde 150x + 50 y

do˘grusal amaç fonksiyonu en büyük de˘gerini çokgenin bir kö¸se nokta-sında alır.

¸

Simdi 150x + 50 y amaç fonksiyonunun tanım kümesinin kö¸se nok-talarındaki de˘gerlerini hesaplayalım:

(0, 0) noktasındaki de˘ger 150· 0 + 50 · 0 = 0, (50, 0) noktasındaki de˘ger 150· 50 + 50 · 0 = 7500, (25, 150) noktasındaki de˘ger 150· 25 + 50 · 150 = 11250, (0, 200) noktasındaki de˘ger 150· 0 + 50 · 200 = 10000 olarak elde edilir.

Demek ki 150x + 50 y amaç fonksiyonu tanım kümesi üzerindeki en büyük de˘gerini (25, 150) noktasında alıyor. Bu sonuca göre depodaki malzemeleri kullanarak en fazla 11250 lira gelir elde edilir. Bunun için 25 tane masa, 150 tane sandalye üretilmelidir.

Grafik Yöntemle Çözüm 71

Atölyedekiler bu i¸se epey sevinecek.

Evet Engin, haklısın. ¸Simdi bu çokgen bölgenin problemi-mizle ili¸skisini biraz açıklayalım.

(x, y) ikilisi çokgen bölgede ise, x tane masa ve y tane sandalye yapacak malzememiz var demektir. (x, y) ikilisi çokgen bölgeye ait de-˘

gilse, demek ki e¸sitsizliklerimizden en az bir tanesi sa˘glanmaz. Yani bu noktaya kar¸sılık gelen x tane masa ve y tane sandalye üretemeyiz.

y x (0, 0) (50, 0) (0, 200) (25, 150) (10, 75) (45, 75) 10 masa ve 75 sandalye üretebiliriz. 45 masa ve 75 sandalye üretemeyiz. (20, 5 , 40) ¸

Sekil 3.12: Problemin tanım kümesi.

Örne˘gin (10, 75) noktası çokgen bölgededir, on tane masa ve yetmi¸s be¸s tane sandalye yapacak malzememiz var. Ancak (45, 75) noktası için

60x + 10 y = 60· 45 + 10 · 75 = 3450 > 3000

oldu˘gundan 60x + 10 y ≤ 3000 e¸sitsizli˘gi sa˘glanmıyor, yani bu nokta tanım kümesinde de˘gil. Demek ki 45 masa ve 75 sandalye üretemeyiz.

Peki arkada¸slar (20, 5 , 40) noktasının da kümeye ait oldu˘gunu gös-terebilirsiniz de˘gil mi?

Kırk tane sandalye tamam da, yirmi buçuk masa nasıl olacak?

Kiloyla veya litreyle ilgili bir problem çözüyor olsaydık bu sorun olmayacaktı. Örne˘gimizde x = 25 ve y = 150 tam sayı olarak çıktı˘gı için problemimizin cevabı bu sayılardır. Ancak x ve y’den en az bir tanesi tam sayı olarak çıkmasaydı o zaman sıkıntılı bir durum ortaya çıkmı¸s olurdu.

Örne˘gin, çözümde x = 25, 6 çıksaydı bu sayıyı 25’e yuvarlaya-maz mıyız? Bu çözüm olyuvarlaya-maz mı?

Çözüm olur veya olmaz diyemeyiz. x ve y için verilen e¸sit-sizliklerin yanı sıra tam sayı olma ko¸sulu da verilmi¸s olsaydı bu tür problemleri tam sayı programlama problemi olarak ele almamız gerekirdi. Bu konuya bu derste girmeyece˘giz.

Dedi˘gim gibi, örne˘gimizde x ve y tam sayı olarak elde edildi˘ginden herhangi bir sıkıntı yok.

y x (0, 0) (50, 0) (0, 200) (25, 150) 1₅ 0 x + 5 0 y = 2₀ 0₀ ¸

Sekil 3.13: Problemin tanım

kü-mesinin 150x + 50 y = 2000 do˘ g-rusu ile kestirilmesi.

