na cak olan prog ra ma gö re ha z›r lan m›flt›r.
Temel Ateԭ
Genel KoordinatörAkԩn Ateԭ
Eԫitim Koordinatörü - Editör
Nevzat Asma
Eԫitim Koordinatör YardԩmcԩsԩHalit Bԩyԩk
Ԩsteme Adresi
ESEN BASIN YAYIN DAԪITIM LTD.ԬTԨ.
Bayԩndԩr 2. Sokak No.: 34/11–12 Kԩzԩlay/ANKARA tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87
faks: (0312) 417 15 78
ISBN : 978–9944–777–98–8
Bu kitabԩn tamamԩnԩn ya da bir kԩsmԩnԩn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayԩt sistemiyle çoԫaltԩlmasԩ, yayԩmlanmasԩ ve depolanmasԩ yasaktԩr.
Bu kitabԩn tüm haklarԩ yazarlarԩna ve Esen Basԩn Yayԩn Daԫԩtԩm Limitet Ԭirketine aittir.
www.esenyayinlari.com.tr
Dizgi, Grafik, Tasarԩm Esen Dizgi Servisi
Görsel Tasarԩm
Erol Faruk Yücel – Vedat Polat
Baskԩ
Bahçekapԩ Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06370 Ԭaԭmaz / ANKARA Tel: (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr
Baskԩ Tarihi 2012 – VIII
9. S›n›f Geometri Dersi Ö¤retim Program›’na uygun olarak haz›rlanm›flt›r. Bu program; lise türlerinin hep- sinde de ortak olup, yeni s›nav sistemine göre YGS ve LYS’de sorulan Geometri sorular›n› kapsamaktad›r.
Ay r› ca, a¤›rl›kl› orta ö¤retim baflar› puan›n›n etkisi üniversiteye girifl puan›n›n he sap lan ma s›n da çok faz la olup bu nun te la fi si müm kün de ¤il dir.
Bu se bep ten do la y›;
Bu ki tap, 9. s›n›f ö¤ ren ci le ri için okul da ki Geometri dersine yar d›m c› ve YGS-LYS s› na vlar›na yö ne lik ha z›r lan m›fl t›r.
Bu ki tap, 5 bö lüm den olufl mak ta d›r. Her bir bö lüm de ko nu özetinden son ra; ko nu nun da ha iyi an la- fl›l ma s› için rehber sorular, etkinlikler, YGS-LYS’ye yö ne lik test ler, yaz›l›ya haz›rl›k sorular› ve ko nu ile il gi li üniversiteye girifl s› nav la r›n da ç›k m›fl so ru lar bu lun mak ta d›r.
9. s›n›ftan itibaren edinece¤iniz her kazan›m› (s›navda ölçülecek her bilgiyi) rehber sorular arac›l›¤›yla önünüze koyduk; yani neler ö¤renmeniz gerekti¤ini kafan›zda netlefltirdik.
Her bölümde ÖSYM’nin bugüne kadar kulland›¤› veya kullanma olas›l›¤› olan soru kökleriyle rehber sorular oluflturduk ve her soru tipini size tan›d›k k›ld›k.
Rehber testlerle o bölüme ait, bir anlamda bu rehber sorularla edinece¤iniz her bilginin kapsam›
alan›na giren daha farkl› bilgileri de soruya dönüfltürdük, örnek rehber sorudan sonra bu sorular›n benzerleriyle de sizi karfl›laflt›rd›k; yani önceden çözdü¤ünüz bu sorular›n yenilerini çözüp çözemedi¤inizi anlaman›z› istedik.
Konu testleriyle rehber sorular arac›l›¤›yla edindi¤iniz bilginin oturup oturmad›¤›n› görmenizi hedef- ledik..
Özetle s›nava girdi¤inizde hiçbir soruya yabanc›l›k hissetmemenizi amaçlad›k.
Mut lu, sa¤ l›k l› ve baflar›l› bir hayat geçir meniz dile¤iy le...
Nevzat ASMA Halit BIYIK
www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com
Bu kitab›n haz›rlanmas›nda kontrol yaparak bize katk›da bulunan Zeynep Tufan, Ayflen Akgönül ve Çi¤dem Köken’e teflekkür ederiz.
Korkma, sönmez bu ρafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin y¾ld¾z¾d¾r, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olay¾m, çehreni ey nazl¾ hilâl!
Kahraman ¾rk¾ma bir gül! Ne bu ρiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlar¾m¾z sonra helâl...
Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Ben ezelden beridir hür yaρad¾m, hür yaρar¾m.
Hangi ç¾lg¾n bana zincir vuracakm¾ρ? πaρar¾m!
Kükremiρ sel gibiyim, bendimi çiοner, aρar¾m.
Y¾rtar¾m daοlar¾, enginlere s¾οmam, taρar¾m.
Garb¾n âfâk¾n¾ sarm¾ρsa çelik z¾rhl¾ duvar, Benim iman dolu göοsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nas¾l böyle bir iman¾ boοar,
‘Medeniyet!’ dediοin tek diρi kalm¾ρ canavar?
Arkadaρ! Yurduma alçaklar¾ uοratma, sak¾n.
Siper et gövdeni, dursun bu hayâs¾zca ak¾n.
Doοacakt¾r sana va’dettiοi günler Hakk’¾n...
Kim bilir, belki yar¾n, belki yar¾ndan da yak¾n.
Bast¾ο¾n yerleri “toprak!” diyerek geçme, tan¾:
Düρün alt¾ndaki binlerce kefensiz yatan¾.
Sen ρehit oοlusun, incitme, yaz¾kt¾r, atan¾:
Verme, dünyalar¾ alsan da, bu cennet vatan¾.
Kim bu cennet vatan¾n uοruna olmaz ki fedâ?
πühedâ f¾ρk¾racak topraο¾ s¾ksan, ρühedâ!
Cân¾, cânân¾, bütün var¾m¾ als¾n da Huda, Etmesin tek vatan¾mdan beni dünyada cüdâ.
Ruhumun senden, νlâhi, ρudur ancak emeli:
Deοmesin mabedimin göοsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar-ki ρahadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taρ¾m, Her cerîhamdan, νlâhi, boρan¾p kanl¾ yaρ¾m, F¾ρk¾r¾r ruh-¾ mücerred gibi yerden na’ρ¾m;
O zaman yükselerek arρa deοer belki baρ¾m.
Dalgalan sen de ρafaklar gibi ey ρanl¾ hilâl!
Olsun art¾k dökülen kanlar¾m¾n hepsi helâl.
Ebediyen sana yok, ¾rk¾ma yok izmihlâl:
Hakk¾d¾r, hür yaρam¾ρ, bayraο¾m¾n hürriyet;
Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif ERSOY
ԨSTԨKLÂL MARԬI
Ey Türk gençliοi! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en kμymetli hazinendir. νstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlarμn olacaktμr. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düρersen, vazifeye atμlmak için, içinde bulunacaομn vaziyetin imkân ve ρeraitini düρünmeyeceksin!
Bu imkân ve ρerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. νstiklâl ve cumhuriy- etine kastedecek düρmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiρ bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanμn, bütün kaleleri zapt edilmiρ, bütün tersanelerine girilmiρ, bütün ordularμ daομtμlmμρ ve memleketin her köρesi bilfiil iρgal edilmiρ olabilir. Bütün bu ρeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hμyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ρahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düρmüρ olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâdμ! νρte, bu ahval ve ρerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktμr! Muhtaç olduοun kudret, damarlarμndaki asîl kanda, mevcuttur!
