Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör Uzaylar¬

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I) Hafta 2: Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör

Uzaylar¬(Devam)

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC·I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.·Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Reel Vektör Uzaylar¬ve Vektör Uzaylar¬

Teorem 3: Düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) ve C(x3, y3)noktalar¬n¬

kö¸se kabul eden üçgenin alan¬

A(ABC) = ¹

2 det(_AB,! _AC! )

= ¹ 2

x₂ x₁ x₃ x₁ y2 y1 y3 y1

dir. Buradan hareketle düzlemde A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalar¬ndan geçen do¼gru denklemi P(x, y)olmak üzere

det(_AP,! _BP!) =0 ya da

det 0

@

1 1 1

x x₁ x₂ y y1 y2

1 A=0

biçimindedir.

Örnek 6: R² reel vektör uzay¬nda A( 1, 2), B(3, 5) ve C(0, 3) noktalar¬n¬kö¸se kabul eden üçgenin alan¬n¬hesaplay¬n¬z.

Örnek 7: R² reel vektör uzay¬nda A( 1, 2)ve B(3, 5) noktalar¬ndan geçen do¼gru denklemini yaz¬n¬z.

Örnek 8: R² reel vektör uzay¬nda A(x₀, y₀) noktas¬ndan geçen ve do¼grultman¬!_u = (u1, u2)olan do¼gru denklemini yaz¬n¬z. E¼gim ile do¼grultman aras¬nda nas¬l bir ili¸ski vard¬r? Aç¬klay¬n¬z.

Tan¬m 9: (_H,+, .) bir cisim ve V bo¸stan farkl¬bir cümle olmak üzere bir

: V V !^{V ,} !_{α ,}!

β ! !^α ! β

iç i¸slemine göre V cümlesi bir Abel grup ) ve

:H V !^{V , λ,}!_α !^λ !_α

skalarla çarpma i¸slemi( d¬¸s i¸slemi) de Teorem 2 de ifade edilen özellikleri sa¼gl¬yor ise V cümlesi (_H,+, .)cismi üzerinde 21 Aksiyomlu bir cebirsel yap¬olu¸sturulur. Bu cebirsel yap¬yaH cismi üzerinde bir vektör uzay¬ve bu uzay¬n elemanlar¬na da vektör ad¬

verilir. Bu cebirsel yap¬k¬saca

f^{V , ,}(H,+, .), g

ile gösterilir. H=R ise V vektör uzay¬na reel say¬lar cismi üzerinde vektör uzay¬,H=C ise V vektör uzay¬na kompleks say¬lar cismi üzerinde vektör uzay¬denir.

Örnek 9: A herhangi bir cümle olmak üzere.

R^A = f^f j^{f : A}!Rg

cümlesiR reel say¬lar cismi üzerinde bir vektör uzay¬d¬r. Bu uzay¬n elemanlar¬na da vektör diyece¼giz. Görüldü¼gü gibi bu elemanlar fonksiyonlard¬r.

Burada A=R olmas¬özelhalinde reel eksen üzerindeki reel de¼gerli fonksiyonlardan meydana gelen bir reel vektör uzay¬elde ederiz.

Tan¬m 10:

Rⁿ cümlesinin bir eleman¬xi 2R (1 i n)olmak üzere, s¬ral¬

reel say¬n-lisi diye adland¬raca¼g¬m¬z !_x = (x₁, x₂, ..., x_n)dir.

Rⁿ = f!^x = (x1, x2, ..., xn) j^xi 2R, 1 i ng cümlesi üzerinde toplama i¸slemi !_x = (x1, x2, ..., xn) 2Rⁿ ve

!_y = (y₁, y₂, ..., y_n) 2^Rn olmak üzere, s¬ras¬ile, +:Rⁿ Rⁿ !Rⁿ

(!x ,!_y ) ! !^x + !y = (x₁+y₁, x₂+y₂, ..., x_n+y_n)

ve skalar ile çarpma i¸slemi

:R Rⁿ !^Rn

(λ,!_x ) λ !_x = (λx1, λx2, ..., λxn)

¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu iki i¸sleme göre fRⁿ,+,(_R,+, .), g^{bir reel} vektör uzay¬olur.

8!^x 2Rⁿ eleman¬n¬

!_x = (x1, x2, ..., xn)

= (x₁, 0, ...., 0) + (0, x₂, 0, ...., 0) +...+ (0, 0, ...., x_n)

= x₁(1, 0, ...., 0) +x₂(0, 1, 0, ...., 0) +...+x_n(0, 0, ...., 1) olarak ifade edebiliriz.

Sadece i -yinci bile¸seni 1 ve di¼ger bile¸senleri 0 olan bir vektöre !_ei dersek

i = 1) !^e1 = (1, 0, 0, ..., 0) i = 2) !^e2 = (0, 1, 0, ..., 0)

...

i = n ) !^en = (0, 0, ..., 1) olur ve dolay¬s¬yla8!^x 2^{Rn vektörünü}

!_x =x1!_e1 +x2!_e2 +...+xn!_en biçiminde yazabiliriz.

Demek oluyor kiRⁿ vektör uzay¬kendisine ait olan özel n tane vektör olan

!_e1,!_{e2, ....,}!_en vektörleri ile belirtilebilir.

8!^x 2Rⁿ vektörü bir O noktas¬na göre bir P noktas¬na kar¸s¬l¬k gelir ve !x ile P noktas¬birebir e¸slenebilir. Yani;

!_x =_OP! dir.

!x vektörüne kar¸s¬l¬k gelen noktalar O ve P dir.O halde !_{x nün ait} oldu¼gu vektör uzay¬Rⁿ iken O ve P noktalar¬n¬n ait oldu¼gu

noktalar uzay¬daEⁿ olsun. Eksenler birbirine dik al¬nd¬¼g¬ndanEⁿ noktalar uzay¬na Öklid uzay¬(n boyutlu Euclid uzay¬)

diyece¼giz. Demek oluyor ki 8^P 2^{En noktas¬na, En} de seçilen bir O ba¸slang¬ç noktas¬esas al¬nmak suretiyle,Rⁿ de bir !_{x vektörü} kar¸s¬l¬k gelir. Rⁿ. vektör uzay¬na n boyutlu reel standart vektör uzay¬denir. f!^e1,!_{e2, ....,}!_engvektörler sistemine de Rⁿ vektör uzay¬n¬n standart baz¬denir. Baz kavram¬n¬ilerleyen bölümlerde daha kapsaml¬verece¼giz.

Tan¬m 11: : I R bir aç¬k aral¬k olmak üzere bir α: I !^En

t !^α(t) = (α1(t), α2(t), ...., αn(t)) fonksiyonunaEⁿ de bir e¼gri ad¬verilir.

Örnek 10 :I = f^t j⁰<t <2πgolmak üzere α: I !^E2

t !^α(t) = (α1(t), α2(t)) = (r cos t, r sin t) e¼grisi düzlemde bir çemberin parametrik denklemini belirtir.

Örnek 11 :I = f^t j⁰<t <2πgolmak üzere α: I !^E2

t !^α(t) = (α1(t), α2(t)) = (a cos t, b sin t) e¼grisi düzlemde bir elipsin parametrik denklemini belirtir.

Örnek 12 :I = f^t j⁰<t <2πgolmak üzere α: I !^E3

t!^α(t) = (α1(t), α2(t), α2(t)) = (a cos t, a sin t, bt) e¼grisi uzayda bir helis e¼grisinin parametrik denklemini belirtir.

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼glu, Mühendislik ve ·Istatistik Bölümleri ·Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.