Nevzat Asma

(1)

Mil li Eԫi tim Ba kan lԩ ԫԩ Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baԭ kan lԩ ԫԩ’nԩn 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yԩ lԩ ka ra rԩ ile ka bul edi len ve 2011-2012 Öԫ re tim Yԩ lԩn dan iti ba ren uy gu la- na cak olan prog ra ma gö re ha zԩr lan mԩԭtԩr.

(2)

Ԩsteme Adresi

ESEN BASIN YAYIN DAԪITIM LTD.ԬTԨ.

Bayԩndԩr 2. Sokak No.: 34/11–12 Kԩzԩlay/ANKARA tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87

faks: (0312) 417 15 78

ISBN : 978 – 9944 – 777 – 06 – 3 Genel Müdür

Temel Ateԭ

Genel Koordinatör

Akԩn Ateԭ

Eԫitim Koordinatörü - Editör

Nevzat Asma

Eԫitim Koordinatör Yardԩmcԩsԩ

Halit Bԩyԩk

Dizgi, Grafik, Tasarԩm Esen Dizgi Servisi

Bu ki ta bԩn ta ma mԩ nԩn ya da bir kԩs mԩ nԩn elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi ya da her han gi bir ka yԩt sis te miy le ço ԫal tԩl ma sԩ, ya yԩm lan ma sԩ ve de po lan ma sԩ ya sak tԩr.

Bu ki ta bԩn tüm hak la rԩ ya za rlarԩ na ve Esen Ba sԩn Ya yԩn Da ԫԩ tԩm Li mi tet Ԭir ke ti ne ait tir.

www.esenyayinlari.com.tr

Görsel Tasarԩm

Erol Faruk Yücel – Vedat Polat

Baskԩ

Bahçekapԩ Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06370 Ԭaԭmaz / ANKARA Tel: (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr

Baskԩ Tarihi 2012 – VIII

(3)

Sev gi li Öԫ ren ci ler;

Üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩnda sorulan matematik sorularԩnԩn bir kԩsmԩ 9. sԩnԩf ko nu la rԩn- dan oluԭ mak ta dԩr. Ay rԩ ca, üniversiteye giriԭte or ta öԫ re tim ba ԭa rԩ pu anԩ nԩn et ki si çok faz la dԩr ve bu nun te la fi si de ile ri ki yԩl lar da müm kün de ԫil dir.

Bu se bep ten do la yԩ;

¬ Bu ki tap, 9. sԩnԩf öԫ ren ci le ri için okul da ki ders le ri ne yar dԩm cԩ ve üniversiteye giriԭ sԩ na vlarԩna yö ne lik ha zԩr lan mԩԭ tԩr.

¬ 9. sԩnԩf ko nu la rԩ için de yer alan te mel kav ram ve bil gi ler özet olarak ve ril miԭ tir.

¬ Bu ki tap, 4 ünite içinde yer alan toplam 13 bö lüm den oluԭ mak ta dԩr. Her bir bö lüm de ko nu özetinden son ra; ko nu nun da ha iyi an la ԭԩl ma sԩ için çok sa yԩ da rehber soru ve çözümü, okula yönelik alԩԭtԩrmalar, yazԩlԩya hazԩrlԩk sorularԩ, üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩna yö ne lik test ler ve ko nu ile il gi li üniversiteye giriԭ sԩ nav la rԩn da çԩk mԩԭ so ru lar bu lun mak ta dԩr.

¬ Kitabԩn kontrolünde yardԩmlarԩndan dolayԩ Ayԭen AKGÖNÜL’e teԭekkür ederiz.

Mut lu, saԫ lԩk lԩ ve baԭarԩlԩ bir hayat geçir meniz dileԫiy le...

Nevzat ASMA Halit BIYIK

www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com

(4)

Korkma, sönmez bu ԭafaklarda yüzen al sancak;

Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.

O benim milletimin yԩldԩzԩdԩr, parlayacak;

O benimdir, o benim milletimindir ancak.

Çatma, kurban olayԩm, çehreni ey nazlԩ hilâl!

Kahraman ԩrkԩma bir gül! Ne bu ԭiddet, bu celâl?

Sana olmaz dökülen kanlarԩmԩz sonra helâl...

Hakkԩdԩr, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

Ben ezelden beridir hür yaԭadԩm, hür yaԭarԩm.

Hangi çԩlgԩn bana zincir vuracakmԩԭ? Ԭaԭarԩm!

Kükremiԭ sel gibiyim, bendimi çiԫner, aԭarԩm.

Yԩrtarԩm daԫlarԩ, enginlere sԩԫmam, taԭarԩm.

Garbԩn âfâkԩnԩ sarmԩԭsa çelik zԩrhlԩ duvar, Benim iman dolu göԫsüm gibi serhaddim var.

Ulusun, korkma! Nasԩl böyle bir imanԩ boԫar,

‘Medeniyet!’ dediԫin tek diԭi kalmԩԭ canavar?

Arkadaԭ! Yurduma alçaklarԩ uԫratma, sakԩn.

Siper et gövdeni, dursun bu hayâsԩzca akԩn.

Doԫacaktԩr sana va’dettiԫi günler Hakk’ԩn...

Kim bilir, belki yarԩn, belki yarԩndan da yakԩn.

Bastԩԫԩn yerleri “toprak!” diyerek geçme, tanԩ:

Düԭün altԩndaki binlerce kefensiz yatanԩ.

Sen ԭehit oԫlusun, incitme, yazԩktԩr, atanԩ:

Verme, dünyalarԩ alsan da, bu cennet vatanԩ.

Kim bu cennet vatanԩn uԫruna olmaz ki fedâ?

Ԭühedâ fԩԭkԩracak topraԫԩ sԩksan, ԭühedâ!

Cânԩ, cânânԩ, bütün varԩmԩ alsԩn da Huda, Etmesin tek vatanԩmdan beni dünyada cüdâ.

Ruhumun senden, Ԩlâhi, ԭudur ancak emeli:

Deԫmesin mabedimin göԫsüne nâmahrem eli.

Bu ezanlar-ki ԭahadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.

O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taԭԩm, Her cerîhamdan, Ԩlâhi, boԭanԩp kanlԩ yaԭԩm, Fԩԭkԩrԩr ruh-ԩ mücerred gibi yerden na’ԭԩm;

O zaman yükselerek arԭa deԫer belki baԭԩm.

Dalgalan sen de ԭafaklar gibi ey ԭanlԩ hilâl!

Olsun artԩk dökülen kanlarԩmԩn hepsi helâl.

Ebediyen sana yok, ԩrkԩma yok izmihlâl:

Hakkԩdԩr, hür yaԭamԩԭ, bayraԫԩmԩn hürriyet;

Hakkԩdԩr, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!

ԨSTԨKLÂL MARԬI

(5)

ATA TÜRK’ÜN GENÇ LԨ ԪE HԨ TA BE SԨ

Ey Türk gençliԫi! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.

Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en kԩymetli hazinendir. Ԩstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlarԩn olacaktԩr. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düԭersen, vazifeye atԩlmak için, içinde bulunacaԫԩn vaziyetin imkân ve ԭeraitini düԭünmeyeceksin!

Bu imkân ve ԭerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. Ԩstiklâl ve cumhuriy- etine kastedecek düԭmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiԭ bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanԩn, bütün kaleleri zapt edilmiԭ, bütün tersanelerine girilmiԭ, bütün ordularԩ daԫԩtԩlmԩԭ ve memleketin her köԭesi bilfiil iԭgal edilmiԭ olabilir. Bütün bu ԭeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hԩyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ԭahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düԭmüԭ olabilir.

Ey Türk istikbalinin evlâdԩ! Ԩԭte, bu ahval ve ԭerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktԩr! Muhtaç olduԫun kudret, damarlarԩndaki asîl kanda, mevcuttur!