1. BÖLÜM
Koordinat Geometriye Giriԭ
...9Konu Özeti ...10
Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 ...17
Etkinlikler Efllefltirme Sorular› ...58
Bulmaca ...59
Boflluk Doldurma ...60
Do¤ru – Yanl›fl Sorular›...61
Test – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ...63
Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...83
Üniversiteye Girifl S›nav Sorular› ...87
2. BÖLÜM Çokgenler ve Düzlemde Kaplamalar
...93Konu Özeti ...94
Çokgende Aç› Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 ...98
Test – 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...119
Çokgende Çevre ve Alan Rehber Soru – 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 ...131
Test – 7, 8, 9, 10, 11 ...149
Üçgende Efllik, Düzlemde Dönüflümler ve Çokgenlerle Kaplamalar Rehber Soru – 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 ...159
Test – 12, 13, 14 ...169
Benzerlik Rehber Soru – 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67 ...175
Test – 15, 16, 17, 18, 19, 20 ...193
Etkinlikler Efllefltirme Sorular› ...205
Bulmaca ...206
Boflluk Doldurma ...207
Do¤ru – Yanl›fl Sorular› ...208
Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...211
Konu Özeti ...234
Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ...237
Etkinlikler Efllefltirme Sorular› ...252
Bulmaca ...253
Boflluk Doldurma ...254
Do¤ru – Yanl›fl Sorular› ...255
Test – 1, 2, 3, 4, 5 ...257
Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...267
Üniversiteye Girifl S›nav Sorular› ...271
4. BÖLÜM Çember ve Daire
...277Konu Özeti ...278
Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ...280
Etkinlikler Efllefltirme Sorular› ...302
Bulmaca ...303
Boflluk Doldurma ...304
Do¤ru – Yanl›fl Sorular› ...305
Test – 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...307
Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...319
Üniversiteye Girifl S›nav Sorular› ...323
5. BÖLÜM
Dik Dairesel Koni ve Küre
...327Konu Özeti ...328
Rehber Soru – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ...330
Etkinlikler Efllefltirme Sorular› ...346
Bulmaca ...347
Boflluk Doldurma ...348
Do¤ru – Yanl›fl Sorular› ...349
Test – 1, 2, 3, 4 ...351
Yaz›l›ya Haz›rl›k Sorular› – 1, 2 ...359
Üniversiteye Girifl S›nav Sorular› ...363
1. ÜN‹TE
Temel Geometrik Kavramlar ve Koordinat Geometriye Giriԭ
1. Kazanԩm
¬ Nokta, Doԫru, Doԫru Parçasԩ, Iԭԩn, Düzlem ve Uzay 2. Kazanԩm
¬ Koordinat Doԫrusu 3. Kazanԩm
¬ Dik Koordinat Sistemi 4. Kazanԩm
¬ Analitik Düzlemde Vektör 5. Kazanԩm
¬ Açԩlar 6. Kazanԩm
¬ Analitik Düzlemde Bir Doԫrunun Denklemi
Uzunluklarԩ eԭit olan iki doԫru parçasԩna eԭ doԫru parçalarԩ denir.
[AB] ve [CD] eԭ doԫ ru par ça la rԩ [AB] [CD]
bi çi min de gös te ri lir.
[AB] [CD] |AB| = |CD| dir.
BԨR DOԪRU PARÇASININ ORTA NOKTASI A(a), B(b) ve [AB] nԩn orta noktasԩ C(x) olsun.
a b
A B
x C
x = a b 2 + olur.
IԬIN
Bir doԫ ru üze rin de ki O nok ta sԩ ile O nok ta sԩ nԩn ay nԩ ta ra fԩn da bu lu nan bü tün nok ta la rԩn kü me si- ne, baԭ lan gԩç nok ta sԩ O olan ԩԭԩn de nir.
A O
Yukarԩdaki ԭekilde baԭ lan gԩç nok ta sԩ O ve üze- rin de ki bir nok ta sԩ A olan ԩԭԩn çizilmiԭtir. Bu ԩԭԩn [OA biçiminde gösterilir.
UZAY
Bütün noktalarԩn kümesine uzay denir.
DÜZLEM
Geometrideki tanԩmsԩz terimlerden biri düzlemdir.
P
P düzlemi
® Herhangi üçü doԫrusal olmayan n tane nokta C(n, 3) kadar düzlem gösterir.
Nokta, ge omet ri de ki ta nԩm sԩz te rim ler den bi ri olup sez gi sel bir kav ram dԩr. Nok ta nԩn eni, bo yu ve yük sek li ԫi yok tur.
DOԪ RU
Ge omet ri de ki ta nԩm sԩz te rim ler den bi ri de doԫ ru- dur. Doԫru, yine sezgisel bir kavram olup, nok ta- lar kü me si ola rak ifa de edilebilir.
A B
C
® Fark lԩ iki nok ta dan bir doԫ ru ge çer.
® Bir doԫ ru üze rin de en az iki nok ta ve dԩ ԭԩn da en az bir nok ta var dԩr.
ԨKԨ NOKTA ARASINDAKԨ UZAKLIK
Sayԩ doԫrusu üze rin de ki iki nok ta A(a) ve B(b) ol mak üze re, bu nok ta lar ara sԩn da ki uzak lԩk |AB|
bi çi min de gös te ri lip
|AB| = , ,
b a b a ise a b b a ise
– –
>
) <
bi çi min de ta nԩm la nԩr.
® A = B |AB| = 0 dԩr.
® |b – a| = |a – b| olduԫundan |AB| = |BA| dԩr.
DOԪRU PARÇASI
Bir doԫrunun A ve B gibi iki nok ta sԩ ile bu nok- ta lar ara sԩn da ki nok ta lar kü me si ne AB doԫ ru par ça sԩ de nir ve [AB] bi çi min de gös te ri lir.
A B
O 1°
mԩz açԩ öl çü bi ri mi de re ce- dir. Ԭe kil de ki O mer kez li çem ber 360 eԭ par ça ya bö lü nür se 360 eԭ yay el de edi lir.
Bu yay lar dan bi ri AB ya yԩ olup 1 de re ce lik bir yay dԩr.
Bu du rum da BO A açԩ sԩ 1 de re ce lik bir açԩ olur.
Bu nu, m( BOA%) = 1° bi çi min de gös te ri riz.
AÇI ÇE ԬԨT LE RԨ Dar Açԩ
A
B
O _
Öl çü sü 0° ile 90° ara- sԩn da olan açԩ ya dar açԩ de nir. ( 0° < _ < 90° )
Ge niԭ Açԩ
A
O B _
Öl çü sü 90° ile 180° ara- sԩn da olan açԩ ya ge niԭ açԩ de nir. (90° < _ < 180°)
Dik Açԩ
O B
A
_
Ölçü sü 90° olan açԩya dik açԩ de nir. ( _ = 90° )
Doԫru Açԩ
Ölçü sü 180° olan açԩ ya doԫ ru açԩ de nir.
180°
A P B
Ԭe kil de ki BPA açԩ sԩ doԫru açԩ olup, m( B A%P ) = 180° dir.
Tam Açԩ
Ölçü sü 360° olan açԩ ya tam açԩ de nir.
A P
Ԭe kil de ki açԩ tam açԩdԩr.
En az: n + 1 bölgeye
En çok: n n
2 2
2+ + bölgeye ayԩrԩr.
® Herhangi üçü doԫrusal olmayan n noktadan C(n, 2) kadar doԫru geçer.
® n tane doԫru en faz la, C(n, 2) nok ta da ke si- ԭir.
A B
(AB do¤ru parças›) [AB]
A B
(AB ›fl›n›) [AB
(AB do¤ru parças›n›n iç noktalar›) (AB)
A B
(AB do¤ru parças›ndan B ç›kar›lm›fl) [AB)
A B
(AB do¤ru parças›ndan A ç›kar›lm›fl) (AB]
A B
(AB do¤rusu) (C do¤rusu) AB
A B
C
B C
E F
D K
`
` _ _
[BA // [ED , [EF // [BC] ise m( ABC%) + m( FED%) = 180° dir.
Birer kenarlarԩ aynԩ yön de diԫer kenarla rԩ ters yön de pa ra lel olan açԩ la r bü tün ler dir.
Kenarlarԩ Dik Açԩlar
D
B
E F
C A
_
_
Ke nar la rԩ bir bi ri ne dik olan iki açԩ, bi rer dar açԩ ise bu açԩ la rԩn öl çü le ri eԭittir. m( BDF%) = m( BAE%)
D
B C
A
` _
Kenarlarԩ bir bi ri ne dik olan iki açԩ dan, bi ri dar açԩ di ԫe ri ge niԭ açԩ ise bu açԩ lar bü tün lerdir.
