Nevzat Asma

(1)

Mil li E¤i tim Ba kan l› ¤› Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baﬂ kan l› ¤›’n›n 30.12.2009 ta rih ve 334 sa y› l› ka ra r› ile ka bul edi len ve 2010-2011 Ö¤ re tim Y› l›n dan iti ba ren uy gu la- na cak olan prog ra ma gö re ha z›r lan m›ﬂt›r.

(2)

Genel Müdür

Temel Ateԭ

Genel Koordinatör

Akԩn Ateԭ

Eԫitim Koordinatörü - Editör

Nevzat Asma

Eԫitim Koordinatör Yardԩmcԩsԩ

Halit Bԩyԩk

Ԩsteme Adresi

ESEN BASIN YAYIN DAԪITIM LTD.ԬTԨ.

Bayԩndԩr 2. Sokak No.: 34/11–12 Kԩzԩlay/ANKARA tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87

faks: (0312) 417 15 78

ISBN : 978–9944–777–91–9

Bu kitabԩn tamamԩnԩn ya da bir kԩsmԩnԩn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayԩt sistemiyle çoԫaltԩlmasԩ, yayԩmlanmasԩ ve depolanmasԩ yasaktԩr.

Bu kitabԩn tüm haklarԩ yazarlarԩna ve Esen Basԩn Yayԩn Daԫԩtԩm Limitet Ԭirketine aittir.

www.esenyayinlari.com.tr

Dizgi, Grafik, Tasarԩm Esen Dizgi Servisi

Görsel Tasarԩm

Erol Faruk Yücel – Vedat Polat

Baskԩ

Bahçekapԩ Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06370 Ԭaԭmaz / ANKARA Tel: (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr

Baskԩ Tarihi 2012 – VIII

(3)

Sevgili Ö¤renciler,

Bu kitap, Milli E¤itim Bakanl›¤› Talim ve Terbiye Kurulu Baﬂkanl›¤›’nca kabul edilen Orta Ö¤retim 9. S›n›f Geometri Dersi Ö¤retim Program›’na uygun olarak haz›rlanm›ﬂt›r. Bu program;

lise türlerinin hepsinde de ortak olup, yeni s›nav sistemine göre üniversiteye girifl s›navlar›nda sorulan Geometri sorular›n› kapsamaktad›r. Ay r› ca, a¤›rl›kl› orta ö¤retim baflar› puan›n›n etkisi üniversiteye girifl puan›n›n he sap lan ma s›n da çok faz la olup bu nun te la fi si müm kün de ¤il dir.

Bu se bep ten do la y›;

Bu ki tap, 9. s›n›f ö¤ ren ci le ri için okul da ki Geometri dersine yar d›m c› ve üniversiteye giriﬂ s› na vlar›na yö ne lik ha z›r lan m›ﬂ t›r.

9. s›n›f Geometri dersinin ko nu la r› için de yer alan te mel kav ram ve bil gi ler, ge rek siz de tay- lar dan uzak, aç›k, an la fl› l›r ve öz lü bir an la t›m flek li ile ve ril mifl tir.

Bu ki tap, 5 bö lüm den olufl mak ta d›r. Her bir bö lüm de ko nu an la t› m›n dan son ra; ko nu nun da ha iyi an la fl›l ma s› için çok sa y› da çö züm lü ör nek ler, al›flt›rmalar, yaz›l›ya haz›rl›k sorular›, üniversiteye girifl s›navlar›na yö ne lik test ler ve ko nu ile il gi li üniversiteye girifl s› nav la- r›n da ç›k m›fl so ru lar ve çözümleri bu lun mak ta d›r.

Mut lu, sa¤ l›k l› ve baﬂar›l› bir hayat geçir meniz dile¤iy le...

Nevzat ASMA Halit BIYIK

www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com

Bu kitab›n haz›rlanmas›nda kontrol yaparak bize katk›da bulunan Ayﬂen Akgönül ve Çi¤dem Köken’e teﬂekkür ederiz.

(4)

Korkma, sönmez bu ρafaklarda yüzen al sancak;

Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.

O benim milletimin y¾ld¾z¾d¾r, parlayacak;

O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olay¾m, çehreni ey nazl¾ hilâl!

Kahraman ¾rk¾ma bir gül! Ne bu ρiddet, bu celâl?

Sana olmaz dökülen kanlar¾m¾z sonra helâl...

Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür yaρad¾m, hür yaρar¾m.

Hangi ç¾lg¾n bana zincir vuracakm¾ρ? πaρar¾m!

Kükremiρ sel gibiyim, bendimi çiοner, aρar¾m.

Y¾rtar¾m daοlar¾, enginlere s¾οmam, taρar¾m.

Garb¾n âfâk¾n¾ sarm¾ρsa çelik z¾rhl¾ duvar, Benim iman dolu göοsüm gibi serhaddim var.

Ulusun, korkma! Nas¾l böyle bir iman¾ boοar,

‘Medeniyet!’ dediοin tek diρi kalm¾ρ canavar?

Arkadaρ! Yurduma alçaklar¾ uοratma, sak¾n.

Siper et gövdeni, dursun bu hayâs¾zca ak¾n.

Doοacakt¾r sana va’dettiοi günler Hakk’¾n...

Kim bilir, belki yar¾n, belki yar¾ndan da yak¾n.

Bast¾ο¾n yerleri “toprak!” diyerek geçme, tan¾:

Düρün alt¾ndaki binlerce kefensiz yatan¾.

Sen ρehit oοlusun, incitme, yaz¾kt¾r, atan¾:

Verme, dünyalar¾ alsan da, bu cennet vatan¾.

Kim bu cennet vatan¾n uοruna olmaz ki fedâ?

πühedâ f¾ρk¾racak topraο¾ s¾ksan, ρühedâ!

Cân¾, cânân¾, bütün var¾m¾ als¾n da Huda, Etmesin tek vatan¾mdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, νlâhi, ρudur ancak emeli:

Deοmesin mabedimin göοsüne nâmahrem eli.

Bu ezanlar-ki ρahadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taρ¾m, Her cerîhamdan, νlâhi, boρan¾p kanl¾ yaρ¾m, F¾ρk¾r¾r ruh-¾ mücerred gibi yerden na’ρ¾m;

O zaman yükselerek arρa deοer belki baρ¾m.

Dalgalan sen de ρafaklar gibi ey ρanl¾ hilâl!

Olsun art¾k dökülen kanlar¾m¾n hepsi helâl.

Ebediyen sana yok, ¾rk¾ma yok izmihlâl:

Hakk¾d¾r, hür yaρam¾ρ, bayraο¾m¾n hürriyet;

Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Mehmet Âkif ERSOY

ԨSTԨKLÂL MARԬI

(5)

ATA TÜRK’ÜN GENÇ LԨ ԪE HԨ TA BE SԨ

Ey Türk gençliοi! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en kμymetli hazinendir. νstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlarμn olacaktμr. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düρersen, vazifeye atμlmak için, içinde bulunacaομn vaziyetin imkân ve ρeraitini düρünmeyeceksin!

Bu imkân ve ρerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. νstiklâl ve cumhuriy- etine kastedecek düρmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiρ bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanμn, bütün kaleleri zapt edilmiρ, bütün tersanelerine girilmiρ, bütün ordularμ daομtμlmμρ ve memleketin her köρesi bilfiil iρgal edilmiρ olabilir. Bütün bu ρeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hμyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ρahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düρmüρ olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâdμ! νρte, bu ahval ve ρerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktμr! Muhtaç olduοun kudret, damarlarμndaki asîl kanda, mevcuttur!