¸

Simdi 150x + 50 y amaç fonksiyonunun maksimum de˘gerini neden (25, 150) noktalasında aldı˘gına bir bakalım.

x ve y verildi˘ginde 150x + 50 y de˘gerini hesaplamak kolay. z = f (x, y) = 150x + 50 y diyelim ve z’ye de˘gerler vererek x ve y sayılarını tanım kümesi içinde kalacak ¸sekilde nasıl bulaca˘gız, buna de-˘

ginelim.

Örne˘gin z = 2000 olsun. Bunun için 150x + 50 y = 2000 denklemi-nin belirledi˘gimiz çokgen kümede kalan çözümlerini ara¸stıraca˘gız.

Bu çözüm 150x + 50 y = 2000 do˘grusunun grafi˘gi ile proble-min tanım kümesinin kesi¸sti˘gi (x, y) noktalarının kümesidir. Bu noktaların tümünde amaç fonksiyonu 2000 de˘gerini alır.

Tanım bölgesi ile 150x +50 y = 2000 do˘grusunun arakesitinde kalan bu noktalara birkaç örnek olarak (0, 40), (6, 22), 23

2 ^, 11 2  ve 40 3 ^{, 0} 

noktalarını verebiliriz. Bu noktalarda 150x + 50 y ifadesinin de˘gerinin 2000 oldu˘gunu gösterebilirsiniz. Örne˘gin, (6, 22) noktası için 150· 6 + 50 · 22 = 900 + 1100 = 2000 olur.

z’ye ba¸ska de˘gerler vererek z = 150x + 50 y do˘grusunun gra-fi˘gini çizelim ve çokgen bölge ile ili¸skisine bakalım. Örne˘gin,

Grafik Yöntemle Çözüm 73

z =0 için 150x + 50 y = 0, z =3000 için 150x + 50 y = 3000, z =7000 için 150x + 50 y = 7000, z =11250 için 150x + 50 y = 11250, do˘grularının grafiklerini görelim.

z’ye farklı de˘gerler vererek a x + b y = zdo˘grusunun ha-reketine bakarak

f (x, y) = a x + b y amaç fonksiyonunun maksi-mum de˘gerini bulabiliriz. z’ye sıfırdan ba¸slayıp artan de˘gerler verdi˘gimizde do˘ g-runun çokgen bölgeyle son temas etti˘gi nokta amaç fonksiyonunun en büyük de-˘ gerini verir. y x (0, 0) (50, 0) (0, 200) (25, 150) 1₅ 0 x + 5₀ y = 0 1₅ 0 x + 5₀ y = 3₀ 0₀ 1₅ 0 x + 5 0 y = 7₀ 0₀ 1 5₀ x + 5 0 y = 1₁ 2 5₀ ¸

Sekil 3.14: 150x + 50 y = z do˘gruları.

z de˘geri arttırıldıkça, 150x + 50 y = z do˘grusu 150x + 50 y = 0 do˘ gru-suna paralel kalarak hareket ediyor ve çokgen bölgeyi en son f (x, y) = 150x + 50 y amaç fonksiyonunun maksimum de˘gerini aldı˘gı (25, 150) noktasında kesiyor. e₁ e₂ ^ax + b y = z ¸

Sekil 3.15: e1, e2 kö¸seleri ile bu kö¸seleri birle¸stiren tüm noktalar maksimum de˘geri veren noktalar-dır.

Hocam, do˘grunun kümeye son teması kümenin bir kenarı bo-yunca olursa bu durumda hangi noktayı en büyük de˘geri veren nokta olarak almalıyız?

Do˘grunun tanım kümesine son teması kümenin kenarı bo-yunca oluyorsa, bu kenara ait tüm noktalarda f (x, y) aynı z de˘gerini alır, dolayısıyla bu kenar üzerindeki herhangi bir nokta çözüm olarak alınabilir.

E¸sitsizliklerin sayısı üçten fazla olursa yine de grafik yönte-miyle problemi çözebilir miyiz?

Tabii ki. E¸sitsizliklerin artması çokgen bölgenin kö¸se nokta-larına ilave yeni kö¸se noktaları getirebilir. Kö¸se noktalarını belirleyip, problemi yine çözebilirsiniz.

˙Iki de˘gil de üç veya daha fazla ürün üretiliyor olsaydı bu du-rumda problemi yine bu ¸sekilde çözebilir miydik?