(6)

1. ÜNԨTE MANTIK

Konu Özeti ...10

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...11

Test - 1, 2 ...17

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk ...21

Eԭleԭtirme Sorularԩ ...23

Bulmaca...24

Boԭluk Doldurma ...25

Doԫru – Yanlԩԭ Sorularԩ ...26

Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ...28

2. ÜNԨTE KÜMELER

Konu Özeti ...30

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ...32

Test - 1, 2, 3, 4, 5 ...43

Bulmaca...56

3. ÜNԨTE BAԪINTI, FONKSԨYON ve ԨԬLEM

BAԪINTI ve FONKSԨYON Konu Özeti ...64

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 ...67

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...89

Yazԩlԩya Hazԩrlԩk – 1 ...101

(7)

ԨԬLEM

Konu Özeti ...114

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...115

Test - 1, 2, 3 ...125

Bulmaca...139

4. ÜNԨTE SAYILAR

DOԪAL SAYILAR ve TAM SAYILAR Konu Özeti ...144

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 ...147

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ...167

MODÜLER ARԨTMETԨK Konu Özeti ...216

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...217

Test - 1, 2, 3 ...223

RASYONEL SAYILAR Konu Özeti ...236

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...237

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...243

BԨRԨNCԨ DERECEDEN DENKLEM ve EԬԨTSԨZLԨKLER Konu Özeti ...264

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...265

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...273

(8)

MUTLAK DEԪER

Konu Özeti ...296

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...297

Test - 1, 2, 3, 4, 5 ...305

ÜSLÜ ԨFADELER Konu Özeti ...322

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ...323

Test - 1, 2, 3, 4, 5 ...335

KÖKLÜ ԨFADELER Konu Özeti ...354

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ...355

Test - 1, 2, 3, 4, 5 ...365

ORAN VE ORANTI Konu Özeti ...384

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...385

Test - 1, 2, 3 ...391

DENKLEM KURMA PROBLEMLERԨ Konu Özeti ...406

Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 ...407

Test - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...419

Bulmaca...460

(9)

MANTIK

Önermeler

1. Kazanԩm : Terim kavramԩnԩ açԩklar, tanԩmlԩ ve tanԩmsԩz terimlere örnek verir.

2. Kazanԩm : Önermeyi, önermenin doԫruluk deԫerini, iki önermenin denkliԫini ve önermenin olumsuzunu açԩklar.

Bileԭik Önermeler

1. Kazanԩm : Bileԭik önermeyi açԩklar; ve, veya baԫlaçlarԩ ile kurulan bileԭik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallarԩnԩ doԫruluk tablosu kullanarak gösterir.

2. Kazanԩm : Koԭullu önermeyi açԩklar; koԭullu önermenin karԭԩtԩnԩ, tersini, karԭԩt tersini yazar ve doԫ- ruluk tablosu kullanarak denk olanlarԩ gösterir.

3. Kazanԩm : Ԩki yönlü koԭullu önermeyi açԩklar, iki yönlü koԭullu önerme ile koԭullu önermeler arasԩn- daki iliԭkiyi belirtir.

4. Kazanԩm : Totoloji ve çeliԭkiyi örneklerle açԩklar.

Açԩk Önermeler

1. Kazanԩm : Açԩk önermeyi ve doԫruluk kümesini açԩklar.

2. Kazanԩm : Her ve bazԩ niceleyicilerini örneklerle açԩklar, bu niceleyicilerin olumsuzunu yazar.

Ԩspat Yöntemleri

1. Kazanԩm : Tanԩm, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarԩnԩ açԩklar, bir teoremin hipotezini ve hükmü- nü belirtir.

2. Kazanԩm : Ԩspat yöntemlerini kullanarak basit ispatlar yapar.

ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨTE 1. ÜNԨT

(10)

Totoloji ve Çeliԭki Bir bileԭik önermeye, bileԭenlerin tüm doԫ- ruluk deԫerleri için daima doԫru oluyorsa totoloji, daima yanlԩԭ oluyorsa çeliԭki adԩ verilir.

Koԭullu Önerme

p ve q önermelerinin ise () baԫ- lacԩ ile baԫlanmasԩyla elde edilen

“p ise q” bileԭik önermesine koԭullu önerme denir.

® p q koԭullu önermesinin doԫruluk deԫeri 1 ise bu koԭullu önermeye gerektirme denir.

® p q > qv pv , p p > 1 , p 1 > 1 p q > pv q , p pv > pv , p 0 > pv (p q)v > p qv , 1 p > p , 0 p > 1

® p q önermesinin;

karԭԩtԩ: q p , tersi: pv qv , karԭԩt tersi: qv pv Ԩki Yönlü Koԭullu Önerme

(p q) (q p) bileԭik önerme- sine iki yönlü koԭullu önerme denir.

p q > (p q) (q p)

® p q önermesi doԫru ise bu önermeye iki yönlü gerektirme veya çift gerektirme denir.

® p p > 1 , p pv > 0 , p 1 > p p 0 > pv , (p q) > (pv qv)

Açԩk Önerme

Ԩçinde deԫiԭken bulunan ve bu deԫiԭkenin alabileceԫi farklԩ deԫerler için doԫru ya da yanlԩԭ bir ifade elde edilen önermelere açԩk önerme denir.

x deԫiԭken olmak üzere açԩk önerme P(x) ya da P_x biçiminde gösterilir. x ve y deԫiԭken ise açԩk öner- me P(x, y) biçiminde gösterilir. Açԩk önermeyi doԫru yapan deԫerlerin kümesine, açԩk önermenin doԫruluk kümesi denir.

Niceleyiciler

® “Bazԩ” ya da “En az bir” niceleyicilerine varlԩksal niceleyici denir ve sembolü ile gösterilir.

® “Her” ya da “Bütün” niceleyicilerine evrensel niceliyici denir ve sembolü ile gösterilir.

® (x, P(x))v > (x, Pv(x)) , (x, P(x))v > (x, Pv(x))

p 1 0

pv 0 1

p pv 1 1 Totoloji

p 1 0

pv 0 1

p pv 0 0 ÇeliÁki

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 1 1

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 1

Mantԩk, doԫru ve sistemli düԭünme bilimidir.

Matematiԫin de amacԩ, doԫru ve sistemli düԭünmeyi kazandԩrmaktԩr.

Terim: Bir bilim dalԩnda, günlük konuԭmalarԩn dԩԭԩn- da, özel bir anlama sahip olan kelimelerin her birine o bilim dalԩna ait bir terim denir.

Önerme: Doԫru ya da yanlԩԭ, kesin bir hüküm bil- diren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t, .... gibi küçük harflerle gösterilir. Eԫer bir önerme doԫru ise bu önermenin doԫruluk deԫeri 1, yanlԩԭ ise bu önermenin doԫruluk deԫeri 0 dԩr.

n tane önermenin karԭԩlԩklԩ doԫruluk deԫeri 2ⁿ tanedir.

Denk (Eԭ Deԫer) Önerme: Doԫruluk deԫerleri aynԩ olan iki önermeye denk ya da eԭ deԫer önermeler denir.

p ve q gibi iki önerme denk ise p > q ԭeklinde gösterilir.

Bir Önermenin Deԫili: Bir önermenin hükmünün de- ԫiԭtirilmesiyle oluԭturulan yeni önermeye bu önerme- nin deԫili (olumsuzu) denir. Bir p önermesinin deԫili pv, p–

, ¾p sembollerinden birisi ile gösterilir.

Bileԭik Önermeler ve Doԫruluk Deԫerleri

Ԩki veya daha çok önermenin birbirine mantԩk baԫlaç- larԩ denilen “veya”, “ve”, “ise”, “ancak ve ancak” gibi baԫlaçlarla baԫlanmasԩyla elde edilen yeni öner- meye bileԭik önerme denir.