_ + ` = 180° dir.
Pratik Kural – 1
B
D C A
F E x
y
` _
[AB // [EF ise _ + ` = x + y dir.
Ölçü le ri topla mԩ 90° olan iki açԩ ya, tüm ler açԩ lar de nir. Tüm ler açԩ la rԩn her bi ri ne di ԫe ri nin tüm le- ye ni de nir.
Bütünler Açԩ lar
Öl çü le ri top la mԩ 180° olan iki açԩ ya, bü tün ler açԩ lar de nir. Bü tün ler iki açԩ dan bi ri ne di ԫe ri nin bü tün le ye ni denir.
Paralel Ԩki Doԫrunun Bir Kesenle Yaptԩԫԩ Açԩlar
d a c b d
k e
f m
n
C
l // k ve d bu iki doԫ ru yu ke si yorsa;
a = e c = e b = f b = n a = m c = m d = f d = n
Kenarlarԩ Paralel Açԩlar
A
C
E F B
D
K
_ _ _
[BA // [ED , [BC // [EF ise
m( ABC%) = m( DKC%) = m( DEF%) = _ dԩr.
Kenarlarԩ aynԩ yön de pa ra lel olan açԩ la rԩn öl çü le ri eԭit tir.
A
C
B _
_ K
L E
F D
_ _
[BA // [EF , [BC // [ED ise
m( ABC%) = m( KLC%) = m( BLF%) = m( DEF%) = _ Kenarlarԩ ters yön de pa ra lel olan açԩ la rԩn
öl çü le ri eԭit tir.
|BA| = |BC| ise BA = –BC dir.
® d k
A B
C D
d // k ve |A AB| = |A
DC| ise A AB = –A
DC dir.
VEKTÖR
Eԭlik ba ԫԩn tԩ sԩ, yön lü doԫ ru par ça la rԩ nԩ denk lik sԩ nԩf la rԩ na ayԩ rԩr. Bu denk lik sԩ nԩf la rԩ nԩn her bi ri ne bir vek tör adԩ ve ri lir. Her denk lik sԩ nԩ fԩ bir tem sil ci ele man ile gös te ri le bi lir. Do la yԩ sԩy la A
AB yön lü doԫ ru par ça sԩ na denk olan yön lü doԫ ru par ça la rԩ- nԩn sԩ nԩ fԩ A
AB ve ya Aa, Ab, Ac, ... gi bi sem bol ler le gös te ri lir.
A
B D
C
E
F
® A AB > A
CD > A
EF , Aa = {A AB, A
CD, A EF}
Denklik sԩnԩfԩnԩn temsilcisi Aa vektörüdür.
® Bir vektör; yö nü, doԫ rul tu su ve uzun lu ԫu de ԫiԭ me mek ko ԭu lu ile yer de ԫiԭ ti ri le bi lir.
Böy le vek tör le re eԭit vek tör ler de nir.
® Baԭlangԩç ve bitim noktalarԩ aynԩ olan vektör- lere sԩfԩr vektörü denir ve
AAA > A
BB > ... > A
0 ile gösterilir.
® A
AB vek tö rü nün uzun lu ԫu (nor mu),
||A
AB|| ve ya |A
AB| ile gös te ri lir.
® Doԫrultularԩ aynԩ, yönleri ters olan vektörlere zԩt (ters) vektörler denir.
A B
A B
AAB ve A
BA vek tör le ri; doԫ rul tu la rԩ ay nԩ, uzun luk- la rԩ eԭit zԩt vek tör ler olup, A
AB = –A BA ya zԩ lԩr.
ba kan açԩ la rԩn ölçüleri toplamԩ (açԩ sayԩsԩ – 1).180° dir.
a
b c
a+b+c=(3–1).180°=360°
a
b
a+b=(2–1).180°=180°
a+b+c+d=(4–1).180°=540°
a
b c
d
a+b+c+d+e=(5–1).180°=720°
a b
c d
e
YÖNLÜ DOԪRU PARÇASI
Uç noktalardan biri baԭlangԩç noktasԩ, diԫeri de bitim noktasԩ olarak seçilen doԫru parçasԩna yönlü doԫru parçasԩ denir.
A B
d
A: Baԭlangԩç noktasԩ B: Bitim noktasԩ
d: Taԭԩyԩcԩ doԫru (doԫrultu)
® Taԭԩyԩcԩlarԩ aynԩ veya birbirine paralel olan yönlü doԫru parçalarԩna paralel yönlü doԫru parçalarԩ denir.
® Taԭԩyԩcԩlarԩ aynԩ veya paralel ve yönle ri ters olan yön lü doԫ ru par ça la rԩ na ters (zԩt) yön lü doԫ ru par çalarԩ denir.
® Doԫrultularԩ ve yönleri aynԩ, uzun luk la rԩ eԭit olan yön lü doԫ ru par ça la rԩ na, eԭ yön lü doԫ ru par çalarԩ denir. A
AB > A
CD ԭeklinde gösterilir.
x y
O
AAA+B
C(x1+x2, y1+y2)
B(x2, y2) A(x1, y1)
A = (xA 1, y1) ve A
B = (x2, y2) olmak üzere
® A A + A
B = (x1 + x2, y1 + y2) dir.
® A A – A
B = A A + (–A
B) = (x1, y1) + (–x2, –y2) = (x1 – x2, y1 – y2)
x y
O A
B A –A
BA A
BA = A A – A
B
Bir Vektörün Bir Reel Sayԩ Ԩle Çarpԩmԩ A = (xA 1, y1) vektörü ve k D R için k.A
A = (k.x1, k.y1) dir.
Birim Vektör
Uzunluԫu 1 birim olan vektöre, birim vektör denir.
|A
A| = 1 br ise A
A vektörü birim vektördür.
Analitik düzlemde Ae1 = (1, 0) ve Ae2 = (0, 1) birim vektörlerine, standart (temel veya baz) birim vektörler denir.
x y
O e2 A=(0,1)
e1 A=(1,0)
eA1 yatay birim vektörü, A i ile eA2 düԭey birim vektörü, A
j ile gösterilir.
A = (xA 1, y1) vektörü ile aynԩ doԫrultu ve yöndeki birim vektör, A 1
I = –––.AA dir.
|A A|
Analitik düz lem de A(x1, y1) ve B(x2, y2) nok ta- la rԩ ve ri lsin. A
AB vek tö rü ne eԭit ve baԭ lan gԩç nok- ta sԩ ori jin olan A
OP vek tö rü ne, A
AB vek tö rü nün ko num (ve ya yer) vek tö rü de nir.
x y
a P
B
A
O b
y2 – y1
x2 – x1
x1 x2
y2
y1
A(x1, y1) , B(x2, y2) ve P(a, b) olmak üzere, AB = A A
OP (x2 – x1, y2 – y1) = (a, b) olur.
OP = A A
P = (a, b) ԭek lin de gös te ri lir.
OP vek tö rü ye ri ne A A
P vek tö rü de ya zԩ la bi lir.
Bir Vektörün Normu (Uzunluԫu)
x y
a P
O b
H
|A
OP| = a2+b2
OP = (a, b) vektörünün uzunluԫu (normu),A
||A
OP|| veya |A
OP| ile gösterilir.
Ԩki Vektörün Eԭitliԫi AU = (x1, y1) ve A
V = (x2, y2) olmak üzere, AU = A
V x1 = x2 ve y1 = y2 dir.
Bir Vektörün Tersi
x y
O
–P
P
a b
–b –a
–A
P = (–a, –b) vektörüne AP = (a, b) vektörünün tersi denir.
tanx = coty dir.
x + y = 180° ise sinx = siny , cosx = –cosy tanx = –tany ve cotx = –coty dir.
Aԭaԫԩdaki tabloda kullanacaԫԩmԩz bazԩ açԩlarԩn tanjantlarԩ verilmiԭtir.
tan_
_
0 0° 30°
1 45°
v3 60°
tan›ms›z 90°
–v3 120°
–1 135° 150°
0 180°
v3 3
v3 3
® Eԫim açԩsԩ dar açԩ olan doԫrularԩn eԫim le ri po zi tif tir.