(6)

1. BÖLÜM Temel Geometrik Kavramlar ve

Koordinat Geometriye Giriԭ

...9

Nokta, Do¤ru, Do¤ru Parças›, Iﬂ›n, Düzlem ve Uzay ...10

Al›ﬂt›rmalar – 1 ...14

Koordinat Do¤rusu ...15

Analitik Düzlem ...21

Analitik Düzlemde Vektörler ...26

Aç›lar ...31

Do¤runun Denklemi ...44

Test – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...53

Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...73

Üniversiteye Giriﬂ S›nav Sorular› ve Çözümleri ...77

2. BÖLÜM Çokgenler ve Düzlemde Kaplamalar

...91

Çokgen ve Çokgende Aç› ...92

Çokgenlerde Çevre ve Alan ...118

Üçgenlerin Eﬂli¤i ...139

Düzlemde Dönüﬂümler ve Çokgenlerle Kaplamalar ...144

Üçgenlerde Benzerlik ...158

Test – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...183

(7)

3. BÖLÜM Dik Prizmalar ve Piramitler

...251

‹zometrik ve Dik Görüntü Çizimleri ...252

Dik Prizma ve Dik Piramit ...257

Dik Prizma ve Dik Piramidin Alan› ...266

Dik Prizma ve Dik Piramidin Hacmi ...271

Test – 1, 2, 3, 4 ...277

4. BÖLÜM Çember ve Daire

...301

Çemberde Aç›lar ve Çemberin Çevresi ...302

Dairenin ve Daire Diliminin Alan› ...314

Test – 1, 2, 3, 4 ...321

(8)

5. BÖLÜM Dik Dairesel Silindir

Dik Dairesel Koni ve Küre

...339

Silindir ...340

Koni ...348

Küre ...357

Test – 1, 2, 3 ...363

(9)

Temel Geometrik Kavramlar ve Koordinat Geometriye Giriԭ

1. Kazanԩm

Nokta, Doԫru, Doԫru Parçasԩ, Iԭԩn, Düzlem ve Uzay 2. Kazanԩm

Koordinat Doԫrusu 3. Kazanԩm

Dik Koordinat Sistemi 4. Kazanԩm

Analitik Düzlemde Vektör 5. Kazanԩm

Açԩlar 6. Kazanԩm

Analitik Düzlemde Bir Doԫrunun Denklemi

1. ÜNԨTE

(10)

NOKTA

Nokta, geometrideki tanԩmsԩz terimlerden biri olup sezgisel bir kavramdԩr. Noktanԩn eni, boyu ve yük- sekliԫi yoktur.

Bir kalemin kaԫԩt üzerinde oluԭtur-

duԫu iz nokta ile ilgili fikir verebilir.

Aԭaԫԩda nokta modelleri örneklenmiԭtir.

Biz bu modellerden ilkini kullanacaԫԩz.

DOԪRU

Düz ve uzunluԫu sürekli iki yöne sԩnԩrsԩz uzatԩlabilen, kalԩnlԩԫԩ bulunmayan, tanԩmsԩz bir geometrik terimdir.

A B

Yukarԩdaki doԫru, AB doԫrusu veya l doԫrusudur.

Aԭaԫԩda doԫru modelleri örneklenmiԭtir. Biz bunlardan ilkini kullanacaԫԩz.

Farklԩ iki noktadan bir doԫru geçer.

Bir doԫru üzerinde en az iki nokta ve dԩԭԩnda en az bir nokta vardԩr.

DOԪRU PARÇASI

Bir doԫrunun A ve B gibi iki noktasԩ ile bu noktalar arasԩndaki noktalar kümesine AB doԫru parçasԩ denir ve [AB] biçiminde gösterilir.

A B

Yukarԩda uç noktalarԩ A ve B olan [AB] çizilmiԭtir.

A ve B noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩԫa AB doԫru parçasԩnԩn uzunluԫu denir ve |AB| biçiminde gös- terilir.

IԬIN

Bir doԫru üzerindeki O noktasԩ ile O noktasԩnԩn aynԩ tarafԩnda bulunan bütün noktalarԩn kümesine, baԭlangԩç noktasԩ O olan ԩԭԩn denir.

A O

Ԭekilde baԭlangԩç noktasԩ O ve üzerindeki bir nok- tasԩ A olan [OA ԩԭԩnԩ çizilmiԭtir.

B

O A

Yukarԩdaki ԭekilde, ifade edilen [OA ile [OB aynԩ ԩԭԩndԩr. Bu durum [OA [OB biçiminde gösterilir.

B

C A

Yukarԩdaki ԭekilde ifade edilen [AB ve [AC ԩԭԩnlarԩna zԩt ԩԭԩnlar denir.

ESEN YAYINLARI

NOKTA, DOԪRU, DOԪRU PARÇASI, IԬIN, DÜZLEM ve UZAY

(11)

ÖRNEK 1

Aԭaԫԩdaki tabloda doԫru, doԫru parçasԩ ve ԩԭԩnla ilgili gösterimler bir arada verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.

A B d AB

Do¤ru

C D [CD]

Do¤ru parças›

E F [EF

IÁ›n

|CD|

Do¤ru parças›

uzunlu¤u

ÖRNEK 2

C

A B

Yukarԩdaki doԫru ve üzerinde iԭaretlenmiԭ A, B, C noktalarԩna göre ifade edilmiԭ aԭaԫԩdaki iԭlemleri inceleyiniz.

[AB] F [BC] = [AC]

[AB F [AC = [AC

[BA] E [BC] = {B}

[BA F [BC = AC

[BC] E [AB = [BC]

AC F [BC = AC

[AB] E [AC] = [AB]

DÜZLEM

Uzunluԫu ve geniԭliԫi, düz sԩnԩrsԩz geniԭletilebilen fakat kalԩnlԩԫԩ bulunmayan, tanԩmsԩz bir geometrik terimdir. Aԭaԫԩda bazԩ düzlem modelleri verilmiԭtir.

Biz bunlardan ilkini kullanacaԫԩz.

Elinizdeki kitap sayfasԩnԩn yüzü odanԩzdaki duvarԩn yüzü size düzlemle ilgili bir fikir verebilir.

Bir noktalar kümesinin elemanlarԩ, bir doԫruya ait ise bu noktalar kümesine doԫrusal (doԫrudaԭ) noktalar kümesi, aynԩ düzleme ait ise düzlemsel noktalar kümesi denir.

ÖRNEK 3

A N B

C K

L M

E F

D

Yukarԩdaki ԭekilde,

A, N, B noktalarԩ hem doԫrusal hem de düzlem- seldir.

L, M, K noktalarԩ hem doԫrusal hem de düzlem- seldir.

A, D, L, E noktalarԩ düzlemseldir.

F, B, C, K noktalarԩ düzlemseldir.

E, F, K, M noktalarԩ düzlemseldir.

ESEN YAYINLARI

Nokta, Doԫru, Doԫru Parçasԩ, Iԭԩn, Düzlem ve Uzay

(12)

Düzlem Oluԭturma Koԭullarԩ

E

A B

C

Doԫrusal olmayan üç nokta, bir düzlem belirtir.

E

Paralel iki doԫru k

bir düzlem belirtir.

E

Bir doԫru ile dԩԭԩn- A

daki bir nokta bir düzlem belirtir.

E

Kesiԭen iki doԫru k

bir düzlem belirtir.

UZAY

Bütün noktalarԩn kümesi uzaydԩr. Baԭka bir deyiԭle uzunluԫu, geniԭliԫi ve yüksekliԫi, düz sԩnԩrsԩz geniԭ- letilebilen geometrik bir terimdir.

Aԭaԫԩda bazԩ uzay modelleri çizilmiԭtir.

E³

iz çizgi paralelkenarsal bölge prizma

A noktas› d do¤rusu veya AB P düzlemi E³ uzay›

A B d

A P

(13)

Bir düzlem içindeki farklԩ n tane doԫru, bu düzlemi en az n + 1, en çok n n

2 2

2+ + bölgeye ayԩrԩr.

Soru: Bir düzlemdeki farklԩ 6 doԫru düzlemi en az ve en çok kaç bölgeye ayԩrԩr?

Çözüm

Yukarԩdaki açԩklamaya göre 6 farklԩ doԫru bir düzlemi En az: 6 + 1 = 7

En çok:

2

6²+ + = 22 bölgeye ayԩrԩr.6 2

Herhangi üçü doԫrusal olmayan n noktadan C(n, 2) kadar doԫru geçer.

Soru: Herhangi üçü doԫrusal olmayan 4 noktadan kaç doԫru geçer?

Çözüm

Yukarԩdaki açԩklamaya göre, C(4, 2) =

( !)!. ! 4 2 24 6

– = olur.

n tane doԫru en fazla, C(n, 2) noktada kesiԭir.

Soru: 4 doԫru en fazla kaç noktada kesiԭir?

Çözüm

Yukarԩdaki açԩklamaya göre 4 doԫru en fazla C(4, 2) noktada kesiԭir. C(4, 2) =

( !)!. ! 4 2 24 6

– = olur.

Herhangi üçü doԫrusal olmayan n tane nokta C(n, 3) tane düzlem gösterir.

Soru: Doԫrusal olmayan 4 nokta en az kaç düzlem gösterir?

Çözüm

4 nokta aynԩ düzlem içinde alԩnԩrsa bir düzlem gösterecektir.

Soru: Doԫrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem gösterir?

