αng ve W vektör uzay¬n¬n bir baz¬ ψ= fβ1, β2

MAT 114 L·INEER CEB·IR ( ·ISTAT·IST·IK, ASTRONOM·I ve UZAY B·IL·IMLER·I)

Hafta 11: Lineer Dönü¸sümler Uzay¬

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC·I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.·Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Lineer Dönü¸sümler Uzay¬

n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬

φ= f^{α1, α2, ...., αn}g ve W vektör uzay¬n¬n bir baz¬

ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg

¸seklinde verilsin. A : V !W lineer dönü¸sümü alt¬nda 1 i n için A(αi)vektörlerini W vektör uzay¬n¬n ψ baz¬na göre ifade edelim. Bu ifade

A(αi) =

∑m j=1

ajiβ_j ya da daha aç¬k yaz¬l¬¸sla

A(α1) =a11β₁+a21β₂+...+am1β_m A(α2) =a12β₁+a22β₂+...+am2β_m A(αn) =a1nβ₁+a2nβ₂+...+amnβ_m olur ki bu da A : V !W lineer dönü¸sümü için

A^φ,ψ= 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... ... ... am1 am2 amn

3 77 75

¸seklinde bir matris belirtir.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Tan¬m 31: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬

φ= f^{α1, α2, ...., αn}g ve W vektör uzay¬n¬n bir baz¬

ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg

¸seklinde verilsin. Aφ,ψ 2R^mn matrisine A lineer dönü¸sümünün φ ve ψ bazlar¬na göre matrisi denir.

Örnek 53: A :R²!^{R3, A}(x, y) = (x y , x+y , x)lineer dönü¸sümü verilsin. R² veR³ reel vektör uzaylar¬n¬n

φ= f^α1 = (2, 1), α2 = ( 1, 2)g ve

ψ= f^β1 = (0, 1, 1), β₂ = (1, 0, 1), β₃ = (1, 1, 0)g bazlar¬na göre A lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenAφ,ψ matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 54: A :R³!R², A(x, y , z) = (x y+z, x+y 2z) lineer dönü¸sümü verilsin. R³ veR² reel vektör uzaylar¬n¬n

φ= f^β1= (0, 1, 1), β₂ = (1, 0, 1), β₃ = (1, 1, 0)g ve

ψ= f^α1 = (2, 1), α2 = ( 1, 2)g

bazlar¬na göre A lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenAφ,ψ matrisini bulunuz.

Örnek 55: L :P² !P², L(p(x)) =x.p⁰(x) lineer dönü¸sümü verilsin. P² ikinci dereceden polinom fonksiyonlar¬n uzay¬n¬n

φ= 1, 1 x, 1+x² ve

ψ= 1, x+1, x²

bazlar¬na göre L lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelenLφ,ψ matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Teorem 29: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ= f^{α1, α2, ...., αn}g ^{ve W} vektör uzay¬n¬n bir baz¬ψ= f^β1, β₂, ...., β_mg¸seklinde verilsin.

A : V !^{W ve B : V} !W lineer dönü¸sümleri için (A+B)_φ,ψ=A_φ,ψ+B_φ,ψ ve λ2^R

(λA)_φ,ψ=λ.A_φ,ψ d¬r.

Teorem 30: A : V !W lineer dönü¸sümünün V vektör uzay¬n¬n φ= f^{α1, α2, ...., αn}gve W vektör uzay¬n¬n ψ = f^β1, β₂, ...., β_mg bazlar¬na göre matrisi A_φ,ψ ise 8^α2^{V için}

A_φ,ψ.[α]_φ= [A(α)]_ψ dir.

Örnek 55: R³ veR² reel vektör uzaylar¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla, φ= f^α1 = (0, 1, 1), α2 = (1, 0, 1), α3 = (1, 1, 0)g ve

ψ= f^β1 = (2, 1), β₂ = ( 1, 2)g

olsun. A = ¹_{2 3}^{2 3}₁ ^oldu¼guna göre A matrisine φ ve ψ tabanlar¬na göre kar¸s¬l¬k gelen lineer dönü¸sümü bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Tan¬m 32: n -boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve V vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ= f^{α1, α2, ...., αn}golsun. Bu durumda A : V !V lineer dönü¸sümünün φ baz¬na göre matrisi Aφ,ϕ

matrisi k¬saca A_φ ile gösterilir.