Veya ( v ) Ve ( R ) p

1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 1 1 0

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 0 0

® Tek kuvvet özelliԫi p p = p , p p = p

® Deԫiԭme özelliԫi

p q = q p , p q = q p

® Birleԭme özelliԫi

(p q) r = p (q r) , (p q) r = p (q r)

® Daԫԩlma özelliԫi

p (q r) = (p q) (p r) p (q r) = (p q) (p r)

® De Morgan Kuralԩ

(p q)v = pv qv , (p q)v = pv qv

® Önemli Kurallar

p 1 > 1 , p 1 > p , p 0 > p p 0 > 0 , p pv > 1 , p pv > 0

(11)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

1. [(0 1)v (0v 1v)]v (0 1)v bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

0

2. p > 1, q > 1, r > 0, s > 1 olduԫuna göre, (pv q)v (rv s) önermesinin doԫruluk deԫeri

nedir?

0

3. 1v [(1 pv) 0v] > 0 ise p nin doԫruluk deԫeri nedir?

1

4. [(1 0) (1 0)v]v k > 1 ise k önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

5. p > 1 ve qv > 0 olduԫuna göre,

pv (p q) önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

1. p (p qv) > 0 ise p ve q nun doԫruluk deԫer- leri sԩrasԩyla nedir?

0, 1

2. p qv rv > 0 olduԫuna göre, p, q ve r nin doԫ- ruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

0, 1, 1

3. (p qv)v rv > 0 olduԫuna göre, p, q ve r nin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

1, 0, 1

4. (p q) (qv rv) > 1 olduԫuna göre, p, q ve r nin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

1, 0, 0

5. [(pv q) (pv r)] p > 1 olduԫuna göre, p, q ve r nin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

1, 1, 1

Çözüm

(p qv) (q rv) > 1 ise

p qv > 1 ve q rv > 1 olmalԩdԩr.

p qv > 1 p > 1 ve qv > 1 p > 1 ve q > 0 dԩr.

q rv > 1 ve q > 0 0 rv > 1 rv > 1

r > 0 bulunur.

O halde, p > 1, q > 0 ve r > 0 dԩr.

Rehber Soru – 2

(p qv) (q rv) > 1 ise p, q, r önermelerinin doԫ- ruluk deԫerlerini bulunuz.

Çözüm

[(0 1v)v (1 0v)]v > [(0 0)v (1 1)]v

> [0v 1]v

> [1 1]v

> 1v

> 0 bulunur.

[(0 1v)v (1 0v)]v bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

(12)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

(p qv) (p q)v > (p qv) (pv qv) > (p pv) qv > 0 qv > 0 bulunur.

(p qv) (p q)v bileԭik önermesinin çeliԭki oldu- ԫunu gösteriniz.

1. p [(pv q) qv] bileԭik önermesinin en sade ԭekli nedir?

0

2. (p qv) (p q)v bileԭik önermesinin en sade ԭekli nedir?

0

3. (p qv) (q pv)v bileԭik önermesinin en sade ԭekli nedir?

p qv

4. [(p pv) (q qv)] p önermesinin en sade ԭekli nedir?

p

5. (p qv)v qv önermesinin en sade ԭekli nedir?

1

1. p (p q)v bileԭik önermesinin totoloji olduԫunu gösteriniz.

2. pv (pv qv)v bileԭik önermesinin çeliԭki olduԫu- nu gösteriniz.

3. pv (pv q)v önermesinin en sade ԭekli nedir?

0

4. (pv q)v q bileԭik önermesinin totoloji olduԫunu gösteriniz.

5. q (p pv)v bileԭik önermesinin totoloji olduԫunu gösteriniz.

Çözüm

(p q)v (qv p)v > (pv qv) (q pv) > (pv qv) (pv q) > pv (qv q) > pv 1 > pv bulunur.

(p q)v (qv p)v bileԭik önermesinin en sade ԭekli nedir?

(13)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

Çözüm p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 0 1 1

(p q) p 1 1 1 1

Doԫruluk tablosundan da görüldüԫü gibi (p q) p bileԭik önermesi bir totolojidir.

(p q) p bileԭik önermesinin doԫruluk tablosunu yapԩnԩz.

1. (pv q)v > 0 olduԫuna göre,

[p (qv p)]v bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

2. (p q) (r sv)v > 1 olduԫuna göre,

(p q) (r s) bileԭik önermesinin doԫruluk de- ԫeri nedir?

1

3. (p q)v = 1 olduԫuna göre,

[(p q)v (pv q)]v önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

0

4. pv (p q) > 0 olduԫuna göre,

p (q pv) bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

0

5. pv (p q) > 1 olduԫuna göre,

p (pv q) bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

1. (p q) p bileԭik önermesinin doԫruluk tablo- sunu yapԩnԩz.

2. (p q) qv > (p q)v denkliԫini doԫruluk tablosu ile gösteriniz.

3. p q > pv q olduԫunu doԫruluk tablosu ile gösteriniz.

4. p

1 1 0 0

q 1 0 1 0

p q 1 1 1 0

(p q) pv a b c d

Yukarԩdaki tabloya göre, a, b, c, d deԫerleri sԩ- rasԩyla nedir?

0, 0, 1, 1

Çözüm

p qv > 1 p > 1 ve qv > 1 p > 1 ve q > 0 dԩr.

O halde, p (qv p) > 1 (0v 1) > 1 (1 1) > 1 1 > 1 bulunur.

p qv > 1 olduԫuna göre, p (qv p) bileԭik öner- mesinin doԫruluk deԫeri nedir?

(14)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

(p qv)v r > 1 ise (p qv)v > 1 ve rv > 1 dir.

(p qv)v > 1 ise p qv > 0 dԩr.

Yani, p > 1 ve qv > 0 olmalԩdԩr.

O halde; p > 1, q > 1, r > 0 dԩr.

(p qv)v rv > 1 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerleri nedir?

1. p (p q)v önermesinin en sade ԭekli nedir?

(p q)v

2. (p q)v q önermesinin en sade ԭekli nedir?

0

3. (p q) [p (p q)]v önermesinin en sade ԭekli nedir?

1

4. (p q) (p qv) önermesinin en sade biçimi nedir?

pv

5. (p q) p bileԭik önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

1. (p q) r > 0 ise p, q, r nin doԫruluk deԫeri sԩrasԩyla nedir?

1, 1, 0

2. (pv r)v q > 1 ise p, q, r önermelerinin doԫ- ruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

0, 1, 0

3. p (q rv) > 0 ise p, q ve r önermelerinin doԫ- ruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

1, 0, 1

4. (p qv) r > 0 ise p r, q r, p rv öner- melerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

0, 0, 1

5. p q > 1 ve rv p > 0 olduԫuna göre, p, q, r nin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla nedir?

0, 1, 0

Çözüm

(p q) (pv q) > (pv q) ((pv)v q) > (pv q) (p q) > (pv p) q > 0 q > q bulunur.

(p q) (pv q) bileԭik önermesinin en sade ԭekli nedir?

(15)

Mantԩk

ESEN YAYINLARI

Çözüm

(p q)v p > 1 (p q)v > 1 ve p > 1 p q > 0 ve p > 1 1 q > 0 ve p > 1 q > 0 ve p > 1 pv (p q) > 1v (1 0)

> 0 0 > 1 bulunur.

(p q)v p > 1 ise pv (p q) bileԭik önermesi- nin doԫruluk deԫeri nedir?

1. (p q) p önermesinin karԭԩt tersi nedir?

1

2. (p qv) (p q) koԭullu önermesinin tersi nedir?

1

3. (p pv) (p q) koԭullu önermesinin karԭԩtԩ nedir?

1

4. p qv koԭullu önermesinin karԭԩt tersi nedir?

q pv

5. p (qv r) koԭullu önermesinin tersi nedir?

pv (q rv)

1. (p q)v r > 1 ise (p q) (qv r)v önerme- sinin doԫruluk deԫeri nedir?

0

2. [(p q) (r s)] > 0 ise

(pv qv) (r sv)v önermesinin eԭiti nedir?