Çözüm

Yandaki ԭekilde görüldüԫü gibi 4 nokta aynԩ düzlemde alԩnmazsa ^A

C

B D

bu 4 noktanԩn herhangi üçü bir düzlem göstereceԫinden;

ACD, ABC, ABD ve BCD düzlemleri oluԭur. Ayrԩca yukarԩdaki açԩklamaya göre, 4 nokta en fazla

C(4, 3) =

( )!. !

! 4 3 3

4 4

– = tane düzlem gösterir.

(14)

1. A B C

Yukarԩdaki sayԩ doԫrusu üzerindeki noktalara göre aԭaԫԩdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԩԭ olanlar için “Y” yazԩnԩz.

[AB F [BC = [AC

[BA] F [BC] = [AC]

[AB E [BC = [BC

[BA E [BC = [AC]

[AB F [BC = [AB

[AB E [BC] = [BC]

2. Doԫrusal olmayan 8 nokta en az kaç düzlem gösterir?

3. Doԫrusal olmayan 7 nokta en çok kaç düzlem gösterir?

4. Herhangi üçü doԫrusal olmayan 8 noktadan kaç doԫru geçer?

5. Aԭaԫԩdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԩԭ olanlar için “Y” yazԩnԩz.

Bir doԫru ile dԩԭԩndaki bir noktadan bir düzlem geçer.

Paralel iki doԫru bir düzlem belirtir.

Uzay tanԩmsԩz terimdir.

Kesiԭen iki düzlemin arakesiti bir düzlem-

dir.

Doԫrusal olmayan üç noktadan bir düzlem geçer.

Kesiԭen iki doԫru bir düzlem belirtir.

6. 4 farklԩ doԫru bir A noktasԩndan ve baԭka 3 farklԩ doԫru bir B noktasԩndan geçmektedir. Bu doԫru- lar en fazla kaç noktada kesiԭir? (A ve B dahil)

7. Farklԩ üç düzlem uzayԩ en az kaç alt uzaya ayԩrԩr?

8. Farklԩ üç düzlem uzayԩ en çok kaç alt uzaya ayԩrԩr?

ALIԬTIRMALAR – 1

1. D, D, D, Y, D, D 2. 1 3. 35 4. 28 5. D, D, Y, Y, D, D 6. 14 7. 4 8. 8

ESEN YAYINLARI

(15)

Her noktasԩna bir reel sayԩ eԭlenen doԫruya sayԩ doԫ- rusu ya da koordinat doԫrusu denir.

Bir doԫrunun herhangi bir A noktasԩna karԭԩlԩk gelen reel sayԩ x ise, x sayԩsԩna A noktasԩnԩn koordinatԩ denir ve A(x) biçiminde gösterilir.

A B C

–3 0 4

Ԭekildeki sayԩ doԫrusu üzerinde bulunan A, B, C noktalarԩna karԭԩlԩk gelen reel sayԩlar sԩrasԩyla –3, 0 ve 4 olduԫundan A(–3) , B(0) ve C(4) biçimin- de gösterilir. B(0) noktasԩ verilen sayԩ doԫrusunun baԭlangԩç noktasԩdԩr.

MUTLAK DEԪER

Koordinat doԫrusunda, iki nokta arasԩndaki uzak- lԩԫԩ ve bir doԫru parçasԩnԩn uzunluԫunu bulurken mutlak deԫer ve mutlak deԫerin özelliklerinden yararlanacaԫԩz. Dolayԩsԩyla mutlak deԫer kavramԩnԩ ve özelliklerini hatԩrlayalԩm.

x gerçel sayԩsԩnԩn mutlak deԫeri

|x| = , ,

x x

0 0

– <

)

olarak tanԩmlanԩr.

Mutlak Deԫerin Özellikleri |–x| = |x|

|x.y| = |x|.|y|

y x

y

= x , (y 0)

|xⁿ| = |x|ⁿ

|x| = a x = a x = –a , (a D R⁺)

ԨKԨ NOKTA ARASINDAKԨ UZAKLIK

Sayԩ doԫrusu üzerindeki iki nokta A(a) ve B(b) olmak üzere, bu noktalar arasԩndaki uzaklԩk d(A, B) veya

|AB| biçiminde gösterilip d(A, B) = |AB| = ,

, .

b a b a

a b b a d r

–

– ›

>

) <

A = B |AB| = 0 dԩr.

|b – a| = |a – b| olduԫundan |AB| = |BA| dԩr.

ÖRNEK 4

A(2) ve B(5) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk kaç br dir?

Çözüm

–1 0 1

A

2 3 4

B

5 6

3 br

A(2) ve B(5) olduԫundan, d(A, B) = |AB| = |5 – 2| = 3 br olur.

ÖRNEK 5

A(–2) ve B(3) noktalarԩ arassԩndaki uzaklԩk kaç br dir?

Çözüm

–1 0 1

A

2 3 4

5 br B –3 –2

A(–2) ve B(3) olduԫundan

d(A, B) = |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5 br olur.

ÖRNEK 6

A(–2) ve B(x) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk 5 br ise x deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

|AB| = 5 |x – (–2)| = 5 |x + 2| = 5

x + 2 = 5 x + 2 = –5 x = 3 x = –7 olur.

KOORDԨNAT DOԪRUSU

ESEN YAYINLARI

(16)

ÖRNEK 7

Sayԩ doԫrusu üzerinde, A(–2) noktasԩna 3 br uzak- lԩkta bulunan noktalarԩ bulunuz.

Çözüm

Aradԩԫԩmԩz nokta B(x) olsun.

|AB| = 3 |x – (–2)| = 3 |x + 2| = 3 x + 2 = 3 x + 2 = –3 x = 1 x = –5 olur.

ÖRNEK 8

Sayԩ doԫrusu üzerinde, A(–3) noktasԩna olan uzaklԩԫԩ, B(2) noktasԩna olan uzaklԩԫԩnԩn 2 katԩ olan ve [AB] üzerinde bulunan nokta nedir?

Çözüm

Aradԩԫԩmԩz nokta C(x) olsun.

A C B

–3 x 2

|AC| = |x –(–3)| = |x + 3|

= x + 3 , (x + 3 > 0)

|CB| = |2 – x| = 2 – x , (2 – x > 0)

|AC| = 2|CB| x + 3 = 2(2 – x)

x + 3 = 4 – 2x

3x = 1 x = 31 olur.

Uç noktalarԩnԩn koordinatlarԩ A(a) ve B(b) olan AB doԫru parçasԩnԩn uzunluԫu, |AB| = |b – a| dԩr.

ÖRNEK 9

Aԭaԫԩda bazԩ doԫru parçalarԩnԩn uç noktalarԩnԩn koordinatlarԩ ile bu doԫru parçalarԩnԩn uzunluklarԩ verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.

A(4) , B(1) |AB| = |1 – 4| = 3 A(–3) , B(2) |AB| = |2 – (–3)| = 5

Ac–23m , B 25

c m |AB| = 25 23 – – = 4

A(a + 2) , B(a – 4) |AB| =

|

a – 4 – (a + 2)

|

|AB| = |a – 4 – a – 2| = 6

A(v2–1), B(v2+2) |AB| =

|

v2 + 2 – (v2 – 1)

|

|AB| =

|

v2+2–v2+1

|

^{= 3}

ÖRNEK 10

Sayԩ doԫrusu üzerinde A(–2) ve B(7) olmak üzere,

|AC| = 2|BC| eԭitliԫini saԫlayan C noktalarԩnԩ bulunuz.

Çözüm

C noktasԩnԩn koordinatԩ x olsun.

|AC| = |x + 2| ve |BC| = |x – 7|

|AC| = 2|BC| |x + 2| = 2|x – 7|

x + 2 = 2(x – 7) x + 2 = –2(x – 7)

x + 2 = 2x – 14 x + 2 = –2x + 14

x = 16 x = 4 olur.

O halde, C(4) veya C(16) bulunur.

EԬ DOԪRU PARÇALARI

Uzunluklarԩ eԭit olan iki doԫru parçasԩna eԭ doԫru parçalarԩ denir.

[AB] ve [CD] eԭ doԫru parçalarԩ [AB] [CD] biçi- minde gösterilir. [AB] [CD] |AB| = |CD| dir.

ÖRNEK 11

A(2) , B(x + 1) , C(5) , D(2x – 3) olmak üzere, [AB] [CD] ise x deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

[AB] [CD] |AB| = |CD|

|x + 1 – 2| = |2x – 3 – 5|

|x – 1| = |2x – 8|

x – 1 = 2x – 8 x – 1 = –(2x – 8) x = 7 x = 3 bulunur.

