8α, β2V ve 8c 2R için A : V !W dönü¸sümü A(α+c β) =A(α) +cA(β) ko¸sulunu sa¼gl¬yor ise bu dönü¸süme bir lineer dönü¸süm ( homomor…zm ) denir

(1)

MAT 114 L·INEER CEB·IR ( ·ISTAT·IST·IK, ASTRONOM·I ve UZAY B·IL·IMLER·I) Hafta 6: Lineer Dönü¸sümler ve ·Izomor…zmler

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC·I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.·Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

(2)

Lineer Dönü¸sümler ve ·Izomor…zmler

Tan¬m 18: V ve W iki reel vektör uzay¬olsunlar. Bir A : V !^W

dönü¸sümü için

1 A(α+β) =A(α) +A(β) ;8^{α, β}2^V

2 A(c α) =cA(α) ,8^c 2R;8^{α, β}2^V

aksiyom sa¼glan¬yor ise bu dönü¸süme bir lineer dönü¸süm ( homomor…zm ) denir.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

(3)

Özel Haller:

1 A lineer dönü¸sümü örten ise A ya bir lineer epimor…zm,

2 A lineer dönü¸sümü birebir ve örten ise bir lineer izomor…zm,

3 V =W ise A lineer dönü¸sümüne bir lineer endomor…zm,

4 V =W ve A lineer dönü¸sümü birebir ve örten ise bir lineer otomor…zm

ad¬verilir.

(4)

Tan¬m 19: V ve W iki reel vektör uzay¬olsunlar. 8^{α, β}2^{V ve} 8^c 2^{R için}

A : V !^W dönü¸sümü

A(α+c β) =A(α) +cA(β)

ko¸sulunu sa¼gl¬yor ise bu dönü¸süme bir lineer dönü¸süm ( homomor…zm ) denir.

(5)

Tan¬m 20: V ve W iki reel vektör uzay¬ve A : V !^{W bir} dönü¸süm olsun.

α2V olmak üzere A(α)2 W vektörüne α vektörünün resmi ad¬

verilir.

Örnek 35: L :R³!R²,

(x, y , z)!^L(x, y , z) = (x 2y , 2x +z) dönü¸sümüne göre

!_α = (2, 1, 3)vektörünün resmi nedir?

L(2, 1, 3) = (2 2.( 1), 2.2+3) = (4, 7)

(6)

Örnek 36: L :R³!R²,

(x, y , z)!^L(x, y , z) = (x 2y , 2x +y)dönü¸sümünün bir lineer dönü¸süm oldu¼gunu gösteriniz.

8^α= (α1, α2, α3), β= (β₁, β₂, β₃)2R³ ve 8^c 2R için A(α+c β) = A((α1, α2, α3) +c(β₁, β₂, β₃))

= A(α1+c β₁, α2+c β₂, α3+c β₃)

= ((α1+c β₁) 2(α2+c β₂), 2(α2+c β₂) + (α3+c β₃))

= A(α) +cA(β) oldu¼gundan L bir lineer dönü¸sümdür.

(7)

Örnek 37: Pn, derecesi n olan reel katsay¬l¬polinomlar uzay¬

oldu¼guna göre

D : Pn !^Pⁿ

türev operatörünün bir lineer dönü¸süm oldu¼gunu gösteriniz.

i).8^p(x), q(x) 2^Pⁿ ^için

D(p(x) +q(x)) = ^d

dx(p(x) +q(x)) = ^d

dxp(x) + ^d

dxq(x) =D(p(x)) +D(q(x)) d¬r.

ii).8^c 2R ve8^p(x) 2^Pⁿ ^için

( ( )) = ^d ( ( )) = ^d ( ) = ( ( ))

(8)

Teorem 9: V ve .W iki reel vektör uzay¬ve A : V !W bir lineer dönü¸süm ise;

1 8â¹^,â²^{, ...,}â^k 2^{V ve} 8^c¹^{, c}²^{, ..., c}^k 2^{R için} A(

∑k i=1

c_iai) =

∑k i=1

c_iA(ai)

2 02V , s¬f¬r vektörü için A(!0 ) = !0 2^W

(9)

Örnek 38: L :R³!R² lineer dönü¸sümü L(1, 1, 0) = (3, 2), L(0, 1, 1) = ( 1, 4), L(1, 0, 1) = (2, 1)olarak tan¬mlans¬n.

1 Bu lineer dönü¸sümün kural¬n¬bulunuz.

2 Bu lineer dönü¸süm alt¬nda α= (2, 3, 5)vektörünün resmini bulunuz.

3 Bu lineer dönü¸süm alt¬nda resmi β= (4, 3)olan bir vektör bulunuz.

(10)

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼glu, Mühendislik ve ·Istatistik Bölümleri ·Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.