1

3. (p q) (p q) önermesinin en sade ԭekli ne- dir?

p q

4. p > 1, q > 1, r > 0 ise

(p q)v [rv (pv q)] önermesinin doԫruluk deԫeri nedir?

1

5. p (qv p) > p ise p ve q nun doԫruluk de- ԫerlerini bulunuz.

p > 1, q > 0

Çözüm

p q önermesinin; karԭԩtԩ: q p

tersi : pv qv

karԭԩt tersi : qv pv

olduԫundan verilen önermenin, karԭԩtԩ : (a³ = 8) (a = 2) tersi : (a 2) (a³ 8)

karԭԩt tersi : (a³ 8) (a 2) ԭeklinde bulunur.

(a = 2) (a³ = 8) koԭullu önermesinin tersini, kar- ԭԩtԩnԩ ve karԭԩt tersini bulunuz.

(16)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

a. [x, x² – 2x + 2 > 0]v > x, x² – 2x + 2 0 olarak bulunur.

b. 2x + 1 = 4 x = 23 N olduԫundan p > 0 dԩr.

pv : " x D N , 2x + 1 4 ”

x D N ve x < 3 x = 0, x = 1 ve x = 2 olabilir.

O halde q nun doԫruluk kümesi {0, 1, 2} dir.

Üstelik q > 1 dir.

qv : " x D N, x 3 ” Rehber Soru – 12

a. x, x² – 2x + 2 > 0 önermesinin deԫilini bulunuz.

b. p: “x D N , 2x + 1 = 4”

q: “x D N , x < 3”

önermelerinin doԫruluk deԫerlerini ve deԫillerini bulunuz.

1. p (q r) önermesinin deԫili (olumsuzu) nedir?

p (q r)v

2. p qv önermesinin olumsuzu (deԫili) nedir?

p q

3. [(p q)v (p q)] p önermesinin en sade ԭekli nedir?

0

4. (p q) p önermesinin en sade ԭekli nedir?

q p

1. (x, x² = 4) (x, x = 2) önermesinin olumsuzunu (deԫilini) bulunuz.

2. [(x D R, x² – 2 < 0) (x D R, x – 2 0)] bileԭik önermesinin olumsuzu nedir?

3. p(x, y): “3x + y = 10, x, y D N” açԩk önermesinin doԫruluk kümesi kaç elemanlԩdԩr?

4

4. (x, x² – x > 0) (x, x 4) koԭullu önermesi- nin deԫili (olumsuzu) nedir?

Çözüm

[p (p q)]v > [pv (p q)]v > p (p q)v

> p [(p q) (q p)]v > p [(pv q) (qv p)]v > p [(pv q)v (qv p)v]

> p [(p qv) (q pv)]

> [p (p qv)] (p (q pv)]

> [(p p) qv)] (q (p pv)]

> (p qv) (q 0) > (p qv) 0 > p qv bulunur.

p (p q) bileԭik önermesinin olumsuzunu bulunuz.

(17)

ESEN YAYINLARI

TEST – 1

1. (pv q)v q bileԭik önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) qv E) p q

2. (p q) (p qv) bileԭik önermesi aԭaԫԩdakiler- den hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) qv

3. (p q) (pv q) bileԭik önermesi aԭaԫԩdakiler- den hangisine denktir?

A) p B) q C) pv D) qv E) 0

4. p qv > 1 ise aԭaԫԩdaki bileԭik önermelerden hangisi doԫrudur?

A) p q B) pv qv C) (pv qv) q D) p q E) q p

5. (pv q) qv > 1 olduԫuna göre, aԭaԫԩdakilerden hangisi yanlԩԭtԩr?

A) p q B) p q C) q p D) qv p E) p qv

6. (p q) (r qv) > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 1, 1, 0 B) 1, 0, 1 C) 1, 1, 1 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 0

7. (p qv) [(p qv) (p q)] bileԭik önermesi- nin en sade ԭekli nedir?

A) pv q B) p q C) pv q D) p q E) p qv

8. Aԭaԫԩdakilerden hangisi (p q) (p r) öner- mesine denktir?

A) (pv qv) (pv rv) B) (p r) (p q) C) (pv rv) (pv qv) D) (pv rv) (pv qv) E) (pv rv) (p q)

(18)

ESEN YAYINLARI

1. A 2. C 3. B 4. E 5. B 6. C 7. A 8. D 9. E 10. E 11. A 12. D 13. D 14. A 15. B 16. D 9. Aԭaԫԩdaki önermelerin hangisi doԫrudur?

A) 0 < x < 1 x² > 1 B) x < 0 x² > 1 C) x < 1 x² < 1 D) x < 0 x² < 1 E) 0 < x < 1 x² < x

10. (qv p)v (p q)v önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) qv

11. (p q)v rv önermesinin karԭԩt tersi aԭaԫԩdaki- lerden hangisidir?

A) r (p q) B) rv (p q) C) (p q) r D) (p q) rv E) (p q) rv

12. Aԭaԫԩdaki önermelerden kaç tanesi daima doԫru- dur?

I. p 1 > p II. p 0 > pv III. p q > pv q IV. p q > q p V. p 1 > p

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. Aԭaԫԩdakilerden hangisi totolojidir?

A) p p B) p pv C) p pv D) p pv E) pv p

14. x , x² – 3x – 2 < 0 önermesinin deԫili aԭaԫԩda- kilerden hangisidir?

A) x , x² 3x + 2 B) x , x² > 3x – 2 C) x , x² – 3x – 2 > 0 D) x , x² – 3x – 2 0 E) x , x² – 3x – 2 = 0

15. [(p q) (p q)v] p önermesi aԭaԫԩdakiler- den hangisine denktir?

A) Totoloji B) Çeliԭki C) p

D) pv E) q

16. Aԭaԫԩdaki önermelerin hangisi doԫrudur?

A) x.y = 4 [x = 2 y = 2]

B) x + y = 3 [x = 2 y = 1]

C) x² = 9 x = 3

D) [x = 2 y = 5] x.y = 10

E) (x – 2).(y + 2) = 0 [x = 2 y = –2]

(19)

ESEN YAYINLARI

1. (p qv) (p q)v bileԭik önermesi aԭaԫԩdakiler- den hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p D) q E) pv

2. p (p q) önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) p q B) pv q C) pv q D) p q E) q

3. p (pv q) önermesi aԭaԫԩdakilerden hangisine denktir?

A) p B) q C) pv q

D) 0 E) 1

4. (p q) rv > 0 olduԫuna göre, aԭaԫԩdaki öner- melerden kaç tanesi doԫrudur?

I. p r II. pv rv III. p q IV. q rv V. pv qv

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. Aԭaԫԩdaki önermelerin hangileri doԫrudur?

I. 0 p > 1 II. p q > qv pv III. p 0 > pv

A) Yalnԩz I B) Yalnԩz II C) I ve II D) I, II ve III E) II ve III

6. (p q) qv önermesinin tersi aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) pv q B) q (p q) C) p q D) p qv E) pv q

7. p (pv q) önermesinin karԭԩt tersi aԭaԫԩdaki- lerden hangisidir?

A) (p qv) p B) (pv q) pv

C) pv q D) pv q

E) p q

8. (p q) (pv q) bileԭik önermesi aԭaԫԩdakiler- den hangisine denktir?

A) 0 B) 1 C) p q

D) p q E) pv q

TEST – 2

(20)

ESEN YAYINLARI

1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. E 7. C 8. B 9. A 10. B 11. E 12. D 13. B 14. D 15. E 16. C 9. (p q)v p önermesinin en sade biçimi aԭaԫԩ-

dakilerden hangisidir?

