Nevzat Asma

(1)

Mil li Eԫi tim Ba kan lԩ ԫԩ Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baԭ kan lԩ ԫԩ’nԩn 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yԩ lԩ ka ra rԩ ile ka bul edi len ve 2011-2012 Öԫ re tim Yԩ lԩn dan iti ba ren uy gu la- na cak olan prog ra ma gö re ha zԩr lan mԩԭtԩr.

(2)

Ԩsteme Adresi

ESEN BASIN YAYIN DAԪITIM LTD.ԬTԨ.

Bayԩndԩr 2. Sokak No.: 34/11–12 Kԩzԩlay/ANKARA tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87

faks: (0312) 417 15 78

ISBN : 978 – 975 – 6913 – 55 – X Genel Müdür

Temel Ateԭ

Genel Koordinatör

Akԩn Ateԭ

Eԫitim Koordinatörü - Editör

Nevzat Asma

Eԫitim Koordinatör Yardԩmcԩsԩ

Halit Bԩyԩk

Dizgi, Grafik, Tasarԩm Esen Dizgi Servisi

Bu ki ta bԩn ta ma mԩ nԩn ya da bir kԩs mԩ nԩn elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi ya da her han gi bir ka yԩt sis te miy le ço ԫal tԩl ma sԩ, ya yԩm lan ma sԩ ve de po lan ma sԩ ya sak tԩr.

Bu ki ta bԩn tüm hak la rԩ ya za rlarԩ na ve Esen Ba sԩn Ya yԩn Da ԫԩ tԩm Li mi tet Ԭir ke ti ne ait tir.

www.esenyayinlari.com.tr

Görsel Tasarԩm

Erol Faruk Yücel – Vedat Polat

Baskԩ

Bahçekapԩ Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06370 Ԭaԭmaz / ANKARA Tel: (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr

Baskԩ Tarihi 2012 – VIII

(3)

Sev gi li Öԫ ren ci ler;

Yeni sԩ nav sis te mi ne gö re, YGS Matematik sorularԩnԩn tamamԩna yakԩnԩ 9. sԩnԩf ko nu la rԩn- dan oluԭ mak ta dԩr. Ay rԩ ca, YGS – LYS pu anԩ nԩn he sap lan ma sԩn da or ta öԫ re tim ba ԭa rԩ pu anԩ nԩn et ki si çok faz la dԩr ve bu nun te la fi si de ile ri ki yԩl lar da müm kün de ԫil dir.

Bu se bep ten do la yԩ;

¬ Bu ki tap, 9. sԩnԩf öԫ ren ci le ri için okul da ki ders le ri ne yar dԩm cԩ ve üniversiteye giriԭ sԩ na vlarԩna yö ne lik ha zԩr lan mԩԭ tԩr.

¬ 9. sԩnԩf ko nu la rԩ için de yer alan te mel kav ram ve bil gi ler, ge rek siz de tay lar dan uzak, açԩk, an la ԭԩ lԩr ve öz lü bir an la tԩm ԭek li ile ve ril miԭ tir.

¬ Bu ki tap, 4 ünite içinde yer alan toplam 14 bö lüm den oluԭ mak ta dԩr. Her bir bö lüm de ko nu an la tԩ mԩn dan son ra; ko nu nun da ha iyi an la ԭԩl ma sԩ için çok sa yԩ da çö züm lü ör nek ler, alԩԭtԩrmalar, yazԩlԩya hazԩrlԩk sorularԩ, üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩna yö ne lik test ler ve ko nu ile il gi li üniversiteye giriԭ sԩ nav la rԩn da çԩk mԩԭ so ru lar bu lun mak ta dԩr.

Mut lu, saԫ lԩk lԩ ve baԭarԩlԩ bir hayat geçir meniz dileԫiy le...

Nevzat ASMA Halit BIYIK

www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com

(4)

Korkma, sönmez bu ԭafaklarda yüzen al sancak;

Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.

O benim milletimin yԩldԩzԩdԩr, parlayacak;

O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olayԩm, çehreni ey nazlԩ hilâl!

Kahraman ԩrkԩma bir gül! Ne bu ԭiddet, bu celâl?

Sana olmaz dökülen kanlarԩmԩz sonra helâl...

Hakkԩdԩr, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür yaԭadԩm, hür yaԭarԩm.

Hangi çԩlgԩn bana zincir vuracakmԩԭ? Ԭaԭarԩm!

Kükremiԭ sel gibiyim, bendimi çiԫner, aԭarԩm.

Yԩrtarԩm daԫlarԩ, enginlere sԩԫmam, taԭarԩm.

Garbԩn âfâkԩnԩ sarmԩԭsa çelik zԩrhlԩ duvar, Benim iman dolu göԫsüm gibi serhaddim var.

Ulusun, korkma! Nasԩl böyle bir imanԩ boԫar,

‘Medeniyet!’ dediԫin tek diԭi kalmԩԭ canavar?

Arkadaԭ! Yurduma alçaklarԩ uԫratma, sakԩn.

Siper et gövdeni, dursun bu hayâsԩzca akԩn.

Doԫacaktԩr sana va’dettiԫi günler Hakk’ԩn...

Kim bilir, belki yarԩn, belki yarԩndan da yakԩn.

Bastԩԫԩn yerleri “toprak!” diyerek geçme, tanԩ:

Düԭün altԩndaki binlerce kefensiz yatanԩ.

Sen ԭehit oԫlusun, incitme, yazԩktԩr, atanԩ:

Verme, dünyalarԩ alsan da, bu cennet vatanԩ.

Kim bu cennet vatanԩn uԫruna olmaz ki fedâ?

Ԭühedâ fԩԭkԩracak topraԫԩ sԩksan, ԭühedâ!

Cânԩ, cânânԩ, bütün varԩmԩ alsԩn da Huda, Etmesin tek vatanԩmdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, Ԩlâhi, ԭudur ancak emeli:

Deԫmesin mabedimin göԫsüne nâmahrem eli.

Bu ezanlar-ki ԭahadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taԭԩm, Her cerîhamdan, Ԩlâhi, boԭanԩp kanlԩ yaԭԩm, Fԩԭkԩrԩr ruh-ԩ mücerred gibi yerden na’ԭԩm;

O zaman yükselerek arԭa deԫer belki baԭԩm.

Dalgalan sen de ԭafaklar gibi ey ԭanlԩ hilâl!

Olsun artԩk dökülen kanlarԩmԩn hepsi helâl.

Ebediyen sana yok, ԩrkԩma yok izmihlâl:

Hakkԩdԩr, hür yaԭamԩԭ, bayraԫԩmԩn hürriyet;

Hakkԩdԩr, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

ԨSTԨKLÂL MARԬI

(5)

ATA TÜRK’ÜN GENÇ LԨ ԪE HԨ TA BE SԨ

Ey Türk gençliԫi! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en kԩymetli hazinendir. Ԩstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlarԩn olacaktԩr. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düԭersen, vazifeye atԩlmak için, içinde bulunacaԫԩn vaziyetin imkân ve ԭeraitini düԭünmeyeceksin!

Bu imkân ve ԭerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. Ԩstiklâl ve cumhuriy- etine kastedecek düԭmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiԭ bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanԩn, bütün kaleleri zapt edilmiԭ, bütün tersanelerine girilmiԭ, bütün ordularԩ daԫԩtԩlmԩԭ ve memleketin her köԭesi bilfiil iԭgal edilmiԭ olabilir. Bütün bu ԭeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hԩyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ԭahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düԭmüԭ olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâdԩ! Ԩԭte, bu ahval ve ԭerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktԩr! Muhtaç olduԫun kudret, damarlarԩndaki asîl kanda, mevcuttur!

(6)

1. ÜNԨTE MANTIK

Mantԩԫa Giriԭ ...10

Denk (Eԭ Deԫer) Önerme ...11

Bir Önermenin Deԫili (Olumsuzu) ...11

Alԩԭtԩrmalar - 1 ...12

Bileԭik Önermeler Ve Doԫruluk Deԫerleri ...13

Totoloji Ve Çeliԭki ...16

Koԭullu Önerme ...17

Ԩki Yönlü Koԭullu Önerme ...19

Açԩk Önerme ...21

Niceleyiciler ...21

Tanԩm, Aksiyom, Teorem ...21

Ԩspat Yöntemleri ...22

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk ...25

Test - 1, 2, 3 ...27

Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ...33

2. ÜNԨTE KÜMELER

Kümelerin Gösterimi ...36

Eleman Sayԩsԩ ...36

Sonlu ve Sonsuz Küme , Eԭit Küme, Denk Küme, Alt Küme...37

Kümelerde Ԩԭlemler ...43

Küme Problemleri ...48

Test - 1, 2, 3, 4 ...55

3. ÜNԨTE BAԪINTI, FONKSԨYON ve ԨԬLEM

KARTEZYEN ÇARPIM ve BAԪINTI Sԩralԩ Ԩkili ...68

Kartezyen Çarpԩm ...68

Analitik Düzlem ve Kartezyen Çarpԩmԩn Grafiԫi ...69

Baԫԩntԩ ...71

Bir Baԫԩntԩnԩn Tersi...73

Baԫԩntԩnԩn Özelikleri ...74

Alԩԭtԩrmalar ...77

Test - 1, 2 ...81

FONKSԨYONLAR Fonksiyon ...88

Fonksiyonlarda Dört Ԩԭlem...92

Fonksiyon Çeԭitleri ...93

Fonksiyon Sayԩsԩ ...96

Bir Fonksiyonun En Geniԭ Tanԩm Kümesi ...96

Bir Fonksiyonun Tersi...97

Fonksiyonlarԩn Bileԭkesi ...103

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk - 1 ...109

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk - 2 ... 111

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 113

ԨԬLEM Ԩԭlem ...136

Ԩԭlemin Özelikleri ...139

Test - 1, 2, 3 ...151

(7)

