Ortogonal Tümleyen, Vektörel Çarp¬m ve Gramm-Schmidt Ortonormalle¸stirme Metodu

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I) Hafta 10: Gramm-Schmidt Ortonormalle¸stirme

Metodu

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof.Dr.Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Ortogonal Tümleyen, Vektörel Çarp¬m ve Gramm-Schmidt Ortonormalle¸stirme Metodu

Tan¬m 29: n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬V olmak üzere W , V vektör uzay¬n¬n bir alt vektör uzay¬olsun. E¼ ger V vektör

uzay¬n¬n bir α vektörü W vektör uzay¬n¬n her β vektörüne dik ise β vektörüne W vektör uzay¬na diktir denir. Bu ko¸sulu saylayan β vektörlerinin

W

= f ^α 2 ^{V :} 8 ^β 2 ^{W için} h ^{α, β} i = ⁰ g

¸seklinde tan¬ml¬cümlesine de W vektör uzay¬n¬n ortogonal kompleman uzay¬ad¬verilir.

Teorem 21: n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬V olmak üzere W ,

V vektör uzay¬n¬n bir alt vektör uzay¬olsun. W

cümlesi de V

vektör uzay¬n¬n bir alt vektör uzay¬d¬r.

Tan¬m 30: n boyutlu bir reel vektör uzay¬V olmak üzere W

ve W

, V vektör uzay¬n¬n iki alt vektör uzay¬olsun.

1

W

+ W

= V

2

W

\ ^W

= ?

ko¸sullar¬sa¼ glan¬yorsa V vektör uzay¬na W

ve W

alt vektör

uzaylar¬n¬n direkt toplam uzay¬denir ve W

W

= V ile

gösterilir..

Teorem 22: : n boyutlu bir reel vektör uzay¬V olmak üzere W

ve W

, V vektör uzay¬n¬n sonlu boyutlu iki alt vektör uzay¬olsun.

Bu durumda

boy ( W

+ W

) = boyW

+ boyW

boy ( W

\ ^W

) , boy ( W

W

) = boyW

+ boyW

dir.

Teorem 23: : n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬V olmak üzere W , V vektör uzay¬n¬n bir alt vektör uzay¬olsun. Bu durumda

1

W W

= V

2

W

= W

dir.

Teorem 24: : n boyutlu bir reel vektör uzay¬V olmak üzere W , V vektör uzay¬n¬n sonlu boyutlu bir alt vektör uzay¬olsun. Bu durumda m n olmak üzereW vektör uzay¬n¬n bir

S

= f ^f

^{, f}

^{, ...., f}

g baz¬V vektör uzay¬n¬n bir

S

= f ^f

^{, f}

^{, ...., f}

^{, f}

^{, f}

^{, ..., f}

g

baz¬na tamamlanabilir. Burada f ^f

^{, f}

^{, ..., f}

g vektörlerine

baza tamamlayan vektörler denir.

Örnek 46: R

standart Öklid uzay¬n¬n

W

= Span f ^α

= ( 2, 1, 3 ) , α

= ( 1, 1, 2 )g ^ve

W

= Span f ^β

= ( 1, 1, 4 ) , β

= ( 3, 2, 1 )g alt uzaylar¬

veriliyor. Buna göre a¸sa¼ g¬daki sorular¬yan¬tlay¬n¬z.

1

W

\ ^W

alt uzay¬n¬n bir vektörünü bulunuz.

2

W

alt uzay¬n¬n ψ = f ^α

= ( 2, 1, 3 ) , α

= ( 1, 1, 2 )g ^baz¬n¬

R

standart Öklid uzay¬n¬n bir baz¬na tamamlay¬n¬z.

3

W

alt uzay¬n¬n ortogonal kompleman uzay¬n¬bulunuz.

4

boy ( W

+ W

) de¼ gerini hesaplay¬n¬z.

Örnek 47: R

standart Öklid uzay¬n¬n W

= ( x, y , z ) 2 ^R

^{: x} + y = z ve

W

= ( x, y , z ) 2 R

: 2x y + z = 0 alt uzaylar¬veriliyor.

Buna göre a¸sa¼ g¬daki sorular¬yan¬tlay¬n¬z.

1

W

\ ^W

alt uzay¬n¬bulunuz.

2

W

alt uzay¬n¬n ψ = f ^α

= ( 2, 1, 3 ) , α

= ( 1, 1, 2 )g ^baz¬n¬

R

standart Öklid uzay¬n¬n bir baz¬na tamamlay¬n¬z.