A) p B) q C) pv

D) p qv E) pv q

10. (x, x² = 9) (x, x = 3) önermesinin karԭԩt tersi aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) (x, x = 3) (x, x² = 9) B) (x, x 3) (x, x² 9) C) (x, x 3) (x, x² 9) D) (x, x² 9) (x, x 3) E) (x, x 3) (x, x² = 9)

11. (p qv) (pv r) > 0 ise p, q, r önermelerinin doԫruluk deԫerleri sԩrasԩyla aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 1, 1, 0 B) 0, 1, 1 C) 1, 1, 1 D) 1, 0, 1 E) 1, 0, 0

12. Aԭaԫԩdakilerden hangisi totolojidir?

A) p pv B) (p q) q

C) (p qv) q D) (p q) p E) p 1

13. x, x³ – x + 1 > 0 önermesinin deԫili aԭaԫԩdaki- lerden hangisidir?

A) x, x³ – x + 1 < 0 B) x, x³ – x + 1 0 C) x, x³ – x + 1 > 0 D) x, x³ – x + 1 0 E) x, x³ – x + 1 = 0

14. (r pv) (p rv) bileԭik önermesinin olumsuzu aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) (rv pv) (pv r) B) (r pv) (pv r) C) (rv p) (p rv) D) (rv p) (pv r) E) (rv pv) (p r)

15. (r q) p > 0 ise sԩrasԩyla pv, qv, rv önermele- rinin doԫruluk deԫerleri aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 0, 0, 1 B) 1, 0, 1 C) 1, 1, 1 D) 1, 0, 0 E) 1, 1, 0

16. (p q) p ifadesinin olumsuzu aԭaԫԩdakilerden hangisidir?

A) 0 B) 1 C) pv qv

D) p q E) p q

(21)

ESEN YAYINLARI

YAZILIYA HAZIRLIK

1. 6 önermenin doԫruluk deԫeri için kaç deԫiԭik durum vardԩr?

2. (p q) (pv q) önermesinin en sade biçimini elde ediniz.

3. (p qv)v rv > 0 ise p, q ve r önermelerinin doԫ- ruluk deԫerlerini bulunuz.

4. Aԭaԫԩdaki önermelerin totoloji veya çeliԭki olup olmadԩklarԩnԩ tespit ediniz.

a. (p pv) q b. (q pv) qv c. (p qv) p d. pv (pv r) e. (p qv)v qv

5. (pv qv) (p qv) önermesinin en sade biçimini elde ediniz.

6. p (pv q) önermesinin deԫilini bulunuz.

(22)

ESEN YAYINLARI

1. 64 2. q 3. p > 1, q > 0, r > 1 4. A, C, D totoloji 5. p qv

E çeliԭki

6. p qv 7. 1 8. p > 1, q > 0 9. 1 10. D, D, Y, D, D

r > 1, s > 0 7. (p qv)v r > 1 ise (p r) q önermesinin

doԫruluk deԫerini bulunuz.

8. (pv q)v (r s) > 0 ise p, q, r ve s önerme- lerinin doԫruluk deԫerlerini bulunuz.

9. p [q (p q)] önermesinin en sade biçimini elde ediniz.

10. Aԭaԫԩdakilerin doԫru veya yanlԩԭ olduklarԩnԩ tes- pit ediniz.

a. p 1 > p b. p 0 > pv

c. p qv > 0 d. p p > 1 e. (p q)v > pv q

(23)

I. p q

1 1

1 0

0 1

0 0

olmak üzere, sol sütunda verilenlerin tablolarԩnԩ saԫ sütunda verilenlerle eԭleԭtiriniz.

1 0 1 1 1.

1 0 0 1 3.

1 1 1 0 2.

1 0 0 0 4.

a. p q

b. p q

c. p q

d. p q

II. p q önermesi için sol sütunda verilenlerin eԭitini saԫ sütunda bulup eԭleԭtiriniz.

a. Karԭԩtԩ

b. Tersi

c. Karԭԩt tersi

1. pv qv

2. qv pv

3. q p

III. Aԭaԫԩdaki önermelerin denklerini saԫ sütundan bularak eԭleԭtiriniz.

a. p pv

b. (pv q) (p q)v

c. p (p q)

1. q p

2. 0

3. p qv

(24)

SOLDAN SAԪA

3. Mantԩklԩ bazԩ varsayԩmlarԩn kiԭiyi mantԩksԩz sonuçlara ulaԭtԩrmasԩ olayԩ

4. p q teoraminde q önermesine verilen ad 6. p q = q p ve p q = q p

özelliklerinin adԩ

8. Bileԭenlerin tüm doԫruluk deԫerleri için daima doԫru olan bileԭik önerme

9. baԫlacԩ ile elde edilen bileԭik önerme 11. Varlԩksal niceleyici denilen “” sembolü

12. Doԫru ya da yanlԩԭ, kesin bir hüküm bildiren ifadeler

YUKARIDAN AԬAԪIYA

1. Doԫruluԫunu ispatlayabildiԫimiz önermeler 2. Doԫruluԫu ispatlanamayan ama doԫru olduԫu

kabul edilen önermeler

5. (p q)v = pv qv ve (p q)v = pv qv

kurallarԩnԩn adԩ

7. Doԫru önermelerin doԫruluk deԫeri

8. Bir bilim dalԩnda, günlük konuԭmalarԩn dԩԭԩnda, özel bir anlama sahip olan kelimelerin her biri 10. Evrensel niceleyici denilen “” sembolü

2

3 4

5

6 7

8 9

10

11 12

(25)

Aԭaԫԩdaki sorularԩn her birinde noktalԩ yerleri uygun ԭekilde doldurunuz.

1. n tane önermenin karԭԩlԩklԩ doԫruluk deԫeri ... tanedir.

2. Yanlԩԭ bir önermenin doԫruluk deԫeri ... dԩr.

3. Doԫru ve düzlem ... terimlerdir.

4. Doԫruluk deԫerleri aynԩ olan iki önermeye ... önermeler denir.

5. p önermesi yanlԩԭ ise ... önermesi doԫrudur.

6. p : “3 + 4 > 5” ise pv : “...” dir.

7. Dört farklԩ önermenin doԫruluk deԫeri için ... durum vardԩr.

8. a. p 1 > ...

b. p 0 > ...

c. p pv > ...

d. p pv > ...

e. p 1 > ...

f. 0 p > ...

g. p p > ...

h. p pv > ...

(26)

Aԭaԫԩdaki ifadelerden doԫru olanlar için kutucuklara D, yanlԩԭ olanlar için Y yazԩnԩz.

1. Doԫru, düzlem ve üçgen birer geometri terimidir.

2. Üç farklԩ önermenin doԫruluk deԫeri için 8 durum vardԩr.

3. Açԩ, açԩortay, tek sayԩ ve çift sayԩ birer tanԩmlԩ terimdir.

4. p önermesi doԫru ise pv önermesi de doԫrudur.

5. Bileԭenlerin tüm doԫruluk deԫerleri için daima yanlԩԭ olan bileԭik önermeye çeliԭki adԩ verilir.

6. p q > (p q) (q p) dir.

7. (p q) > (qv pv) dir.

8. p q teoreminde p önermesine hipotez denir.

9. Tüme varԩm bir ispat yöntemi deԫildir.

10. Bazԩ teoremlerin ispatԩ deneme yöntemi ile yapԩlabilir.

11. p q önermesi doԫru ise bu önermeye çift gerektirme denir.

(27)

EԬLEԬTԨRME

I. a. 2 b. 4 c. 1 d. 3

II. a. 3 b. 1 c. 2

III. a. 2 b. 3 c. 1

DOԪRU (D) YANLIԬ (Y) 1. D

2. D

3. D 4. Y

5. D 6. D

7. D 8. D

9. Y 10. D

11. D BOԬLUK DOLDURMA

1. 2ⁿ 2. 0

3. tanԩmsԩz 4. denk (eԭ deԫer)

5. pv 6. 3 + 4 5

7. 16

8. a. 1 b. 0

c. 1 d. 0

e. 1 f. 1

g. 1 h. 0

BULMACA

1

2

3 4

5

6 7

8 9

10

11 12

T

E A

P A R A D O K S H Ü K Ü M

R S

D E ‹

D E ¼ ‹ À M E B Y

M ‹ T O T O L O J ‹

K O À U L L U Ö N E R M E M

R R

G H ‹

B A Z I Ö N E R M E

N R

(28)

1. 2010 – YGS

p, q ve r önermelerinini deԫilleri sԩrasԩyla pv, qv, rv ile gösterildiԫine göre, aԭaԫԩdakilerden hangisi p v q q r önermesine denktir?

