Dedikodunun Yayılması

Diferansiyel denklemlerin sosyoloji alanında da ilginç uygu-lamaları vardır. Mesela bir topluluk içinde dedikodunun ya-yılması durumu bir diferansiyel denklem ile modellenebilir.

Nasıl yani hocam, dedikoduyla matemati˘gin ne ilgisi var?

Bakıyorum da konu dedikodu olunca hiç kaçırmıyorsun Gökçe?

Dedikodunun Yayılması 53

Arkada¸slar bir dedikodu ya da söylentinin yayılma hızı, hem dedikoduyu duymu¸s olan ki¸si sayısı hem de henüz dediko-duyu duymamı¸s olan ki¸si sayısıyla do˘gru orantılıdır.

Hocam bunu bir diferansiyel denklemle nasıl açıklayabiliriz?

Topluluktaki toplam ki¸si sayısı P ve dedikoduyu duymu¸s olan ki¸si sayısı da y olsun. Bu durumda henüz dedikoduyu duy-mamı¸s ki¸si sayısı P− y olur. K bir orantı sabiti olmak üzere dedikodu yayılmasını modelleyen diferansiyel denklem

d y

d t = K y(P − y)

¸seklinde olur. Ba¸slangıçta dedikodu bir ki¸siden yayılırsa y(0) = 1 olur. Buna göre bu ba¸slangıç de˘ger probleminin çözümünün

y(t) = ^P

1 + (P− 1)e−K P t

¸seklinde oldu˘gu gösterilebilir. Çok isterseniz çözümü siz de gösterebilir-siniz aslında.

˙Isterseniz ¸simdilik çok istemeyelim hocam.

O zaman bir örnek görelim. Toplam mevcudu 1500 ki¸si olan bir okulda bir ö˘grenci Ajda Pekkan’ın okullarını ziyarete ge-lece˘gi söyletisini yayıyor. ˙Ilk 15 dakikada bu söylentiyi duyan ö˘grenci sayısı 100 oldu˘guna göre yarım saat içinde bu söylentiyi kaç ö˘grencinin duyaca˘gını hesaplayalım.

Arkada¸slar toplam ö˘grenci sayısı P = 1500’dür. Söylenti bir ö˘grenciden yayılmaya ba¸sladı˘gı için y(0) = 1 olur. Buna göre ba¸slangıç de˘ger problemimiz

d y

d t = K y(1500 − y) ve y(0) = 1 ¸seklinde olur. Bu denklemin çözüm fonksiyonu

y(t) = ¹⁵⁰⁰

olur. Söylenti 15 dakika yani 0, 25 saatte 100 ö˘grenci tarafından duyul-du˘gu için y(0, 25) = 100 olur. Buna göre

100 = ¹⁵⁰⁰

1 + 1499e^{−1500 · 0,25K}

e¸sitli˘gi elde edilir. Bu e¸sitlikten K orantı sabitinin de˘gerini bulalım. E¸sit-li˘gin iki tarafını da 100’e bölüp e¸sitli˘gi düzenlersek

1 = ¹⁵

1 + 1499e−1500 · 0,25K

ya da 1 + 1499e^{−1500·0,25·K} = 15 olur. Buradan da

e^−375K = ¹⁴

1499

yazılabilir. E¸sitli˘gin iki tarafının do˘gal logaritmasını alırsak −375K = ln ¹⁴

1499

olup, gene hesap makinesiyle, ln₁₄₉₉¹⁴ ≈ −4, 6735 ve buradan da

K≈^{4, 6735}₃₇₅ ≈ 0, 0125 bulunur. O halde y(t) = ¹⁵⁰⁰ 1 + 1499e−1500·0,0125t = ¹⁵⁰⁰ 1 + 1499e−18,75t elde edilir.

Artık yarım saat sonra söylentiyi kaç ki¸sinin duyaca˘gını hesap-layabiliriz. Bu e¸sitlikte t yerine 0, 5 koyarsak

y(0, 5) = ¹⁵⁰⁰ 1 + 1499e−18,75·0,5 ≈ 1331 elde edilir. saat Ö˘grenci 1500 500 1000 1 0, 5 0, 25 ¸

Sekil 2.10: Dedikodunun

yayıl-ması

Hocam, dedikodu ne kadar hızlı yayılıyormu¸s böyle!

