VEKTÖR KAVRAMI

VEKTÖR KAVRAMI

Karma¸ s¬k i¸ sletme problemlerinin matematiksel modelleri kurulurken çok say¬da de¼ gi¸ sken içeren denklem sistemleriyle s¬kl¬kla kar¸ s¬la¸ s¬l¬r. Bu tip denklemlerin bilinen yöntem- lerle çözülmeleri uzun ve zor oldu¼ gundan problemlerin çözümünde ifade kolayl¬¼ g¬ve i¸ slem basitli¼ gi sa¼ glamak amac¬yla vektörler ve matrisler tan¬mlanm¬¸ st¬r.

Tan¬m u

; u

; u

; :::; u

say¬lar¬n¬n s¬ralanm¬¸ s kümesi bir vektör meydana getirir.

Say¬lar yatay do¼ grultuda,

u = [u

; u

; u

; :::; u

]

¸ seklinde ise u ifadesine sat¬r vektörü, dü¸ sey do¼ grultuda

u = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

u

u

u

.. . u

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

¸ seklinde ise u ifadesine sütun vektörü denir. u

; u

; :::; u

elemanlar¬u vektörünün bile¸ senleridir. Bütün bile¸ senleri s¬f¬r olan vektöre s¬f¬r vektörü denir.

Vektörel · I¸ slemler

Herhangi u = [u

; u

; u

; :::; u

], v = [v

; v

; v

; :::; v

] vektörleri ve k sabit say¬s¬için

1) Vektör Toplam¬

Iki sat¬r veya sütun vektörünün toplam¬kar¸ · s¬l¬kl¬bile¸ senlerin toplanarak ayn¬s¬raya göre yaz¬lmas¬ile elde edilir. n bile¸ senli u = [u

; u

; u

; :::; u

], v = [v

; v

; v

; :::; v

] vektörlerinin toplam¬

u + v = [u

+ v

; u

+ v

; :::; u

+ v

]

1

¸ seklinde verilir.

2) Skalerle Çarpma

u = [u

; u

; u

; :::; u

] vektörünün k bir sabit say¬olmak üzere k say¬s¬ile çarp¬m¬

k:u = [ku

; ku

; ku

; :::; ku

]

¸ seklinde tan¬ml¬d¬r.

3) Vektör Fark¬

Iki sat¬r veya sütun vektörünün fark¬kar¸ · s¬l¬kl¬bile¸ senlerinin fark¬al¬narak ayn¬s¬raya göre yaz¬lmas¬ile elde edilir. n bile¸ senli u = [u

; u

; u

; :::; u

] ve v = [v

; v

; v

; :::; v

] vektörlerinin fark¬

u v = [u

v

; u

v

; :::; u

v

]

biçiminde verilir. Burada v vektörünün ters i¸ saretlisi bulunurken k = 1 sabiti ile çarp¬larak v vektörünün elde edildi¼ gine dikkat ediniz.

4) Vektör Çarp¬m¬

Bir u sat¬r vektörü ile bir v sütun vektörünün çarp¬m¬

u:v = [u

; u

; u

; :::; u

] 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

v

v

v

.. . v

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

= u

v

; u

v

; :::; u

v

= X

i=1

u

v

(1)

¸ seklinde tan¬ml¬d¬r.

2

Iki sat¬r vektörünün çarp¬m¬da benzer olarak ·

u:v = [u

; u

; u

; :::; u

] [v

; v

; v

; :::; v

] = [u

v

; u

v

; :::; u

v

] = X

i=1

u

v

(2)

biçiminde tan¬mlan¬r. Ileriki konuda görülece¼ · gi üzere matrislerde çarpma i¸ slemi yap¬l¬rken (1) formülündeki tan¬ma uygun çarpma i¸ slemleri yap¬lacakt¬r.

Vektörel toplama, fark, çarpma i¸ slemleri yap¬l¬rken bu i¸ slemlerin sadece bile¸ sen say¬s¬

e¸ sit olan vektörler aras¬nda tan¬ml¬oldu¼ guna dikkat ediniz.

Örnek: s = [ 2; 3; 7] ; t = [ 3; 5; 6] ; u = 2 6 6 6 4

2 0 2

3 7 7

7 5 ve v = [ 3; 4; 6; 8] vektörleri için (s + t) ; (s + v) ; (t s) ; (s:t) ; (t:u) ; (u:s) ; (t:v) vektörlerini bulunuz.

Çözüm:

a) s + t = [ 2; 3; 7] + [ 3; 5; 6] = [ 5; 2; 13]

b) s + v vektör toplam¬tan¬ml¬de¼ gildir.

c) t s = [ 3; 5; 6] [ 2; 3; 7] = [ 3; 5; 6] + [2; 3; 7] = [ 1; 8; 1]

d) s:t = [ 2; 3; 7] [ 3; 5; 6] = ( 2) ( 3) + 3 ( 5) + 7:6 = 33

e) t:u = [ 3; 5; 6]

2 6 6 6 4

2 0 2

3 7 7

7 5 = ( 3) 2 + ( 5) 0 + 6 ( 2) = 18

f) u:s vektör çarp¬m¬tan¬ml¬de¼ gildir.

3

g) t:v vektör çarp¬m¬tan¬ml¬de¼ gildir.

4