® Eԫim açԩ la rԩ ge niԭ açԩ olan doԫ ru la rԩn eԫim le ri ne gatif tir.
® x eksenine paralel doԫrularԩn (eԫim açԩlarԩ sԩfԩr olan) eԫimleri sԩfԩrdԩr.
® x eksenine dik olan doԫrularԩn (eԫim açԩlarԩ 90° olan) eԫimleri tanԩmsԩzdԩr.
ԨKԨ NOKTASI VERԨLEN DOԪRUNUN EԪԨMԨ
x y
0
x1 x2 y2
y1
y2–y1
x2–x1 A
B
C L K
_
C
_
Ԩki noktasԩ A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan l doԫ ru- sunun eԫimi; m =
x x
y y
– –
2 1
2 1 olur.
I. Paralel iki doԫrunun eԫimleri eԭittir.
II. Dik iki doԫrunun eԫimleri çarpԩmԩ –1 dir.
bir bi ri ne dik olan bi ri ya tay di ԫe ri dü ԭey iki sa yԩ doԫ ru su nun oluԭ tur du ԫu sis te me, dik ko or di nat sis te mi; bu sa yԩ doԫ ru la rԩ nԩn be lirt ti ԫi düz le me de ana li tik düz lem de nir.
x y
0 a
b A(a, b)
apsis ordinat
III. BÖLGE x < 0 y < 0
x y
I. BÖLGE x > 0 y > 0 II. BÖLGE
x < 0 y > 0
IV. BÖLGE x > 0 y < 0
Koor di nat sis te min de, x ek se ni üze rin de ki nok- ta la rԩn or di nat la rԩ sԩ fԩr dԩr.
y ek se ni üze rin de ki nok talarԩn ap sis leri sԩfԩr dԩr.
A(a, b) noktasԩnԩn ek sen le re olan uzak lԩk la rԩ top la mԩ: |a| + |b| dir.
ORTA NOKTA
Uç noktalarԩ, A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan [AB] nԩn orta noktasԩ C(x0, y0) ise x0 = x x
2
1+ 2 ve y0 = y y 2
1+ 2
dir.
BԨR DOԪRUNUN EԪԨM AÇISI VE EԪԨMԨ Bir doԫ ru nun x ek se niy le po zi tif yön de yap tԩ ԫԩ açԩ ya doԫrunun eԫim açԩsԩ, bu açԩnԩn tanjantԩna da doԫrunun eԫimi denir.
x y
d1 d2
` _
Eԫim açԩsԩ; [0°, 180°] aralԩԫԩnda bu lu nur.
d1 doԫ ru su nun eԫim açԩ sԩ nԩn öl çü sü _ d2 doԫ ru su nun eԫim açԩ sԩ nԩn öl çü sü ` dԩr.
Bir doԫ ru nun eԫi mi ge nel lik le m ile gös te ri lir.
d1 doԫ ru su nun eԫimi, m1 = tan_
d2 doԫ ru su nun eԫimi, m2 = tan` dԩr.
x d C
d // l doԫ ru la rԩ ça kԩ ԭԩk ise, bu iki doԫ ru ay nԩ doԫ ru yu göstereceԫinden
k a
p b
r
= = olmalԩdԩr.c
3.
x y
d
A
C
d ve l doԫ ru la rԩ bir noktada kesiԭiyorsa,
k a
p
! olmalԩdԩr.b
d ve l doԫ ru la rԩnԩn kesim noktasԩ A ise d E l = {A} dԩr.
Yani, ax + by + c = 0
sisteminin çözüm kx + py + r = 0
}
kümesi A noktasԩdԩr.
BԨR DOԪRUNUN GRAFԨԪԨ
Denklemi verilen bir doԫ ru nun gra fi ԫi ni çiz mek için, doԫ ru üze rin de ki fark lԩ iki nok ta nԩn bi lin me si ye ter li dir. Ko lay bu lun ma sԩ açԩ sԩn dan bu iki nok- ta yԩ, doԫ ru nun ko or di nat ek sen le ri ni kes ti ԫi nok ta- lar ola rak ala bi li riz. Ya ni; x = 0 için y ve y = 0 için x de ԫer le ri ni bu lup düz lem de iԭa ret le dik ten son ra bu nok ta la rԩ bir leԭ ti re rek doԫ ru nun gra fi ԫi ni el de ede riz.
DENK LE MԨ
Eԫimi m olan ve A(x1, y1) nok ta sԩn dan ge çen doԫ ru nun denk le mi,
y – y1 = m(x – x1) dir.
® y = mx + n doԫrusunun eԫimi m dir.
® ax + by + c = 0 denklemi düzenlenerek y = ba x
bc
– – duru mu na ge ti ril di ԫin de bu doԫ-
ru nun eԫimi m = b – dir.a
y = a doԫrularԩnԩn eԫimi 0 (sԩfԩr) dԩr.
x = a doԫrularԩnԩn eԫimi tanԩmsԩzdԩr.
ԨKԨ NOKTA SI VE RԨ LEN DOԪ RU NUN DENK LE MԨ
A(x1, y1) ve B(x2, y2) nok talarԩndan ge çen doԫ - ru nun denklemi,
y y
y y
x x
x x –
–
– –
1 2
1
1 2
= 1 dir.
ԨKԨ DOԪRUNUN BԨRBԨRԨNE GÖRE DURUMLARI
d doԫrusunun denklemi ax + by + c = 0 ve l doԫ ru su nun denk le mi kx + py + r = 0 ol sun.
1. d // l ise, bu iki doԫ ru nun eԫim le ri bir bi ri ne eԭit ola ca ԫԩn dan
x y
d C
md = b – ve ma
l = p –k
md = m
l ba pk – = – ka
p
= bulunur.b
1. A B C D
d
Ԭekildeki d doԫrusu üzerinde verilen noktalara göre, aԭaԫԩdakilerden hangisi doԫrudur?
A) [AB F [BD] = d B) [AC] F [BD] = d C) [AB E [DC = [AD]
D) BC E [CD = {C}
E) {A, D} [BC]
2. Aԭaԫԩdaki ifadelerden hangileri doԫrudur?
I. Kesiԭen iki düzlemin ara kesiti bir doԫrudur.
II. Üç nokta daima doԫrusaldԩr.
III. Kesiԭen iki doԫru düzlemseldir.
A) Yalnԩz I B) Yalnԩz III C) I ve II D) I ve III E) II ve III
3. Aԭaԫԩdaki verilenlerden hangisi bir düzlem belirt- mez?
A) Paralel iki doԫru B) Kesiԭen iki doԫru
C) Bir doԫru ve dԩԭԩndaki bir nokta D) Doԫrusal olmayan üç nokta E) Aykԩrԩ iki doԫru
4. L K
E F
B A
D C
Ԭekilde verilen dikdörtgenler prizmasԩna göre, aԭaԫԩdaki noktalardan hangileri düzlemsel deԫil- dir?
A) A, D, L, E B) A, B, F, L C) B, C, K, F D) C, D, L, K E) A, B, C, D
Çözüm
I. Ԩki ucu da kapalԩ doԫru parçasԩ olup gösterimi doԫrudur.
II. Baԭlangԩç noktasԩ A ve üzerinde bir diԫer noktasԩ B olan ԩԭԩn olup gösterimi doԫrudur.
III. Baԭlangԩç noktasԩ B ve üzerinde bir diԫer noktasԩ A olan ԩԭԩn olup gösterimi [BA olmalԩdԩr. Yani, ]AB gösterimi yanlԩԭtԩr.
IV. Üzerindeki iki nokta A ve B olan doԫru olup gösterimi de doԫrudur.
Aԭaԫԩdaki gösterimlerden hangileri doԫrudur?
Àekil Gösterim
B
A [AB]
I.
B
A [AB
II.
B
A ]AB
III.
B
A AB
IV.