3

W

alt uzay¬n¬n ortogonal kompleman uzay¬n¬bulunuz.

4

boy ( W

+ W

) de¼ gerini hesaplay¬n¬z.

Örnek 48: R

standart Öklid uzay¬n¬n W

= ( x, y , z ) 2 R

: x = y = z ve

W

= ( x, y , z ) 2 ^R

^{: 2x y} + z = 0 alt uzaylar¬veriliyor.

Buna göre a¸sa¼ g¬daki sorular¬yan¬tlay¬n¬z.

1

W

\ ^W

alt uzay¬n¬bulunuz.

2

W

alt uzay¬n¬n bir baz¬n¬bulunuz ve bu baz¬ R

standart Öklid uzay¬n¬n bir baz¬na tamamlay¬n¬z.

3

W

ve W

alt uzaylar¬n¬n ortogonal kompleman uzaylar¬n¬

bulunuz.

4

W

W

= _R

olur mu? Yorumlay¬n¬z.

Vektörel Çarp¬m ve Karma Çarp¬m: R

standart Öklid uzay¬nda

^ ^: R

R

! R

; X = ( x

, x

, x

) , Y = ( y

, y

, y

) ( X , Y ) ! ^X ^ ^Y = det

2 4

e

e

e

x

x

x

y

y

y

3 5

= ^x

^x

y

y

e

x

x

y

y

e

+ ^x

^x

y

y

e

¸seklinde tan¬mlanan X ^ Y vektörüne X ile Y vektörlerinin

vektörel çarp¬m¬veya d¬¸ s çarp¬m¬denir. Asl¬nda geometrik olarak X ^ Y vektörü hem X hem de Y vektörlerine dik olan bir

vektördür. Yani;

h ^X ^ ^{Y , X} i = ^{0 ve} h ^X ^ ^{Y , Y} i = ⁰

dir.

R

standart Öklid uzay¬nda X = ( x

, x

, x

) , Y = ( y

, y

, y

) ve Z = ( z

, z

, z

) olmak üzere

det : R

R

R

! R

( X , Y , Z ) ! ^det ( X , Y , Z ) = h ^{X , Y} ^ ^Z i = ^det 2 4

x

x

x

y

y

y

z

z

z

3 5

biçiminde tan¬mlanan fonksiyona vektörlerin karma çarp¬m¬ad¬

verilir.. Ayr¬ca determinant fonksiyonunun özelikleri yard¬m¬yla kolayca gösterilebilir ki;

h ^{X , Y} ^ ^Z i = h ^{Y , Z} ^ ^X i = h ^{Z , X} ^ ^Y i

dir.

Teorem 25: R

standart Öklid uzay¬nda

8 ^X = ( x

, x

, x

) , Y = ( y

, y

, y

) ve Z = ( z

, z

, z

) için λ, µ 2 R olmak üzere

1. X ^ ^Y = Y ^ X (Vektörel çarp¬m anti-simetriktir.) 2. X ^ ^Y = 0 (Vektörel çarp¬m alternedir.)

3. X ^ ( ^λY + µZ ) = λ ( X ^ ^Y ) + µ ( X ^ ^Z ) ( λX + µY ) ^ ^Z = λ ( X ^ ^Z ) + µ ( Y ^ ^Z ) 4. ( X ^ ^Y ) ^ ^Z = h ^{X , Z} i ^Y h ^{Y , Z} i ^X 5. X ^ ( ^Y ^ ^Z ) = h ^{X , Z} i ^Y h ^{X , Y} i ^Z

X ^ ( ^Y ^ ^Z ) + Y ^ ( ^Z ^ ^X ) + Z ^ ( ^X ^ ^Y ) 0

ve

6. k ^X ^ ^Y k = k ^X k ^. k ^Y k sin θ, θ iki vektör aras¬aç¬d¬r.

7. X , Y 2 ^R

vektörleri üzerine kurulan paralelkenar¬n alan¬

S = k ^X ^ ^Y k ^olur.

8. X , Y , Z 2 R

vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün hacmi

V = det 2 4

x

x

x

y

y

y

z

z

z

3 5

dir.

9. X , Y , Z 2 R

vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬d¬r ancak ve ancak V = 0 10. X , Y , Z , W 2 R

vektörleri için

( X ^ ^Y ) ^ ( ^Z ^ ^W ) = det ( X , Z , W ) Y det ( Y , Z , W ) X , ( X ^ ^Y ) ^ ( ^Y ^ ^Z ) = det ( X , Y , Z ) Y

dir.