ESEN YAYINLARI

Koordinat Doԫrusu

(17)

Koordinat Doԫrusu

YÖNLÜ DOԪRU PARÇASI

Uç noktalardan biri baԭlangԩç noktasԩ, diԫeri de bitim noktasԩ olarak seçilen doԫru parçasԩ yönlü doԫru parçasԩdԩr.

A B

Baԭlangԩç noktasԩ A ve bitim noktasԩ B olan yönlü doԫru parçasԩ A

AB ԭeklinde gösterilir.

AAB yönlü doԫru parçasԩnԩn A ve B noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩԫԩ A

AB yönlü doԫru parçasԩnԩn uzun- luԫudur ve |A

AB| ԭeklinde gösterilir.

Yönü aynԩ olan eԭ doԫru parçalarԩna eԭ yönlü doԫru parçalarԩ denir.

A(0) B(1) C(2) D(3)

Ԭekilde |A AB| = |A

CD| = 1 br olduԫundan A AB ile A

CD eԭ yönlü doԫru parçalarԩdԩr.

Bir yönlü doԫru parçasԩnԩ üzerinde bulunduran doԫ- ruya, taԭԩyԩcԩ denir.

A

d B

Ԭekilde A

AB nin taԭԩyԩcԩsԩ d doԫrusudur.

ÖRNEK 12

A(0) B(1) C(3)

Uç noktalarԩ A, B, C olan yönlü doԫru parçalarԩnԩ yazԩp uzunluklarԩnԩ bulunuz.

Çözüm

A(0) B(1) C(3)

AAB yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ A, bitim noktasԩ B olup uzunluԫu |A

AB| = |1 – 0| = 1 dir.

ABC yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ B, bitim noktasԩ C olup uzunluԫu |A

BC| = |3 – 1| = 2 dir.

AAC yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ A, bitim noktasԩ C olup uzunluԫu |A

AC| = |3 – 0| = 3 tür.

A(0) B(1) C(3)

ABA yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ B, bitim noktasԩ A olup uzunluԫu |A

BA| = |0 – 1| = 1 dir.

ACB yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ C, bitim noktasԩ B olup uzunluԫu |A

CB| = |1 – 3| = 2 dir.

ACA yönlü doԫru parçasԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ C, bitim noktasԩ A olup uzunluԫu |A

CA| = |0 – 3| = 3 tür.

VEKTÖR

Koordinat doԫrusu üzerinde eԭ yönlü doԫru parçalarԩnԩn kümesine vektör denir.

A AB B C CD D

CD

AB vektörü vektörü

Bir vektörün boyu bu vektörü temsil eden herhangi bir doԫru parçasԩnԩn uzunluԫuna eԭittir.

AAB vektörünün uzunluԫu |A

AB| biçiminde gösterilir.

Uzunluԫu 1 br olan vektöre birim vektör denir.

ESEN YAYINLARI

(18)

ESEN YAYINLARI

Koordinat Doԫrusu

ÖRNEK 13

A(0) B(1) C(2) D(3)

Ԭekilde verilenlere göre A AB , A

BD , A BC ve A

CD vek- törlerinin uzunluklarԩnԩ bulup birim vektör olanlarԩ tespit ediniz.

Çözüm

|A

AB| = |1 – 0| = 1

|A

BC| = |2 – 1| = 1

|A

BD| = |3 – 1| = 2

|A

CD| = |3 – 2| = 1

|A AB| = |A

BC| = |A

CD| = 1 olup A AB , A

BC , A

CD vektörle- rinin her biri birim vektördür.

Yer Vektörü

Baԭlangԩç noktasԩ koordinat doԫrusunun orijininde olan A

OP vektörüne P noktasԩnԩn yer vektörü denir.

O(0) P(a)

Ԭekildeki A

OP vektörü P noktasԩnԩn yer vektörüdür.

O(0) A(1) B(2) C(3)

Ԭekildeki A

OA vektörü A AB ve A

BC vektörlerinin yer vektörüdür.

Bir Doԫru Parçasԩnԩ Ԩçten ve Dԩԭtan Belli Oranda Bölen Noktalar

Vektörel Olarak Ԩçten Bölme

A C B

h > 0 olmak üzere,

CB

AC = h B CC A

–– = h C – A = hB – hC C = A B

1 mm + +

ÖRNEK 14

A(1) C(x) B(6)

Ԭekilde |AC| = 2|BC| ise x kaçtԩr?

Çözüm

|AC| = 2|BC| BC

AC = h = 2 olacaԫԩndan,2

C = A B 1 mm

+

+ C = .

1 2 1 2 6

3 13 +

+ = bulunur.

Vektörel Olarak Dԩԭtan Bölme

A B C

C B A

h 1 , h D R⁺ olmak üzere,

BC

AC = h C BC A –

– = h C – A = hC – hB

C = A B 1––

m dir.m

(19)

ÖRNEK 15

A(2) B(6) C(x)

Ԭekilde |AC| = 4|BC| ise x kaçtԩr?

Çözüm

|AC| = 4|BC| BC

AC = h = 4 olacaԫԩndan,4

C = A B 1––

m C = m . 1 4 2 4 6

3 22 –

– = bulunur.

Bir Doԫru Parçasԩnԩn Orta Noktasԩ

A(a) C(c) B(b)

CB

AC = h C = A B 1 mm

+

+ eԭitliԫinde h = 1 alԩnԩrsa

C noktasԩ orta nokta olup C = a b 2

+ bulunur.

ÖRNEK 16

Uç noktalarԩ A(–1) ve B(7) olan [AB] nԩn orta noktasԩnԩn koordinatԩnԩ bulunuz.

Çözüm

A(–1) C(x) B(7)

[AB] nԩn orta noktasԩ C(x) ise

x = – +1 72 = 3 olur. O halde, C(3) dir.

ÖRNEK 17

A(–3) , B(x) ve C(1) olmak üzere [AB] nԩn orta noktasԩ C ise x kaçtԩr?

Çözüm

A(–3) C(1) B(x)

1 = x

2 3

– + 2 = –3 + x x = 5 bulunur.

ÖRNEK 18

A(a – 2), B(2) ve C(a – 1) olmak üzere, [AB] nԩn orta noktasԩ C ise a kaçtԩr?

Çözüm

A(a–2) C(a–1) B(2)

a – 1 = a 2 2 2

– + 2a – 2 = a a = 2 olur.

A(x), B(y) ve C(z) olmak üzere x < y < z ise, B noktasԩ A ile C arasԩndadԩr.

ÖRNEK 19

A(–5), B(2x – 3) ve C(3) olmak üzere, B noktasԩ A ile C arasԩnda ise x in alabileceԫi tam sayԩ deԫer- lerini bulunuz.

Çözüm

A(–5) B(2x–3) C(3)

B(2x – 3) noktasԩ, A(–5) ve C(3) arasԩnda ise –5 < 2x – 3 < 3 –2 < 2x < 6

–1 < x < 3 olur.

Bulunan koԭula uygun x tam sayԩlarԩ 0, 1 ve 2 dir.

ESEN YAYINLARI

Koordinat Doԫrusu

(20)

1. A(–2) , B(0) , C 2

c m , D(v5) noktalarԩnԩ sayԩ 3 doԫrusu üzerinde gösteriniz.

2. Aԭaԫԩdaki tabloda uç noktalarԩ verilen doԫru parçalarԩnԩn uzunluklarԩnԩ bulunuz.

A B

A(–3)

|AB|

B(1)

A(1) B(–2)

A(–3) B(0)

A(1–v3) B(5–v3)

A(x+1) B(x–6)

3. A(–3) ve B(x + 1) olmak üzere |AB| = 6 ise x kaçtԩr?

4. Sayԩ doԫrusu üzerinde A(–1) noktasԩna uzaklԩԫԩ 3 birim olan noktalarԩ bulunuz.

5. A(2), B(x + 1), C(4) olmak üzere A ile B arasԩndaki uzaklԩk B ile C arasԩndaki uzaklԩԫa eԭit ise x kaçtԩr?

6. A B C D

2x+1 x+3

Yukarԩdaki ԭekilde,

|AB| = |BC| = |CD| = 2 birimdir.

Buna göre A noktasԩnԩn koordinatԩ kaçtԩr?

