Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör Uzaylar¬

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I)

Hafta 1: Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör Uzaylar¬

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof.Dr.Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör Uzaylar¬

Tan¬m 1: Belli bir yönlü do¼ gru parças¬n¬n paralellik ba¼ g¬nt¬s¬ile tan¬mlanan denklik s¬n¬f¬na bir vektör denir.

A ve B gibi farkl¬iki noktay¬birle¸stiren AB do¼ gru parças¬üzerinde bir yön seçilerek bir vektör elde edilir. Bu yön A dan B ye veya B den A ya olabilir. A dan B ye yönlendirilmi¸s do¼ gru parças¬AB

¸seklinde gösterilir. Bu durumda A ve B uç noktalar¬veya s¬ras¬yla, ba¸ slang¬ç ve uç noktas¬denir. AB nin ters yönündeki yönlü do¼ gru parças¬BA ile gösterilir.

AB ve CD gibi iki yönlü do¼ gru parças¬verildi¼ ginde ¸su üç aksiyom sa¼ glan¬rsa bu iki yönlü do¼ gru parças¬na paraleldir denir:

1

AB ve CD do¼ gruparçalar¬paraleldir.

2

AB ve CD do¼ gru parçalar¬n¬n boylar¬e¸sittir.

3

AB nin yönü ile CD nin yönü ayn¬d¬r.

Yönlü do¼ gru parçalar¬aras¬nda paralellik ba¼ g¬nt¬s¬bir denklik

Tan¬m 2: A key… bir nokta olmak üzere AA vektörü s¬f¬r vektörü ! olarak tan¬mlan¬r ve

0 ilie gösterilir.

Tan¬m 3: A¸sa¼ g¬da verilen aksiyomlara a…n aksiyomlar denir ve a…n aksiyomlar yard¬m¬yla Nokta ile vektör e¸slenir.

1

A, B gibi iki nokta verildi¼ ginde bir ! _α = AB vektörü vard¬r. !

2

Bir α vektörü ve bir A noktas¬verildi¼ ginde ! _α = _{AB olacak} ! biçimde bir tek B noktas¬vard¬r.

3

A, B, C gibi herhangi üç nokta için _AB ! + _BC !

= _AC !

Tan¬m 4: V bir vektör cümlesi olmak üzere : V V ! ^{V ,} ! _{α ,} !

β ! ! ^α !

β i¸slemi olarak paralelkenar kural¬verilsin.

α ,

!

β 2 V olmak üzere bir

!

α

!

β 2 V vektörü ile

α ,

!

β üzerine kurulabilecek olan paralelkenar¬n birinci kö¸segeninin temsil etti¼ gi vektörü tan¬mlayal¬m. Buna göre

!

α = _AB, !

β = _BC ! al¬rsak;

!

α

!

β = _AB ! + _BC !

= _AC !

olur. Vektörlerde toplama geometrik olarak Paralelkenar metodu

Teorem 1:V vektör cümlesinde tan¬ml¬toplama i¸sleminin a¸sa¼ g¬daki cebirsel özelikleri vard¬r.

1

8

^{α ,}

^β 2 ^{V için}

^α

^β 2 V , (Kapal¬l¬k özeli¼ gi)

2

8

^{α ,}

^{β ,}

^γ 2 ^{V için}

^α

^β

^γ =

α

!

β

γ , (Birle¸sme özeli¼ gi)

3

8

^α 2 ^{V için}

^α

⁰ =

0

α =

α olacak ¸ sekilde

0 2 ^{V ,} (Etkisiz eleman özeli¼ gi)

4

8

^α 2 ^{V için}

^α

^α =

α

α =

0 olacak ¸sekilde

!

α 2 V , (Ters eleman özeli¼ gi)

5

8

^{α ,}

^β 2 ^{V için}

^α

^β =

β

α , (De¼ gi¸sme özeli¼ gi)

Bu durumda f ^{V ,} g ikilisi bir Abel Grup olur.

Tan¬m 5: ( R, + , . ) reel say¬lar cisminin elemanlar¬skalarlar olmak üzere bir vektörün skalarla çarp¬m¬i¸slemi

: R V ! ^{V , λ,} ! _α ! ^λ ! _α

biçiminde bir i¸slemdir, yani sonuç bir vektördür.