Özet

Bu ünitede, birinci mertebeden diferansiyel denklemler üzerinde dur-duk ve kolay çözülebilen bazı diferansiyel denklemleri ayrıntılı olarak inceledik. Ayrıca diferansiyel denklemlerin nüfus hesaplaması, sıcaklık hesabı, organik maddenin ya¸sının belirlenmesi, sınırlı büyüme problem-leri ve dedikodunun yayılması gibi çe¸sitli uygulamalarını inceledik.

Okuma Parçası 55

Okuma Parçası

 ;

Sanat eserlerinin sahtesi ‹Ž‡‰‡”­‡º‹‹n ƒ›Ç”–‡†‹Ž‡•‹„‹Ž‹‹—º”ƒç–ǺÇڐ‡Ž‹’”‘„Ž‡Ǧ Ž‡”†‡„‹”‹•‹†‹”Ǥòòòœ†‡‰‡Ž‹ç‹çƒŽ‡–Ž‡”˜‡–‡•–›Ú–‡Ž‡”‹›Ž‡„‹”•ƒƒ–‡•‡”‹‹‘”‹Œ‹Ǧ ƒŽŽ‹º‹‡–„‹”燍‹Ž†‡„‡Ž‹”Ž‡‡„‹Ž‡–‡†‹”Ǥ ʹͲǤ›òœ›ÇŽ†ƒ•ƒƒ–˜‡„‹Ž‹†ò›ƒ•ÇÇ‡­‘†‹ƒ–‹‹­‡‡•ƒŠ–‡…‹Ž‹‘Žƒ›Žƒ”ǐ†ƒ „‹”‹•‹‘ŽŽƒ†ƒŽÇ•Ç”ƒ†ƒ„‹””‡••ƒ‘Žƒƒ˜ƒ‡‡‰‡”‡ǯ‹ͳ͹Ǥ›òœ›ÇŽ”‡••ƒÇ‘ŽƒJan ‡”‡‡”ǯ‡ƒ‹–‘Žƒ†ò›ƒ…ƒ‡çŠ—””‡•‹Žerin sahteŽ‡”‹‹›ƒ’Ç’•ƒ–ƒ•Ç›Žƒ‘”–ƒ›ƒ­ÇÇçǦ –Ç”Ǥ —•ƒh–‡…‹Ž‹‘Žƒ›ÇǡG‹…‹ò›ƒƒ˜ƒçÇǯ†ƒ •‘”ƒ ƒœ‹ ڐ†‡”Ž‡”‹‹ –‘’Žƒ†ÇºÇ ›ƒ †ƒ yaºƒŽa†ÇºÇ ›ƒ’Ç–Žƒ”ǐ •ƒŠ‹’Ž‡”‹‡ ‰‡”‹ ˜‡”‹Ž‡•‹ ­ƒŽÇ珃Žƒ”Ç •Ç”ƒ•Ç†ƒ ‘Ž—ç–—”—Žƒ sanat —”—Ž—–a”ƒˆÇn†ƒ‘”–ƒ›ƒ­Çƒ”ÇŽÇç–Ç”Ǥƒƒ–—”—Ž—— ‡Ž‘›†—º—„‹”‘Ž‡•‹›‘†ƒ‡”Ǧ ‡‡”ǯ‡ƒ‹–‘Žƒ „‹””‡•‹„—Ž——瘇›ƒ’ÇŽƒƒ”ƒç–Ç”ƒŽƒ”•‘—…—†ƒ„—”‡•‹n ‡‡‰‡Ǧ ren taraˆÇn†ƒ •ƒ–ÇŽ†ÇºÇ „‡Ž‹”Ž‡‹ç–‹Ǥ  ڛŽ‡Ž‹Ž‡‡‡‰‡”‡ †ò珃Žƒ‹ç„‹”Ž‹º‹ ›ƒ’Ç’illi •‡”˜‡–‘Ža”ƒa„—Ž‡†‹Ž‡‡•‡”Ž‡”‹•ƒ–ƒtan •—­Ž—„—Ž——ç–—Ǥ…ƒ‡‡‰‡”‡•—­ŽƒǦ ƒŽƒ”Ǎƒ„—Ž et‡›‡”‡ǡ ”‡•‹‡†‹•‹‹›ƒ’–ǺÇ„‹”–ƒŽ‹–‘Ž†—º——‹††‹ƒ‡†‹’ǡ ‡†‹•‹Ǧ ‹‘ŽŽƒ†ƒǯ›Ç‹ç‰ƒŽ‡†‡ƒœ‹Ž‡”Ž‡‹ç„‹”Ž‹º‹›ƒ’ƒçڛŽ‡†—”•—ǡ‘Žƒ”ƒ•ƒŠ–‡‡•‡”•ƒ–ƒǦ ”ƒƒŽ†ƒ–ƒ›Ç„a烔†ÇºÇÇǡ‘›òœ†‡„‹”DzƒŠ”ƒƒdz•ƒ›ÇŽƒ•Ç‰‡”‡–‹º‹‹•Ú›Ž‡‹çtiǤ —‹††‹ƒ•ÇÇ‹•’ƒ–Žƒƒ‹­‹ †‡–—–—Ž—›‡’‘Ž‹•Ž‡”‹ڐò†‡›‹‡‡”‡‡”ǯ‡ ƒ‹–‘Žƒ „ƒçƒ„‹”‡•‡”‹•ƒŠ–‡•‹‹›ƒ’Ç’ƒ•ÇŽ‹›‹„‹”–ƒŽ‹–­‹‘Ž†—º——‰Ú•–‡”†‹ǤڛŽ‡Ž‹Ž‡†ò珃Žƒ ‹ç„‹”Ž‹º‹•—­ŽƒƒŽƒ”ǐ†ƒ—”–—Ž—ç–—ƒƒ„—•‡ˆ‡” †‡•ƒƒ–•ƒŠ–‡Ÿ”ŽÇºÇ†ƒ•—­Ž—„—Ž—Ǧ —’ „‹” ›ÇŽ Šƒ’•‡ ƒŠð ‡†‹Ž‹ç–‹Ǥ  ƒ …‡œƒ•ÇÇ ­‡‡›‡ „ƒçŽƒƒ†ƒ ƒŽ’ ”‹œ‹†‡ ڎ†òǤ ƒ˜ƒ‡‡‰‡”‡ǯ‹•ƒŠ–‡•‹‹›ƒ’–ǺÇ­‘•ƒ›Ç†ƒ‡•‡”„—Ž—ƒ–ƒ†Ç”ǤڛŽ‡Ž‹Ž‡­‹Ǧ œ‹Ž‡”‹•ƒŠ–‡ ‘Ž—’‘Žƒ†ÇºÇ‹Ž‡‹Ž‰‹Ž‹•‘”—Žƒ”ǡ—Ž—•Žƒ”ƒ”ƒ•Ç„‹”’ƒ‡Ž†‡•ƒƒ––ƒ”‹Š­‹Ž‡”‹ǡˆ‹Ǧ œ‹­‹Ž‡”ǡ ‹›ƒ…ÇŽƒ” –ƒ”ƒˆÇ†ƒ –ƒ”–Ççǎ†ÇǤ ‡•‹Ž‡”†‡ —ŽŽƒÇŽƒ­‡ç‹–Ž‹ ‹›ƒ•ƒŽ ƒ††‡ ˜‡ „‘›ƒŽƒ”ǐͳ͹Ǥyòœ›ÇŽ†ƒŠ‡òœ„—Ž—ƒƒ•Ç˜‡”‡•‹Ž‡”†‡ ‡•‹‰‹„‹‰Ú•–‡”il‡‹­‹­ƒ–ŽƒǦ Žƒ”›ƒ’ÇŽ†ÇºÇ„‡Ž‹”Ž‡‹’‘›„‹”Ž‹º‹›Ž‡­‹œ‹Ž‡”‹•ƒŠ–‡‘Ž†—º—•‘—…—ƒ˜ƒ”ÇŽ†ÇǤ—ƒÇ–ƒƒ”Ǧ çǎǍ„‹”­‘—œƒ‡çŠ—””‡•‹Ž‡”†‡ „‹”‹‘Žƒ Dz‹•…‹’Ž‡•ƒ–ƒ—•dz—•ƒŠ–‡‘l†—º—na inana†Çlar ˜‡ ‡„”ƒ†– —”—— –ƒ”ƒˆÇ†ƒ ͳ͹ͲͲͲͲ †‘Žƒ”ƒ •ƒ–ǐ ƒŽÇ†ÇǤ — ‘Žƒyla”ǐ òœ‡”‹‡ǡDz‹•…‹’Ž‡•ƒ–ƒ—•dz—•ƒŠ–‡‘Ž†—º—ͳͻ͸͹›ÇŽÇ†ƒƒ”‡‰‹‡‡ŽŽ‘o‹˜‡rsit‡Ǧ •‹†‡„‹Ž‹ ƒ†ƒŽƒ”Ç –ƒ”ƒˆÇ†ƒ‹•’ƒ–Žƒ†ÇǤ G•’ƒ–›Ú–‡‹‘Žƒ”ƒ”‡•‹†‡—ŽŽƒÇŽƒ„‘yalƒǦ ”ǐ‹­‡”‹º‹n†‡‹‹›ƒ•ƒŽƒ††‡Ž‡”‹ƒ†›—‡Ž‡‡–Ž‡”‹†‡‘Ž—ç–—º—ǡƒ†›——›ƒ”ÇǦ Žƒƒ›ƒçǐǐ†ƒͳ͸ͲͲ›ÇŽ‘Ž†—º—„‹Ž‰‹•‹†‡ ›ƒ”ƒ”ŽƒÇŽ†ÇǤ‡•ƒ’ŽƒƒŽƒ”•‘—…—†ƒ”‡•‹Ǧ †‡—ŽŽƒÇŽƒ„‘›ƒ†ƒ‹‹›ƒ•ƒŽƒ††‡Ž‡”‹„‘œ—nƒ‹–ƒ”ǐǐ­‘†òçò‘Ž†—º—˜‡i†Ǧ †‹ƒ‡†‹Ž†‹º‹‰‹„‹”‡•‹Ž‡”‹ͳ͹Ǥ›òœ›ÇŽƒƒ‹–‘Žƒ›Ç’‹›‹›ƒ’ÇŽÇç„‹”‡”•ƒŠ–‡Ž‡”‹‘Ž†—º—‹•’ƒ–Ǧ Žƒ†ÇǤ Kaynaklar: 1. http: //www.radikal.com.tr/Radikal.aspx?aType=HaberYazdir&ArticleID=889943