Örnek 49: R

standart Öklid uzay¬nda kö¸selerinin koordinatlar¬

A ( 1, 2, 1 ) , B ( 3, 2, 4 ve C ( 4, 3, 5

olan üçgenin alan¬n¬hesaplay¬n¬z.

Teorem 26: V , n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬ve

W = span f ^β

, β

, ...., β

g olsun. Bir α 2 V vektörünün W alt uzay¬üzerine dik izdü¸ sümü olan vektör

˙Iz

α =

∑

h ^{α, β}

i h ^β

, β

i ^β

dir.

Örnek 50: R

standart Öklid uzay¬nda

W = Span f ^α

= ( 2, 1, 3 ) , α

= ( 1, 1, 2 )g .alt uzay¬veriliyor. α vektörünün β = ( 3, 4, 2 ) vektörünün W alt uzay¬üzerine

ortogonal izdü¸sümü olan vektörü bulunuz.

Örnek 51: R

standart Öklid uzay¬nda α = ( 1, 3, 2 ) vektörünün

x + y + z = 0 düzlemi üzerine ortogonal izdü¸sümü olan vektörü

bulunuz.

Özel olarak; bir α 2 V vektörünün s¬f¬rdan farkl¬bir β vektörü üzerine dik izdü¸ sümü olan vektör

˙Iz

α = h ^{α, β} i h ^{β, β} i ^β ve dik izdü¸ süm vektörünün uzunlu¼ gu

˙Iz

α = h ^{α, β} i

k ^β k

olur.

Ödev: R

standart Öklid uzay¬nda α = ( 2, 1 ) vektörü veriliyor.

1

α vektörünün β = ( 3, 4 ) vektörü üzerine ortogonal izdü¸sümü olan vektörü bulunuz.

2

α vektörünün β = ( 3, 4 ) vektörü üzerine izdü¸sümü olan vektörün uzunlu¼ gunu bulunuz.

3

α vektörünün 3x 4y + 12 = 0 vektörü üzerine ortogonal izdü¸sümü olan vektörü bulunuz.

4

α vektörünün 3x 4y + 12 = 0 vektörü üzerine izdü¸sümü

olan vektörün uzunlu¼ gunu bulunuz.

Teorem 27: V , n boyutlu bir reel iç çarp¬m uzay¬ve

S

= f ^x

^{, x}

^{, ...., x}

g cümlesi V vektör uzay¬n¬n lineer ba¼ g¬ms¬z bir vektör cümlesi olsun. Bu cümle

y

= x

, y

= x

n 1

∑

i=1

h ^y

^{, x}

i

h ^y

^{, y}

i ^y

^{,2 n} 2 N

formülleri ile S

= f ^y

^{, y}

^{, ...., y}

g ortogonal vektör cümlesine ve daha sonra da

e

= ^y

k ^y

k ^{, 1 n} 2 N

formülleri ile S

= f ^e

^{, e}

^{, ...., e}

g ortonormal vektör sistemine

dönü¸stürülür.

Teorem 28: V bir iç çarp¬m uzay¬ve f ^e

^{, e}

^{, ..., e}

g de V nin bir ortonormal baz¬olsun.

1

8 ^x 2 ^{V için}

x =

∑

h ^{x, e}

i ^e

2

V de herhangi iki vektör x = _∑

i=1

x

e

ve y = _∑

j=1

y

e

ise

h ^{x, y} i =

∑

x

y

dir.

Örnek 52: R

standart Öklid uzay¬nda

S

= f ^x

= ( 0, 1, 0 ) , x

= ( 0, 2, 1 ) , x

= ( 3, 2, 0 )g vektör sistemini ortonormal bir vektör sistemine dönü¸stürünüz.

Çözüm: I .Adım (Ortogonalle¸stirme):

y

= x

= ( 0, 1, 0 )

y

= h ^y

^{, x}

i

h ^y

^{, y}

i ^y

+ x

= ( 0, 0, 1 ) y

= h ^y

^{, x}

i

h ^y

^{, y}

i ^y

h ^y

^{, x}

i

h ^y

^{, y}

i ^y

+ x

y

= ( 3, 0, 0 ) II .Adım (Ortonormalle¸stirme):

y

, y

ortonormal vektörler oldu¼ gundan yaln¬zca y

vektörünü birim hale getirmemiz yeterli olacakt¬r. Yani; e

= ^y

k ^y

k = ( 1, 0, 0 ) ve e

= y

, e

= y

oldu¼ gundan

S

= f ^e

= ( 0, 1, 0 ) , e

= ( 0, 0, 1 ) , e

= ( 1, 0, 0 )g

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.