4. ÜNԨTE SAYILAR

DOԪAL SAYILAR ve TAM SAYILAR

Sayԩlarԩn Sԩnԩflandԩrԩlmasԩ ...162

Doԫal Sayԩlarda Ԩԭlemler ...163

Taban Aritmetiԫi ...167

Asal Sayԩlar ...170

Faktöriyel ...172

Bölünebilme Kurallarԩ ...175

OBEB ve OKEK...180

Tam Sayԩlar ...185

Tek ve Çift Sayԩlar ...186

Ardԩԭԩk Sayԩlar ...187

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...193

MODÜLER ARԨTMETԨK Modüler Aritmetik ...216

Denklik Baԫԩntԩsԩ ...216

Kalan Sԩnԩflarԩn Kümesi ...216

Matematik Sistemleri ...223

Test - 1, 2, 3 ...231

RASYONEL SAYILAR Kesir ...242

Kesir Çeԭitleri ...242

Denk Kesirler ...243

Rasyonel Sayԩlarda Ԩԭlemler...243

Ondalԩk Sayԩlar ...246

Devirli Ondalԩk Sayԩlar ...247

Rasyonel Sayԩlarda Sԩralama ...248

Test - 1, 2, 3, 4 ...255

BԨRԨNCԨ DERECEDEN DENKLEM ve EԬԨTSԨZLԨKLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ...270

Birinci Dereceden Ԩki Bilinmeyenli Denklemler ...272

Reel Sayԩlarda Eԭitsizlik ...277

Test - 1, 2, 3, 4 ...285

(8)

MUTLAK DEԪER

Mutlak Deԫer ...302

Mutlak Deԫerin Özelikleri ...302

Mutlak Deԫerli Eԭitsizlikler...306

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk ... 311

Test - 1, 2, 3 ...313

ÜSLÜ ԨFADELER Üslü Ԩfadelerin Özelikleri...324

Üslü Denklemler ...326

Üslü Ԩfadelerde Eԭitsizlik ...328

Test - 1, 2, 3, 4 ...335

KÖKLÜ ԨFADELER n. Dereceden Kök...350

Köklü Ԩfadelerin Özelikleri ...351

Paydanԩn Rasyonel Yapԩlmasԩ ...355

Özel Kökler ...357

Test - 1, 2, 3, 4 ...363

ORAN VE ORANTI Oran...378

Orantԩ ve Özelikleri ...378

Doԫru Orantԩ ...381

Ters Orantԩ ...383

Bileԭik Orantԩ ...384

Aritmetik Ortalama ...387

Geometrik Ortalama ...388

Test - 1, 2, 3 ...393

DENKLEM KURMA PROBLEMLERԨ Sayԩ Problemleri ...406

Kesir Problemleri ...409

Alԩԭtԩrmalar - 2 ... 411

Yaԭ Problemleri ...412

Ԩԭçi ve Havuz Problemleri ...415

Yüzde ve Kâr-Zarar Problemleri ...418

Karԩԭԩm Problemleri ...421

Hareket Problemleri ...423

(9)

MANTIK

ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨT

Önermeler

1. Kazanԩm : Terim kavramԩnԩ açԩklar, tanԩmlԩ ve tanԩmsԩz terimlere örnek verir.

2. Kazanԩm : Önermeyi, önermenin doԫruluk deԫerini, iki önermenin denkliԫini ve önermenin olumsuzunu açԩklar.

Bileԭik Önermeler

1. Kazanԩm : Bileԭik önermeyi açԩklar; ve, veya baԫlaçlarԩ ile kurulan bileԭik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallarԩnԩ doԫruluk tablosu kullanarak gösterir.

2. Kazanԩm : Koԭullu önermeyi açԩklar; koԭullu önermenin karԭԩtԩnԩ, tersini, karԭԩt tersini yazar ve doԫ- ruluk tablosu kullanarak denk olanlarԩ gösterir.

3. Kazanԩm : Ԩki yönlü koԭullu önermeyi açԩklar, iki yönlü koԭullu önerme ile koԭullu önermeler arasԩn- daki iliԭkiyi belirtir.

4. Kazanԩm : Totoloji ve çeliԭkiyi örneklerle açԩklar.

Açԩk Önermeler

1. Kazanԩm : Açԩk önermeyi ve doԫruluk kümesini açԩklar.

2. Kazanԩm : Her ve bazԩ niceleyicilerini örneklerle açԩklar, bu niceleyicilerin olumsuzunu yazar.

Ԩspat Yöntemleri

1. Kazanԩm : Tanԩm, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarԩnԩ açԩklar, bir teoremin hipotezini ve hükmü- nü belirtir.

2. Kazanԩm : Ԩspat yöntemlerini kullanarak basit ispatlar yapar.

(10)

MANTIK

Doԫruluk Çizelgesi

p 1 0

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p 1 1 1 1 0 0 0 0

q 1 1 0 0 1 1 0 0

r 1 0 1 0 1 0 1 0

1 önerme için: 2 önerme için: 3 önerme için:

2³ = 8 durum 2² = 4 durum

2¹ = 2 durum

n tane önermenin karԭԩlԩklԩ doԫruluk deԫeri 2ⁿ tanedir.

ÖRNEK 1

Aԭaԫԩdaki ifadelerden hangileri birer önermedir?

a) 3² > 2³

b) Ay dünyanԩn uydusudur.

c) Kaç yaԭԩndasԩn?

d) Türkiye, Afrika kԩtasԩndadԩr.

e) 3 + 7 = 9

f) Bugün sinemaya git!

Çözüm

a, b, d ve e seçeneklerindeki ifadeler doԫru ya da yanlԩԭ, kesin bir hüküm bildirdiklerinden birer önermedir. c ve f seçeneklerindeki ifadeler ise hüküm belirtmediklerinden önerme deԫildir.

MANTIԪA GԨRԨԬ

Mantԩk, doԫru ve sistemli düԭünme bilimidir. Matematiԫin de amacԩ, doԫru ve sistemli düԭünmeyi kazandԩrmaktԩr. Dolayԩsԩyla bu bölümde incelenecek olan sembolik mantԩԫԩ iyi kavramakla bundan sonraki matematik öԫrenimi kolaylaԭacaktԩr.

Terim: Bir bilim dalԩnda, günlük konuԭmalarԩn dԩԭԩnda, özel bir anlama sahip olan kelimelerin her birine o bilim dalԩna ait bir terim denir. Örneԫin, doԫru, düzlem, üçgen, kare, .... birer geometri terimi; sԩfat, zarf, edat, ...

birer Türkçe terimidir.

Matematikteki anlam› Günlük konuÁma dilindeki anlam›

Nokta Eleman

Kelime

Hiçbir boyutu olmayan iÁaret Cümle sonuna konulan iÁaret

Bir kümeyi oluÁturan nesnelerin herbiri Bütünü oluÁturan parçalardan bir tanesi

Önerme: Doԫru ya da yanlԩԭ, kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.

Önermeler genellikle p, q, r, s, t, .... gibi küçük harflerle gösterilir. Eԫer bir önerme doԫru ise bu önermenin doԫruluk deԫeri 1, yanlԩԭ ise bu önermenin doԫruluk deԫeri 0 dԩr.

(11)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

ÖRNEK 2

Aԭaԫԩdaki terimlerden hangileri tanԩmlԩ hangileri ta- nԩmsԩz terimdir?

a) Düzlem b) Doԫru

c) Üçgen d) Açԩ

e) Çift sayԩ f) Açԩortay Çözüm

Düzlem ve doԫru tanԩmsԩz terimlerdir. Üçgen, açԩ, çift sayԩ ve açԩortay ise birer tanԩmlԩ terimdir.

ÖRNEK 3

Aԭaԫԩdaki önermelerin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) 17 asal sayԩdԩr.

b) Ԩstanbul, Türkiye’nin baԭkentidir.

c) 5 – 2 = 3

d) Bir hafta yedi gündür.

e) 8 < 5

f) Çalԩԭԩrsan baԭarԩlԩ olursun.

Çözüm

a, c, d ve f seçeneklerindeki önermelerin doԫru- luk deԫerleri 1 dir. b ve e seçeneklerindeki öner- melerin ise doԫruluk deԫerleri 0 dԩr.

Denk (Eԭ Deԫer) Önerme

Doԫruluk deԫerleri aynԩ olan iki önermeye denk ya da eԭ deԫer önermeler denir. p ve q gibi iki önerme denk ise p > q ԭeklinde gösterilir.

ÖRNEK 4

p: “Bir hafta yedi gündür.”

q: “6 : 3 = 2”

önermeleri denk önermeler midir? Neden?

Çözüm

p doԫru olduԫundan doԫruluk deԫeri 1 dir.

q doԫru olduԫundan doԫruluk deԫeri 1 dir.

Dolayԩsԩyla p > q dur.

ÖRNEK 5

p: “Türkiye’nin baԭkenti Ankara’dԩr.”

q: “9 asal sayԩdԩr.”

Çözüm

p doԫru olduԫundan doԫruluk deԫeri 1 dir.

q yanlԩԭ olduԫundan doԫruluk deԫeri 0 dԩr.

Dolayԩsԩyla p >/ q dur.

ÖRNEK 6

p: “Bir yԩl 10 aydԩr”

q: “2 – 5 > 5 – 2”

Çözüm

p yanlԩԭ olduԫundan doԫruluk deԫeri 0 dԩr.

q yanlԩԭ olduԫundan doԫruluk deԫeri 0 dԩr.

Dolayԩsԩyla p > q dur.

Bir Önermenin Deԫili (Olumsuzu)

Bir önermenin hükmünün deԫiԭtirilmesiyle oluԭturulan yeni önermeye bu önermenin deԫili (olumsuzu) denir.

Bir p önermesinin deԫili pv , p–

, ¾p sembollerinden birisi ile gösterilir.

p 1 0

pv 0 1

® p doԫru ise pv yanlԩԭtԩr.

® p yanlԩԭ ise pv doԫrudur.

® Bir önermenin deԫilinin deԫili o önermenin ken- disidir. (pv)v > p

ÖRNEK 7

Aԭaԫԩdaki önermelerin “deԫillerini” bulunuz.

p: “6 çift sayԩdԩr.”

q: “5 + 4 = 8”

r: “2 + 4 > 5”

Çözüm

pv: “6 çift sayԩ deԫildir.”

qv: “5 + 4 & 8”

rv: “2 + 4 5”

(12)

ESEN YAYINLARI

1. Aԭaԫԩdaki noktalԩ yerleri uygun ԭekildeki dolduru- nuz.

a) Doԫru ... terimdir.

b) Üçgen ... terimdir.

c) Eԭit tanԩmsԩz ...

d) Dörtgen tanԩmlԩ ...

e) Küme ... terimdir.

2. Aԭaԫԩdaki ifadeler doԫruysa boԭ kutulara “ D ” yanlԩԭsa “ Y ” yazԩnԩz.

2 farklԩ önermenin doԫruluk deԫeri için 4 durum vardԩr.

3. Aԭaԫԩdaki ifadelerden hangileri birer önermedir?

Önerme olanlarԩn doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) Çift sayԩlarԩn küpü çift sayԩdԩr.

b) Bütün tek sayԩlar asal sayԩdԩr.

c) 3 + 4 > 8 – 2

d) Ders çalԩԭԩr mԩsԩnԩz?

e) 1453 sayԩsԩ 3 ile tam bölünür mü?

f) Bir yԩl 360 gündür.

g) Muz bir meyvedir.

h) 4 asal sayԩdԩr.

ԩ) Ԩyi akԭamlar.

4. Aԭaԫԩdaki önermelerin olumsuzlarԩnԩ bulunuz.

p : 2 asal sayԩdԩr.

q : 1 + 4 2 . 5

r : Ԭubat ayԩ en kԩsa aydԩr.

s : Bir hafta 7 gündür.

t : Tavuk dört ayaklԩ bir hayvandԩr.

5. a) Önerme olmayan 3 tane cümle yazԩnԩz.

b) 3 tane doԫru önerme yazԩnԩz.

c) 3 tane yanlԩԭ önerme yazԩnԩz.

6. Dört farklԩ önermenin doԫruluk deԫerleri için doԫ- ruluk tablosu yapԩnԩz.

7. p : “ Yüz ölçümü en küçük olan bölgemiz Marmara Bölgesidir. ”

q : “ 1 – 3 < 2 – (–1) ”

r : “ Bütün asal sayԩlar tek sayԩdԩr. ”

t : “ Türkiye’nin yönetim ԭekli cumhuriyettir. ” önermeleri veriliyor. Aԭaԫԩdakilerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “ D ” yanlԩԭ olanlar için “ Y ” yazԩnԩz.

ԩ.

p > r ԩԩ.

r > t ԩԩԩ.

q > t ԩv.

q > r v.

p > q

ALIŞTIRMALAR – 1

1. a) tanԩmsԩz b) tanԩmlԩ c) terimdir d) terimdir e) tanԩmsԩz 2. D, Y, D, D

3. d, e ve ԩ önerme deԫildir. a, c ve g nin doԫruluk deԫeri 1 dir. b, f ve h nin doԫruluk deԫeri 0 dԩr. 7. ԩ. Y ԩԩ. Y ԩԩԩ. D ԩv. Y v. D

(13)

Mantԩk

BԨLEԬԨK ÖNERMELER VE DOԪRULUK DEԪERLERԨ

Ԩki veya daha çok önermenin birbirine mantԩk baԫlaçlarԩ denilen “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi baԫ- laçlarla baԫlanmasԩyla elde edilen yeni önermeye bileԭik önerme denir.

Veya ( v ) baԫlacԩ ile kurulan bileԭik önermeler

Ve ( R ) baԫlacԩ ile kurulan bileԭik önermeler

Ecem babasԩndan akԭam eve gelirken kiraz veya ԭeftali almasԩnԩ istemiԭtir.

Babasԩ eve geldiԫinde aԭaԫԩdaki durumlardan birini yap- mԩԭ olabilir.

1. Kiraz almԩԭ, ԭeftali almamԩԭtԩr.

2. Ԭeftali almԩԭ kiraz almamԩԭtԩr.

3. Hem kiraz hem de ԭeftali almԩԭtԩr.

4. Kiraz ve ԭeftali almamԩԭtԩr.

Ԩlk üç durum gerçekleԭmiԭse, babasԩ Ecem’in isteԫini yerine getirmiԭtir. Dördüncü durumda isteԫini yerine getirmemiԭtir.

p : Ecem’in babasԩ kiraz almԩԭtԩr. q : Ecem’in babasԩ ԭeftali almԩԭtԩr.

alԩnԩrsa aԭaԫԩdaki doԫruluk tablosu oluԭur.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 1 1 0

Sonuç : Veya ( v ) baԫlacԩ ile baԫlanmԩԭ iki önermenin oluԭturduԫu bileԭik önerme, bileԭenlerinden en az biri doԫru iken doԫru, ikisi de yanlԩԭ iken yanlԩԭtԩr.

“Aybars ile Gizem okula gitti” bileԭik önermesinde p : “ Aybars okula gitti ”

q : “ Gizem okula gitti ” olsun.

® Aybars ile Gizem okula gitmiԭse bu bileԭik önerme doԫrudur.

® Aybars okula gitmiԭ, Gizem okula gitmemiԭse bu bileԭik önerme yanlԩԭtԩr.

® Aybars okula gitmemiԭ, Gizem okula gitmiԭse bu bileԭik önerme yanlԩԭtԩr.

® Ԩkisi de okula gitmemiԭse bu bileԭik önerme yanlԩԭtԩr.

Bu durum aԭaԫԩdaki tablo ile ifade edilmiԭtir.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 0

Sonuç : Ve ( ) baԫlacԩ ile baԫlanmԩԭ iki önermenin oluԭturduԫu bileԭik önerme, bileԭenlerin ikisi de doԫru iken doԫru, diԫer durumlarda yanlԩԭtԩr.

(14)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

Tek kuvvet özeliԫi p p = p

p p = p

Deԫiԭme özeliԫi p q = q p p q = q p Birleԭme özeliԫi (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r)

Daԫԩlma özeliԫi

p (q r) = (p q) (p r) p (q r) = (p q) (p r)

De Morgan Kuralԩ (p q)v = pv qv (p q)v = pv qv

Önemli Kurallar

p 1 > 1 p 1 > p p 0 > p p 0 > 0 p pv > 1 p pv > 0

ÖRNEK 8

p: “Bugün kar yaԫdԩ.”

q: “Özge okuldadԩr.”

önermeleri için p q , p q , pv q , p qv bileԭik önermelerini ifade ediniz.

Çözüm

p q : “Bugün kar yaԫdԩ veya Özge okuldadԩr.”

p q : “Bugün kar yaԫdԩ ve Özge okuldadԩr.”

pv q : “Bugün kar yaԫmadԩ veya Özge okulda- dԩr.”

p qv : “Bugün kar yaԫdԩ ve Özge okulda deԫil- dir.”

ÖRNEK 9

Aԭaԫԩdaki bileԭik önermelerin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) “2² = 4 veya (–2)² = 4”

b) “(–1)⁴ = 1 veya elma mavi renktedir.”

c) “

21 tam sayԩdԩr veya 2 asal sayԩdԩr.”

d) “3 çift sayԩdԩr veya 2 tek sayԩdԩr.”