2. Modelling with Differential Equations, D.N. Burghes, M.S. Borrie, Ellies Horwood

Çıkarın Ka ˘gıtları

1. y^′= x +1 diferansiyel denkleminin genel çözümü a¸sa˘gıdakilerden hangisidir?

A) y = ^x2

2 − 2x + c B) y = ^x2

2 + c

C) y = x²+ 1 + c D) y = x + 1 + c E) y = ^x₂²+ x + c

2. y^′ = 3x diferansiyel denkleminin genel çözümü a¸sa˘gıdakilerden hangisidir?

A) y = ^3x₂² + c B) y = x²+ c C) y = 3x + c D) y = 3x²+ x + c E) y = 3x²− 3x + c

3. y^′= 3x diferansiyel denkleminin y(2) = 0 ko¸suluna uyan çözümü a¸sa˘ gıdaki-lerden hangisidir? A) y = ^3x₂² − 6 B) y = x²− 4 C) y = 3x− 6 D) y = 3x²+ x − 14 E) y = 3x²− 3x − 6 4. ^{d y} d x = 2(x − 1) diferansiyel denkleminin y(1) = 1 ko¸suluna uyan çözümü a¸sa˘ gıdakiler-den hangisidir?

A) y = x⁻¹ B) y = x²− 2x + 2 C) y = 2(x− 1) D) y = x²+ 1 E) y = 2x²− x − 1

5. y^′ = x2 diferansiyel denkleminin x = 0 için y = 0 ba¸slangıç de˘gerine sahip çözümü a¸sa˘gıdakilerden hangisidir?

A) y = 2x B) y = x² C) y = ^x₃³ D) y = ^x₂² E) y = ^x₂

6. x >0 olmak üzere, y^′= ¹_x + x diferan-siyel denkleminin genel çözümü a¸sa˘ gıdakiler-den hangisidir? A) y = ¹ x + x + c B) y = ¹ x + ^x2 2 + c C) y = ln(x²+ x) + c D) y = ln x + ^x₂²+ c E) y = 2x²+ x + c 7. x > 0 olmak üzere, ^{d y}_{d x} = ² x diferansi-yel denkleminin genel çözümü a¸sa˘ gıdakiler-den hangisidir?

A) y = 2x + c B) y = ²

x + c C) y = 2x²+ c D) y = 2 ln x + c E) y = _x²2+ c

8. y = e^2x fonksiyonu a¸sa˘gıdaki diferansi-yel denklemlerden hangisini sa˘glar?

A) y^′= 2 B) y^′= y C) y^′= 2 y D) y^′= x E) y^′= 2x

9. Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısın-daki artı¸s hızı mevcut bakteri sayısıyla oran-tılıdır. Kültürdeki bakteri sayısı 3 saatte 2’ye katlandı˘gına göre ne zaman bakteri sayısı 8’e katlanır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10. Sıcaklı˘gı 100^◦Colan bir metal çubuk so-˘

guması için sıcaklı˘gı sabit olarak 20^◦C olan bir ortama bırakılıyor. Çubu˘gun sıcaklı˘gı 10 daki-kanın sonunda 60^◦C’ye dü¸stü˘güne göre bu çu-bu˘gun so˘guma denklemini yazınız.

Çözümler 57

Çözümler

1. y^′= ^{d y}_{d x} = x + 1 ise y = Z (x + 1)d x e¸sitli˘ginden y = ^x 2 2 + x + c elde edilir.

Do˘gru cevap E ¸sıkkıdır.

2. y^′= 3x ise y = Z 3x d x e¸sitli˘ginden y =^3x 2 2 + c olur.

Do˘gru cevap A ¸sıkkıdır.

3. Diferansiyel denklemin genel çözümü

y =^3x

2

2 + c olup, y(2) = 0 ko¸sulu kullanılarak

0 = 3²

2

2 + c

e¸sitli˘gi elde edilir. Buradan da c = −6 olup, çözüm

y =^3x

2

2 − 6 olur.

Do˘gru cevap A ¸sıkkıdır.

4. y =^R2(x− 1)d x ise y = x²− 2x + c olur. y(1) = 1 ko¸sulunu uygularsak,

1 = 1²− 2 · 1 + c

e¸sitli˘ginden c = 2 olup diferansiyel denklemin verilen ko¸sula uygun çözümü

y = x²− 2x + 2 olur.

Do˘gru cevap B ¸sıkkıdır.

5. y^′= x² ise y =^R x²d x olup

y = ^x

3

3 + c

elde edilir. x = 0 için y = 0 ba¸slangıç de˘geri verildi˘ginden, 0 = 0 + c e¸sitli˘ginden c = 0 olup, diferansiyel denklemin verilen ba¸slangıç de˘gerine sahip çözümü y = ^x₃³ olur.

Do˘gru cevap C ¸sıkkıdır.

6. y =^R(¹ x + x)d x olup y =ln x + ^x 2 2 + c elde edilir.

Do˘gru cevap D ¸sıkkıdır.

7. y =^{R 2}_xd x olup

y =2 ln x + c olur.

Do˘gru cevap D ¸sıkkıdır.

