Tan¬m 34: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve A : V ! V bir lineer dönü¸süm ( A 2 R

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I) Hafta 13: Özde¼ gerler ve Özvektörler

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Özde¼ gerler ve Özvektörler

Tan¬m 34: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve A : V ! ^{V bir} lineer dönü¸süm ( A 2 ^R

de bu lineer dönü¸süme kar¸s¬l¬k gelen matris) olsun. S¬f¬r vektörü olmayan bir α 2 V vektörü için λ 2 R olmak üzere

A ( α ) = λα

ko¸sulunu sa¼ glayan λ 2 R de¼gerlerine A lineer dönü¸sümünün karakteristik de¼ gerleri (özde¼ gerleri veya eigen de¼ gerleri) ve her λ 2 R de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen α vektörlerine de A lineer

dönü¸sümünün karakteristik vektörleri (özvektörleri veya eigen vektörleri) ad¬verilir. Bu karakteristik vektörlerin gerdi¼ gi

V

= f ^α 2 ^{V : A} ( α ) = λα, A : V ! ^{V , α} 6= ⁰ g

karakteristik uzay (özuzay veya eigen uzay) ad¬verilir.

Geometrik olarak; karakteristik vektör bir lineer dönü¸süm alt¬nda do¼ grultusu de¼ gi¸smeyen vektör demektir.

Teorem 35: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve A : V ! ^{V bir} lineer dönü¸süm olsun. Bir α 2 ^{V e¼} ger karakteristik vektör ise bu vektöre kar¸s¬l¬k gelen bir ve yaln¬z bir karakteristik de¼ ger vard¬r.

Teorem 36: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve A : V ! ^{V bir} lineer dönü¸süm olsun. Bir λ 2 R de¼gerine kar¸s¬l¬k gelen birden fazla karakteristik vektör vard¬r.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 59:

A = 2 4

3 2 1

0 1 2

0 1 1

3 5

matrisinin karakteristik de¼ gerleri

det ( A λI ) =

3 λ 2 1

0 1 λ 2

0 1 1 λ

= 0

denkleminden λ

= 3, λ

= p

3 ve λ

= p

3 olur.

Örnek 60: A = ^{1 3} _{2 2} 2 R

matrisi veriliyor. Bu matrise ait

1

karakteristik de¼ gerleri bulunuz.

2

karakteristik vektörleri bulunuz.

3

karakteristik uzaylar¬bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Tan¬m 35: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve A : V ! ^{V bir} lineer dönü¸süm ( A 2 R

de bu lineer dönü¸süme kar¸s¬l¬k gelen matris) olsun. S¬f¬r vektörü olmayan bir α 2 V vektörü için λ 2 R olmak üzere

A ^.α = λ.α, α = α

α

... α

A ^{.α λ.α} = 0, ( A ^λ.I

) .α = 0,

Bu denklem lineer homogen denklemdir. A¸sikar olmayan çözümlerinin olmas¬için

det ( A ^λ.I

) = 0 olmal¬d¬r. Bu durumda

P

( λ ) = det ( A ^λ.I

) =

∑

a

λ

, a

= 1

¸seklinde bir polinom elde edilir. Bu polinoma A lineer

dönü¸ sümünün veya A matrisinin karakteristik polinomu denir.

Teorem 37: A ^ve B iki benzer matris olmak üzere bu matrislere ait karakteristik de¼ gerler ayn¬d¬r.

Teorem 38: Her matris kendi karakteristik polinomunun bir köküdür. Bu teorem literatürde Cayley Hamilton Teoremi olarak bilinir.

Örnek 61: A = ₄ ^{2 3} ₁ 2 ^R

matrisi veriliyor. Bu matrise ait

1

karakteristik polinomu bulunuz.

2

karakteristik polinomu kullanarak Cayley Hamilton Teoremini gerçekleyiniz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 62: A : R

! R

, A ( x, y , z ) = ( x + y , z y , x z ) lineer dönü¸sümü verilsin. Bu lineer dönü¸sümün

1

karakteristik polinomu bulunuz.

2

karakteristik vektörlerini bulunuz.

3

karakteristik polinomu kullanarak Cayley Hamilton Teoremini

gerçekleyiniz.

Örnek 63: A = 2 4

3 2 1

0 1 2

0 0 1

3

5 2 R

matrisi veriliyor. Bu matrise ait

1

karakteristik polinomu bulunuz.

2

karakteristik de¼ gerleri bulunuz.

3

karakteristik vektörleri ve uzaylar¬bulunuz.

4

karakteristik polinomu kullanarak Cayley Hamilton Teoremini gerçekleyiniz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Sonuç: A 2 R

matrisinin karakteristik polinomu P

( λ ) = det ( A ^λ.I

) =

∑

a

λ

, a

= 1

oldu¼ gunda Cayley Hamilton Teoremi uyar¬nca

A

+ a

A

+ ... + a

A+ ^a

^I

= 0 ve burdan gerekli i¸slemler yap¬larak

A

= ¹

a

A

+ a

A

^... + a

I

olur.

Örnek 64: A = 2 4

3 2 1

2 1 2

1 4 1

3

5 2 R

matrisi veriliyor. Cayley Hamilton Teoremi yard¬m¬yla bu matrisin inversi olan matrisi bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.