¸

Süphesiz. ˙Iki de˘gil de üç tane karar de˘gi¸skeni olsun. Bu du-rumda problemin tanım kümesi üç boyutlu uzayda bulunur. Problemin çözümünü bulmak için tanım kümesinin kö¸se noktalarını be-lirlemek gerekir. De˘gi¸sken sayısı arttı˘gında bu i¸slem zorla¸sır. Bu nedenle ikiden fazla karar de˘gi¸skeninin oldu˘gu do˘grusal programlama problem-lerinde grafik yöntem yerine ba¸ska yöntemler kullanılır.

Hocam bir örnek daha görebilir miydik?

Bir imalathanede P₁ ve P₂ gibi iki ürün üretildi˘gini varsaya-lım. Bu ürünlerin üretiminde de m₁ve m₂gibi iki hammadde kullanılsın.

Bir birim P₁ve bir birim P₂üretmek için gerekli hammadde miktarını ¸su tablo ile verelim:

P₁için gereken miktar P₂ için gereken miktar Mevcut hammadde miktarı m₁ 8 5 400 m₂ 2 5 200

P₁’in 1 birimi 50 liradan, P₂’nin 1 birimi 40 liradan satılsın. Eldeki hammaddeleri kullanarak geliri maksimum yapmak için hangi üründen ne kadar üretilmesi gerekti˘gini bulalım.

Üretilen P₁ miktarını x ile, P₂ miktarını da y ile gösterelim. P₁’den x birim, P₂’den y birim üretmek için m₁ ve m₂ hammaddelerinden ne kadar kullanılması gerekti˘gini hesaplayalım.

m₁ hammaddesinden : 8x + 5 y birim m₂ hammaddesinden : 2x + 5 y birim kullanmak gerekir.

Grafik Yöntemle Çözüm 75

Tabloda verilen mevcut hammadde miktarlarına göre e¸sitsizlikleri 8x + 5 y ≤ 400

2x + 5 y ≤ 200

x ≥ 0

y ≥ 0

biçiminde ifade edebiliriz.

Bu do˘grusal programlama probleminin amaç fonksiyonu f (x, y) = 50x + 40 y

olur.

Tanım kümesini bulup kö¸se noktalarını belirleyip, amaç fonk-siyonunda yerine yazaca˘gız, de˘gil mi hocam?

Evet Engin. ¸Simdi problemin tanım kümesini bulalım. ˙Ilk önce 8x + 5 y = 400 ve 2x + 5 y = 200 do˘grularının grafiklerini çizece˘giz. Sonra da 8x + 5 y ≤ 400 ve 2x + 5 y ≤ 200 e¸sitsizliklerini sa˘glayan birinci bölgedeki (x, y) noktalarını belirleyece˘giz.

8x + 5 y = 400 denkleminde x = 0 için y = 80, y = 0 için x = 50 oldu˘gundan 8x + 5 y = 400 do˘grusu x eksenini (50, 0) noktasında, y eksenini (0, 80) noktasında keser.

Benzer ¸sekilde 2x + 5 y = 200 do˘grusu eksenleri (100, 0) ile (0, 40) noktalarında keser. Buna göre çözüm kümesinin grafi˘gi ¸Sekil 3.16’daki

50 100 x y (0, 0) (0, 40) (50, 0) ¸

gibi olur.

8x + 5 y = 400 ile 2x + 5 y = 200 do˘grularının kesi¸sim noktasını bulmak için

8x + 5 y = 400 2x + 5 y = 200

denklem sistemini çözece˘giz. ˙Ikinci denklemi birinci denklemden taraf tarafa çıkartarak

8x + 5 y = 400 − 2x + 5 y = 200

6x = 200

e¸sitli˘ginden x =¹⁰⁰

3 ^{buluruz. Bu x de˘gerini denklemde yerine yazdı˘} gı-mızda, 8x + 5 y = 400 ⇒ 8 ·¹⁰⁰ 3 + 5 y = 400, ⇒ 5 y = 400 −⁸⁰⁰ 3 ⁼ 400 3 ^, y = ⁸⁰

3 ^{olur. Yani kesi¸sim noktası}  100 3 ^, 80 3  olarak bulunur. x y (0, 0) (0, 40) (¹⁰⁰₃ ,⁸⁰₃) (50, 0) ¸

Sekil 3.17: Problemin tanım kümesi ve kö¸se noktaları.

f (x, y) = 50x + 40 y amaç fonksiyonunun kö¸se noktaların-daki de˘gerlerini hesaplayalım:

(0, 0) noktasında f (0, 0) = 0,

Grafik Yöntemle Çözüm 77  100 3 ^, 80 3  noktasında f  100 3 ^, 80 3  = 50 ·¹⁰⁰₃ + 40 ·⁸⁰₃ ≈ 2733, (50, 0) noktasında f (50, 0) = 50 · 50 + 40 · 0 = 2500 olur.

