¸
Sekil 5.15: Bu ¸sekli çizdi˘giniz çizginin üzerinden bir kez daha geçmeden ve kalemi kaldırma-dan çizebilir misiniz?
Zeynep ne var ki bunda? ¸Sekli bir çizge gibi dü¸sünsek sadece ave b kö¸se noktalarının dereceleri tek sayı, di˘gerlerinin
dere-celeri ise çift sayı (¸Sekil 5.16). O zaman her kenardan bir kez geçerek, yani çizgilerin üzerinden bir kez geçerek ¸sekli çizebiliriz. Hatta ¸sekli çiz-mek için a veya b noktalarının birinden ba¸slayıp di˘gerinde bitirmeliyiz.
a b
c e
d
¸
Sekil 5.16: Sadece a ve b kö¸se
noktalarının dereceleri tek sayı oldu˘gundan ¸Sekil 5.15 ile veri-len ¸sekil istendi˘gi gibi çizilebilir.
Düzlemsel Çizgeler
Arkada¸slar ¸simdi de gelin ¸su basit problemi inceleyelim: ¸ Se-kil 5.17 ile verildi˘gi gibi üç ev ve bu evlerin kar¸sısında da do˘gal gaz, elektrik ve su kaynakları yer alsın. Her bir evi bu üç kayna˘ga da ba˘glamak istiyoruz ama tehlike yaratmasın diye bu ba˘glantıların bir-birlerinin altından ya da üstünden geçmesini istemiyoruz. Bu ba˘glantılar yapılabilir mi?
?
¸
Düzlemsel Çizgeler 117
Pınar Hoca isterseniz bu sefer arkada¸sları bo¸suna u˘ gra¸stırma-yalım. Arkada¸slar, evlerin ba˘glantılarının istenen ¸sekilde ya-pılması mümkün de˘gil. Neden mümkün de˘gil anlatmadan önce birkaç kavramdan söz etmek lazım. E˘ger bir çizge düzlemde kenarları birbiriyle kesi¸smeyecek ¸sekilde çizilebiliyorsa, bu çizgeye düzlemsel çizge denir.
¸
Simdi bazı düzlemsel çizgeleri ele alalım. Bu çizgeler en dı¸sa-rıda kalan bölge ile birlikte düzlemi bazı bölgelere ayıracaktır. Gelin bu bölgelerin sayılarına bakalım. Çizgenin belirledi˘gi bu bölgele-rin sayısını b ile gösterelim. Ayrıca çizgelebölgele-rin kenar (ayrıt) sayısını a ve kö¸se noktalarının sayısını da k ile gösterelim.
a b c d a b c d ¸
Sekil 5.18: K4 tam çizge-sini kenarları birbiriyle kesi¸sme-yecek ¸sekilde çizebildi˘gimizden
K4düzlemsel bir çizgedir.
b =4, a = 6, k = 4 b =6, a = 10, k = 6 b =5, a = 9, k = 6 b: bölge, a: ayrıt (kenar), k: kö¸se
¸
Sekil 5.19: Bazı düzlemsel çizgeler ve düzlemde belirledi˘gi bölgeler.
Bu çizgelerin düzlemde belirledi˘gi bölgelerle, çizgelerin kö¸se noktalarının ve kenarlarının sayısı arasında bir ba˘gıntı var. Bu ba˘gıntıyı fark edebildiniz mi?
¸
Sekil 5.20: Düzlemsel
çizge-ler elektronik devre tasarımında önemli rol oynar.
Hepsinde de bölgelerin sayısıyla kö¸se noktaların sayısını top-layınca kenar sayısından iki fazla çıkıyor.
Evet Selçuk, önceden bilmiyor idiysen, büyük bir gözlem yap-tın. Böylece Euler formülü olarak adlandırılan formülü ifade etmi¸s oldun.
Teorem Düzlemsel tek parça bir çizgede çizgenin düzlemde belirledi˘gi
böl-gelerin sayısıyla çizgenin kö¸se noktalarının sayısının toplamı, çizgenin kenar sayısından iki fazla olur. Yani
bölge sayısı + kö¸se noktalarının sayısı = kenar sayısı + 2 e¸sitli˘gi geçerlidir.
Mete Hocam, K4 tam çizgesinin düzlemsel oldu˘gunu söyledi-niz. Acaba tam çizgelerin hepsi düzlemsel mi? Mesela K5 tam çizgesini de kenarları kesi¸smeyecek ¸sekilde düzlemde çizebilir miyiz?
Engin, Euler formülünü kullanarak K5tam çizgesinin düzlem-a b c d e ¸
Sekil 5.21: K5tam çizgesinin 10 kenarı vardır.
sel çizge olmadı˘gını görebiliriz. Önce söyler misiniz K5 tam çizgesinin kaç kenarı vardır?
Hocam K5 tam çizgesinin 10 kenarı vardır. Nasıl buldun der-seniz tek tek saydım.
Gökçe çok güzel. Ayrıca, K5 tam çizgesinin 5 noktası olan tek parça bir çizge oldu˘gunu da biliyoruz. Bu çizgenin 10 tane kenarı oldu˘gunu da siz söylediniz. E˘ger K5 tam çizgesi düzlemsel bir çizgeyse Euler formülünü sa˘glamalı, öyle de˘gil mi? Böylece
bölge sayısı + kö¸se sayısı = kenar sayısı + 2 yani b + 5 = 10 + 2 e¸sitli˘ginden bölge sayısı b = 7 olmalıdır.
a b c d e a b c d e ¸
Sekil 5.22: K5tam çizgesi düz-lemsel de˘gilken, K5 tam çizge-sinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizge düzlemseldir.