Teorem 2:V vektör cümlesinde tan¬ml¬yukar¬da verilen skalarla çarpma i¸sleminin a¸sa¼ g¬daki cebirsel özelikleri vard¬r.

1

8

^α 2 ^{V ve λ} 2 R için λ ! _α 2 V , (Kapal¬l¬k özeli¼ gi)

2

8

^{α ,}

^β 2 ^{V ve λ} 2 ^{R için} λ

α

!

β = λ

α λ

!

β

3

8

^α 2 ^{V ve λ, µ} 2 ^{R için}

( λ + µ )

α = λ

α µ

α , ( λ.µ )

α = λ µ

α

4

8

^α 2 ^{V için 1}

^α =

a

Vektörlerde Skalar ile çarpma i¸ sleminin Geometrik Yorumu:

Burada λ 2 R de¼gerlerine göre λ ! α vektörünün yönü ve uzunlu¼ gu de¼ gi¸sir. Bu durumlar:

λ 2 R

[ f ⁰ g olmak üzere i ) λ = 0 için 0

α =

0

ii ) 0 h ^λ h ^{1 için}

^{α ile λ} ! α vektörlerinin do¼ grultular¬ve yönleri ayn¬, sadece λ ! α vektörünün boyu

α vektörünün boyuna göre daha k¬sad¬r.

iii ) λ i ^{1 için}

^{α ile λ} ! α vektörlerinin do¼ grultular¬ve yönleri ayn¬, sadece λ ! α vektörünün boyu

α vektörünün boyuna göre daha uzundur.

iv ) λ = 1 için 1

α =

a d¬r.

λ 2 R olmak üzere

i ) λ = 1 için

α ile λ ! α vektörlerinin do¼ grultular¬ayn¬fakat yönleri ters, do¼ grultular¬ayn¬ve λ ! α vektörünün boyu ile

α vektörünün boyu ayn¬d¬r.

ii ) 1 h ^λ h ^{0 için λ} ! α vektörlerinin do¼ grultular¬ayn¬fakat yönleri ters, λ ! α vektörünün boyu

α vektörünün boyuna göre daha k¬sad¬r.

iii ) λ h ^{1 için λ} ! α vektörlerinin do¼ grultular¬ayn¬fakat yönleri

ters, λ ! α vektörünün boyu

α vektörünün boyuna göre daha

uzundur.

Tan¬m 6:Paralel kural¬ile iki vektörün fark¬n¬¸su ¸sekilde tan¬mlayabiliriz:

! _α

_β = ! α

!

β

(

α )

β =

β

α

Örnek 1:

α = ( 2, 3, 1 ) 2 ^R

^,

^β = ( 4, 2, 3 ) 2 ^R

olmak üzere;

5.

α = 5. ( 2, 3, 1 )

= ( 5.2, 5. ( 3 ) , 5.1 )

= ( 10, 15, 5 )

!

α +

β = ( 2, 3, 1 ) + ( 4, 2, 3 )

= ( 2 + 4, 3 + 2, 1 + ( 3 ))

= ( 6, 1, 2 )

Örnek 2:

α = ( 2 i , 3 + i ) 2 ^C

^,

^β = ( 4 3i , 2 + 5i ) 2 ^C

olmak üzere;

5.

α = 5. ( 2, 3, 1 )

= ( 5.2, 5. ( 3 ) , 5.1 )

= ( 10, 15, 5 )

!

α +

β = ( 2, 3, 1 ) + ( 4, 2, 3 )

= ( 2 + 4, 3 + 2, 1 + ( 3 ))

= ( 6, 1, 2 )

Tan¬m 7 :

!

α ,

!

β 2 V vektörleri e¼ ger;

!

α = λ

!

β ise

α ,

!

β vektör çiftine lineer ba¼g¬ml¬d¬r (paraleldir) denir.

!

α ,

!

β 2 V vektörleri e¼ ger;

!

α 6= ^λ

^b ise

α ,

!

β vektör çiftine lineer ba¼g¬ms¬zd¬r (paralel de¼ gildir) denir.

Örnek 4:

α = ( 2, 3, 1 ) 2 R

,

β = ( 4, 6, 2 ) 2 R

olmak üzere;.

!

β = λ ! _α olacak ¸sekilde λ = 2 2 R vard¬r.

O halde

α ile

!

β vektörleri lineer ba¼ g¬ml¬d¬r.