7. Aԭaԫԩdaki tabloda koordinatlarԩ verilen nokta çiftlerinin orta noktalarԩnԩ bulunuz.

A B

A(2)

A ile B nin orta noktas›

B(6)

A(–1) B(5)

A(2–x) B(x+4)

8. A(x + 1), B(–1) ve C(3) olmak üzere A noktasԩ B ile C arasԩnda ise x hangi aralԩkta deԫerler alԩr?

9. A(–1), B(4), C(6) ve D(x) olmak üzere [AB] nԩn orta noktasԩ K, [CD] nԩn orta noktasԩ P, [KP] nin orta noktasԩ T(2) ise x kaçtԩr?

ALIԬTIRMALAR – 2

3. –10 veya 2 4. –4 veya 2 5. 2 6. –5 8. (–2, 2) 9. –1

ESEN YAYINLARI

(21)

0 (sԩfԩr) sayԩsԩna karԭԩlԩk gelen O noktasԩnda birbiri- ne dik olan biri yatay diԫeri düԭey iki sayԩ doԫrusu- nun oluԭturduԫu sistem dik koordinat sistemi; bu sayԩ doԫrularԩnԩn belirttiԫi düzlem de analitik düzlemdir.

x (apsis) y

(ordinat)

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

–1 –2 –3 –4 4 3 2 1 xv

yv O –4

Dik koordinat sistemini oluԭturan sayԩ eksenlerinden;

® Yatay olanԩ (xxƏ) apsisler eksenidir.

® Düԭey olanԩ (yyƏ) ordinatlar eksenidir.

® Eksenlerin kesiԭtiԫi nokta orijindir.

® Apsis ve ordinat eksenlerinin oluԭturduԫu sistem de koordinat sistemidir.

x y

0 a

b A(a, b)

apsis ordinat

(a, b) sԩralԩ ikilisine karԭԩlԩk gelen noktayԩ A ile gös- terirsek A noktasԩ A(a, b) biçiminde yazԩlԩr.

a ya A noktasԩnԩn apsisi, b ye A noktasԩnԩn ordinatԩ, (a, b) sԩralԩ ikilisine A noktasԩnԩn koordinatlarԩ denir.

ÖRNEK 20

A(3, 2) , B(–4, 3) , C(–2, –3) ve D(5, –2) noktalarԩ analitik düzlemde gösterilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.

x y

–4 0 3

–2 3 2

–3

A(3,2)

C(–2,–3)

D(5,–2) B(–4,3)

–2 5

Koordinat sisteminde, x ekseni üzerindeki nokta- larԩn ordinatlarԩ sԩfԩrdԩr. y ekseni üzerindeki nok- talarԩn apsisleri sԩfԩrdԩr.

ÖRNEK 21

A(3, 0) , B(–5, 0) , C(0, 2) ve D(0, –2) noktalarԩ analitik düzlemde gösterilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.

x y

C(0,2)

B(–5,0) A(3,0)

D(0,–2)

ÖRNEK 22

A(a – b, 1) noktasԩ y ekseni üzerinde ve B(–2, a + 1) noktasԩ x ekseni üzerinde ise a ve b deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

A(a – b, 1) noktasԩ y ekseni üzerinde ise a – b = 0 dԩr.

B(–2, a + 1) noktasԩ x ekseni üzerinde ise a + 1 = 0 a = –1

a – b = 0 –1 – b = 0 b = –1 bulunur.

ANALԨTԨK DÜZLEM

ESEN YAYINLARI

(22)

ESEN YAYINLARI

Analitik Düzlem

A(a, b) noktasԩnԩn eksenlere olan uzaklԩklarԩ top- lamԩ: |a| + |b| dir.

ÖRNEK 23

A(–3, 2) noktasԩnԩn eksenlere olan uzaklԩklarԩ topla- mԩnԩ bulunuz.

Çözüm

x y

–3 0

A 2

Ԭekilde görüldüԫü gibi

A noktasԩnԩn x eksenine olan uzaklԩԫԩ |2| = 2 ve y eksenine olan uzaklԩԫԩ |–3| = 3 tür.

Buna göre, 2 + 3 = 5 olur.

ÖRNEK 24

A(a – 1, 3) noktasԩnԩn y eksenine olan uzaklԩԫԩ 4 br ise a nԩn alabileceԫi deԫerleri bulunuz.

Çözüm

x y

–4 0

3 A

A

4

|a – 1| = 4 a – 1 = 4 a – 1 = –4 a = 5 a = –3

x y

I. BÖLGE x > 0 y > 0 II. BÖLGE

x < 0 y > 0

x > 0 y < 0 IV. BÖLGE x < 0

y < 0 III. BÖLGE

Koordinat sistemini oluԭturan eksenler, analitik düzle- mi dört bölgeye ayԩrԩr.

A(x, y) noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩn iԭaretleri yukarԩda ifade edilmiԭtir.

ÖRNEK 25

A(2a – 6, a + 2) noktasԩ analitik düzlemin II. bölgesin- de ise a nԩn alabileceԫi tam sayԩ deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

A(2a–6, a+2) noktasԩ II. bölgede ise 2a – 6 < 0 ve a + 2 > 0

a < 3 ve a > –2 olur.

O halde –2 < a < 3 bulunur.

a nԩn tam sayԩ deԫerleri –1, 0, 1, 2 dir.

ÖRNEK 26

A(a.b, a².b) noktasԩ analitik düzlemin IV. bölgesinde ise B(–a, –b) noktasԩ hangi bölgededir?

Çözüm

A(a.b, a².b) noktasԩ IV. bölgede ise a.b > 0 ve a².b < 0 olmalԩdԩr.

a².b < 0 b < 0 dԩr.

a.b > 0 ve b < 0 a < 0 bulunur.

a ve b negatif ise –a ve –b pozitif olup B(–a, –b) noktasԩ analitik düzlemin I. bölgesindedir.

(23)

BԨR DOԪRU PARÇASINI VERԨLEN BԨR ORANDA BÖLEN NOKTALARIN KOORDԨNATLARI

A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂) noktalarԩ ve [AB] üzerinde

CB

CA = k eԭitliԫini saԫlayan k D R⁺ verildiԫinde;

® AB doԫru parçasԩnԩ, k oranԩnda içten bölen nokta C(x₀, y₀) ise

A(x₁,y₁) C(x₀,y₀) B(x₂,y₂)

x₀ = k x kx

1

1 2

+

+ , y₀ = k y ky

1

1 2

+ + dir.

® AB doԫru parçasԩnԩ, k oranԩnda dԩԭtan bölen nokta C(x₀, y₀) ise

A(x₁,y₁) B(x₂,y₂) C(x₀,y₀)

x₀ = k x kx

1–

1– 2 , y₀ = k y ky

1–

1– 2 dir.

ÖRNEK 27

A(2, 3) , B(0, 6) ve B D [AC] olmak üzere,

CB CA

2

= eԭitliԫini saԫlayan C noktasԩnԩ bulunuz.3

Çözüm I. Yol:

AB doԫru parçasԩnԩ 2

3 oranԩnda dԩԭtan bölen nokta C(a, b) olduԫundan,

A(2,3) B(0,6) C(a,b)

x₁ y₁ x₂ y₂ x₀ y₀

x₀ = k x kx

1–

1– 2 a = . 1 23 2 23 0

– –

= –4

y₀ = k y ky

1–

1– 2

b = . 1 23 3 23 6

– –

= 12 olur.

O halde, C(–4, 12) bulunur.

II. Yol:

A(2,3) B(0,6) C(a,b)

2t t

t de 3 art›Á t de 2 azalma

CB CA

2

= ise |AB| = t ve |BC| = 2t alԩnabilir.3

A ile B noktalarԩnԩn apsislerini karԭԩlaԭtԩrdԩԫԩmԩzda t için 2 birim azalma olmuԭ (2 den 0 a)

2t için 4 birim azalma olur. Yani C noktasԩnԩn apsisi, a = 0 – 4 = –4 tür.

A ile B noktalarԩnԩn ordinatlarԩnԩ karԭԩlaԭtԩrdԩԫԩmԩzda t için 3 birim artma olmuԭ (3 ten 6 ya)

2t için 6 birim artma olur.

Yani C noktasԩnԩn ordinatԩ, b = 6 + 6 = 12 bulunur.

O halde, C(– 4, 12) bulunur.

ÖRNEK 28

A(0, –1) , B(15, –11) ve C D [AB] olmak üzere,

CB CA

2

= ise C noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.3

Çözüm

A(0,–1) C(?,?) B(15,–11)

2t 3t

5t de 15 art›Á 5t de 10 azalma

A ile B noktalarԩnԩn apsisleri için 5t de 15 artԩԭ varsa, 3t de 9 artԩԭ olur.