Son olarak K5tam çizgesinin, düzlemsel olması durumunda, düzlemde belirledi˘gi bölgeleri dü¸sünelim. Her bölge için en az 3 kenar lazım. Di˘ger taraftan her kenar da 2 farklı bölgenin sınırını olu¸sturuyor. Yani, kenar sayısının iki katı en az bölge sayısının üç katı kadar olmalı. Bunu bir e¸sitsizlikle yazacak olursak, 2a≥ 3b ya da a ≥3b2 elde ederiz.
Ama Mete Hocam K5 tam çizgesi için buldu˘gumuz sayıları bu e¸sitsizlikte yerine yazarsak, 10≥32·7 yani 10≥ 10, 5 gibi hatalı bir sonuç çıkıyor.
Haklısın Selçuk. Demek ki K5 tam çizgesinin düzlemsel bir çizge olmadı˘gını buradan hemen söyleyebiliriz.
Düzlemsel Çizgeler 119
Ama K5tam çizgesinin bir kenarını çıkararak elde edilen çizge düzlemseldir (¸Sekil 5.22).
Hocam ba¸sta sordu˘gunuz problemin çözümünü anlatacaktı-nız. Neden evleri ba˘glantılar birbirleriyle kesi¸smeyecek ¸sekilde ba˘glayamıyoruz? a b c d e f g ¸ Sekil 5.23: A = {a, b, c, d} ve
B ={e, f , g} olmak üzere iki kü-meli bir çizge örne˘gi.
a b
1 2
¸
Sekil 5.24: ˙Iki kümeli bir tam
çizge. Bu çizge K2,2ile gösterilir.
a b c 1 2 3 ¸
Sekil 5.25: ˙Iki kümeli bir tam
çizge. Bu çizge K3,3ile gösterilir.
a b 1 2 3 ¸
Sekil 5.26: ˙Iki kümeli bir tam
çizge. Bu çizge K2,3ile gösterilir.
¸
Sekil 5.27: Bir üçgen prizmanın
5 yüzü, 9 ayrıtı ve 6 kö¸sesi var-dır.
Selçuk, evlerle ilgili çizdi˘gimiz çizge özel bir çizgedir. Bu tür çizgelere iki kümeli çizge denir. Tam bir tanım yapmak gere-kirse bir çizgenin kö¸se noktaları, aynı kümenin herhangi iki kö¸se noktası arasında kenar olmayacak ¸sekilde A ve B gibi iki kümeye ayrılabiliyorsa, bu tür çizgelere iki kümeli çizge denir (¸Sekil 5.23).
¸
Simdi K5 tam çizgesinin düzlemsel olmadı˘gını nasıl gördüy-sek aynı ¸gördüy-sekilde evlerle ilgili çizdi˘gimiz K3,3 tam çizgesinin de düzlemsel olmadı˘gını siz kendiniz görebilirsiniz. Bir yol gösterme yapacak olursam, bu durumda bölgeler üç de˘gil en az dört kenar ile sınırlandırılıyor.
Hocam zor soruları da hep ödev olarak veriyorsunuz.
Selçuk madem öyle sana kolay bir soru sorayım. Bir küpün kaç yüzü, kaç ayrıtı ve kaç kö¸sesi vardır?
Gerçekten de bekledi˘gimden kolay bir soru oldu. Küpün 6 yüzü, 12 ayrıtı ve 8 kö¸sesi vardır.
Çok güzel. O zaman ¸simdi de kübün yüz sayısı ile kö¸se sayısını toplayınca ne çıkıyor?
Hemen toplayayım. 6 + 8 = 14 oluyor. Yani, ayrıt sayısının iki fazlası çıkıyor. Bu bir kural mı yoksa tesadüf mü?
Bir üçgen prizma alsak, 5 yüzü, 9 ayrıtı ve 6 kö¸sesi var. Yine yüzlerinin sayısı ile kö¸se sayısını toplayınca ayrıt sayısının iki fazlası çıkıyor.
¸
Sekil 5.28: 1970 yılında
Mek-sika’da oynanan dünya kupası-nın resmi topu.
¸
Sekil 5.29: Düzgün 20 yüzlü.
¸
Sekil 5.30: 3 Kö¸sesi kesilmi¸s
yirmiyüzlü.
¸
Sekil 5.31: 12 düzgün be¸sgen ve
20 düzgün altıgenden olu¸san bir futbol topu.
Arkada¸slar, prizma, piramit gibi hangi konveks çokyüzlü cismi alırsanız alın, yüzlerinin sayısı ile kö¸selerinin sayısının top-lamı ayrıtlarının sayısının iki fazlasını verir. Yani Euler’in formülünü “yüzlerin sayısı+kö¸selerin sayısı = ayrıtların sayısı+2” ¸seklinde de ifade edebiliriz.
Mete Hocam siz daha iyi bilirsiniz. ¸Simdi üzerine çe¸sitli desen-ler yapsalar da eskiden futbol topları beyaz altıgendesen-ler ve siyah
be¸sgenlerden olu¸suyordu. Bu topların ayrıt sayılarını da bu formülle bu-labilir miyiz?
Selçuk aslında futbol topu bir düzgün 20 yüzlünün kö¸seleri uygun ¸sekilde kesilerek elde edilebilir. Bu durumda senin de dedi˘gin gibi 12 düzgün be¸sgen ve 20 düzgün altıgen ortaya çıkar. Bu cismin 12 + 20 = 32 yüzü oldu˘gunu biliyoruz. Ayrıca 60 kö¸sesi oldu-˘
gunu bulmak da çok zor de˘gil. Kö¸seleri tra¸slarken 12 kö¸senin herbiri 5 kö¸se do˘gurdu. O zaman Euler formülünden 32 + 60 = a + 2 yazıp, ayrıt sayısının 90 oldu˘gunu bulabiliriz.