Çözüm

a) 1 1 > 1 c) 0 1 > 1 b) 1 0 > 1 d) 0 0 > 0

ÖRNEK 10

Aԭaԫԩdaki bileԭik önermelerin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) “2² = 4 ve (–2)² = 4”

b) “(–1)⁴ = 1 ve elma mavi renktedir.”

c) “ 2

1 tam sayԩdԩr ve 2 asal sayԩdԩr.”

d) “3 çift sayԩdԩr ve 2 tek sayԩdԩr.”

Çözüm

a) 1 1 > 1 c) 0 1 > 0 b) 1 0 > 0 d) 0 0 > 0

ÖRNEK 11

Aԭaԫԩdaki verilen ifadeleri hesaplayԩnԩz.

a) [(1 0) (0 1v)v]v

b) (0 1v)v [(0 1) (1 0)v]

Çözüm

a) [(1 0) (0 1v)v]v > [1 (0 0)v]v

> [1 0v]v

> [1 1]v

> 1v > 0

b) (01v)v[(01)(10)v]>(00)v[01v]

> 0v [0 0]

> 1 0 > 1

(15)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

ÖRNEK 12

pv q > 0 iken p qv önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

Çözüm

pv q > 0 pv > 0 ve q > 0 p > 1 ve q > 0 dԩr.

p qv > 1 0v > 1 1 > 1 bulunur.

ÖRNEK 13

p (p q) > p olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 0

p (p q) 1 1 0 0

Tablodan p (p q) > p olduԫu görülebilir.

ÖRNEK 14

(pv 1)v (p 0) > 1 ise p önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

Çözüm

De Morgan kuralԩna göre (pv 1)v > p 0 olduԫundan, (pv 1)v (p 0) > 1 (p 0) (p 0) > 1

p 0 > 1 ise p > 1 olmalԩdԩr.

ÖRNEK 15

(p rv) (r qv) > 1 ise p, q, r önermelerinin doԫru- luk deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

(p rv) (r qv) > 1 ise

p rv > 1 ve r qv > 1 olmalԩdԩr.

p rv > 1 ise p > 1 ve rv > 1 ise r > 0 bulunur.

r qv > 1 için r > 0 olduԫundan qv > 1 yani q > 0 olmalԩdԩr.

ÖRNEK 16

(qv r) p > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

(qv r) p > 0 ise qv r > 0 ve p > 0 olmalԩdԩr.

qv r > 0 ise qv > 0 ve r > 0 dԩr.

O halde; p > 0 , q > 1 ve r > 0 bulunur.

ÖRNEK 17

[ pv (q r)v]v > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

[ pv (q r)v]v > 0 ise p (q r) > 0 dԩr.

Burada da p > 0 ve q r > 0 olmalԩdԩr.

Yani, p > 0 , q > 0 ve r > 0 dԩr.

ÖRNEK 18

p > r > 1 ve q > 0 ise pv (r qv) önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

Çözüm

pv (r qv) > 1v (1 0v)

> 0 (1 1)

> 0 1

> 1 bulunur.

ÖRNEK 19

(p q) pv > q pv olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

(p q) pv > (p pv) (q pv)

> 1 (q pv)

> q pv ԭeklinde gösterilebilir.

(16)

Mantԩk

ÖRNEK 20

De Morgan kurallarԩ denilen a) (p q)v > pv qv b) (p q)v > pv qv

denkliklerinin doԫruluԫunu gösteriniz.

Çözüm a) p

1 1 0 0

q 1 0 1 0

pv qv 0 0 0 1 pv

0 0 1 1

qv 0 1 0 1

p q 1 1 1 0

(p q)v 0 0 0 1

(p q)v > pv qv

b) Siz de aԭaԫԩdaki tabloyu doldurarak (p q)v > pv qv denkliԫini gösteriniz.

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pv qv pv qv p q (p q)v

TOTOLOJԨ VE ÇELԨԬKԨ

Bir bileԭik önermeye, bileԭenlerin tüm doԫruluk de- ԫerleri için daima doԫru oluyorsa totoloji, daima yanlԩԭ oluyorsa çeliԭki adԩ verilir.

p 1 0

pv 0 1

p pv 1 1 Totoloji

p 1 0

pv 0 1

p pv 0 0 ÇeliÁki

ÖRNEK 21

® [(pv q) (p qv)]v > (pv q)v (p qv)v

> (p qv) (p qv)v

> 1 olup totolojidir.

(Burada p pv > 1 özeliԫini kullandԩk.)

® (p q)v (pv qv)v > (p q)v (p q)

> 0 olup çeliԭkidir.

(Burada p pv > 0 özeliԫini kullandԩk.)

PARADOKS

Paradoks, Yunanca zԩt anlamԩndaki “para” kelimesiyle, fikir an- lamԩna gelen “daxos” kelimesinin birleԭmesinden oluԭmuԭtur.

Paradoks, mantԩklԩ bazԩ varsayԩmlarԩn kiԭiyi mantԩksԩz sonuçlara ulaԭtԩrmasԩ olayԩdԩr.

Timsah Paradoksu

Bir annenin elinden çocuԫunu kapan timsah, çocuԫa ne yapacaԫԩnԩ annenin bilmesi durumunda çocuԫu vere- ceԫini söyler. Anne, timsaha çocuԫunu yiyeceԫini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonu- cunda çocuԫunu kurtarԩr.

Ԭöyle ki, timsah çocuԫu yiyecekse anne timsahԩn ne yapacaԫԩnԩ bilmiԭ olacak ve timsah çocuԫu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahԩn ne yapacaԫԩnԩ bilmemiԭ olacak; timsah çocuԫu yemeyecekse anne bilemediԫinden çocuԫu yiyecek ama o zaman anne timsahԩn yapacaԫԩnԩ bilmiԭ olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek. Kԩsaca, bu iki durumda da timsah çocuԫu ne yiyebilir ne de yiyemez.

(17)

Mantԩk

ÖRNEK 22

p: “5 < 7”

q: “sԩfԩr bir çift sayԩdԩr.” olduԫuna göre, p q önermesi gerektirme midir?

Çözüm

p > 1 ve q > 1 dir. O halde, p q > 1 1

> 1 olup p q önermesi gerektirmedir.

ÖRNEK 23

p: “En küçük asal sayԩ 2 dir.”

q: “30, 4 ile tam bölünür.”

olduԫuna göre, p q önermesi gerektirme midir?

Çözüm

p > 1 ve q > 0 dԩr. O halde, p q > 1 0 > 0 olup

p q önermesi gerektirme deԫildir.

ÖRNEK 24

(p q) > (pv q)

ifadesini doԫruluk tablosu yardԩmԩyla ispatlayԩnԩz.

Çözüm

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pv 0 0 1 1

p q 1 0 1 1

pv q 1 0 1 1

O halde, (p q) > (pv q) dir.

KOԬULLU ÖNERME

p ve q önermelerinin ise () baԫlacԩ ile baԫlanmasԩyla elde edilen “p ise q” bileԭik önermesine koԭullu önerme denir.

“ Babasԩ Arda’ya üniversiteye girersen sana araba alacaԫԩm” diyor.

p : “ Arda üniversiteye girdi. ”

q : “ Babasԩ Arda’ya araba aldԩ.” olsun.

y Arda ünivertiseye girerse ve babasԩ ona araba alԩrsa babasԩ sözünü tutmuԭ olacaԫԩndan p q önermesi doԫru olur.

y Arda üniversiteye girer ama babasԩ ona araba almazsa babasԩ sözünü tutmamԩԭ olacaԫԩndan p q önermesi yanlԩԭ olur.

y Arda üniversiteye girmezse, babasԩ ona araba alsa da almasa da sözünü tutmamasԩ söz konusu olmayacaԫԩndan p q önermesi doԫrudur.

® p q koԭullu önermesinin doԫruluk deԫeri 1 ise bu koԭullu önermeye gerektirme denir.

® p q bileԭik önermesinin tablosu ® ise () baԫlacԩnԩn özelikleri p q > qv pv p 0 > pv p q > pv q p pv > pv (p q)v > p qv 1 p > p p p > 1 0 p > 1 p 1 > 1 pv p > p _p

1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 1 1

p q önermesinin; karԭԩtԩ: q p , tersi: pv qv , karԭԩt tersi: qv pv dir.

(18)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

ÖRNEK 25

(p q) p önermesinin totoloji olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 0

(p q) p 1 1 1 1

olur. O halde, verilen önerme bir totolojidir.

ÖRNEK 26

Aԭaԫԩda verilen önermeleri en sade ԭekilde yazԩnԩz.

a) p (p q) b) (p q) (p qv) Çözüm

a) p (p q) > pv (p q) > (pv p) q > 1 q > 1 olur.

b) (p q) (p qv) > (pv q) (p qv) > (pv q) (pv q)v > r rv

> 0 olur.

ÖRNEK 27

(pv q)v rv > 1 ise p , q , r önermelerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

(pv q)v rv > 1 ise (pv q)v > 1 ve rv > 1 olmalԩdԩr.

rv > 1 ise r > 0 elde edilir.

(pv q)v > 1 ise pv q > 0 dԩr.

Yani, pv > 1 ve q > 0 olmalԩdԩr.

O halde; p > 0 , q > 0 , r > 0 dԩr.