Tan¬m 33: n -boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve V vektör uzay¬n¬n iki farkl¬taban¬φ= f^{α1, α2, ...., αn}g ^ve

φ⁰ = f^α01, α⁰₂, ...., α⁰_ngolmak üzere

α⁰_j =

∑n i=1

p_ijαi

ile olu¸sturulan P = [pij]_{n n} matrisine φ⁰ baz¬ndan φ baz¬na geçi¸s matrisi ve P⁰ =^hp⁰_iji

n n matrisine φ baz¬ndan φ⁰ baz¬na geçi¸s matrisi denir.

Örnek 56: R² reel vektör uzay¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla, φ= f^α1 = (1, 1), α2 = ( 1, 1)g ve

φ⁰ = α₁⁰ = (2, 1), α⁰₂ = ( 1, 2) olsun.

1 φ⁰ baz¬ndan φ baz¬na geçi¸s matrisini bulunuz.

2 φ baz¬ndan φ⁰ baz¬na geçi¸s matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Teorem 31: n -boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve V vektör uzay¬n¬n iki farkl¬taban¬φ ve φ⁰olsun. φ⁰ baz¬ndan φ baz¬na geçi¸s matrisi P ve φ baz¬ndan φ⁰ baz¬na geçi¸s matrisi P⁰ olmak üzere

P⁰ =P ¹ dir.

Örnek 57: R³ reel vektör uzay¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla, φ= f^α1 = (0, 1, 1), α2 = (1, 0, 1), α2 = (1, 1, 0)g ve

φ⁰ = α⁰₁= ( 1, 1, 1), α⁰₂ = (1, 1, 1), α⁰₂ = (1, 1, 1) olsun.

1 φ⁰ baz¬ndan φ baz¬na geçi¸s matrisini bulunuz.

2 φ baz¬ndan φ⁰ baz¬na geçi¸s matrisini bulunuz.

Teorem 32: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n iki taban¬φ , φ⁰ ve W vektör uzay¬n¬n iki baz¬ψ , ψ⁰ olsun. φ⁰ baz¬ndan φ baz¬na geçi¸s matrisi P ve ψ⁰ baz¬ndan ψ baz¬na geçi¸s matrisi Q olmak üzere A : V !^{W lineer} dönü¸sümü için

A_φ0,ψ⁰ =Q ¹A_φ,ψP dir.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 58: A :R³!R², A(x, y , z) = (x y+z, x+y 2z) lineer dönü¸sümü verilsin. R³ reel vektör uzay¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla,

φ = f^α1 = (0, 1, 1), α2 = (1, 0, 1), α2 = (1, 1, 0)g^, φ⁰ = α⁰₁ = ( 1, 1, 1), α⁰₂ = (1, 1, 1), α⁰₂ = (1, 1, 1) veR² reel vektör uzay¬n¬n iki baz¬, s¬ras¬yla,

φ = f^α1 = (1, 1), α2 = ( 1, 1)g^, φ⁰ = α⁰₁ = (2, 1), α₂⁰ = ( 1, 2) olsun.

1 A_φ,ψ matrisini bulunuz.

2 A_φ0,ψ⁰ matrisini bulunuz ve A_φ0,ψ⁰ =Q ¹A_φ,ψP e¸sitli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬gösteriniz.

Sonuç: n ve m boyutlu iki reel vektör uzay¬V ve W olmak üzere , V vektör uzay¬n¬n iki taban¬φ , φ⁰ ve W vektör uzay¬n¬n iki baz¬ψ , ψ⁰ olsun. A : V !W lineer dönü¸sümü için A_φ0,ψ⁰ ve A_φ,ψ matrisleri denktir.

V =W ise V vektör uzay¬n¬n iki taban¬φ , φ⁰ olmak üzere A : V !V lineer dönü¸sümü için

A_φ0 =P ¹A_φP dir.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Sonuç: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve bu vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ ve V vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ olsun. A : V !^V lineer dönü¸sümü için A_φ=In ise A dönü¸sümü V vektör uzay¬n¬n özde¸slik dönü¸sümü olur.

Teorem 33: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve bu vektör uzay¬n¬n bir taban¬φ olsun. A : V !V lineer dönü¸sümünün φ baz¬na göre matrisi olan A_φ regüler matris ise tersi mevcut ise A : V !V lineer dönü¸sümünün de tersi vard¬r ve

A ¹

φ= A_φ ¹ dir.

Teorem 34: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V ve bu vektör uzay¬n¬n iki taban¬φ ve φ⁰ olsun. A : V !V lineer dönü¸sümünün φ baz¬na göre matrisi olan A_φ regüler matris ise tersinin mevcut olmas¬için gerek ve yeter ¸sart A : V !V lineer dönü¸sümünün de tersinin mevcut ve

A ¹

φ= A_φ ¹ olmas¬d¬r.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼glu, Mühendislik ve ·Istatistik Bölümleri ·Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.