C noktasԩnԩn apsisi 0 + 9 = 9 olur.

A ile B noktalarԩnԩn ordinatlarԩ için

5t de 10 azalma varsa 3t de 6 azalma olur.

C noktasԩnԩn ordinatԩ –1 – 6 = –7 olur.

O halde, C(9, –7) bulunur.

ESEN YAYINLARI

Analitik Düzlem

(24)

ALTIN ORAN

Altԩn oran, doԫada bir bütünün parçalarԩ arasԩnda gözlemlenen, uyum ve estetik açԩdan en uygun boyutlarԩ veren geometrik ve sayԩsal bir oran iliԭkisidir.

Altԩn oran, örneԫin bir dikdörtgenin göze en estetik gözükmesi için uzun kenarԩ ile kԩsa kenarԩ arasԩndaki orandԩr.

Buna benzer olarak, bir doԫru parçasԩnԩn ikiye ayrԩldԩԫԩnda göze en hoԭ gelen ikiye ayrԩlma oranԩdԩr. Altԩn oran, sadece dikdörtgen ve doԫru için deԫil, neredeyse tüm geometrik cisimler ve yapԩlar için kullanԩlabilir. Klasik mimaride ve modern mimaride inԭa edilecek yapԩnԩn görünüԭü daima bir altԩn dikdörtgen içine yerleԭtirilmektedir.

® Uzunluԫu l kadar olan bir AB doԫru parçasԩ alalԩm ve bunu bir C noktasԩ yardԩmԩyla uzunluklarԩ a ve b kadar olan AC ve CB gibi doԫru parçasԩna ayԩralԩm.

A C B

b a

Bu bölme sԩrasԩnda

a, = yani ba a ba b

+ = eԭitliԫini gerçekleyen a b

a ya da

a, oranԩna altԩn oran denir.

a a b

b

+ = eԭitliԫinde her iki tarafԩn pay ve paydasԩnԩ b ile bölüp a b

a = x alԩrsak, x

x 1+ = x ya da

x² = x + 1 denklemini elde ederiz. Bu denklemin kökleri 2 1+ 5 ve

2

1– 5 dir.

2

1 5

z = + = 1,6180339... ve

2 1– 5

z =l olarak alԩrsak z z+ l=1 veya z z. l=–1 yazabiliriz.

® Kenarlarԩnԩn oranԩ altԩn orana eԭit olan bir dikdörtgene altԩn dikdörtgen denir. Bir dikdörtgenin, uzun kenarԩ 1.618 birim, kԩsa kenarԩ 1 birim ise bu dikdörtgen altԩn dikdörtgendir.

A

B C

D E

F

Bu dikdörtgenin kԩsa kenarԩnԩ kenar kabul eden bir kare ve hemen ardԩndan karenin iki köԭesi arasԩnda bir çeyrek çember çizilir.

Kare çizildikten sonra yanda kalan kԩsԩmda küçük bir kare ve tekrar çeyrek bir çember çizilerek bu iԭleme devam edilir. Bu iԭlem asԩl dikdörtge- nin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapԩlԩrsa, karԭԩmԩza ԭekildeki gibi bir altԩn sarmal yapԩ çԩkmaktadԩr.

® Altԩn oran, Ԩtalyan matematikçi Fibonacci tarafԩndan bulunan sayԩ dizisinde gizlidir. Fibonacci sayԩlarԩ olarak da adlandԩrԩlan F = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...} gibi sayԩlarԩn özelliԫi, dizideki sayԩlardan her birinin kendisinden önce gelen iki sayԩnԩn toplamԩndan oluԭmasԩ ve büyük sayԩnԩn küçük sayԩya olan oranԩnԩn,

13 21

21 34

34 55

55

= = =89 = ... = 1,618 ondalԩk sayԩsԩna yaklaԭmasԩdԩr.

® Ԩnsan vücudunda da göbek ile ayak arasԩndaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiԫinde, insan boyu 1,618 e denk gelmektedir.

Analitik Düzlem ETKԨNLԨK

(25)

1. Aԭaԫԩdaki noktalarԩ analitik düzlemde gösteriniz.

A(1, 4) B(3, 0) C(–4, 2) D(0, 0)

E(0, –4) F(1, –2) G(–4, –3) H(5, 0)

2. A(a – 2, a + 3) noktasԩ analitik düzlemin II. bölge- sinde ise a nԩn alabileceԫi tam sayԩ deԫerlerini bulunuz.

3. A(a + 1, 2a – 6) noktasԩ analitik düzlemin IV. böl- gesinde ise a nԩn deԫer aralԩԫԩnԩ bulunuz.

4. A(a + 1, 2) ve B(– 4, b – 2) noktalarԩ aynԩ böl- gede ise C(a, b) noktasԩ kaçԩncԩ bölgededir?

5. A(a + b, 2) ve B(b – 1, 4) noktalarԩ ordinat ekse- ni üzerinde ise C(– a, b) hangi bölgededir?

6. A(a, – b) noktasԩ analitik düzlemin IV. bölgesinde ise B(– b, – a) noktasԩ hangi bölgededir?

7. A(a².b, a.b²) noktasԩ analitik düzlemin II. bölge- sinde ise B(a.b, a².b) noktasԩ hangi bölgededir?

8. A(4, a) , B(b, 3) ve [AB] nԩn orta noktasԩ C(2, 4) ise a + b kaçtԩr?

9. A(1, 2) , B(6, – 8) ve |BC| = 4|AC| dir.

C D [AB] koԭulunu saԫlayan C noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.

10. A(2, –3) , C(–5, 4) ve 4|AB| = 3|BC| dir.

B D [AC] koԭulunu saԫlayan B noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.

11. B(0, 4) , C(4, –2) ve BC AB

2

= dir.3

B D [AC] koԭulunu saԫlayan A noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.

12.

A(0,8) B

C(3,–1)

D(–7,4)

Ԭekilde, [CD] beԭ ve [AB] yedi eԭit parçaya bölünmüԭtür. Verilenlere göre B noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.

ALIԬTIRMALAR – 3

2. {–2, –1, 0, 1} 3. (–1, 3) 4. II 5. I 6. III 7. III 8. 5 9. (2, 0) 10. (–1, 0) 11. (–6, 13) 12. (–7, –6)

ESEN YAYINLARI

(26)

M F

K E

C D

L T

A B

x y

Analitik düzlemde çizilmiԭ olan yönlü doԫru parçalarԩ karԭԩlaԭtԩrԩlmԩԭtԩr. Ԩnceleyiniz.

AAB ile A

CD ve A

FK ile A

CE aynԩ yönlü doԫru parçalarԩdԩr.

AAB ile A

CD nin yönleri ve doԫrultularԩ aynԩ, uzunluklarԩ eԭit olduԫundan eԭ yönlü doԫru parçalarԩdԩr. Dolayԩsԩyla A

AB > A CD dir.

ALT yönlü doԫru parçasԩ, A FK ve A

CE yönlü doԫ- ru parçalarԩ ile ters (zԩt) yönlü doԫru parçasԩdԩr.

AFK ile A

LT nin doԫrultularԩ aynԩ, uzunluklarԩ eԭit olmasԩna karԭԩn yönleri zԩt olduԫundan, AFK = –A

LT dir.

|A FM| = |A

CE| olmasԩna karԭԩlԩk, yönleri ve doԫrul- tularԩ farklԩ olduԫundan A

FM _ A CE dir.

AFK ve A

CE nin yönleri aynԩ ve taԭԩyԩcԩlarԩ paralel (doԫrultularԩ aynԩ) fakat uzunluklarԩ farklԩ oldu- ԫundan, A

FK _ A CE dir.

Yer (Konum) Vektörü

Analitik düzlemde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarԩ verilsin. A

AB vektörüne eԭit ve baԭlangԩç noktasԩ orijin olan A

OP vektörü, A

AB vektörünün yer (veya konum) vektörüdür.

x y

a P

B

A

O b

y₂–y₁ x₂–x₁

x₁ x₂

y₂

y₁

A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂) ve P(a, b) olmak üzere, AAB = A

OP (x₂ – x₁, y₂ – y₁) = (a, b) olur.

AOP = A

P = (a, b) ԭeklinde gösterilir.

AOP vektörü yerine A

P vektörü de yazԩlabilir.

AP vektörünün, birinci bileԭeni a ve ikinci bileԭeni b reel sayԩsԩdԩr.