ÖRNEK 28

(p q) > (qv pv) olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pv 0 0 1 1

qv 0 1 0 1

p q 1 0 1 1

qv pv 1 0 1 1

Tablodan (p q) > (qv pv) olduԫu görülebilir.

ÖRNEK 29

p: “n çifttir.”

q: “n³ çifttir.”

p q önermesi ile bu önermenin karԭԩtԩ, tersi ve karԭԩt tersini ifade ediniz.

Çözüm

p q: “n çift ise n³ çifttir.”

Bu önermenin;

Karԭԩtԩ: “n³ çift ise n çifttir.”

Tersi: “n çift deԫil ise n³ çift deԫildir.”

Karԭԩt Tersi: “n³ çift deԫil ise n çift deԫildir.”

ÖRNEK 30

(p q) pv önermesinin karԭԩt tersini en sade ԭekil- de ifade ediniz.

Çözüm

(p q) pv önermesinin karԭԩt tersi (pv)v (p q)v > p (p q)v > pv (p q)v > pv (pv qv) > (pv pv) qv > pv qv ԭeklinde bulunur.

(19)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

ԨKԨ YÖNLÜ KOԬULLU ÖNERME

(p q) (q p) bileԭik önermesine iki yönlü koԭullu önerme denir.

p q > (p q) (q p) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 1

p q önermesi doԫru ise bu önermeye iki yönlü gerektirme veya çift gerektirme denir.

p p > 1 p pv > 0 p 1 > p p 0 > pv

(p q) > (pv qv)

ÖRNEK 31

p q > (p q) (q p)

olduԫunu doԫruluk tablosu yardԩmԩyla ispatlayԩnԩz.

Çözüm p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

(p q) (q p) 1 0 0 1 p q

1 0 1 1

p q 1 0 0 1 q p

1 1 0 1

Tablodan p q > (p q) (q p) olduԫu görülebilir.

ÖRNEK 32

x = 2 x² = 4 iki yönlü koԭullu önermesi bir çift gerektirme midir?

Çözüm

x = 2 x² = 4 > (x = 2 x² = 4) (x² = 4 x = 2) olmalԩdԩr. Fakat x² = 4 x = 2 x = –2 olmalԩdԩr. O halde, verilen önerme bir çift gerek-

tirme deԫildir.

ÖRNEK 33

(p q) (pv qv) önermesinin çeliԭki olduԫunu doԫ- ruluk tablosu ile gösteriniz.

Çözüm p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

(p q) (pv qv) 0 0 0 0 p q

1 1 1 0

pv qv 0 0 0 1 pv

0 0 1 1

qv 0 1 0 1

Tablodan verilen önermenin bir çeliԭki olduԫu görülebilir.

ÖRNEK 34

(p q) q > (p q) olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

(p q) q > [(p q) q] [q (p q)]

> [(p q)v q] [qv (p q)]

> [(pv qv) q] [(qv q) p]

> [(pv q) (qv q)] [1 p]

> [(pv q) 1] 1w > (pv q) 1 > (pv q)

> (p q) bulunur.

ÖRNEK 35

p > 1 , q > 0 , r > 1 ise

(p q)v [rv (pv q)] önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

Çözüm

(p q)v [rv (pv q)] > (1 0)v [1v (1v 0)]

> 1v [0 (0 0)]

> 0 [0 0]

> 0 1

> 0 bulunur.

(20)

Mantԩk

ETKԨNLԨK

Bileԭik Önermelerin Elektrik Devrelerine Uygulanԩԭԩ

Anahtar

Batarya

Anahtar

Batarya

Ԭekillerde de görüldüԫü gibi bir elektrik devresinde lamba yanmԩyorsa anahtar açԩk yani akԩm geçmiyor demektir.

Bu durum doԫruluk deԫeri 0 olan önermeye karԭԩlԩk gelir.

Lamba yanԩyorsa anahtar kapalԩ yani akԩm geçiyor demektir. Bu durum ise doԫruluk deԫeri 1 olan önermeye karԭԩlԩk gelir.

p q

Seri baԫlama yukarԩdaki ԭekilde olup p q ile ifade edilir.

p

q

Paralel baԫlama yukarԩdaki ԭekilde olup p q ile ifade edilir.

ÖRNEK 36

r q

s

p Yandaki devreye ait bileԭik önermeyi yazԩnԩz ve lambanԩn yanԩp yanma- yacaԫԩnԩ belirtiniz.

Çözüm

p > 1, q > 1, r > 0, s > 1 olduԫundan, p [(q r) s] > 1 [(1 0) 1] > 1 [0 1] > 1 1 > 1 bulunur.

O halde devreden akԩm geçer. Yani lamba yanar.

ÖRNEK 37

m r

s t

p

q Yandaki devreye ait bileԭik önermeyi yazԩnԩz ve devreden akԩm geçip geçmeyeceԫini belirtiniz.

Çözüm

p > 0, q > 1, r > 1, s > 1, t > 0, m > 0 olup verilen devreye karԭԩlԩk gelen önerme [[(p q) r] (s t)] m dir.

[ [ (0 1) 1 ] (1 0) ] 0 > [ (1 1) 0 ] 0 > [ 1 0 ] 0 > 1 0 > 0 bulunur.

O halde devreden akԩm geçmez. Yani lamba yanmaz.

ÖRNEK 38

tv

pv s

r

q

p > q > r > 1 ve s > t > 0 olmak üzere,

[s (r tv)] (q pv) bileԭik önermesine karԭԩlԩk gelen elektrik devresi yandaki ԭekilde ifade edil- miԭtir. Ԩnceleyiniz.

(21)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

AÇIK ÖNERME

Ԩçinde deԫiԭken bulunan ve bu deԫiԭkenin alabilece- ԫi farklԩ deԫerler için doԫru ya da yanlԩԭ bir ifade elde edilen önermelere açԩk önerme denir.

x deԫiԭken olmak üzere açԩk önerme P(x) ya da P_x biçiminde gösterilir. x ve y deԫiԭken ise açԩk önerme P(x, y) biçiminde gösterilir. Açԩk önermeyi doԫru yapan deԫerlerin kümesine, açԩk önermenin doԫruluk kümesi denir.

ÖRNEK 39

p: “x : x bir Avrupa kentidir.”

açԩk önermesinde deԫiԭken yerine uygun deԫerler yazarak doԫru ya da yanlԩԭ önermeler elde ediniz.

Çözüm

“Paris bir Avrupa kentidir.” doԫru önermedir.

“Tokyo bir Avrupa kentidir.” yanlԩԭ önermedir.

ÖRNEK 40

p: “x : x D Z ve x² – 4 = 0” açԩk önermesinin doԫru- luk kümesini bulunuz.

Çözüm

x² – 4 = 0 (x – 2).(x + 2) = 0 x – 2 = 0 x + 2 = 0 x = 2 x = –2 Doԫruluk kümesi { 2, –2 } dir.

ÖRNEK 41

P(x, y): “x – 2y < 10, x, y D Z”

açԩk önermesine göre, P(1, –4), P(4, –5) önermeleri- nin doԫru ya da yanlԩԭ olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

P(1, – 4): 1 – 2(– 4 ) < 10 1 + 8 < 10

9 < 10 olup doԫru önermedir.

P(4, –5): 4 – 2(–5) < 10 4 + 10 < 10

14 < 10 olup yanlԩԭ önermedir.

NԨCELEYԨCԨLER

® “Bazԩ” ya da “En az bir” niceleyicilerine varlԩksal niceleyici denir ve sembolü ile gösterilir.

® “Her” ya da “Bütün” niceleyicilerine evrensel niceliyici denir ve sembolü ile gösterilir.

® (x, P(x))v > (x, Pv(x)) (x, P(x))v > (x, Pv(x)) dir.

Örneԫin;

(x D R, x + 3 > 0)v > (x D R, x + 3 0) dԩr.

(x D R, x² – 1 0)v > (x D R, x² – 1 < 0) dԩr.

TANIM, AKSԨYOM, TEOREM

Tanԩm: Bir terimi tanԩmlamak demek, o terimin öze- liklerini, tanԩmsԩz terimler ve daha önce tanԩmlanmԩԭ terimler yardԩmԩyla belirtmek demektir. Bir tanԩm ya- pԩlԩrken; tanԩm tutarlԩ olmalԩ, daha önce verilen tanԩm- larla çeliԭmemeli ve tanԩmlanan terimin saԫlayacaԫԩ özelikler kesin olarak ortaya konmalԩ, ԭüpheli durum- lar ortaya çԩkmamalԩdԩr.

Aksiyom: Doԫruluԫu ispatlanamayan ama doԫru ol- duԫu kabul edilen önermelere aksiyom denir. Bir bilim dalԩna ait olan aksiyomlar; birbiriyle çeliԭmemeli ve baԫԩmsԩz olmalԩdԩr. Bir aksiyom diԫer bir aksiyomdan elde edilmemeli ve mümkün olduԫu kadar az sayԩ- da olmalԩdԩr. Örneԫin “iki noktadan ancak bir doԫru geçer.” önermesi bir aksiyomdur.