REHBER SORU 1
1.C 2.D 3.E 4.B
ESEN YAYINLARI
Çözüm
a. Ԭekilde görüldüԫü gi bi 4
• A
• B
• C
• D nok ta ay nԩ düz lem de alԩ-
nԩr sa bu 4 nok ta bir düzlem gösterir.
b. Ԭekilde görül dü ԫü gi bi 4
A
C
D B
nok ta ay nԩ düz lem de alԩn- maz sa bu 4 nok ta nԩn her- han gi üçü bir düz lem gös- te re ce ԫin den ABC, BCD, ACD ve ABD düz lem le ri olu ԭur.
Bu soruyu aԭa ԫԩ da ki ku ral yar dԩ mԩy la da çö ze bi lir dik.
Herhangi üçü doԫrusal olmayan n tane nokta en çok C(n, 3) tane düzlem gösterir.
Doԫrusal olmayan 4 nokta a. En az kaç düzlem gösterir?
b. En çok kaç düzlem gösterir?
REHBER SORU 2
1. Doԫru sal ol ma yan 3 nok ta en çok kaç düz lem gös te rir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. Herhangi üçü doԫrusal olmayan 5 nokta en çok kaç düzlem gösterir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
3. Herhangi üçü doԫrusal olmayan 6 nokta en çok kaç düzlem gösterir?
A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 28
4. Herhangi üçü doԫrusal olmayan n nokta en çok 56 düzlem göstermiԭtir. Buna göre n kaçtԩr?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
5. Herhangi üçü doԫrusal olmayan n nokta en çok 35 düzlem gösteriyorsa n kaçtԩr?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. n tane nokta 1 düz lem gösterdiԫine göre n en az kaçtԩr?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1.A 2.E 3.B 4.D 5.C 6.C
ESEN YAYINLARI
ESEN YAYINLARI
1. Bir düzlem içindeki 5 doԫru düzlemi en çok kaç bölgeye ayԩrԩr?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
2. Bir düzlem içindeki 6 doԫru düzlemi en az kaç bölgeye ayԩrԩr?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
3. Bir düzlem içindeki 8 doԫru düzlemi en çok kaç bölgeye ayԩrԩr?
A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39
4. Bir düzlem içindeki 7 doԫru düzlemi en az x, en çok y bölgeye ayԩrdԩԫԩna göre x + y kaçtԩr?
A) 34 B) 35 C) 35 D) 37 E) 38
5. Bir düzlem içindeki n tane doԫru düzlemi en az 12 bölgeye ayrԩlmԩԭtԩr. Buna göre n kaçtԩr?
A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7
6. Bir düzlem içindeki n tane doԫru düzlemi en çok 7 bölgeye ayrԩlmԩԭtԩr. Buna göre n kaçtԩr?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm
Bir düzlem içindeki n tane doԫru bu düzlemi en az : n + 1 bölgeye
en çok : n n 2
2+ + bölge ye ayԩr dԩ ԫԩn dan 4 fark lԩ doԫ ru 2 düz le mi
a. En az 4 + 1 = 5 bölgeye ayԩrԩr.
b. En çok 2
42+ + = 11 bölgeye ayԩrԩr.4 2 Bir düz lem için de ki farklԩ 4 doԫru düzlemi
a. En az kaç bölgeye ayԩrԩr?
b. En çok kaç bölgeye ayԩrԩr?
REHBER SORU 3
1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B
Çözüm
a. Her han gi üçü doԫ ru sal ol ma yan n nok ta dan C(n, 2) ka dar doԫ ru geç ti ԫin den 6 nok ta dan
C(6, 2) =
( !)!. ! 6 2 26
– = 15 doԫ ru ge çer.
b. n tane doԫru en fazla C(n, 2) noktada kesiԭtiԫinden 6 doԫru en fazla C(6, 2) = 15 noktada kesiԭir.
a. Herhangi üçü doԫrusal olmayan 6 noktadan kaç doԫru geçer?
b. 6 doԫru en fazla kaç noktada kesiԭir?
REHBER SORU 4
1. Her han gi üçü doԫ ru sal ol ma yan 4 nok tadan kaç doԫru geçer?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
2. 5 doԫru en fazla kaç noktada kesiԭir?
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
3. A B C D
E F
K
Ԭekildeki 7 noktanԩn en az ikisinden geçen kaç farklԩ doԫru vardԩr?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
4. Bir düzlemin için de ki 5 nok ta ile düz le min dԩ ԭԩn- da ki 1 nok ta en faz la kaç düz lem da ha oluԭ tu- rur?
A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7
5. Her han gi üçü doԫ ru sal ol ma yan 5 nok tadan kaç doԫru geçer?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
6.
A B
C
D E F K
Köԭeleri ԭekildeki 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
A) 30 B) 29 C) 28 D) 27 E) 26
1.E 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A
ESEN YAYINLARI
1. A(–3) ve B(4) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk kaç birimdir?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
2. A 2 –1
c m ve B 2c m noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk 3 kaç birimdir?
A) 21 B) 1 C) 2
3 D) 2 E)
2 5
3. Sayԩ doԫrusu üzerinde,
Ac–21m noktasԩna 2 br uzak lԩk ta bu lu nan nok ta - lar B ve C dir. Bu na gö re B ve C noktalarԩnԩn koordinatlarԩ toplamԩ kaçtԩr?
A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2
4. A(–1) ve B(x + 1) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk 3 br ise x in alabileceԫi deԫerler toplamԩ kaçtԩr?
A) –4 B) –3 C) –2 D) 2 E) 3
5. Sa yԩ doԫ ru su üze rin de A(5) nok ta sԩ na uzak lԩ ԫԩ, B(–1) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ nԩn 2 ka tԩ olan ve [AB] üze rin de bu lu nan nok ta nԩn ko or di na tԩ kaç- tԩr?
A) 1 B) 2 C) 2
5 D) 3 E)
2 7
6. A(x – 2) ve B(x + 4) nok ta la rԩ ara sԩn da ki uzak- lԩk kaç bi rim dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Aradԩԫԩmԩz nokta B(x) olsun.
|AB| = 1 x–31 =1
x – 31 = 1 v x – 31 = –1 x = 34 v x =
3 – olur.2 Sayԩ doԫrusu üzerinde A
3
c m noktasԩna 1 br uzaklԩkta 1 bulunan noktalarԩ bulunuz.
REHBER SORU 5
1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.E
1. A(–2) , B(8 – x) ve C(2x – 1) olmak üzere,
|AB| = |BC| ise x in negatif deԫeri nedir?
A) – B) –1 C) 21 2
– D) –2 3 E) 2 –5
2. Sayԩ doԫrusu üzerinde A(–1) ve B(11) ol mak üze re, |AC| = 3|BC| eԭit li ԫi ni saԫ la yan C noktalarԩndan biri aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si dir?
A) C(9) B) C(15) C) C(17) D) C(19) E) C(21)
3. Sa yԩ doԫ ru su üze rin de A(2) ve B(12) ol mak üze re, |AC| = 4|BC| eԭit li ԫi ni saԫ la yan C noktalarԩndan biri aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si dir?
A) C(11) B) C(10) C) C(–3) D) C(–5) E) C(–8)
4. Sa yԩ doԫ ru su üze rin de A(–3) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ B(3) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ nԩn 2 ka tԩ olan C nok tasԩ aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si olabilir?
A) C(6) B) C(7) C) C(8) D) C(9) E) C(10)
5. Sa yԩ doԫ ru su üze rin de A(–1) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ B(7) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ nԩn 3 ka tԩ olan nok ta lar C ve D ise |CD| kaçtԩr?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
6. A(a) , B(b) , C(c) ve D(d) olmak üzere, B D [AC] ve C D [BD] dir.
4|AB| = 2|AC| = |AD| = 8 br ise (d + c) – (a + b) kaç tԩr?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Aradԩԫԩmԩz nokta C(x) olsun.