Buna göre amaç fonksiyonu maksimum de˘gerini 100 3 ^, 80 3  nokta-sında alır.

Gelirin maksimum olması için P₁’den ¹⁰⁰

3 ^{birim, P2’den de} 80

3 ^birim üretmek gerekir.

Verdi˘gimiz örneklerde amaç fonksiyonunu maksimize etmeye çalı¸stık. Bu yöntem amaç fonksiyonunun minimum de˘gerinin ara¸stırıldı˘gı problemlerde de kullanılabilir.

Arkada¸slar, sonuç olarak do˘grusal programlama yardımıyla yaptı˘ gı-mız modelleme bize sonsuz seçenekli bir durumda sonlu tane noktanın kontrol edilmesiyle çözüme nasıl ula¸stı˘gımızı da göstermi¸s oldu.

Özet

Bu ünitede iki de˘gi¸skenli do˘grusal programlama problemi ve bu prob-lemin grafik yöntemle çözümü ele alındı. Do˘grusal programlama prob-lemlerini tanıtmak ve çözüm yöntemleri ile ilgili bir fikir vermek ama-cıyla tanım kümesi birinci bölgede bir çokgen bölge olan pozitif katsayılı amaç fonksiyonlarının maksimizasyonu problemleri incelendi. Bir örnek üzerinde problemin matematiksel modellemesi ayrıntılı olarak verildi. Do˘grusal programlamanın temel kavram ve sonuçları ifade edildi. Prob-lemin çözümünü bulmak için, çokgen bölgenin kö¸se noktaları belirlenir ve amaç fonksiyonunun bu noktalardaki de˘gerleri hesaplanır. Elde edi-len fonksiyon de˘gerlerlerinin maksimumu, do˘grusal amaç fonksiyonu-nun çokgen bölge üzerindeki en büyük de˘geridir. Amaç fonksiyonunun çokgen bölge üzerindeki minimizasyonu problemi de benzer ¸sekilde çö-zülebilir.

Okuma Parçası

'R÷UXVDO'úQPH

<|QHWLPNDUDUODUÕQÕQoR÷XVRQXQGDELUúH\LRSWLPDO \DSPDNLoLQND\QDNODUÕQQDVÕO

D\UÕODFD÷Õ NRQXVXQGDNL NDUDUODUD LQGLUJHQLU gUQH÷LQ SDUDQÕQ \DWÕUÕP DUDoODUÕ DUDVÕQGD

HQE\NJHWLUL\LYHUHFHNELoLPGHSD\ODúÕPELoLPL\DGDWHOHYL]\RQYH\DRWRPRELOJLEL

UQOHULQUHWLPDúDPDVÕQGDLúJFYHKDPPDGGHPDOL\HWLQLPLQLPXPYHEX\ROODNkUÕ

GD PDNVLPXP \DSDFDN úHNLOGH WDKVLVL %X WU SUREOHPOHU oR÷X NH] GR÷UXVDO

SURJUDPODPD '3 GHQLOHQ ELU \|QWHPOH o|]OHELOHFHN úHNLOGH IRUPOH HGLOHELOLUOHU

$QFDNEX\|QWHPLJHQHOoL]JLOHUL\OHDoÕNODPDGDQ|QFHELUILNLUHGinmek için çok basit

bir örnek verelim.