A) pv qv qv v rv B) pv qv qv rv C) pv v qv qv rv D) qv rv pv v qv E) qv v rv pv qv

2. 2011 – YGS p : a = 0 q : a + b = 0 r : a.b = 0

önermeleri veriliyor. Buna göre aԭaԫԩdaki koԭullu önermelerden hangisi doԫrudur?

A) r p B) p r C) q p

D) p q E) q r

ESEN YAYINLARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

1.E 2.B

(29)

KÜMELER

ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨTE 2. ÜNԨT

Kümelerde Temel Kavramlar

1. Kazanԩm : Küme kavramԩnԩ açԩklar; liste, Venn ԭemasԩ ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.

2. Kazanԩm : Sonlu, sonsuz ve boԭ kümeyi örneklerle açԩklar.

3. Kazanԩm : Alt ve öz alt kümeyi açԩklar, alt kümenin özelliklerini belirtir, bir kümenin tüm alt kümele- rinin sayԩsԩnԩ ve belirli sayԩda eleman içeren alt kümelerinin sayԩsԩnԩ hesaplar.

4. Kazanԩm : Ԩki kümenin denkliԫini ve eԭitliԫini belirtir.

Kümelerde Ԩԭlemler

1. Kazanԩm : Sonlu sayԩdaki kümelerin birleԭim ve kesiԭim iԭlemlerinin özelliklerini gösterir.

2. Kazanԩm : Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini açԩklar, tümleme iԭleminin özelliklerini ve De Morgan kurallarԩnԩ gösterir.

3. Kazanԩm : Ԩki kümenin farkԩnԩ açԩklar, fark iԭleminin özelliklerini gösterir.

4. Kazanԩm : Kümelerdeki iԭlemleri kullanarak problemler çözer.

(30)

KÜMELERDE ԨԬLEMLER

Evrensel Küme: Üzerinde iԭlem yapԩlan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir.

Kümelerin Birleԭimi

E

A B

A F B = { x : x D A veya x D B }

Kümelerin Kesiԭimi

E

A B

A E B = { x : x D A ve x D B }

Kümelerin Farkԩ

E

A B

A – B = { x : x D A ve x B }

Bir Kümenin Tümleyeni

E

A

A^›

A^ԩ = { x : x D E ve x A } KÜMELER

Küme kavramԩnԩn tanԩmԩ yoktur. Ancak küme de- nilince, iyi tanԩmlanmԩԭ, birbirinden farklԩ nesneler topluluԫu akla gelmelidir.

Kümeyi oluԭturan nesnelere o kümenin elemanԩ (öԫesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazԩlԩr.

Kümenin elemanlarԩnԩn küme içerisinde yer deԫiԭtirmesi kümeyi deԫiԭtirmez.

Kümeler; ortak özellik yöntemi, liste yöntemi ve venn ԭemasԩ ile gösterilirler.

Boԭ Küme: Hiçbir elemanԩ olmayan kümeye boԭ küme denir ve { } veya Ø ԭeklinde gösterilir.

Alt Küme: A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanԩ A kümesinin de elemanԩ ise, B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A ԭeklinde gösterilir.

Öz Alt Küme: Bir kümenin kendisinden farklԩ olan her alt kümesine öz alt kümesi denir.

Kuvvet Kümesi: Bir kümenin alt kümelerinin hepsini kendisine eleman yapan kümeye kuvvet kümesi denir.

n elemanlԩ bir kümenin;

x Alt küme sayԩsԩ = 2ⁿdir.

x Öz alt küme sayԩsԩ = 2ⁿ – 1 dir.

x r elemanlԩ alt kümelerinin sayԩsԩ = n

c m dir. r

x n n n ... n

n 0 + 1 + 2 + + =2ⁿ

c m c m c m c m dir.

(31)

KÜME PROBLEMLERԨ

S

F B

a b c

d

Futbol oynayanlarԩn kümesi : F Basketbol oynayanlarԩn kümesi: B

a, b, c, d içinde bulunduklarԩ kümelerin eleman sayԩlarԩnԩ göstersin.

Futbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = a + b Basketbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = b + c Sadece futbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = a Sadece basketbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = c Futbol ve basketbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = b

Futbol veya basketbol oynayanlarԩn sayԩsԩ = a + b + c Hiçbir oyun oynamayanlarԩn sayԩsԩ = d

En az bir oyun oynayanlarԩn sayԩsԩ = a + b + c En çok bir oyun oynayanlarԩn sayԩsԩ = a + c + d De Morgan Kurallarԩ

(A F B)^ԩ = A^ԩ E B^ԩ (A E B)^ԩ = A^ԩ F B^ԩ

Özellikler

® A F A = A

® A E A = A

® A F B = B F A

® A E B = B E A

® A F Ø = A

® A E Ø = Ø

® A F E = E

® A E E = A

® A F A^ԩ = E

® A E A^ԩ = Ø

® E^ԩ = Ø

® Ø^ԩ = E

® (A^ԩ)^ԩ = A

® A^ԩ = E – A

® A F (B F C) = (A F B) F C

® A E (B E C) = (A E B) E C

® A F (B E C) = (A F B) E (A F C)

® A E (B F C) = (A E B) F (A E C)

® s(A F B) = s(A) + s(B) – s(A E B)

® s(A F B F C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A E B) – s(A E C) – s(B E C) + s(A E B E C)

® A B B^ԩ A^ԩ

® A – B = A E B^ԩ

® A B A F B = B

® A B A E B = A

(32)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

a. A = {1, 2, 3, 4 } olup n = s(A) = 4 tür.

b. 2ⁿ = 2⁴ = 16 tane alt kümesi vardԩr.

c. Öz alt küme sayԩsԩ 2ⁿ – 1 olduԫundan 2ⁿ – 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15 bulunur.

A = {x : 0 < x < 5 , x D Z } kümesinin, a. Eleman sayԩsԩ kaçtԩr?

b. Alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

c. Öz alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

1. A = {1, 2, {3 }, {4, 5 } } kümesi için aԭaԫԩdakiler- den hangileri doԫrudur?

I. s(A) = 5 II. 3 D A III. {4 } D A IV. {1, 2 } A V. {4, 5 } A VI. {{3 } } A

IV, VI

2. A = {1, 2, {1, 2 }, {2, 3, 4 }, {1 } } kümesi için aԭa- ԫԩdakilerden hangileri doԫrudur?

I. s(A) = 6 II. {1 } D A III. {1, 2 } A IV. {1, 2, {1 } } D A V. {2, {2, 3, 4 } } A VI. {Ø } A

II, III, V

3. B Ø ve B A ise aԭaԫԩdakilerden hangisi daima yanlԩԭtԩr?

I. Av E Bv = Av II. A E B = B

III. B – A = B IV. (A – B) E (A E B) = Ø V. A – B = (A F B) – B

III

1. A = {x : –3 < x < 5 , x D N } kümesinin eleman sayԩsԩ kaçtԩr?

5

2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

64

3. 6 elemanlԩ bir kümenin öz alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

63

4. Alt küme sayԩsԩ ile öz alt küme sayԩsԩnԩn toplamԩ 15 olan bir kümenin eleman sayԩsԩ kaçtԩr?

3

5. Ԩki kümenin alt kümelerinin sayԩlarԩ toplamԩ 34 ol- duԫuna göre, eleman sayԩlarԩnԩn toplamԩ kaçtԩr?