Teorem: Doԫruluԫunu ispatlayabildiԫimiz öner- melere teorem denir. p bir doԫru önerme iken p q önermesi doԫru ise p q önermesine bir teorem denir.

p q teoreminde; p önermesine hipotez q önermesine hüküm

adԩ verilir. Bir teoremde hem hipotez hem de hüküm birer doԫru önermedir.

Örneԫin;

“ABC eԭkenar üçgen ise IABI = IACI = IBCI dir.”

önermesi bir teoremdir.

(22)

Mantԩk

Doԫrudan (Direkt) Ԩspat Yöntemi

Teorem : a ve b çift sayԩlar ise a + b çift sayԩdԩr.

Hipotez : a ve b çift sayԩlar Hükum : a + b çifttir.

Ԩspat : a = 2k ve b = 2p olsun. ( k, p D Z ) a + b = 2k + 2p = 2( k + p ) olur.

k, p D Z ise k + p D Z olacaԫԩndan 2( k + p ) çifttir.

Yani, a + b çifttir.

Dolaylԩ Ԩspat Yöntemleri

A. Olmayana Ergi Yöntemi ile Ԩspat

p q > qv pv olduԫundan qv doԫru iken pv nin doԫru olduԫunu gösterirsek, p q teoremini ispat- lamԩԭ oluruz.

Teorem : “ Tek doԫal sayԩnԩn karesi yine tek doԫal sayԩdԩr. ”

Ԩspat :

p : “ x tek doԫal sayԩdԩr.”

q : “ x² tek doԫal sayԩdԩr.”

pv : “ x tek doԫal sayԩ deԫildir.”

qv : “ x² tek doԫal sayԩ deԫildir.”

qv doԫru olsun. Yani, “ x² tek doԫal sayԩ deԫildir.”

x² çift doԫal sayԩdԩr.

x² 2 ile bölünür.

x çift sayԩdԩr.

“ x tek doԫal sayԩ deԫildir. ” Bu durumda, pv doԫru olur.

O halde qv pv teoreminin doԫru olduԫunu göster- miԭ olduk. Dolayԩsԩyla p q teoremi ispatlandԩ.

B. Çeliԭki Yöntemi Ԩle Ԩspat

Teorem : v2 rasyonel bir sayԩ deԫildir.

Ԩspat : v2 rasyonel bir sayԩ olsun.

Bu durumda a ve b aralarԩnda asal iki sayma sayԩsԩ olmak üzere

b

a = v2 yazԩlabilir.

b

a = v2 b a

2

2 = 2 a² = 2b² olur.

Bu durumda a² çift sayԩdԩr. O halde a da çift sayԩ olmak zorundadԩr. Yani, a = 2k alԩnabilir. ( k D Z⁺) 2b² = a² 2b² = (2k)² b² = 2k²

Yani, b² de çift sayԩdԩr. Dolayԩsԩyla b de çift sayԩdԩr.

b = 2p olsun.

a = 2k ve b = 2p bulduk. Bu durumda a ile b aralarԩnda asal olamazlar.

Yani, b

a = v2 biçiminde yazamayԩz.

Dolayԩsԩyla v2 rasyonel bir sayԩ deԫildir.

C. Deneme Yöntemi Ԩle Ԩspat

“ A = {1, 2, 3} olmak üzere, x D A için x² – 4x < 0 dԩr.”

Önermesini ispatlayalԩm.

x = 1 için 1² – 4.1 = –3 < 0 x = 2 için 2² – 4.2 = –4 < 0 x = 3 için 3² – 4.3 = –3 < 0 olduԫundan x D A için x² – 4x < 0 dԩr.

ESEN YAYINLARI

Aԭaԫԩdaki ԭemada, matematik ve geometri derslerinde kullanacaԫԩmԩz ispat yöntemleri gösterilmiԭtir.

‹SPAT YÖNTEMLER‹

Tümden gelim Tüme var›m

Dolayl› ispat Do¤rudan ispat

Aksine örnek vererek ispat Deneme

yöntemiyle ispat ÇeliÁki

yöntemiyle ispat Olmayana ergi

yöntemiyle ispat ԨSPAT YÖNTEMLERԨ

(23)

ESEN YAYINLARI

1. p : Deniz mavidir.

q : Deniz güzeldir.

Önermeleri için aԭaԫԩdaki önermeleri ifade ediniz a) p q b) p q c) pv q d) p qv

2. Aԭaԫԩdaki önermelerin olumsuzlarԩnԩ bulunuz.

a) p (p qv)

b) (pv q)v qv c) (p q) (pv qv)

3. (1 0) [ 0 (1 0)v] v ifadesini hesaplayԩnԩz.

4. (pv q)v (qv r) > 1 olduԫuna göre p , q , r önermelerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

5. Aԭaԫԩdaki önermelerin birer totoloji veya çeliԭki olup olmadԩԫԩnԩ gösteriniz.

a) qv ( p qv)v

b) (p q) [(p r) qv]

c) (p q ) (p q)v d) (pv q) qv e) (p q) (p q)

6. (p qv) (p q) bileԭik önermesinin deԫili nedir?

7. Aԭaԫԩdaki koԭullu önermelerin karԭԩtԩnԩ, tersini, karԭԩt tersini yazԩnԩz.

a) p q b) pv q c) pv qv d) (p q) r e) (p q) (pv q)

8. p > 1 , q > 0 , r > 1 ise aԭaԫԩdaki önermelerin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) p (q rv) b) p (qv r) c) (pv qv) rv d) (p qv) (p qv)

9. p q önermesinin olumsuzunu bulunuz.

10. Aԭaԫԩdaki ifadeleri sadeleԭtiriniz.

a) p p b) p 1

c) p 0 d) p pv

e) (p q)v f) p (pv q)v g) [p (p q) ] qv h) (p 1) (pv 0)

ALIŞTIRMALAR – 2

3. 0 4. 1, 0, 1 6. 0 8. a) 1 b) 1 c) 0 d) 1

(24)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

11. Aԭaԫԩdaki tabloda bazԩ terimler ve olumsuzlarԩ verilmiԭtir. Tablodaki boԭluklarԩ doldurunuz.

Terim Olumsuzu

= v

v

<

>

12. Aԭaԫԩdaki önermelerde x deԫiԭkenleri birer tam sayԩdԩr. Verilen önerme doԫru ise boԭ kutuya

“ D ” yanlԩԭ ise “ Y ” yazԩnԩz.

x , x² > 0

x , 2x – 1 < 3

( x , x < 2 ) v ( x , x + 2 = 3 )

( x , x³ > 0 ) v ( x , x² –1 < 0 )

13. Aԭaԫԩdaki noktalԩ yerleri uygun ԭekilde dolduru- nuz.

P(x) : x D R , 3x – 1 < 4

a) x yerine ... yazԩlԩrsa önerme doԫru olur.

b) x yerine ... yazԩlԩrsa önerme yanlԩԭ olur.

14. Aԭaԫԩdaki önermelerin denklerini saԫ sütundan bularak eԭleԭtiriniz.

1. 1

2. p q

3. 0

4. pv q a. p (pv v q)

b. [ p (p q) ] p

c. (p q)v

d. p pv

15. Aԭaԫԩdaki teoremleri doԫrudan ispat yöntemi ile ispatlayԩnԩz.

a) “Ԩki tek sayԩnԩn çarpԩmԩ tek sayԩdԩr.”

b) “Çift sayԩnԩn karesi yine çift sayԩdԩr.”

c) “x ve y tek sayԩlar ise x + y çift sayԩdԩr."

16. Aԭaԫԩdaki teoremleri olmayana ergi yöntemi ile ispatlayԩnԩz.

a) “4x – 3 = 9 ise x = 3 tür.”

b) “Tek sayԩ ile çift sayԩnԩn toplamԩ tek sayԩdԩr.”

c) “(x –2) (2x + 3 –1)"

17. Aԭaԫԩdaki teoremleri deneme yöntemi ile ispatla- yԩnԩz.

a) “A = {0, 1, 2 } olmak üzere x D A için x² – 4 0 dԩr.”

b) “A = {–1, 0, 1 } olmak üzere x D A için x – x² + 6 > 0 dԩr.”

12. Y, D, D, D 14. a. 2 b. 1 c. 4 d. 3

(25)

ESEN YAYINLARI

YAZILIYA HAZIRLIK

1. (p qv) v (p v q)v önermesinin en sade biçimini bulunuz.

2. (p qv) (p q)v önermesinin bir totoloji oldu- ԫunu doԫruluk tablosu yapmadan gösteriniz.

3. (pv v q) (p q)v önermesinin en sade biçimini bulunuz.

4. p (q v r) > 0 olduԫuna göre,

(p r) (qv pv) önermesinin doԫruluk deԫe- rini bulunuz.

5. [ (p q) p ] pv önermesinin çeliԭki olduԫunu doԫruluk tablosu yaparak gösteriniz.