.|SHN PDPDVÕ UHWHQ .XoX-0D ILUPDVÕ LNL WLS PDPD \DSPDNWDGÕU +DY-Hav ve

Vuf-9XI +HU LNL PDUND GD NX]X VÕ÷ÕU YH EDOÕN N|NHQOL NDUÕúÕPODUGDQ ROXúX\RU YH

DUDODUÕQGDNLRUDQIDUNODUÕ\ODELUELULQGHQD\UÕOÕ\RUODU7DEORda, bir paket Hav-Hav ile bir

paket Vuf-9XIPDPDVÕLoLQEXNDUÕúÕPODUGDQQHNDGDUJHUHNWL÷LQLYHRVÕUDGDKHUELULQLQ

ILUPDGHSRVXQGDYDURODQPLNWDUODUÕQÕJ|VWHUL\RU

ùLUNHWLQ KHU SDNHW +DY-Hav için 12$, Vuf-9XI LoLQ GH  NkU HWWL÷LQL YDUVD\DOÕP

Kuçu-0DILUPDVÕQÕQNDUúÕNDUúÕ\DROGX÷XSUREOHPWRSODPNkUÕQPDNVLPXPROPDVÕLoLQ

her markadan kaç paket UHWLOHFH÷LQHNDUDUYHUPHNWLU

%LOHúHQ ^{Mevcut Toplam} _Miktar ^{Bir Paket Hav-Hav} _{øoLQGHNL0LNWDUÕ} ^{Bir Paket Vuf-Vuf} _{øoLQGHNL0LNWDUÕ}

Kuzu 1400 kg 4 kg 4 kg

%DOÕN 1800 kg 6 kg 3 kg

6Õ÷ÕU 1800 kg 2 kg 6 kg

Tablo: Kuçu-0DN|SHNPDPDVÕQÕQELUSDNHWLLoLQJHUHNOLPDO]HPH.

Kaynak: John L. Casti dHYLUL 1HUPLQ $UÕN %Hú $OWÕQ .XUDO  <]\ÕO

0DWHPDWL÷LQLQgQHPOL7HRULOHULV-169), 6DEDQFÕÜniversitesi, 2000.

Çıkarın Ka˘gıtları 79

Çıkarın Ka ˘gıtları

1. 2x + y ≤ 12 e¸sitsizli˘ginin çözüm kümesi a¸sa˘gıdakilerden hangisidir?

A) 12 6 y x B) 12 6 y x C) 6 12 y x D) 6 12 y x E) 6 6 y x

2. A¸sa˘gıdaki noktalardan hangisi 3x + 2 y ≤ 23 e¸sitsizli˘gini sa˘glar?

A) (6, 3) B) (4, 6) C) (4, 5) D) (5, 5) E) (3, 8)

3. A¸sa˘gıdaki noktalardan hangisi (

2x + 5 y≤ 16 x≥ 0, y ≥ 0 e¸sitsizliklerinin hepsini birden sa˘glar?

A) (3, 3) B) (4, 2) C) (−2, 4) D) (2, 3) E) (3, 2)

4. (4, −3), (1, 1) ve (3, 1) noktalarının 3x + 2 y ≤ 6 e¸sitsizli˘gini sa˘glayıp sa˘glamadı-˘

gını ara¸stırınız.

5. A¸sa˘gıdaki noktalardan hangisi    7x + 3 y≥ 28 2x + 5 y≥ 17 x ≥ 0, y ≥ 0 e¸sitsizliklerinin hepsini birden sa˘glar?

A) (1, 5) B) (−3, 2) C) (2, 4) D) (4, 2) E) (5, 1)

6. 4x + 3 y ≤ 12 e¸sitsizli˘gini sa˘glayan nok-taların kümesini bulunuz.

7.    3x + y≤ 6 x + y ≤ 4 x≥ 0, y ≥ 0

e¸sitsizliklerini sa˘glayan noktaların grafi˘gini çiziniz. 8.    3x + y≥ 6 x + y ≥ 4 x≥ 0, y ≥ 0

e¸sitsizliklerini sa˘glayan noktaların grafi˘gini çiziniz.

9. f (x, y) = 4x + 3 y amaç fonksiyonunun 7. sorudaki e¸sitsizliklerle verilen küme üzerin-deki maksimum de˘gerini bulunuz.

10. Okuma parçasında verilen do˘grusal programlama problemini çözünüz.

Çözümler

1. 2x + y = 12 do˘grusunun eksenleri kesti˘gi noktalar:

x =0 için y = 12 yani (0, 12) noktası ve y =0 için x = 6 yani (6, 0) noktası.