C(x) noktasԩnԩn A(–1) noktasԩna olan uzaklԩԫԩ
|AC| = |x – (–1)| = |x + 1|
C(x) noktasԩnԩn B(3) noktasԩna olan uzaklԩԫԩ
|BC| = |x – 3| olacaԫԩndan,
|AC| = 2|BC| |x + 1| = 2|x – 3|
x + 1 = 2(x – 3) v x + 1 = –2(x – 3) x = 7 v x =
35 bulunur.
Sayԩ doԫru su üze rin de A(–1) nok ta sԩ na olan uzak lԩ ԫԩ B(3) noktasԩna olan uzaklԩԫԩnԩn 2 katԩ olan noktalarԩ bulunuz.
REHBER SORU 6
1.A 2.C 3.B 4.D 5.E 6.E
1. A(–1) , B(x + 1) , C(x + 3) , D(5) olmak üzere, [AB] [CD] ise x kaçtԩr?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
2. A(1) , B(3) , C(3x – 1) , D(0) olmak üzere, [AB] [CD] ise x in ala bi le ce ԫi po zi tif de ԫe ri
kaç tԩr?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. A , B , C x , D
2 1
2 5
2 1
2 –7
c m c m c + m c m
olmak üzere, [AB] [CD] ise x in alabileceԫi deԫerler toplamԩ kaçtԩr?
A) 2 B) –2 C) –4 D) –6 E) –8
4. A(3) , B(x) , C(–1) ve D(2) olmak üzere, [AB] [CD] ise x in pozitif deԫeri kaçtԩr?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
5. A(0) , B(x–1) , C(x+1) ve D(4) olmak üzere, [AB] [CD] ise x kaçtԩr?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. A(–3) , B(1) , C(2x–8) ve D(x+1) ol mak üze re, [AC] [BD] ise x in alabileceԫi deԫerler toplamԩ
kaçtԩr?
A) 203 B) 7 C) 3
22 D)
3
23 E) 8
ESEN YAYINLARI
Çözüm
|AB| = |x + 3 – 2| = |x + 1|
|CD| = |2x – 1 – 1| = |2x – 2|
[AB] [CD] |x + 1| = |2x – 2|
x + 1 = 2x – 2 v x + 1 = –2x + 2
x = 3 v x = 31 olur.
A(2), B(x + 3), C(1), D(2x – 1) olmak üzere, [AB] [CD] ise x deԫerlerini bulunuz.
REHBER SORU 7
1.C 2.A 3.E 4.D 5.B 6.A
1. A(–2) ve B(4) ise [AB] nin or ta nok ta sԩ nԩn ko or di na tԩ kaç tԩr?
A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
2. A ve B
2 1
2
c m c5m ise [AB] nin or ta nok ta sԩ nԩn
ko or di na tԩ kaç tԩr?
A) 1 B) 23 C) 2 D) 25 E) 3
3. A(x – 1) , B(x + 3) ve C(4) olmak üzere, [AB] nin orta noktasԩ C ise x kaçtԩr?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
4. A(–1), B(2x – 3) ve C(x + 2) olmak üzere [AC]
nin orta noktasԩ B ise x kaçtԩr?
A) 2 B) 3
7 C)
3
8 D) 3 E)
3 10
5. A(x + 1) , B(y – 1) , C(2) ve D(4) olmak üzere, [AC] nin or ta nok ta sԩ E(3) , [BD] nin or ta nok- ta sԩ F(0) ise [AB] nin or ta nok ta sԩ nԩn ko or di na tԩ kaç tԩr?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
6. A = {x : x D R , |x – 1| 3} kümesine karԭԩlԩk gelen doԫru parçasԩnԩn or ta nok ta sԩ nԩn ko or di- na tԩ kaç tԩr?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A(a), B(b) olmak üzere [AB] nin orta noktasԩ a b
2+ dir. Bu nedenle, x
2
+ + = 2x – 3 x + 3 = 4x – 62 1 x = 3 bulunur.
A(x + 2), B(1), C(2x – 3) ol mak üze re, [AB] nin or ta nok ta sԩ C ise x kaçtԩr?
REHBER SORU 8
1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D
1. A(–3) , B(x + 1) , C(5) olmak üzere B noktasԩ A ile C arasԩnda ise x in alabileceԫi kaç tam sayԩ deԫeri vardԩr?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
2. A(3) , B(2x + 1) , C(11) olmak üze re B nok ta sԩ A ile C ara sԩn da ise x in ala bi le ce ԫi tam sa yԩ de ԫerleri nin top la mԩ kaç tԩr?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
3. A(1), B(6) olmak üze re C nok ta sԩ A ile B ara sԩn da olup
CB AC
3
= ko ԭu lunu saԫ lԩ yor sa C 2
nok ta sԩ nԩn ko or di na tԩ aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si dir?
A) 34 B) 2
3 C) 2 D) 3 E)
2 7
4. A(–1) , B(7) ol mak üze re C nok ta sԩ A ile B ara sԩn da olup
CB AC
5
= ko ԭu lu nu saԫ lԩ yor sa C 3 nok ta sԩ nԩn ko or di na tԩ aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) 2 B) 2
5 C) 3 D)
2
7 E) 4
5. Sayԩ doԫrusu üzerinde B ile A noktalarԩ D ile C noktalarԩnԩn arasԩndadԩr.
BC , DB
AC AD 3
2 4
= = ve |AB| = 6 br ise |DC|
kaç br dir?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
6. m < n < k olmak üzere,
[n, ') E (–', k] kümesinin eԭiti aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) [n, k) B) (–', n] C) (–', n) D) (n, k] E) [n, k]
ESEN YAYINLARI
Çözüm
B(2x + 1) noktasԩ, A(–1) ile C(7) arasԩnda ise –1 < 2x + 1 < 7 –2 < 2x < 6
–1 < x < 3 olur.
–1 < x < 3 koԭuluna uygun x tam sayԩlarԩ 0, 1 ve 2 dir.
A(–1) , B(2x + 1) , C(7) olmak üzere,
B noktasԩ A ile C arasԩnda ise x in alabileceԫi tam sayԩ deԫerlerini bulunuz.
REHBER SORU 9
1.B 2.C 3.D 4.A 5.E 6.E
Çözüm
x y
0
4 3 –3 –2
–3 2 3 4
D(–4,–3)
A(2,3) C(–3,2)
B(0,4)
E(1,–2) 1
2 –4
–2 a.
b. A(x, y) noktasԩnԩn eksenlere olan uzaklԩklar toplamԩ
|x| + |y| olduԫundan istenen deԫer,
|–4| + |3| = 4 + 3 = 7 br bulunur.
a. A(2, 3) , B(0, 4) , C(–3, 2) , D(–4, –3) ve E(1, –2) noktalarԩnԩ analitik düzlemde gösteriniz.
b. A(–4, 3) noktasԩnԩn koordinat eksenlerine olan uzaklԩklarԩ toplamԩ kaç br dir?
REHBER SORU 10
1. Aԭaԫԩdaki noktalarԩ analitik düzlemde gösteriniz.
A(3, 2) B(3, –2) C(–4, 3)
D(–2, –4) E(2, 0) F(0, 4)
x y
–3
– 4 –2 –1 0 1 2 3 4
–1 –2 –3 – 4 4 3 2 1
2. A(–2, 3) noktasԩnԩn koordinat eksenlerine olan uzaklԩklarԩ toplamԩ kaç br dir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. A(4, k) noktasԩnԩn x eksenine olan uzaklԩԫԩ 5 br ise k nԩn alabileceԫi pozitif deԫer kaçtԩr?
A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
4. A(n+2, 3) noktasԩnԩn y eksenine olan uzaklԩԫԩ 3 br ise n nin ala bi le ce ԫi de ԫer le rin top la mԩ kaç- tԩr?
A) –2 B) –3 C) –4 D) –5 E) –6
5. A(a–1, –4) nok ta sԩ x ve y ek se ni ne eԭit uzak lԩk- ta ise a nԩn ala bi le ce ԫi de ԫer le rin top la mԩ kaç tԩr?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
2.E 3.B 4.C 5.D
ESEN YAYINLARI
Çözüm
A noktasԩnԩn apsisi negatif, ordinatԩ pozitiftir.
