Alt Vektör Uzaylar¬

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I)

Hafta 3: Alt Vektör Uzaylar¬

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Alt Vektör Uzaylar¬

Tan¬m 12:

( _R, + , ) bir cisim ve f ^{V , ,} ( _R, + , ) , g cebirsel yap¬s¬bir vektör uzay¬olsun.

V cümlesinin bir W 6= ? alt cümlesi ayn¬ : W W ! ^{W Abel} grubu i¸slemine ve ayn¬ : R W ! W d¬¸s i¸slemine göre R üzerinde bir vektör uzay¬ise bu W vektör uzay¬na V vektör uzay¬n¬n bir alt vektör uzay¬denir.

Teorem 4: f ^{V , ,} ( _R, + , ) , g bir vektör uzay¬olmak üzere V nin bo¸ stan farkl¬bir alt cümlesi W olsun. E¼ ger;

1

8 ^{u, v} 2 ^{W için u v} 2 ^W

2

8 ^c 2 ^{R ve} 8 ^u 2 ^{W için cu} 2 ^W

ise W cümlesi de bu i¸slemlere göre R üzerinde bir vektör uzay¬d¬r.

Örnek 13: Her vektör uzay¬kendisinin bir altvektör uzay¬d¬r.

Örnek 14: f ^{V , ,} ( R, + , ) , g bir vektör uzay¬olmak üzere V deki i¸slemine göre birim eleman¬θ olmak üzere W = f

g cümlesi de V için bir altvektör uzay¬d¬r. Bu uzaya s¬f¬r uzay¬da denir.

Örnek 15: R

reel vektör uzay¬nda z bile¸seni 0 olan bütün vektörlerin cümlesi W olsun. Yani;

W = f( ^x

^{, x}

^{, 0} ) j ^x

^{, x}

2 ^R g cümlesi R

reel vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r.

Örnek 16: R

reel vektör uzay¬nda z bile¸seni 1 olan bütün vektörlerin cümlesi W olsun. Yani;

W = f( ^x

^{, x}

^{, 0} ) j ^x

^{, x}

2 R g

cümlesi R

reel vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬de¼ gildir. Çünkü;

u = ( u

, u

, 1 ) 2 ^{W ve v} = ( v

, v

, 1 ) 2 ^{W için}

u v = ( u + v , u + v , 2 ) 2 / ^{W d¬r.}

Örnek 17:

V bir vektör uzay¬ve α

2 V olmak üzere bir S = f

^{, α}

^{, .., α}

g ^V altcümlesini alal¬m.

∑

c

biçimindeki vektörlere α

, α

, .., α

vektörlerinin bir lineer bile¸ simi denir.

W =

(

∑

c

j

2 ^{S ve c}

2 ^R )

cümlesi V için bir alt vektör uzay¬d¬r.

W = _∑

i=1

c

j

2 ^{S ve c}

2 R vektör uzay¬na S nin gerdi¼gi

altuzay denir ve W = Span f

^{, α}

^{, .., α}

g ile gösterilir.

Örnek 18: R

reel vektör uzay¬nda

W = Span !

= ( 0, 1, 1 ) , !

= ( 1, 0, 1 ) , !

= ( 1, 1, 0 ) olmak üzere !

= ( 1, 2, 5 ) vektörü bu alt uzaya ait bir vektör müdür?

!

= c

!

+ c

!

+ c

!

( 1, 2, 5 ) = c

( 0, 1, 1 ) + c

( 1, 0, 1 ) + c

( 1, 1, 0 ) ( 1, 2, 5 ) = ( c

+ c

, c

+ c

, c

+ c

)

olup buradan c

= 4, c

= 1 ve c

= 2 olur. O halde

!

= 4 !

+ !

2 !

oldu¼ gundan !

2 ^{W olur.}

Teorem 5:

V bir reel vektör uzay¬olmak üzere sonlu say¬da α

, α

, .., α

2 ^V verilmi¸s olsun. m bir sonlu tam say¬olmak üzere

β₁

, β

, .., β

2 ^Sp f

^{, α}

^{, .., α}

g ise

Sp f

, β

, .., β

g ^Sp f

^{, α}

^{, .., α}

g

d¬r.

Teorem 6:

V bir reel vektör uzay¬n¬n sonlu say¬da altuzaylar¬W

, W

, .., W

olsun. O zaman

1

S

=

i=1

W

cümlesi de V vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r.

Bu altuzaya W

, W

, .., W

altuzaylar¬n¬n arakesit uzay¬denir.

2

S

= x =

∑

x

j ^x

2 ^W

^{, 1 i k} cümlesi de V nin bir alt uzay¬d¬r.

Bu altuzaya W

, W

, .., W

alt uzaylar¬n¬n toplam¬veya toplam uzay¬denir ve S

= _∑

i=1

W

ile gösterilir.

3

S

= [

i=1

W

cümlesi V vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬

olmayabilir.

Sonuç: f ^{V , ,} ( _R, + , ) , g bir vektör uzay¬olmak üzere V deki i¸slemine göre birim eleman θ olsun. V cümlesinin bo¸stan farkl¬

bir W alt cümlesi θ eleman¬n¬içermiyorsa W alt cümlesi V vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬olamaz.

Örnek 19: R

reel vektör uzay¬nda

W = ( x, y , z ) 2 R

: x + y + z = 1 cümlesi bo¸stan farkl¬d¬r ve

R

ün alt cümlesidir. Ancak R

reel vektör uzay¬n¬n vektörlerde

toplama i¸slemine göre birim eleman¬olan ! ₀ = ( 0, 0, 0 ) vektörünü

içermez. Çünkü 0 + 0 + 0 6= 1 dir.Dolay¬s¬yla W cümlesi R

reel

vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬de¼ gildir.

Örnek 20: R

reel vektör uzay¬nda

W = ( x, y , z ) 2 ^R

^{: x} + y + z = 0 cümlesi bo¸stan farkl¬d¬r ve R

ün alt cümlesidir. Ayr¬ca

1

u = ( u

, u

, u

) 2 ^W =) ^u

+ u

+ u

= 0 ve v = ( v

, v

, v

) 2 ^W =) ^v

+ v

+ v

= 0 ve u

+ v

+ u

+ v

+ u

+ v

= 0 + 0 = 0 oldu¼ gundan u + v 2 ^{W d¬r.}

2

u = ( u

, u

, u

) 2 ^W =) ^u

+ u

+ u

= 0 ve λ 2 R için

+

+

=

( u

+ u

+ u

) =

= 0 oldu¼ gundan

2 ^{W d¬r.}

sa¼ gland¬¼ g¬ndan W cümlesi R

reel vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r.

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.