6. (p q) v (r qv) > 0 olduԫuna göre p, q, r öner- melerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

(26)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1. qv 3. p qv 4. 1 6. p > 1 , q > 0 , r > 0

9. a. 0 , b. 0 , c. 1 , d. 1 10. (x D R, x 0) (x D R, 3x – 1 = 7) 7. Aԭaԫԩdaki doԫruluk tablosunda boԭ bԩrakԩlan yer-

leri uygun bir ԭekilde doldurunuz.

p q p qv p q pv v q

1 1

1 0

0 1

0 0

8. “Bir doԫal sayԩnԩn karesi çift sayԩ ise kendisi de çift sayԩdԩr.” teoremini olmayana ergi metodu ile ispatlayԩnԩz.

9. p : – 4 < –2

q : Isparta Ԩç Anadolu Bölgesi'ndedir.

r : 41 asal sayԩdԩr.

önermeleri veriliyor. Buna göre, aԭaԫԩdaki öner- melerin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

a) (p q)v q b) (p v r) (q v pv) c) r (p v qv) d) (qv p) (q r)

10. (x D R, 3x – 1 7) (x D R, x < 0) önermesinin karԭԩt tersini bulunuz.

(27)

ESEN YAYINLARI

TEST – 1

1. Aԭaԫԩdakilerden hangisi tanԩmsԩz terimdir?

A) Açԩ B) Üçgen C) Düzlem

D) Çember E) Kare

2. Aԭaԫԩdaki ifadelerden hangisi bir önerme deԫil- dir?

A) 6 tek sayԩdԩr.

B) 9 sayԩsԩ 10 sayԩsԩndan küçüktür.

C) Ay, dünyanԩn uydusudur.

D) Benimle sinemaya gelir misin?

E) Çalԩԭmazsan sԩnԩfta kalԩrsԩn.

3. Aԭaԫԩdakilerden hangisi “Yazԩn kar yaԫmaz.”

önermesinin deԫilidir?

A) Kԩԭԩn kar yaԫmaz.

B) Yazԩn kar yaԫar.

C) Yazԩn kar yaԫabilir.

D) Kԩԭԩn kar yaԫar.

E) Kԩԭԩn kar yaԫabilir.

4. p = 0 ise (pv q) p önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) p q

5. p q > 1 ve qv rv > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

A) 1, 1, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1 D) 1, 0, 0 E) 0, 0, 0

6. Aԭaԫԩdaki denkliklerden hangisi yanlԩԭtԩr?

A) p (q r) > (p q) r B) (pv)v > p

C) p (q r) > (p q) (p r) D) p 0 > 0

E) (p q)v > pv qv

7. (pv q) r bileԭik önermesinin olumsuzu aԭaԫԩ- dakilerden hangisidir?

A) (p qv) rv B) (pv q) rv C) (p qv) rv D) (p qv) rv E) (pv q) rv

8. p (p q)v bileԭik önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) pv q B) pv q C) p qv

D) p qv E) p q

(28)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. E 7. C 8. C 9. A 10. E 11. B 12. C 13. B 14. B 15. D 16. D 9. (p q) v (p qv) önermesi aԭaԫԩdakilerden han-

gisine denktir?

A) p B) q C) pv D) qv E) q qv

10. Aԭaԫԩdakilerden hangisi totolojidir?

A) p 0 B) pv 0 C) p 0 D) p pv E) p pv

11. Aԭaԫԩdaki önermelerden hangisi yanlԩԭtԩr?

A) x, y D R, (x + y)² = x² + y² B) x D R, x² = x

C) x D R, x² 0

D) x, y D R, (x – y)² = x² – 2xy + y² E) x D R, 0 < x < 1 x² < x

12. p (p q) önermesinin en sade ԭekli aԭaԫԩda- kilerden hangisidir?

A) q p B) qv p C) q p D) p q E) q p

13. p q > 1 ve p r > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

A) 1, 1, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 1 D) 1, 0, 0 E) 0, 1, 1

14. (p q) r önermesi yanlԩԭ ise aԭaԫԩdaki öner- melerden hangisi doԫrudur?

A) (p q) r B) (p q) rv C) (p q) r D) (p q) r E) (p q) r

15. Aԭaԫԩdaki bileԭik önermelerden kaç tanesi totolo- jidir?

l. qv q II. (p qv)v qv III. r (p r) IV. [(p q) p] p

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

16. Aԭaԫԩdakilerden hangisi çeliԭkidir?

A) p pv B) p p C) p 0 D) p pv E) pv p

(29)

ESEN YAYINLARI

1. Aԭaԫԩdaki önermelerden hangisi doԫrudur?

A) x D R, x² + 1 0

B) x, y, z D Z , xy < xz y < z C) a D R, aa²=a

D) (x D R, x – 5 = 0) (x D R, 2x + 5 < 0) E) (x D R,x³ = x) (x D R, ( – )x 1 ² = –x + 1

2. (p q) v (pv v q)v önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 1 B) 0 C) p D) q E) p v qv

3. (pv q) v p önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 1 B) p v q C) p

D) qv v p E) p q

4. p : [(1 0) (1 v 0)] [1 v (1 0)]

q : [(1 0v) (0 v 0v)]

r : (p 0) (q v 0)

olduԫuna göre p, q ve r nin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 0 C) 1, 1, 1 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1

5. (a çift sayԩ) (a² çift sayԩ)

önermesinin karԭԩtԩ aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) (a² çift sayԩ) (a çift sayԩ) B) (a tek sayԩ) (a² tek sayԩ) C) (a² çift sayԩ) (a tek sayԩ) D) (a² tek sayԩ) (a tek sayԩ) E) (a² tek sayԩ) (a çift sayԩ)

6. p (qv r)v bileԭik önermesi doԫru ise aԭaԫԩda- kilerden kaç tanesi doԫrudur?

l. q rv II. q r III. pv q IV. (p qv)v V. (pv qv)v

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. [ pv (q rv)] [(q r) p ]

bileԭik önermesinin en sade ԭekli aԭaԫԩdakiler- den hangisidir?

A) p q B) q C) p

D) 1 E) 0

8. (p qv)v v p bileԭik önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 1 B) 0 C) p D) pv E) q

TEST – 2

(30)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1. E 2. C 3. B 4. C 5. A 6. C 7. D 8. A 9. A 10. C 11. C 12. D 13. A 14. D 15. D 16. D 9. [(p q) (r t)]v > 1 ise

(r tv) (pv qv) önermesinin eԭiti aԭaԫԩdakiler- den hangisidir?

A) 1 B) 0 C) r D) t E) rv

10. Aԭaԫԩdakilerden hangisi çift gerektirmedir?

A) p pv B) p 1 C) p p D) p 0 E) p q

11. (p qv) (p q) önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) p B) q C) pv D) qv E) 1

12. (p rv) (pv qv) bileԭik önermesi yanlԩԭ ise p, q ve r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩy- la ne olmalԩdԩr?

A) 1, 1, 1 B) 1, 0, 1 C) 0, 1, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 0

13. p q önermesinin deԫili (olumsuzu) aԭaԫԩdaki- lerden hangisidir?

A) p qv B) qv pv C) p qv D) pv q E) pv qv

14. [(p q)v (p q)] p iԭleminin sonucu aԭaԫԩ- dakilerden hangisidir?

A) p B) q C) p q

D) Çeliԭki E) Totoloji

15. Aԭaԫԩdakilerden hangisi p q koԭullu önerme- sine denktir?

A) q p B) p q C) pv qv D) q pv E) qv p

16. [( x D R, x – 4 < 0) (x D R, x² – 1 0)]

bileԭik önermesinin olumsuzu aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) [(x D R, x – 4 < 0) (x D R, x² – 1 = 0)]

B) [(x D R, x – 4 0) (x D R, x² – 1 = 0)]

C) [(x D R,x – 4 > 0) (x D R, x² –1 = 0)]

D) [(x D R, x – 4 0) (x D R, x² – 1 = 0)]

E) [(x D R, x – 4 0) (x D R, x² – 1 = 0)]

(31)

ESEN YAYINLARI

1. l. “x D R için 2x² + 1 0”

II. “x D Z için x² = 16”

III. “(xDZ için x³<x²)(xDR için x²+40)”

IV. “x D R için xx 1”

önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩ- dakilerden hangisidir?

A) 1, 0, 0, 0 B) 1, 0, 1, 0 C) 1, 1, 0, 1 D) 1, 0, 0, 1 E) 1, 0, 1, 1

2. p v (q rv) > 0 olduԫuna göre p, q, r önermele- rinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 0, 0, 1 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 0 D) 1, 0, 1 E) 1, 1, 1

3. [(p q) qv ] pv önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) p B) qv C) 1 D) 0 E) q

4. p v (q rv) > 0 olduԫuna göre p, q ve r öner- melerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdaki- lerden hangisidir?

A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 0 C) 0, 0, 1 D) 0, 1, 0 E) 0, 1, 1

5. (x D Z , x² – x > 0) (x D R, x + 5 = 0) önermesinin olumsuzu aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) (x D Z, x² – x > 0) (x D R, x + 5 = 0) B) (x D Z, x² – x 0) (x D R, x + 5 0) C) (x D Z, x² – x > 0) (x D R, x + 5 0) D) (x D Z, x² – x 0) (x D R, x + 5 = 0) E) (x D Z, x² – x 0) (x D R, x + 5 0)

6. pv (q p)v önermesinin olumsuzu (deԫili) aԭa- ԫԩdakilerden hangisidir?