2a – 4 < 0 ve a + 3 > 0 a < 2 ve a > –3 bulunur.
O halde, –3 < a < 2 ol du ԫun dan a nԩn tam sa yԩ de ԫer le ri –2, –1, 0, 1 dir.
A(2a–4, a+3) nok ta sԩ ana li tik düz le min II. böl ge sin- de ise a nԩn ala bi le ce ԫi tam sa yԩ de ԫe rleri ni bu lu nuz.
REHBER SORU 11
1. A(n–2, 6–n) nok ta sԩ ana li tik düz le min I. böl ge- sin de ise n kaç farklԩ tam sayԩ deԫeri alabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. A(a, b) nok ta sԩ ana li tik düz le min II. böl ge sin de ise B(–b, a.b) noktasԩ hangi bölgededir?
A) I B) II C) III D) IV E) Orijin
3. A(a.b2, a.b) noktasԩ ana li tik düz le min III. böl ge- sin de ise B(b, –a) noktasԩ hangi bölgededir?
A) I B) II C) III D) IV E) Orijin
4. A(a–1, 2a–8) noktasԩ ana li tik düz le min IV.
böl ge sin de ise a nԩn ala bi le ce ԫi de ԫer ara lԩ ԫԩ ne dir?
A) (0, 1) B) (0, 4) C) (1, 4) D) (2, 5) E) (2, 8)
5. A(–3, n–2) ve B(m+1, 5) noktalarԩ ana li tik düz- le mde aynԩ bölgede ise C(n, m) noktasԩ hangi böl gededir?
A) I B) II C) III D) IV E) Orijin
6. A(a–b, 4) ve B(a–1, 2) nok ta la rԩ or di nat ek se ni üze rin de ise C(a, b) nok ta sԩ han gi böl ge de dir?
A) I B) II C) III D) IV E) Orijin
1.C 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A
ESEN YAYINLARI
Çözüm
a. A(–2,3) B(a,–1) C(3,b)
2
– + = a 2a = 1 a = 2 3 21 b
3 + = –1 3 + b = –2 b = –5 bulunur.2
b. A(2,1)
E(3,–3) D(a,b) F(4,0)
B C
DEFA paralelkenardԩr.
O halde, A(2,1) E(3,–3) F(4,0)
D(a,b)
a + 4 = 3 + 2 ve b + 0 = –3 + 1 ise a = 1 ve b = –2 olup D(1, –2) dir.
a. A(–2, 3) , B(a, –1) ve C(3, b) olmak üzere, B noktasԩ [AC] nin orta noktasԩ ise a ve b
de ԫer ler ini bu lu nuz.
b. A(2,1)
E(3,–3) D(a,b) F(4,0)
B C
ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar ise D noktasԩnԩn koordinatlarԩnԩ bulunuz.
REHBER SORU 12
1.
A(3,–1) B(8,0) D(4,2) C
ABCD paralelkenarԩnda verilenlere göre C kö- ԭesinin koordinatlarԩ nedir?
A) (9, 3) B) (9, 2) C) (10, 2) D) (10, 3) E) (10, 4)
2. A(4,2) B C D(–4,6)
[AD] doԫru parçasԩnda |CD| = 2|AB| = 2|BC|
ise B nok tasԩ nԩn ko or di nat la rԩ aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (2, 4) B) (2, 3) C) (2, 2) D) (1, 3) E) (3, 3)
3. Köԭelerinin koordinatlarԩ A(–2, 4) , B(4, 2) ve C(2, 1) olan ABC üç ge ni nin [AB] ke na rԩ na ait ke na ror ta yԩn uzun lu ԫu kaç br dir?
A) 2v2 B) v6 C) v5 D) 2 E) v3
4. A(a, 3) , B(4, b) ve C(2, 4) olmak üzere, A noktasԩ [BC] nin or ta nok ta sԩ ise a + b kaçtԩr?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5.
A(0,2) B
C(4,4) D(1,5)
ABCD paralelkenar ise |BD| kaç br dir?
A) 4 B) 3v2 C) 2v5 D) 2v6 E) 5
6. A
E(3,1) D(1,4) F(6,5)
B C
ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar ise C köԭesinin koordinatlarԩ nedir?
A) (8, 1) B) (8, 2) C) (8, 3) D) (9, 2) E) (9, 3)
1.A 2.B 3.C 4.E 5.C 6.B
ESEN YAYINLARI
Çözüm 2k A(–1,6)
3k
B(3,–2) C(a,b)
3|CA| = 5|CB| |CA| = 5k , |CB| = 3k A ve B nin apsislerinde;
2k da 4 artԩԭ var. (–1 den 3 e) 3k da 6 artԩԭ olur.
Yani, C noktasԩnԩn apsisi a = 3 + 6 = 9 dur.
A ve B nin ordinatlarԩnda;
2k da 8 azalma var. (6 dan –2 ye) 3k da 12 azalma olur.
Yani, C noktasԩnԩn ordinatԩ b = –2 – 12 = –14 tür.
O halde, C(a, b) = C(9, –14) bulunur.
A(–1, 6) , B(3, –2) ve B D [AC] olmak üzere, 3|CA| = 5|CB| eԭit li ԫi ni saԫ la yan C nok ta sԩ nԩ bu lu nuz.
REHBER SORU 13
1. A(–2, 6) , B(4, 3) , C D [AB] ve |AC| = 2|BC|
ise C nok ta sԩ nԩn ko or di nat la rԩ aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si dir?
A) (2, 4) B) (2, 5) C) (1, 4) D) (1, 5) E) (0, 4)
2. A(2, –1) , B(3, 4) , C [AB] ve |AC| = 2|BC|
olmak üzere A, B, C doԫrusal ise C nok ta sԩ nԩn ko or di nat la rԩ aԭa ԫԩ da ki ler den han gi si dir?
A) (3, 9) B) (3, 8) C) (4, 7) D) (4, 8) E) (4, 9)
3. A(1, 2) , C(6, –3) ve 3|AB| = 2|BC| dir.
B D [AC] ise B nok ta sԩ nԩn ko or di nat la rԩ nedir?
A) (2, 1) B) (2, 0) C) (3, 0) D) (3, 1) E) (4, 1)
4.
D(9,–7) C(4,–2)
A(3,2)
B
Ԭekil de [AB] ve [CD] be ԭer eԭit par ça ya ay rԩl- mԩԭ tԩr. Ve ri len le re gö re, B nok ta sԩ nԩn ko or di nat- la rԩ nedir?
A) (7, –7) B) (6, –8) C) (8, –6) D) (8, –8) E) (8, –10)
5. A, B, C doԫrusal olmak üzere, A(–2, 3) , B(0, –1) , C [AB] ve
CB CA
2
=3
ise C noktasԩnԩn koordinatlarԩ toplamԩ kaçtԩr?
A) –6 B) –5 C) –4 D) –3 E) –2 1.A 2.E 3.C 4.D 5.B
ESEN YAYINLARI
1. Analitik düz lem de ve ri len A(1, 3) , B(–1, 0) ve C(1, –2) nok ta la rԩ na gö re A
AB, A AC, A
CB vek- tör le ri nin ko num vek tör le ri ni aԭa ԫԩ da ki ana li tik düz lem de gös te ri niz.
x y
–3
– 4 –2 –1 0 1 2 3 4
–1 –2 –3 – 4 4 3 2 1
2. A(a+1, 3) ve B(a–2, 5) noktalarԩndan geçen AAB vektörünün konum vektörü nedir?
A) (–3, 2) B) (–3, 1) C) (–2, 3) D) (–2, 1) E) (3, –2)
3. AA = (2–a, 3) , AB = (4, b–2) olmak üzere, AA = AB ise a + b kaçtԩr?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
4. A(3, –2) ve A
AB = (2, 1) ise B nok ta sԩ nԩn ko or- di nat la rԩ aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (5, 1) B) (5, –1) C) (–5, 1) D) (–5, –1) E) (4, –2)
5. A(2, 3) ve A
BA = (–1, 1) ise B nok ta sԩ nԩn ko or- di nat la rԩ aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (–2, –3) B) (–3, –2) C) (3, 2) D) (2, 1) E) (–2, –1)
6. A(2, 3) , B(a, 1) ve C(–1, b+2) olmak üzere AAB = AC ise (a, b) aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (2, –4) B) (2, –3) C) (1, –3) D) (1, 3) E) (1, –4)
ESEN YAYINLARI
Çözüm
x y
2 4 6
1 2 3
O P
A B
AB vek tö rü ve A A
AB vek tö rü nün yer (ko num) vek törü olan A OP vektörü yukarԩdaki gibidir. A
AB = A
OP = (3–2, 6–4) = (1, 2) dir.