8. y = e^2x e¸sitli˘ginin her iki tarafının x de-˘

gi¸skenine göre türevi alınırsa y^′= 2e^2x

elde edilir. E¸sitlikte y = e^2x de˘gerini yerine yazarsak

y^′= 2 y

elde edilir. O halde y = e^2x fonksiyonu y^′= 2 y diferansiyel denklemini sa˘glar. Do˘gru cevap C ¸sıkkıdır.

9. Problemi çözmek için nüfus probleminde kullandı˘gımız

d y d t = K y

diferansiyel denklemini kullanaca˘gız. Bu dife-ransiyel denklemin çözümü

y = c₁e^{K t}

¸seklindedir ve herhangi bir andaki nüfusu ifade eder.

Ba¸slangıç anındaki bakteri sayısı y(0) = y₀ ol-sun. t = 3 için y(3) = 2 y₀ olup bakteri sayı-sının ba¸slangıçtaki sayının 8 katına ne zaman ula¸saca˘gını bulaca˘gız.

t =0 için c₁= y₀ olup y = y₀e^{K t}olur.

t =3 için 2 y₀= y₀e^3K olup, y₀ çarpanı kısal-tıldıktan sonra her iki tarafın logaritması alı-narak

3K = ln 2,

yani K = ¹₃ln 2 bulunur. Demek ki herhangi bir andaki bakteri sayısı

y = y₀e⁽¹3ln 2)t

e¸sitli˘gi ile verilir. ¸Simdi bakteri sayısının ne za-man sekiz katına çıkaca˘gını bulalım. O zaman

8 y₀= y₀e3^tln 2

olup 8 = e3^tln 2 e¸sitli˘ginin her iki tarafının do-˘

gal logaritması alınırsa, ln 8 = ^t

3^{ln 2}

ve burada, ln 8 = ln 2³ = 3 ln 2 oldu˘gundan, t =9 bulunur. O halde dokuz saat sonra bak-teri sayısı ba¸slangıçtaki sayının sekiz katına ula¸sır.

Do˘gru cevap E ¸sıkkıdır.

Burada sayılar uygun verildi˘gi için bu prob-lemi ¸süphesiz diferansiyel denklemlere ba¸s-vurmadan da hemen çözebilirdik: 3 saatte

bakteri sayısı ikiye katlandı˘gı için, 6 saatte dörde ve 9 saatte de sekize katlanacaktır. An-cak sayıların uygun verilmedi˘gi durumlarda da yukarıda örnekledi˘gimiz yakla¸sımla prob-lemi her zaman çözebiliriz. Örne˘gin bakteri sayısı kaç saatte 10 katına çıkar deseydik, çö-zümü deneyerek bulamazdık; fakat diferansi-yel denklem yardımıyla kolaylıkla bulabilirsi-niz.

10. Problemdeki verilenleri yazarsak; çubu˘gun ba¸slangıç sıcaklı˘gı y(0) = 100, or-tam sıcaklı˘gı s = 20 ve çubu˘gun 10 dakika sonraki sıcaklı˘gı y(10) = 60’dır. Newton’un so˘guma yasasından, so˘guyan bir cismin her-hangi bir andaki sıcaklık de˘gi¸simi y(0) = y₀ ba¸slangıç sıcaklı˘gı olmak üzere

d y

d t = K( y − s)

diferansiyel denklemi ile ifade edilir ve denk-lemin çözülmesiyle de

y = s + ( y₀− s)e^{K t} bulunur. Buradan s = 20 ve t = 0 için

100 = 20 + 80e^{K t} olur. t = 10 için

60 = 20 + 80e^10K

olup, e^10K= ⁴⁰₈₀ e¸sitli˘ginin her iki tarafının do-˘

gal logaritması alınırsa, 10K = ln⁴⁰ 80= ln¹ 2 ve buradan da K = ¹ 10^ln 1 2

veya K = −0, 1 · ln 2 olarak bulunur. Böylece so˘guma denklemi

y =20 + 80e^{(−0,1·ln 2) t} olarak elde edilir.

MATEMATİK 2

ÜNİTE

KÖŞE NOKTASI

Belgede AÖF Kitapları Öğrenci Kullanım Kılavuzu (sayfa 60-67)