Örnek 3: Düzlemde herhangi iki farkl¬nokta A, B oldu¼ guna göre bu noktalardan geçen do¼ gru üzerinde bir P noktas¬n¬n bulunmas¬

¸sart¬nedir?

Çözüm: Paralelkenar kural¬na göre OP

= OA

+ AP

dir. t 2 R olmak üzere AP

= t AB ve

AB

= OB

OA oldu¼

gundan

OP

= OA

+ t ( OB

OA

)

= ( 1 t ) + t OB

λ

= 1 t ve λ

= t dersek λ

+ λ

= 1 bulunur.

Genel olarak E

de A = ( a

, a

, ..., a

) ve B = ( b

, b

, ..., b

) gibi verilen iki noktadan geçen do¼ gru için , do¼ gru üzerinde de¼ gi¸sken bir nokta P olmak üzere

OP ! = _OA ! + _AP ! veya λ 2 R olmak üzere

AP ! = λ _AB ! oldu¼ gundan

OP ! = _OA ! + λ _AB !

dir. Bu ifadeye söz konusu do¼ grunun vektörel denklemi denir.

Bile¸senler cinsinden ayn¬denklemi yazal¬m.

Önce AB nin bile¸senleri olarak ! AB ! = _OB ! _OA !

= ( b

, b

, ..., b

) ( a

, a

, ..., a

)

= ( b

a

, b

a

, ..., b

a

)

yaz¬labilece¼ ginden

( x

, x

, ..., x

) = ( a

, a

, ..., a

)

+ λ ( b

a

, b

a

, ..., b

a

)

= [ a

+ λ ( b

a

) , ..., a

+ λ ( b

a

)]

veya iki s¬ral¬ikilinin e¸sitli¼ ginden

x

= a

+ λ ( b

a

) x

= a

+ λ ( b

a

)

.. .

x

= a

+ λ ( b

a

)

yaz¬labilir. Bu son denklemlere de söz konusu do¼ grunun

Yukar¬daki denklemden λ parametresi çekilirse x

a

b

a

= ^x

^a

b

a

= .... = ^x

^a

b

a

= λ

bulunur. Bu ifadeye söz konusu do¼ grunun standart denklemi

denir.

Tan¬m 8: d , R

reel vektör uzay¬nda bir do¼ gru ve ! _u 2 R

s¬f¬rdan farkl¬bir vektör olsun. A ile B bu do¼ gru üzerinde iki farkl¬nokta olmak üzere n _AB, ! ! _u ^o vektör çifti lineer ba¼ g¬ml¬ise d do¼ grusu ! _u vektörüne paraleldir denir. Ayr¬ca d do¼ grusuna paralel olan ! _u vektörüne de d do¼ grusunun do¼ grultman vektörü denir.

Genel olarak bir do¼ gru üzerinde de¼ gi¸sken bir nokta P olmak üzere A = ( a

, a

, ..., a

) noktas¬ndan geçen ve bir

! _u = ( u

, u

, ..., u

) 2 ^R

vektörüne paralel olan do¼ grunun vektörel denklemi

OP ! = _OA ! + λ ! _{u , λ} 2 ^R

ve buradan hareketle

do¼ grunun parametrik denklemi

x

= a

+ λv

x

= a

+ λv

.. .

x

= a

+ λv

veya bu son ifadeden λ çekilerek do¼ grunun standart denklemi x

a

v

= ^x

^a

v

= .... = ^x

^a

v

bulunur.

Örnek 5: R

reel vektör uzay¬nda

u = ( 2, 3, 1 ) vektörünü do¼ grultman kabul eden ve A ( 4, 6, 2 ) noktas¬ndan geçen do¼ grunun denklemini bulunuz.

Do¼ gru üzerinde de¼ gi¸sken bir nokta P ( x, y , z ) olsun. O halde, s¬ras¬yla,

do¼ grunun vektörel denklemi;

AP ! = λ ! _{u ; λ} 2 R, do¼ grunun parametrik denklemi;

P = A + λ ! _{u ; λ} 2 R,

( x, y , z ) = ( 4, 6, 2 ) + λ ( 2, 3, 1 ) ( x, y , z ) = ( 4 + 2λ, 6 3λ, 2 + λ ) ve standart denklemi

x 4 y + 6 z + 2

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.