A(2, 4) ve B(3, 6) olmak üzere,
AAB vek tö rü nü ve yer (ko num) vek tö rü nü bu lu nuz.
REHBER SORU 14
2.A 3.D 4.B 5.C 6.E
1. A(–1, 2) ve B(2, –2) olmak üzere, AB nin normu (uzunluԫu) kaç br dir?A
A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 10
2. A = (3, –4) ise |A AA| kaç br dir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3. A(2, –1) ve A
AB = (3, 4) ise |AB| kaç br dir?
A) 5 B) 2v7 C) c30 D) c34 E) 6
4. V = (a, 3) vektörünün uzunluԫu 5 br ise a nԩn A alabileceԫi deԫerler toplamԩ kaçtԩr?
A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4
5. A(1, –2) ve B(4, 2) noktalarԩ arasԩndaki uzaklԩk kaç birimdir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
6. A(2, 3) ve B(–1, x) olmak üzere,
|AB| = 5 birim ise x in pozitif deԫeri kaçtԩr?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
7. AV = (–3, 4) vektörünün x ekseni üzerindeki dik iz düԭüm vektörünün uzunluԫu kaç br dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
8. A
AB = (2, –1) ve A
BC = (1, 5) ise |A
AC| kaç br dir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
ESEN YAYINLARI
Çözüm
a. AB = (a, b) alԩnԩrsa A
BA = (–1, 2) (1–a, 3–b) = (–1, 2) 1 – a = –1 ve 3 – b = 2 a = 2 ve b = 1 olup AB = (2, 1) olacaԫԩndan,
|AB| = a2+b2 = 22+12 = v5 bulunur.
b. A
AB = (x2 – x1, y2 – y1) olacaԫԩndan,
|AB| = ||A
AB|| = (x2–x1)2+(y2–y1)2 bulunur.
a. A(1, 3) ve A
BA = (–1, 2) ise |AB| kaç br dir?
b. A(x1, y1) ve B(x2, y2) nok ta la rԩ ara sԩn da ki uzak- lԩ ԫԩn |AB| = (x2–x1)2+(y2–y1)2 ol du ԫu nu gös te riniz.
REHBER SORU 15
1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.A 7.B 8.D
1. AA = (1, 2) ve AB = (–1, 3) ol mak üze re 2AA – 3AB aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (4, –4) B) (–5, 5) C) (–4, 5) D) (5, –4) E) (5, –5)
2. A(2, 1) , B(–1, 2) ve C(2, 3) noktalarԩ için AAB – 2A
BC vektörü aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (–9, 1) B) (9, –1) C) (–9, –1) D) (9, 1) E) (1, 9)
3. AA = (3, –2) ve AB = (–1, 3) olmak üzere ABA vektörü aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (4, –5) B) (4, 5) C) (–4, 5) D) (5, 4) E) (–5, 4)
4. AA = (3, –1) ve AB = (2, 2) olmak üzere
|AA – AB| kaç br dir?
A) 3 B) c10 C) 2v3 D) c15 E) 4
5. 2AA + AB = (–2, 2) ve AA – AB = (–1, 4) ise AB vektörü aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) (–1, 2) B) (2, –1) C) (0, 2) D) (0, –2) E) (–2, 0)
6. A(1, 2) , B(–1, 1) ve C(3, 4) olmak üzere, AAB – AC vektörü aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) 4Ae1 – 5Ae2 B) –4Ae1 – 4Ae2 C) –4Ae1 – 5Ae2 D) –5Ae1 – 4Ae2 E) –5Ae1 – 5Ae2
ESEN YAYINLARI
Çözüm a. A
A + A
B = (–2, 3) + (1, 4) = (–2+1, 3+4) = (–1, 7)
b. A A – A
B = A A + (–A
B) = (–2, 3) + (–1, –4) = (–2–1, 3–4) = (–3, –1)
c. 2A A + 3A
B = 2(–2, 3) + 3(1, 4) = (–4, 6) + (3, 12) = (–4+3, 6+12) = (–1, 18)
d. A A – 2A
B = (–2, 3) – 2(1, 4) = (–2, 3) – (2, 8) = (–2–2, 3–8) = (–4, –5)
AA = (–2, 3) ve AB = (1, 4) ol mak üze re aԭa ԫԩ da ki le ri bu lu nuz.
a. A + A B A b. A – A AB c. 2AA + 3B A d. A – 2A BA
REHBER SORU 16
1.E 2.C 3.A 4.B 5.D 6.E
1. A = (4, 3) ile aynԩ doԫ rul tu lu ve ay nԩ yön lü bi rim A vek tö r ne dir?
A) , 5 4
5
c 3m B) ,53 5
c 4m C) , 5 4
5 – –3
c m
D) , 5 3
5 – –4
c m E) ,54 5 –3
c m
2. A = (1, –A v3) vektörü ile aynԩ doԫ rul tu lu fakat zԩt yön lü bi rim vek tö r aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) , 2 1
23
d – n B) ,d41 – 43n
C) ,
4 1
43
d– n D) ,d–21 23n
E) ,
2 1
23
– –
d n
3. x ekseni ile po zi tif yön de 60° lik açԩ ya pan birim vek tör aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) ,
23 2
d 1n B) , 2 1
2
c 1 m C) ,53 5 c 4m
D) (1, 0) E) , 2 1
23
d n
4. x ekseni ile po zi tif yön de 150° lik açԩ ya pan birim vek tör aԭaԫԩdakilerden hangisidir?
A) ,
2 1
2 – 1
c m B) ,
2 1
23
d– n
C) ,
23 2 – 1
d n D) ,d 23 –21n
E) ,
23 2
– –1
d n
5. AA = (4, –3) ile ay nԩ doԫ rul tu lu, ay nԩ yön lü ve uzun lu ԫu 2 br olan vek tör aԭa ԫԩ da ki ler den han- gi si dir?
A) ,
5 8
5 – 6
c m B) ,58 5 –6
c m C) ,54 5 –3
c m
D) , 5 4
5 – 3
c m E) ,58 5 c 6m
6. AA = Ae1 – v3Ae2 ile ay nԩ doԫ rul tu lu, zԩt yön lü ve uzun lu ԫu 4 br olan vek tör aԭa ԫԩ da ki ler den han- gi si dir?
A) –2Ae1 + 2v3Ae2 B) –Ae1 + v3Ae2 C) –21Ae1 +
23Ae2 D) 2 1Ae1 –
23Ae2 E) –4Ae1 + 4v3Ae2
ESEN YAYINLARI
Çözüm a. |A
A| = 22+(–1)2= 5 olduԫundan A
A ile aynԩ doԫrultulu ve aynԩ yönlü birim vektör,
1 A
I = ––– . AA = 1 .(2, –1) = 5 , 5 2
5 1 d – n tir.
|A A|
b. |A
A| = (–3)2+42 = 5 olduԫundan A
A ile aynԩ doԫrul- tulu fakat zԩt yönlü birim vektör,
1
A
I = – ––– . A
A = – .(–3, 4) = 51 , 5 3
5 –4 c m tir.
|A A|
a. A = (2, –1) ile aynԩ doԫ rul tu lu ve ay nԩ yön lü A bi rim vek tö rü bu lu nuz.
b. A = (–3, 4) ile aynԩ doԫ rul tu lu fakat zԩt yön lü A bi rim vek tö rü bu lu nuz.
REHBER SORU 17
1.A 2.D 3.E 4.C 5.B 6.A