6

Çözüm

I. s(A) = ..5.. II. 1 ..D.. A III. {2, 3 } .... A IV. 5 .... A V. {5 } ..D.. A VI. {4, {5 } } .... A Rehber Soru – 1

A = {1, 2, 3, 4, {5 } } kümesi için aԭaԫԩdaki boԭluklarԩ doldurunuz.

I. s(A) = ... II. 1 ... A III. {2, 3 } ... A IV. 5 ... A V. {5 } ... A VI. {4, {5 } } ... A

(33)

Kümeler

1. s(A) = 6 ise A kümesinin 4 elemanlԩ alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

15

2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin en az 4 elemanԩ vardԩr?

22

3. En çok 2 elemanlԩ alt küme sayԩsԩ 29 olan bir kümenin eleman sayԩsԩ kaçtԩr?

7

4. Bir kümenin eleman sayԩsԩ 2 artԩrԩldԩԫԩnda alt küme sayԩsԩ 96 artԩyor. Bu kümenin en çok 2 elemanlԩ alt küme sayԩsԩ kaçtԩr?

16

5. 6 elemanlԩ bir kümenin en az 2 elemanlԩ alt kümelerinin sayԩsԩyla, en çok 2 elemanlԩ alt kümelerinin sayԩlarԩ toplamԩ kaçtԩr?

79

6. Bir A kümesinin 3 elemanlԩ alt küme sayԩsԩ ile 5 elemanlԩ alt küme sayԩsԩ eԭittir. Buna göre, A nԩn 2 elemanlԩ kaç tane alt kümesi vardԩr?

28

7. Bir A kümesinin 5 elemanlԩ alt kümeleri sayԩsԩ, 3 elemanlԩ alt kümeleri sayԩsԩna eԭittir. Bu küme- nin en çok 2 elemanlԩ kaç alt kümesi vardԩr?

37

8. Sekiz elemanlԩ bir kümenin en az bir elemanlԩ kaç tane öz alt kümesi vardԩr?

254

ESEN YAYINLARI

s(A) = 5 olmak üzere A kümesinin a. 3 elemanlԩ alt kümelerinin sayԩsԩnԩ b. En az 3 elemanlԩ kümelerinin sayԩsԩnԩ

c. En çok 2 elemanlԩ kümelerinin sayԩsԩnԩ bulunuz.

Çözüm

n elemanlԩ bir kümenin r elemanlԩ alt kümelerinni sayԩsԩ n d n r olduԫundan,

a. . .

5 . .

3 1 2 3

5 4 3 10

= =

d n

b. 5 5 5

3 + 4 + 5 =10 5 1 16+ + =

d n d n d n

c. 5 5 5

.

. bulunur.

0 1 2 1 5

1 2 5 4 16

+ + = + + =

d n d n d n

(34)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

a. A₁ = {c, d} kümesinin alt küme sayԩsԩ 2² = 4 tür.

A₁ in alt küme sayԩsԩ 4 tane

A₁ in alt kümelerine a yԩ eklersek 4 tane A₁ in alt kümelerine b yi eklersek + 4 tane

––––––––

12 tane

alt kümenin hiç birinde a ve b elemanlarԩ bulunmaz.

b. A₁ = {c, d} kümesinin alt küme sayԩsԩ 2² = 4 tür.

Bu 4 alt kümenin hiç birinde a veya b elemanlarԩ bulunmaz.

A = {a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde,

a. a ve b elemanlarԩ bulunmaz?

b. a veya b elemanlarԩ bulunmaz?

1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanԩ bulunur?

16

2. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanԩ bulunur?

12

3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz?

8

4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanlarԩ bulunur ama c elemanԩ bulunmaz?

8

1. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanlarԩ bulunmaz?

8

2. A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanlarԩ bulunmaz?

24

3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 elemanlarԩ bulunmaz?

16

4. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanlarԩ bulunmaz?

48

Çözüm

a. A₁ = {b, c, d, e } olsun. A₁ kümesinin 2⁴ = 16 tane alt kümesi vardԩr. Üstelik bu alt kümelerinin hiçbirin- de a elemanԩ yoktur. Bu alt kümelerin hepsine de a elemanԩnԩ eklersek hepsinde de (16 tanesinde de) a elemanԩ bulunur.

b. A₁ = {c, d, e} nin alt küme sayԩsԩ 2³ = 8 dir.

A₁ in alt kümelerine a ve b elemanlarԩnԩ eklersek hepsinde de (8 tanesinde de) a ve b elemanlarԩ bulunur.

c. A₁ = {c, d, e} nin alt küme sayԩsԩ 2³ = 8 dir.

A₁ in alt küme sayԩsԩ 8 tane

A₁ in alt kümelerine a yԩ eklersek 8 tane A₁ in alt kümelerine b yi eklersek + 8 tane

––––––––

24 tane

alt kümenin her birinde a veya b elemanlarԩ bulunur.

A = {a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde,

a. a elemanԩ bulunur?

b. a ve b elemanlarԩ bulunur?

c. a veya b elemanlarԩ bulunur?

(35)

Kümeler

1. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 2 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanԩ bulunur?

5

2. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanԩ bulunur, ama b elemanԩ bulunmaz?

6

3. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlԩ alt kü- melerinin kaç tanesinde a elemanԩ bulunmaz?

10

4. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanlarԩ bulunur?

3

5. A = {a, b, c, d, e } kümesinin 3 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b elemanlarԩ bulunur?

9

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 den yalnԩz biri bulunur?

12

7. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } kümesinin 4 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur ama 4 bulunmaz?

4

8. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlԩ alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur ama 3 bulunmaz?

30

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlԩ alt küme- lerinin kaç tanesinde 1 ve 2 elemanlarԩ bulunur?

Çözüm

A₁ = {3, 4, 5, 6 }, s(A₁) = 4, 4

d n1 ^{= 4 tür.}

Bu 4 tane alt küme, {3 }, {4 }, {5 }, {6 } olup bunlarԩn her birine 1 ve 2 yi eklersek;

{1, 2, 3 }, {1, 2, 4 }, {1, 2, 5 }. {1, 2, 6 }

üç elemanlԩ alt kümeleri bulunur. Yani A kümesinin 3 ele- manlԩ alt kümelerinin 4 tanesinde 1 ve 2 elemanlarԩ bulunur.

ESEN YAYINLARI

(36)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

A F (B E C) = (A F B) E (A F C) = (–2, 3] E [–3, 2) = (–2, 2) bulunur.

A F B = (–2, 3] ve A F C = [–3, 2) ise A F (B E C) kümesi nedir?

1. A = {1, 2, 3 }, B = {1, 2, 3, 4, 5 } olduԫuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar?

4

2. A = {a, b, c }, B = {a, b, c, d, e, f } olduԫuna göre, A ve B den farklԩ olmasԩ koԭulu ile B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?

6

3. A = {a, b, c } ve B = {a, b, c, d, e } olmak üzere, A C B koԭulunu saԫlayan kaç tane C kümesi

vardԩr?

4

4. A = {1, 2 } , B = {1, 2, 3, 4, 5 } , A C B ve B C ise bu koԭullara uyan kaç farklԩ C kümesi vardԩr?

7

5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ve B = {2, 5, 6, 8, 9 } kü- melerinin kaç tane ortak alt kümesi vardԩr?

8

1. A F B = {a, b, c, d }, B F C = {b, c, e, f } ise (A E C) F B kümesi nedir?

{b, c }

2. A F B = {a, b, c } ve A F C = {b, c, d } ise A F (B E C) kümesi nedir?

{b, c }

3. A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {4, 5, 6, 7 } ise A F B = B F C koԭulunu saԫlayan C kümesi en

az kaç elemanlԩdԩr?