ÖRNEK 29

A(–1, 2) ve B(2, 4) noktalarԩ ile tanԩmlanan A AB ve ABA vektörlerinin yer (konum) vektörlerini bulunuz.

Çözüm

A(x₁, y₁) , B(x₂, y₂) olmak üzere, AAB = A

OP = (x₂ – x₁, y₂ – y₁) olduԫundan, AAB = A

OP₁ = (2 – (–1), 4 – 2) = (2 + 1, 2) = (3, 2) ABA = A

OP₂ = (–1 – 2, 2 – 4)

= (–3, –2) olarak bulunur.

Burada, A AB = – A

BA olduԫuna dikkat ediniz.

ANALԨTԨK DÜZLEMDE VEKTÖRLER

ESEN YAYINLARI

(27)

Bir Vektörün Uzunluԫu (Normu) AOP = (a, b) vektörünün

x y

a P

O b

H

uzunluԫu (normu),

||A

OP|| veya |A OP| ile gösterilir.

OHP dik üçgeninden |A

OP| = a²+b² bulunur.

ÖRNEK 30

A(4, 5) ve B(5, 8) olmak üzere, A

AB nin yer vektö- rünü bulunuz. Düzlemde gösterip uzunluԫunu hesap- layԩnԩz.

Çözüm AAB = A

OP = (5 – 4, 8 – 5)

x y

O 3

A B

P

1 4 5

5 8

= (1, 3)

|OP| = 1²+3² = 10 br bulunur.

Ԩki Vektörün Eԭitliԫi AU = (x₁, y₁) ve A

V = (x₂, y₂) olmak üzere, AU = A

V x₁ = x₂ ve y₁ = y₂ dir.

ÖRNEK 31

AU = (a+b, 6) , A

V = (4, a–b) olmak üzere, AU = A

V ise a.b kaçtԩr?

Çözüm AU = A

V (a+b, 6) = (4, a–b) a + b = 4 ve a – b = 6

Bu iki denklemin ortak çözümünden a = 5 ve b = –1 bulunur. O halde, a.b = 5.(–1) = –5 olur.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩԫԩn

|AB| = (x₂–x₁)²+(y₂–y₁)² olduԫunu gösteriniz.

AAB = (x₂ – x₁, y₂ – y₁) olacaԫԩndan,

|AB| = ||A

AB|| = (x₂–x₁)²+(y₂–y₁)² bulunur.

ÖRNEK 32

a. A(1, –2) ve B(–5, 6) ise |AB| kaç birimdir?

b. A(2, –3) ve B(x, 0) olmak üzere, |AB| = 5 br ise x deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

a. |AB| = (– –5 1)²+(6 2+ )²= 36 64+ = 10 br olur.

b. |AB| = 5 (x 2– )²+(0 3+ )²=5 (x – 2)² + 9 = 25 (x – 2)² = 16 |x – 2| = 4

x – 2 = 4 veya x – 2 = –4 x = 6 veya x = –2 bulunur.

x y

O

–P

P

a b

–b –a

–A

P = (–a, –b) vektörüne AP = (a, b) vektörünün tersi denir.

Ԩki Vektörün Toplamԩ ve Farkԩ

x y

O

AA^A+B

C(x₁+x₂, y₁+y₂)

B(x₂, y₂) A(x1, y1)

AA = (x₁, y₁) ve A

B = (x₂, y₂) olmak üzere, AA + A

B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) dir.

AA – A B = A

A + (–A

B) = (x₁, y₁) + (–x₂, –y₂) = (x₁ – x₂, y₁ – y₂) bulunur.

x y

O A

B A –^A

B^A

ABA = A A – A

B olduԫuna dikkat ediniz.

Analitik Düzlemde Vektörler

ESEN YAYINLARI

(28)

ÖRNEK 33

AA = (3, –1) ve A

B = (6, 2) olmak üzere, AA + A

B ve A A – A

B vektörlerini bulunuz.

Çözüm AA + A

B = (3+6, –1+2) = (9, 1) olur.

AA – A

B = (3–6, –1–2) = (–3, –3) olur.

ÖRNEK 34

A(1, –2) ve B(3, 2) noktalarԩ ve A

C = (–1, 4) vektö- rüne göre aԭaԫԩdakileri bulunuz.

a. A AB + A

C b. A

C + A BA c. A

C – A AB Çözüm a. A

AB = A B – A

A

= (3 – 1, 2 – (–2)) = (2, 4) AAB + A

C = (2, 4) + (–1, 4)

= (2 + (–1), 4 + 4) = (1, 8)

b. A BA = A

A – A B

= (1 – 3, –2 – 2) = (–2, –4) AC + A

BA = (–1, 4) + (–2, –4)

= (–1 + (–2), 4 + (–4)) = (–3, 0)

c. A

C = (–1, 4) ve A

AB = (2, 4) ise AC – A

AB = (–1 – 2, 4 – 4) = (–3, 0) Burada, A

AB = –A

BA olduԫundan, AC – A

AB = A C + A

BA olduԫuna dikkat ediniz.

Bir Vektörün Bir Reel Sayԩ Ԩle Çarpԩmԩ AA = (x₁, y₁) vektörü ve k D R için

k.A

A = (k.x₁, k.y₁) dir.

ÖRNEK 35

AA = (2, 1) ve A

B = (–1, 3) ise 3A A – 2A

B vektörünü bulunuz.

Çözüm 3A

A – 2A

B = 3.(2, 1) – 2.(–1, 3)

= (3.2, 3.1) – (2.(–1), 2.3)

= (6, 3) – (–2, 6)

= (6 – (–2), 3 – 6)

= (8, –3) bulunur.

ÖRNEK 36

A(–1, 3) , B(4, –1) ve C(2, 0) olmak üzere, 2A

AB – 2A

C vektörününün uzunluԫunu bulunuz.

Çözüm AAB = A

B – A

A = (4, –1) – (–1, 3) = (5, –4) 2A

AB = 2.(5, –4) = (10, –8) 2A

C = 2.(2, 0) = (4, 0) 2A

AB – 2A

C = (10, –8) – (4, 0) = (6, –8) olup

|2A AB – 2A

C| = 6²+(–8)² = 10 bulunur.

ÖRNEK 37

AA = (–1, 2) ve A

B = (3, 4) vektörleri veriliyor.

a.A A + b.A

B = A

0 ise a ve b reel sayԩlarԩnԩ bulunuz.

Çözüm a.A

A + b.A B = A

0

a.(–1, 2) + b.(3, 4) = (0, 0) (–a, 2a) + (3b, 4b) = (0, 0) (–a + 3b, 2a + 4b) = (0, 0)

a b

3 0

2 4 0

– + =

+ = ³ a = 0 ve b = 0 dԩr.

ESEN YAYINLARI

(29)

ESEN YAYINLARI

Birim Vektör

Uzunluԫu 1 birim olan vektöre, birim vektör denir.

|A

A| = 1 br ise A

A vektörü birim vektördür.

Analitik düzlemde Ae₁ = (1, 0) ve Ae₂ = (0, 1) birim vektörlerine, standart (temel veya baz) birim vektör- ler denir.

x y

O e₂ A=(0,1)

e₁ A=(1,0)

Ae₁ yatay birim vektörü, A i ile Ae₂ düԭey birim vektörü, A

j ile gösterilir.

AA = (x₁, y₁) vektörü ile aynԩ doԫrultu ve yöndeki birim

vektör, P . A A

= 1 dir.

ÖRNEK 38

AA = , n 2

c1 m vektörünün birim vektör olmasԩ için n han-

gi deԫerleri alabilir?

Çözüm

|A

A| = 1 ise A

A nün birim vektör olduԫunu biliyoruz.

O halde, |A

A| = 1 n

2 1 ²+ 2

c m = 1

n

4

1+ ₂ = 1

41 + n² = 1 n² = 1 –

4 1

n² = 4 3

n = 23

! bulunur.

ÖRNEK 39

AA = , 5 4

5 –3

c m vektörünün birim vektör olduԫunu gös- teriniz.

Çözüm

|A A| =

5 4

5 –3

2 2

c m +c m = 2516 259 + = 1

olduԫundan A

A vektörü birim vektördür.

ÖRNEK 40

AA = (3, 4) ile aynԩ doԫrultu ve yönlü birim vektörü bulunuz.

Çözüm

|A

A| = 3²+4²= 9 16+ = 25 = 5 olup A

A ile aynԩ doԫrultu ve yönlü birim vektör,

P . A1 A

=

= 5

1.(3, 4) = , 5 3

5

c 4m olarak bulunur.