A) 1 B) pv C) q D) 0 E) p

7. p q önermesi doԫru bir önerme olduԫuna göre aԭaԫԩdaki önermelerin hangisi yanlԩԭtԩr?

A) p q B) p q C) p v q D) pv v q E) p qv

8. (p q) r önermesi yanlԩԭ bir önerme olduԫuna göre, aԭaԫԩdaki önermelerin hangisi doԫrudur?

A) pv q B) p r C) q r

D) p v r E) rv pv

TEST – 3

(32)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1.D 2.B 3.C 4.E 5.C 6.D 7.E 8.D 9.A 10.A 11.C 12.B 13.E 14.D 15.A 16.D 9. q (p v q) önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine

denktir?

A) 1 B) 0 C) pv D) q E) qv

10. [p (p v q)]v önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisi- ne denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) pv E) q

11. (pv q)v r > 1 ise p, q ve r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 0, 1, 0 B) 1, 0, 1 C) 0, 0, 1 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 0

12. (p q) (p qv) önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) p B) pv C) q D) qv E) 1

13. Aԭaԫԩdaki bileԭik önermelerden hangisi bir totolo- jidir?

A) p v q B) p q C) pv v q D) 1 p E) 1 v p

14. (p q) v r > 0 olduԫuna göre p, q, r önermele- rinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 0, 0, 1 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 0 D) 1, 0, 0 E) 1, 0, 1

15. (p qv) (r p) > 0 ise (p r) v q önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) qv E) rv

16. (x D R, x² = 1) (x D R, x³ > 0)

önermesinin karԭԩt tersi aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) (x D R, x² 1) (x D R, x³ 0) B) (x D R, x² 1) (x D R, x² < 0) C) (x D R, x² 1) (x D R, x³ 0) D) (x D R, x³ 0) (x D R, x² 1) E) (x D R, x² < 0) (x D R, x² 1)

(33)

1. 2010 – YGS

p, q ve r önermelerinini deԫilleri sԩrasԩyla pv, qv, rv ile gösterildiԫine göre, aԭaԫԩdakilerden hangisi p v q q r önermesine denktir?

A) pv qv qv v rv B) pv qv qv rv C) pv v qv qv rv D) qv rv pv v qv E) qv v rv pv qv

2. 2011 – YGS p : a = 0 q : a + b = 0 r : a.b = 0

önermeleri veriliyor. Buna göre aԭaԫԩdaki koԭullu önermelerden hangisi doԫrudur?

A) r p B) p r C) q p

D) p q E) q r

ESEN YAYINLARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

(34)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1.E 2.B

(35)

KÜMELER

ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨT

Kümelerde Temel Kavramlar

1. Kazanԩm : Küme kavramԩnԩ açԩklar; liste, Venn ԭemasԩ ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.

2. Kazanԩm : Sonlu, sonsuz ve boԭ kümeyi örneklerle açԩklar.

3. Kazanԩm : Alt ve öz alt kümeyi açԩklar, alt kümenin özelliklerini belirtir, bir kümenin tüm alt kümele- rinin sayԩsԩnԩ ve belirli sayԩda eleman içeren alt kümelerinin sayԩsԩnԩ hesaplar.

4. Kazanԩm : Ԩki kümenin denkliԫini ve eԭitliԫini belirtir.

Kümelerde Ԩԭlemler

1. Kazanԩm : Sonlu sayԩdaki kümelerin birleԭim ve kesiԭim iԭlemlerinin özelliklerini gösterir.

2. Kazanԩm : Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini açԩklar, tümleme iԭleminin özelliklerini ve De Morgan kurallarԩnԩ gösterir.

3. Kazanԩm : Ԩki kümenin farkԩnԩ açԩklar, fark iԭleminin özelliklerini gösterir.

4. Kazanԩm : Kümelerdeki iԭlemleri kullanarak problemler çözer.

(36)

KÜMELERԨN GÖSTERԨMԨ Liste Yöntemi

Kümenin tüm elemanlarԩnԩn aralarԩna virgül konularak küme parantezi içine yazԩlmasԩdԩr. Örneԫin, bir basamaklԩ asal sayԩlarԩn kümesi {2, 3, 5, 7 } biçimin- de gösterilir.

Venn Ԭemasԩ Ԩle Gösterim

Kümenin elemanlarԩnԩn kapalԩ eԫrilerin içine, yanԩna

“•” konularak yazԩlmasԩdԩr.

Örneԫin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn ԭemasԩ ile çeԭitli ԭekillerde gösterimi aԭaԫԩdakiler gibidir.

• 2

• 3

• 5

• 7

• 2

• 5• 3• 7

• 2 • 3

• 5 • 7

A A

A

Ortak Özellik Yöntemi

{x : x elemanlarԩnԩn ortak özellikleri } veya {x | x elemanlarԩnԩn ortak özellikleri } biçimlerinde kümeler yazԩlabilir.

Bu yazԩlԩԭta kümenin elemanlarԩ x harfi ile gösteril- miԭtir. Ayrԩca “:” veya “|” sembolleri “öyle ki” anla- mԩna gelmektedir. Örneԫin, bir basamaklԩ asal sayԩlar kümesi A = { x : x asal sayԩ ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir.

Eleman Sayԩsԩ

Bir A kümesinin elemanlarԩnԩn sayԩsԩ s(A) veya n(A) ԭeklinde gösterilir. Örneԫin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise s(A) = 5 tir.

KÜMELER

Küme kavramԩnԩn tanԩmԩ yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanԩmlanmԩԭ, birbirinden farklԩ nesneler topluluԫu akla gelmelidir. Kümeyi oluԭturan nesnelere o kümenin elemanԩ (öԫesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazԩlԩr. Kümenin elemanlarԩnԩn küme içerisinde yer deԫiԭtirmesi kümeyi deԫiԭtirmez. Kümeler, genellikle A, B, C, .... gibi büyük harflerle, elemanlarԩ da a, b, c, x, y, ... gibi küçük harflerle gösterilir. a bir A kümesinin elemanԩ ise a D A biçiminde gösterilir. Eԫer b, A kümesinin elemanԩ deԫilse, b A biçiminde gösterilir.

(37)

Kümeler

ESEN YAYINLARI

ÖRNEK 1

A = { x : 0 x 5 ve x D Z } B = { (x, y) : x < y ve x, y D A } olmak üzere, s(B) kaçtԩr?

Çözüm

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

B = { (x, y) : x < y ve x, y D A } ise B = { (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) }

2 3 4 5 3 4 5

4 5

5

O halde, s(B) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = . 2

5 6 = 15 tir.

Boԭ Küme

Elemanԩ olmayan kümeye boԭ küme denir ve { } veya Ø ԭeklinde gösterilir.

{ Ø } kümesi bir elemanlԩ bir küme olup boԭ küme deԫildir.

ÖRNEK 2

A = {x : 3x – 1 = 6 ve x tam sayԩ } kümesi boԭ küme midir?

Çözüm

3x – 1 = 6 3x = 7 x = 37 dir.

3

7 bir tam sayԩ olmadԩԫԩndan s(A) = 0 dԩr.

Yani, A = Ø dir.

Sonlu ve Sonsuz Küme

Eleman sayԩsԩ tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir.

A = { x : x < 6 ve x D N } kümesinin eleman sayԩsԩ tespit edilebildiԫinden bu küme sonlu bir kümedir.

Eleman sayԩsԩ tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlԩ küme denir.

Doԫal sayԩlar kümesi ve tam sayԩlar kümesi sonsuz elemanlԩ kümeye birer örnektir.

ÖRNEK 3

A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doԫal sayԩ } kümeleri sonlu mudur?

Çözüm

s(A) = 5 olup A sonlu bir kümedir.

B = {1, 3, 5, 7, ...} kümesinin eleman sayԩsԩ bir doԫal sayԩ ile belirtilemediԫinden sonsuz kümedir.

Eԭit Küme, Denk Küme

Aynԩ elemanlardan oluԭan iki kümeye eԭit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir.

Eleman sayԩlarԩ eԭit olan kümelere denk kümeler denir ve A > B biçiminde gösterilir.

Örneԫin; A = {1, 2, 3, 4 } ve

B = {x : 1 x 4, x D Z } kümeleri için A = {1, 2, 3, 4 } , B = {1, 2, 3, 4 } olduԫundan A = B dir.

Ayrԩca s(A) = s(B) olduԫundan A > B dir.

ALT KÜME

A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanԩ A kümesinin de elemanԩ ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A ԭeklinde gösterilir.

Bir kümenin kendisinden farklԩ olan her alt kümesine öz alt kümesi denir.

Bir kümenin alt kümelerinin hepsini kendisine eleman yapan kümeye kuvvet kümesi denir.

Küme

A = { }

B = {a}

C = {a,b}

D = {a,b,c}

Alt Kümeleri Alt küme

say›s› Öz alt küme

say›s›

{ } 1 = 2⁰ 0

, {a} 2 = 2¹ 1

3

7 4 = 2²

8 = 2³

, {a} , {b}, {a, b}

, {a} , {b} , {c} , {a, b}

{a, c} , {b,c} , {a,b,c}