3

4. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } ise

A F B = B F C koԭulunu saԫlayan C kümesi en çok kaç elemanlԩdԩr?

6

5. A ve B iki küme olmak üzere, s(A) = 5, s(B) = 7 ve A E B nin alt küme sayԩsԩ 8 ise A F B nin eleman sayԩsԩ kaçtԩr?

9

Çözüm

B kümesinde e, f, k elemanlarԩ olmak zorundadԩr. Bu ele- manlarԩn yanԩna A = {a, b, c, d } kümesinin elemanlarԩnԩ 2⁴ = 16 farklԩ ԭekilde ekleyebiliriz. Dolayԩsԩ ile 16 farklԩ B kümesi yazԩlabilir.

A = {a, b, c, d } ve A F B = {a, b, c, d, e, f, k } ise kaç farklԩ B kümesi yazԩlabilir?

(37)

Kümeler

1. A = {1, 2, {2 }, {1, 3 } }, B – A = {3 } ve A – B = {2, {1, 3 } } ise B kümesi nedir?

{1, {2 }, 3 }

2. A = {a, {b }, b, {a, b } }, B – A = {c, {a } } ve A – B = {{b }, b, a } ise B kümesi nedir?

{c, {a }, {a, b } }

3. A ve B iki küme olmak üzere,

s(A F B) = 20, s(A E B) = 4, s(A) = 3s(B) ise s(A – B) kaçtԩr?

14

4. A ve B iki küme olmak üzere,

3.s(A E B) = 5.s(A – B) ve A E B kümesinin alt küme sayԩsԩ 32 ise s(A – B) kaçtԩr?

3

5. A ve B boԭ kümeden farklԩ iki kümedir.

3.s(A – B) = 2.s(B – A) ve s(A F B) = 38 ise s(A E B) en az kaçtԩr?

3

6. A ve B kümeleri için s(A) – s(B) = 7 ve s(A F B) – s(A E B) = 15 ise s(A – B) kaçtԩr?

11

7. A = {a, b, c, d, e } ve B = {a, c, d, f, k } olduԫuna göre, A – (A E B) kümesi kaç elemanlԩdԩr?

2

8. A ve B ayrԩk iki kümedir.

s(A) – s(B) = 6 ve s(A F B) = 12 ise s(A) kaç- tԩr?

9

ESEN YAYINLARI

s(A) = 5, s(B) = 7 ve s(B – A) = 3 olduԫuna göre, s(A – B) kaçtԩr?

Çözüm

A B

A – B

B – A

A E B 3 4 1

Ԭemada görüldüԫü gibi s(A – B) = 1 dir.

(38)

ESEN YAYINLARI

Çözüm

s(A) + s(Bv) = 12 s(Av) + s(B) = 14 +

s A( )+s A( )+s B( )+s B( )=12 14+

( ) ( )

s E s E

l l

1444 4442 3 1444 4442 3 2s(E) = 26 s(E) = 13 olur.

A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt küme- sidir. s(A) + s(Bv) = 12, s(Av) + s(B) = 14

olduԫuna göre, s(E) kaçtԩr?

1. (A E B)v – (A – B) kümesinin en sade biçimi nedir?

Av

2. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A F (B – Av) kümesinin eԭiti nedir?

A

3. [ B E (Av – B)]v – A kümesinin eԭiti nedir?

Av

4. A ve B aynԩ evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aԭaԫԩdaki ifadelerden hangisi yan- lԩԭtԩr?

I. (A F B)v = Av E Bv II. (A – B)v E A = A E B III. (A E B)v E B = A – B VI. A B ise A F B = B V. A B ise Av Bv

III.

5. A = [–2, 3) ve B = (–3, 3] ise Av – Bv kümesi nedir?

(–3, –2) F |3|

1. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kü- mesidir. s(A) + s(Bv) = 10 ve s(B) + s(Av) = 8 olduԫuna göre, s(E) kaçtԩr?

9

2. A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin üç alt kümesidir. s(A) + s(Bv) = 8 , s(B) + s(Av) = 12 ve s(C) = 6 ise s(Cv) kaçtԩr?

4

3. A, B, C kümeleri için A B C ise

(A E Bv)v F (B F C)v kümesinin en sade biçimi nedir?

E

4. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

Bv F [(A F B)v F (A E Bv)]v ifadesinin eԭiti nedir?

E

5. Av = {a, b, c, d, e }, Bv = {c, e, f, g } olduԫuna göre (A F B)v nedir?

{c, e }

Çözüm

(A – B) E B = (A E Bv) E B = A E Bv E B Ø = A E Ø = Ø bulunur.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A – B) E B kümesi hangi kümeye eԭittir?

(39)

Kümeler

ESEN YAYINLARI

1. A ve B ayrԩk olmayan iki kümedir.

s(A) = 8 ve s(B) = 10 ise s(A E B) nin alabile- ceԫi en büyük deԫer kaçtԩr?

8

2. A ve B ayrԩk olmayan iki kümedir.

s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise s(A F B) nin alabile- ceԫi en büyük deԫer kaçtԩr?

13

3. A E B Ø, s(A) = 6 ve s(B) = 8 ise s(A F B) en çok kaçtԩr?

13

4. s[ A F (B E C)] = 10 olduԫuna göre, s(A F B) en az kaç olabilir?

10

5. A E B = {a, b, c, d } ve A E C = {b, c, d, e } ise B E C kümesi en az kaç elemanlԩdԩr?

3

6. A F B = {1, 2, 3, 4, 5 }

A F C = {2, 3, 4, 5, 6, 7 } olduԫuna göre, s(A) en çok kaçtԩr?

4

7. s(A) = 5, s(B) = 3 olmak üzere,

s(A F B) nin en büyük deԫeri x, en küçük deԫeri y ise x + y kaçtԩr?

13

8. A B olmak üzere,

s(Av E B) = 6 ve s(A) = 4 ise s(B) en çok kaç olabilir?

9

Rehber Soru – 12 B A olmak üzere, s(A E Bv) = 5 ve s(B) = 3

ise A kümesinin eleman sayԩsԩ en çok kaç olabilir?

Çözüm

A E Bv = A \ B dir.

1 2 5

A B

B A olduԫundan B \ A kümesinde en az 1 eleman olmalԩdԩr.

s(B \ A) = 1 s(A E B) = 2 olup s(A) en çok 5 + 2 = 7 olur.

(40)

ESEN YAYINLARI

1. A = [1, 100) kümesinde 5 ile bölünebilen kaç tane doԫal sayԩ vardԩr?

19

2. A = {x : 1 < x 10, x D N } B = {x : 7 x < 10, x D N }

olduԫuna göre, A – B kümesinin kaç tane alt kümesi vardԩr?

64

3. A = {x : 9 < x < 100, x D N }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 5 veya 6 ile bölünebilir?

30

4. A = {x : 10 < x < 120, x = 4n, n D N } B = {y : 6 < y < 90, y = 6k, k D N } olduԫuna göre s(A E B) kaçtԩr?

7

5. A = {x : 1 < x < 100, x D Z }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünebilir?

32

6. A = {x D Z : –10 < x < 50 }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir?

10

7. A = {x D Z : 10 < x < 100 }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 4 ile bölü- nebilir fakat 5 ile bölünemez?

18

8. A = {x D Z : 0 < x < 100 }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünemez?

67

A = {x : 1 < x < 100, x D Z }

kümesinin elemanlarԩndan kaç tanesi 2 ve 3 ile bö- lünebilir?

Çözüm

Hem 2 ye hem de 3 e bölünebilen sayԩlar okek(2, 3) ile bö- lünür. Bu durumda;

Okek(2, 3) = 6 olup A kümesindeki 6, 12, 18, ..., 96 ele- manlarԩ 6 ile bölünebilir.

son terim – ilk terim

Terim Sayԩsԩ = ––––––––––––––––– + 1 = 6 96 6< + 1 ortak fark

= 16 bulunur.