ÖRNEK 41

AA = (–5, 12) ile aynԩ doԫrultulu fakat zԩt yönlü birim vektörü bulunuz.

Çözüm

|A

A| = ( )–5²+12²= 25 144+ = 13 olup

AA ile aynԩ doԫrultulu fakat zԩt yönlü olan birim vektör, 1

AP = – –––.A A |A

A|

= 131

– .(–5, 12)

= , 135

13 –12

c m vektörüdür.

(30)

1. Analitik düzlemde verilen A(2, –1), B(3, 2) ve C(1, –2) noktalarԩna göre A

AB, A AC ve A

BC vek- törlerini analitik düzlemde çiziniz.

2. A(2, 1), B(3, –1), C(a, –2) ve D(–1, b) noktalarԩna göre A

AC = A

BD ise a + b kaçtԩr?

3. A(n–1, 3) ve B(n+2, 2) noktalarԩndan geçen AAB vektörünün yer vektörü nedir?

4. A(2, 4), B(–3, 5) ve C(1, 0) olmak üzere 2A

AB – 3A

BC ifadesinin eԭitini bulunuz.

5. A

AB = (–1, 3) ve A

B = (2, 1) ise A

A vektörü nedir?

6. A

A = (–1, 3) ile A

B = (a, b) vektörleri için 2.A

A – A

B = (–3, 4) ise a + b kaçtԩr?

7. 2A A – A

B = (–3, 0) ve A A + A

B = (6, 3) ise A A vektö- rü nedir?

8. A(1, a), B(–2, 1) olmak üzere,

|AB| = 5 ise a nԩn alabileceԫi deԫerleri bulunuz.

9. A

A = (–3, 4), A

B = (5, –12) ise |A A + A

B| ve

|A A| + |A

B| deԫerlerini bulunuz.

10. Aԭaԫԩda verilenlerin doԫru veya yanlԩԭ olduԫunu tespit ediniz.

AA = (–1, 0) vektörü birim vektördür.

AB = , 23

2

d 1n vektörü birim vektördür.

AC = , 5 4

5

c 3m vektörü birim vektördür.

AD = , 2 1

2 –1

c m vektörü birim vektördür.

AE = (1, –1) vektörü birim vektördür.

11. A

A = (n, n–1) birim vektör ise n nin pozitif deԫeri kaçtԩr?

12. A

A = (1, –2) vektörü ile aynԩ yönlü, aynԩ doԫrultulu birim vektörü bulunuz.

13. A

A = ( 3 , –1) vektörüne zԩt yönde paralel olan birim vektörü bulunuz.

14. A A = 2A

e₁ – A e₂ ve A

B = A e₁ + 3A

e₂ ise aԭaԫԩdakileri bulunuz.

a. |A

A| b. |A

B|

c. |A

AB| d. |A

A + A B|

ALIԬTIRMALAR – 4

2. –6 3. (3, –1) 4. (–22, 17) 5. (3, –2) 6. 3 7. (1, 1) 8. –3 veya 5 9. 2c17, 18 10. D, D, D, Y, Y 11. 1 12. ,

5 1

5 – 2

d n 13. ,

23 2 – 1

d n 14. a. v5 b. c10 c. c17 d. c13

ESEN YAYINLARI

(31)

AÇI

Baԭlangԩç noktalarԩ ortak olan iki ԩԭԩnԩn birleԭimi açԩdԩr.

Açԩyԩ oluԭturan ԩԭԩnlar açԩnԩn kenarlarԩ, ԩԭԩnlarԩn ortak noktasԩ da açԩnԩn köԭesidir.

A

B

C

Yukarԩda [AB ve [AC ԩԭԩnlarԩnԩn oluԭturduԫu açԩ çizilmiԭtir.

Bu açԩyԩ, BAC% , CAB% , AW veya [AB F [AC biçi- minde gösteririz.

A

B

E C d›Á bölge

iç bölge

Ԭekilde görüldüԫü gibi BAC açԩsԩ, bu açԩnԩn iç böl- gesi ve dԩԭ bölgesi belirtilmiԭtir. Bunlar ayrԩk kümeler olup birleԭimleri E düzlemidir.

Yönlü Açԩlar

Açԩyԩ, kenarlarԩnԩn yazԩlԩԭ sԩrasԩna göre iki deԫiԭik biçimde gösteririz.

Aԭaԫԩdaki ԭekillerin birincisinde baԭlangԩç kenarԩndan bitim kenarԩna saat yönünün tersi yönde (pozitif yön), ikincisinde ise saat yönü ile aynԩ yönde (negatif yön) gidilmiԭtir.

A

O B

Pozitif yön Bitim kenar›

BaÁlang›ç kenar›

A

O B

Negatif yön BaÁlang›ç kenar›

Bitim kenar›

BOA açԩsԩ pozitif yönlü bir açԩ olup BOA% biçimin- de gösterilir. Bu açԩnԩn baԭlangԩç kenarԩ [OB, bitim kenarԩ [OA dԩr.

AOB açԩsԩ negatif yönlü bir açԩ olup AOB% biçimin- de gösterilir. Bu açԩnԩn baԭlangԩç kenarԩ [OA, bitim kenarԩ [OB dir.

Aԭaԫԩda bazԩ açԩlarԩn yönü, baԭlangԩç kenarԩ, bitim kenarԩ ve gösteriliԭi ifade edilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.

Aç› Yönü BaÁlang›ç

kenar›

L K

M

Z X

Y

Negatif Pozitif

Bitim

kenar› GösteriliÁi

[LM

[YX

MLK

XYZ [LK

[YZ

AÇILAR

ESEN YAYINLARI

(32)

Açԩlar

Bir Açԩnԩn Ölçüsü

Bir ABC açԩsԩna karԭԩlԩk gelen _ D R⁺ sayԩsԩna ABC açԩsԩnԩn ölçüsü denir. m(ABC% ) = _ olarak gösterilir.

Birim Çember

Düzlemde sabit bir noktadan

O

r=1 A

1 birim uzaklԩkta olan nokta- larԩn kümesine birim çember denir. Ԭekilde O merkezli

|OA| = r = 1 birim yarԩçaplԩ birim çember çizilmiԭtir.

AÇI ÖLÇÜ BԨRԨMLERԨ Radyan

Merkezi, açԩnԩn baԭlangԩç noktasԩ olan birim çem- ber ile açԩnԩn ԩԭԩnlarԩnԩn çemberi kestiԫi noktalar arasԩndaki 1 birim uzunluktaki yaya 1 radyan denir.

O A

B

AB yayԩnԩn uzunluԫu AOB açԩsԩnԩn radyan cinsinden ölçüsüdür.

Derece

O A

B

1°

Birim çemberin çevre uzunlu- ԫunun 360 eԭ parçasԩndan biri- ni gören merkez açԩnԩn ölçüsü- ne 1 derece denir ve 1° biçimin- de gösterilir. m( AOB%) = 1°

Herhangi bir açԩnԩn derece cinsinden ölçüsü D ve radyan cinsinden ölçüsü R ise D R

180°= r dir.

ÖRNEK 42

120° kaç radyandԩr?

Çözüm

D R

180°= r eԭitliԫinde D = 120° alԩnԩrsa R

180 120

°

= r R

3 2

= r R = 32 r bulunur.

ÖRNEK 43

3r radyan kaç derecedir?4 Çözüm

D R

180°= r eԭitliԫinde R =

3r alԩnԩrsa4 D

180 34

° r

r

= D = 43.180° = 135° bulunur.

Birim Çember Üzerinde Bir Açԩnԩn Trigonometrik Oranlarԩ

y

x K

P T

A D

C S 1

O kotanjant ekseni

tanjant ekseni

kosinüs ekseni

sinüs ekseni

_

P(x, y) noktasԩ birim çember üzerinde olup m( POC%) = _ ise

P noktasԩnԩn apsisine _ gerçek sayԩsԩnԩn kosinü- sü denir ve cos_ biçiminde gösterilir.

P noktasԩnԩn ordinatԩna _ gerçek sayԩsԩnԩn sinü- sü denir ve sin_ biçiminde gösterilir.

T noktasԩnԩn ordinatԩna _ gerçek sayԩsԩnԩn tan- jantԩ denir ve tan_ biçiminde gösterilir.

K noktasԩnԩn apsisine _ gerçek sayԩsԩnԩn kotan- jantԩ denir ve cot_ biçiminde gösterilir.

tan_ = cossin

a ve cot_ = a sin cos

aa dԩr.

ESEN YAYINLARI