(0, 0) noktası için 2 · 0 + 0 = 0 < 12, yani 2x + y ≤ 12 e¸sitsizli˘gi sa˘glanır. (0, 0) noktasının bulundu˘gu taraftaki tüm noktalar 2x + y≤ 12 e¸sitsizli˘gini sa˘glarlar. (Cevap B)

2. (4, 5) noktası için

3· 4 + 2 · 5 = 22 < 23 oldu˘gundan e¸sitsizlik sa˘glanır.

Di˘ger noktaların e¸sitsizli˘gi sa˘glamadı˘gını kontrol ediniz. (Cevap C)

3. (3, 2) noktası tüm e¸sitsizlikleri sa˘glar: 2· 3 + 5 · 2 = 16 ≤ 16, 3 > 0 ve 2 > 0.

(Cevap E)

4. (4, −3) noktası için e¸sitsizlik sa˘glanır: 3x + 2 y = 3· 4 + 2 · (−3) = 6 ≤ 6.

(1, 1) noktası için e¸sitsizlik sa˘glanır: 3x + 2 y = 3· 1 + 2 · 1 = 5 < 6.

(3, 1) noktası için e¸sitsizlik sa˘glanmaz: 3x + 2 y = 3· 3 + 2 · 1 = 11 > 6.

5. (4, 2) noktası tüm e¸sitsizlikleri sa˘glar: 7· 4 + 3 · 2 = 34 > 28, 2 · 4 + 5 · 2 = 18 > 17, 4 > 0 ve 2 > 0. (Cevap D)

6. 4x + 3 y = 12 do˘grusunun eksenleri kes-ti˘gi noktalar: x = 0 için y = 4, y = 0 için x =3 oldu˘gundan (0, 4) ile (3, 0) noktalarıdır.

4 3 y x 4_x + 3_y = 12 (0, 0) noktası için 4· 0 + 3 · 0 = 0 < 12 oldu˘gundan e¸sitsizli˘gi sa˘glayan noktalar taralı bölgededir. 7. 3x + y = 6: eksenleri (2, 0), (0, 6), x + y =4: eksenleri (4, 0), (0, 4) noktalarında keserler. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 y x (0, 0) noktası için: 3· 0 + 0 = 0 < 6 ve 0 + 0 = 0 < 4

oldu˘gundan e¸sitsizlikleri sa˘glayan noktalar renkli bölgededir. 8. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 y x (0, 0) noktası veri-len ilk iki e¸sitsizli˘gin her ikisini de sa˘ gla-madı˘gından, aranan bölge ¸sekildeki gibi-dir.

9. ^{3x + y} = 6

x + y = 4 ^{denklem sistemi} çözüldü-˘

günde 3x + y = 6 ve x + y = 4 do˘grularının (1, 3) noktasında kesi¸stikleri görülür. Çokgen bölgenin kö¸se noktaları: (0, 0), (2, 0), (1, 3) ve (0, 4) noktalarıdır. Amaç fonksiyonunun bu noktalardaki de˘geri; f (0, 0) = 0, f (2, 0) = 8, f (1, 3) = 13 ve f (0, 4) = 12 olur. Bu fonksi-yon de˘gerlerinin en büyü˘gü 13 oldu˘guna göre amaç fonksiyonunun bu çokgen bölge üzerin-deki maksimum de˘geri 13 dür.

10. Amaç fonksiyonu f (x, y) = 12x + 8 y ve kısıtlar 4x + 4 y ≤ 1400, 6x + 3 y ≤ 1800, 2x + 6 y≤ 1800, x ≥ 0, y ≥ 0 ¸seklindedir. Ta-nım kümesinin kö¸se noktaları: (0, 0), (300, 0), (250, 100), (75, 275) ve (0, 300) olur. Amaç fonksiyonunun bu kö¸se noktalarındaki de˘geri hesaplanırsa en büyük de˘gerini (250, 100) noktasında aldı˘gı görülür. Buna göre 250 pa-ket Hav-Hav, 100 papa-ket Vuf-Vuf üretilmelidir.

MATEMATİK 2

ÜNİTE

TALEP ESNEKLİĞİ

Belgede AÖF Kitapları Öğrenci Kullanım Kılavuzu (sayfa 78-89)